presentacion - tanaka2

(1)

Simetr´ıas de Lie

vs

grupos de Galois

para conexiones lineales

David Bl´azquez-Sanz

Universidad Nacional de Colombia Sede Medell´ın

(2)

Programa

Conexiones

generalidades Simetr´ıas

Conexiones lineales y proyectivas

La teor´ıa de Galois

La teor´ıa de Galois clásica: nociones filosóficas Teor´ıa de Picard-Vessiot geométrica

Simetr´ıas vs Galois

Campos vectoriales anal´ıticos y polinomiales Simetr´ıas de ∇

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Conexiones

(4)

Conexiones

generalidades

Conexiones: generalidades

I M variedad anal´ıtica compleja. I π:B →M un fibrado de fibraF.

I Localmente B 'F×M, pero no de forma ´unica.

I Si fijamos una trivialización, las secciones se identifican con mapas de M en F. Podemos derivar secciones y tenemos una noción de sección constante.

I Una trivializaci´on a nivel infinitesimal se llama una

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Conexiones

generalidades

Conexiones: generalidades

I Consideremos la sucesi´on exacta de fibrados:

0→V B−→i T B−→dπ π∗T M →0,

donde el fibrado tangente verticalV B es por definici´on el n´ucelo de dπ.

I Una conexión es una escisión de esta sucesión. Consiste en dos operadores que se determinan mútualmente:

0→π∗T M −→h T B −→v V B→0.

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Conexiones

generalidades

Conexiones: generalidades

I La distribuci´onker(v) se denomina distribuci´on de campos horizontales en B.

I La conexi´on permite prolongar campos vectoriales en M a campos vectoriales horizontales en B.

M B

π

VpB

HpB= ker(vp)

π(p)

p

Xπ(p)

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Conexiones

generalidades

Conexiones: generalidades

I La principal utilidad de las conexiones es derivar secciones de π. A cada secci´onsde π se le asigna sudiferencial covariante,

∇s=ds−h=v◦ds.

I ∇smide el defecto a queds tome valores en el espacio horizontal.

I ∇ses una 1-forma enM con valores en el fibrado s∗(V B). I Escribimos∇_X_~spara el acoplamientoh∇s, ~Xi, es el valor

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Conexiones

generalidades

Conexiones: generalidades

I Una secci´on seshorizontal si∇s= 0.

I Hay secciones horizontales si y solo si la distribuci´on de los campos horizontales es involutiva. Esto motiva la definici´on del tensor de curvatura:

R(X, ~~ Y) =−1

2v[h ~X, h~Y].

I R es un 2-tensor antisim´etrico enM con valores en π∗(V B). I En virtud del teorema de Frobenius, por cada punto de B

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Conexiones

generalidades

Conexiones: generalidades

I Six, u es un sistema de coordenadas adaptado, para cada secci´on u(x) tenemos:

∇u(x) =X

i,j

∂ui(x)

∂xj

+ Γi_j(x, u(x))

dxj⊗

∂ ∂ui

I Eltensor de Christoffel Γ =P

i,jΓij(x, u)dxj⊗ ∂ ∂ui

determina la conexi´on. Podemos escribir simplemente:

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Conexiones

generalidades

Conexiones: generalidades

I La ecuaci´on de las secciones horizontales es:

∂ui

∂xj

=−Γi_j(x, u).

I El tensor de curvatura puede escribirse en coordenadas en fuci´on del tensor de Christoffel:

R=dΓ− 1 2[Γ,Γ]

(11)

Conexiones

generalidades

Conexiones: generalidades

I Desarrollando en coordenadas:

R= X

i,j,k,α,β ∂Γki ∂xj

−∂Γ

k j ∂xi

+ Γβj ∂Γki ∂uβ

−Γαi ∂Γkj ∂uα

!

dxi∧dxj⊗ ∂ ∂uk

I Las conexiones son los sistemas de EDP’s sobredeterminados en los cuales las variables

independientes son las coordenadas en una variedad.

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Conexiones

Simetr´ıas

Conexiones: simetr´ıas

I Siσ es un difeomorfismo de B que preserva las fibras de π, entoncesσ transforma la conexi´on ∇en una nueva

conexi´on σ∗∇ mediante la f´ormula:

(σ∗∇)s=dσ◦ ∇(σ−1_◦_s)

(13)

Conexiones

Simetr´ıas

Conexiones: simetr´ıas

I En un sistema de coordenadas x, uadaptado:

u∗_i =σi(x, u), ui= ˜σi(x, u∗).

I La ecuaci´on diferencial transformada (gauge no lineal) es:

∂u∗ i ∂xj =

∂σi

∂xj(x,σ(x, u˜

∗_{)) +}P α

∂σi

∂uα(x,σ(x, u˜

∗_))Γα

j(x,σ(x, u˜ ∗))

I Es decir, σ es una simetr´ıa si:

∂σi

∂xj

(x,σ(x, u))+˜ X

α

∂σi

∂uα

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Conexiones

Simetr´ıas

Conexiones: simetr´ıas de Lie

I Las simetr´ıas de ∇son las simetr´ıas de la ecuaci´on de las secciones horizontales (aunque no haya tales!).

I La condici´on de simetr´ıa es local, estas forman un pseudogrupo de transformaciones de B.

I Las simetr´ıas de Lie de ∇son los campos verticales enB que generan flujos de simetr´ıas.

I X~ es unasimetr´ıa de Liede ∇si y solo s´ı para todo campo ~

Y en M se tiene:

(15)

Conexiones

Simetr´ıas

Conexiones: simetr´ıas de Lie

I En un sistema de coordenadas adaptado, la condici´on para que el campoX =P

αfα(x, u)_∂u∂_α sea una simetr´ıa es:

∂fα

∂xj

=X

β

Γβ_j ∂fα ∂uβ

−fβ

∂Γα j

∂uβ

.

I Las simetr´ıas de Lie de ∇forman un haz de ´algebras de campos vectoriales en B, que podemos ver como un haz de ´

(16)

Conexiones

Simetr´ıas

Conexiones: simetr´ıas de Lie

I El ´algebra de Lie de las simetr´ıas infinitesimales, es en en general de rango infinito.

I Ejemplo: B =F×M, fibrado trivial, ∇, conexi´on trivial. Cualquier campo vectorial en la fibra F, entendido como campo vertical en F×M es una simetr´ıa infinitesimal de M.

(17)

Conexiones

Conexiones: conexiones lineales

I π:E →M un fibrado vectorial,∇conexi´on enπ.

I Para cualquier secci´on sse tiene s∗(V E)'E, luego ∇s es una 1-forma enM con valores en E.

I La conexi´on ∇eslineal si la proyecci´on vertical v es M-lineal.

I Para cada funci´on f en M y secciones s, s0 de E,

∇(f s+s0) =f∇s+df⊗s+∇s0.

I En un sistema x, ude coordenadas lineales, la EDP de las secciones horizontales es:

∂ui

∂xj

=−X

k

(18)

Conexiones

Conexiones: conexiones lineales

I Consideramos en el sistemax, u= (u1, . . . , un) de

coordenadas lineales, las secciones can´onicass1, . . . , sn.

I Las componentes Γi_j(x, u) son funciones lineales en lasu,

Γi_j(x, u) =X

k

Γi_jk(x)uk.

I El tensor de Christoffel es una 1-forma con valores campos vectoriales lineales en la fibra de E, es decir,

endomorfismos lineales:

Γ =X

i,j,k

(19)

Conexiones

Conexiones: conexiones lineales

I La curvatura es una 2-forma con valores en endomorfismos:

X

i<j,k,α,β

∂Γβ_jk

∂xi

−∂Γ

β ik

∂xj

+ Γα_jkΓβ_iα−Γα_ikΓβ_jα

!

uksβ(dxi∧dxj)

I La EDP de las secciones horizontales es lineal:

∂ui

∂xj

=−X

k

Γi_jk(x)uk.

(20)

Conexiones

Conexiones: conexiones proyectivas

I Consideremos π¯:PE→M la proyectivizaci´on del fibrado vectorial.

I La distribuci´on de los espacios horizontales enE, es invariante por dilataciones

I Luego se proyecta sobre una distribuci´on de espacios vectoriales enPE. que resulta ser una conexi´on∇¯ en π.¯

I Las conexiones que se obtienen de esta manera (como proyectivizaciones de conexiones lineales) se llaman

(21)

Conexiones

Conexiones: conexiones proyectivas

I Siu0, . . . , un−1 son coordenadas lineales enE, las

ecuaciones lineales de las secciones horizontales de ∇:

∂uj

∂xi

=−X

k

Γj_ikuk

I Inducen las ecuaciones de Riccati para las secciones horizontales de ∇¯ en las coordenadas afinesyj = u_uj₀:

∂yj

∂xi

=−Γj_i0−X

k>0

Γj_ikyk+yj Γ0i0+ X

k>0

(22)

(23)

La teor´ıa de Galois cl´asica: nociones filos´oficas

La teor´ıa de Galois cl´asica

I Consideremos una ecuaci´on polinomial:

xn+an−1xn−1+. . .+a1x+a0= n Y

i=1

(x−αi) = 0.

I El problema es expresar las ra´ıces αi como funci´on de los

coeficientes ai de la ecuaci´on.

(24)

La teor´ıa de Galois

I El grupoSn se de substituciones de nletras act´ua en

Q[y1, . . . , yn], (P ? σ)(y1, . . . , yn) =P(yσ1, . . . , yσn).

I Dado un polinomio P(y1, . . . , yn) en nvariables, hay un

subgrupo Est(P) que estabiliza el polinomio:

Est(P) ={σ|P ? σ=P}.

I El cociente XP =Sn/Est(P) es un espacio homog´eneo con

(25)

La teor´ıa de Galois

I Fijamos un orden para las ra´ıces.

I SiP(α1, . . . , αn)∈Qdecimos queP es un polinomio racionalmente conocido.

I Para cada[σ]en XP definimos, β[σ]=P(ασ1, . . . , ασn).

I El teorema de las funciones sim´etricas garantiza que:

ΠP(x) = Y

[σ]∈XP

(x−β_[σ])

es un polinomio de gradonP con coeficientes racionales,

(26)

La teor´ıa de Galois

I Decimos ahora que σ esde Galoissi para todo P racionalmente conocido se tiene:

P(α1, . . . , αn) =P(ασ(1), . . . , ασ(n))estas forman el grupo

de Galois, cuya clase de conjugaci´on enSn depende del

ordenamiento de las ra´ıces.

I Un polinomio P(y1, . . . , yn) se dice Galois-invariantesi

para todaσ del grupo de Galois P(α1, . . . , αn) =P(ασ(1), . . . , ασ(n)).

I El teorema de Galois dice que un polinomio es

(27)

La teor´ıa de Galois

I Estudiemos por ejemplo la ecuaci´on de tercer grado:

(x−α1)(x−α2)(x−α3) =x3+px+q= 0

α1+α2+α3 = 0

α1α2+α1α3+α2α3 = p

α1α2α3 = −q

(28)

La teor´ıa de Galois

I El discriminante es un polinomio invariante:

∆ = (α1−α2)2(α2−α3)2(α3−α1)2 =−4p3−27q2

I Es relevante si ∆es o no un cuadrado perfecto, puesto que si lo es, entonces su ra´ız cuadrada:

δ = (α1−α2)(α2−α3)(α3−α1) es tambi´en un polinomio

Galois-invariante.

I El conocimiento de cuales, entre los polinomios α1, α2, α3, δ

(29)

La teor´ıa de Galois

I Dibujemos las tres ra´ıces como los v´ertices de un tri´angulo.

α1

α2

α3

(30)

La teor´ıa de Galois

I Siδ es racional (no nulo), entonces no es admisible reflejar el triángulo, puesto que esta operación cambiar´ıa el signo de δ. Tenemos queδ pone una orientación en el triángulo.

I Siα1 es racional entonces no es posible rotar el tri´angulo,

puesto que esto cambiar´ıaα1 por otra raiz diferente.

α1

α2

α3

α1

α2

(31)

La teor´ıa de Galois

Hay 4 posibilidades cualitativamente diferentes. (1)hay 6 substituciones admisibles,(2)δ es racional, hay 3 substituciones admisibles,(3) α1 es racional, hay 2 substituciones admisibles, (4)α1, α2 y por tanto α3,δ son tambi´en racionales, la ´unica

substituci´on admisible es la identidad.

α1

α2

α3

α1

α2

α3

α1

α2

α3

α1

α2

(32)

Teor´ıa de Picard-Vessiot geom´etrica

I M variedad anal´ıtica compleja. I E yE0 fibrados vectoriales complejos.

I Hay construcciones tensoriales E∗,E⊕_M E0,E⊗_M E0 y LinM(E, E0), naturales a partir de E yE0.

I Los fibrados tensoriales TqpE, el fibrado exteriorVE y los

productos sim´etricos SrE aparecen como fruto de estas operaciones.

(33)

Teor´ıa de Picard-Vessiot geom´etrica

I Consideremos ahora (E,∇) fibrado vectorial sobreM dotado de una conexi´ıon linealmeromorfa.

I Esto significa que ∇no est´a definido en todoM, sino en el complementario de un conjunto anal´ıtico S de

singularidades.

I Los simbolos Christoffel de ∇, en cualquier sistema adaptado, son funciones meromorfas con polos enS.

(34)

Teor´ıa de Picard-Vessiot geom´etrica

I Si(E,∇)y (E0,∇0) son fibrados vectoriales sobreM dotados de conexiones, se inducen conexiones en todas las construcciones tensoriales.

I La conexi´on ∇∗ _{inducida en}_E∗ _est´_{a determinada por la} f´ormula: dhu, si=h∇∗u, si+hθ,∇si

I La conexi´on∇+∇0 inducida enE⊕M E0 est´a determinada

por la f´ormula: (∇+∇0)(s+s0) =∇(s) +∇0(s0).

I La conexi´on∇ ⊗ ∇0 inducida enE⊗M E0 est´a determinada

(35)

Teor´ıa de Picard-Vessiot geom´etrica

I Sis1, . . . , sn es una base de secciones deE, y u1, . . . , un su

base dual en E∗. Entonces, tenemos:

∇si= X

j,k

Γk_jisidxj, ∇∗ui=− X

jk

Γi_jkuidxj.

I Sis1, . . . , sn es una base de secciones horizontales de ∇,

entoncesu1, . . . , un es una base de secciones horizontales de

∇∗.

(36)

Teor´ıa de Picard-Vessiot geom´etrica

I Por ejemplo, los productos de dos soluciones de la ecuaci´on diferencial de segundo orden u00 =ru satisfacen la ecuaci´on de tercer orden w000 = 2(rw)0+ 2w0.

I La ecuación de orden 2 es la de las secciones horizontales de una conexión ∇en un fibrado E de rango 2. Los productos simétricos de dos soluciones serán secciones horizontales de la conexión inducida en S2E que tiene rango3.

I El teorema de Abel-Liouville que dice que si una matriz Ψ satisfaceΨ0 =AΨ entoncesdet(Ψ)0 = tr(A) det(Ψ) es el caso de la conexi´on inducida en Vn

(37)

Teor´ıa de Picard-Vessiot geom´etrica

I La categor´ıa de las conexiones lineales inducidas por ∇, en cada uno de las construcciones tensoriales sobre E dotada de las operaciones ⊕_M y⊗_M se llama la categor´ıa

Tanakianaengendrada por ∇.

I La clase de las conexiones lineales y projectivas inducidas por ∇en cada uno de estos fibrados vectoriales y sus fibrados proyectivos asociados asociados se llama la

jerarqu´ıa Lie-Vessiot de∇.

I Las conexiones de la jerarqu´ıa Lie-Vessiot son el an´alogo a los polinomios satisfechos por las cantidades

(38)

Teor´ıa de Picard-Vessiot: grupo de Galois

I Recordamos que los automorfismos de un espacio vectorial

V act´uan sobre todas las capas tensoriales, tomando: σ(e1⊗. . .⊗ep⊗u1⊗. . .⊗uq) =

σe1⊗. . . σep⊗(σ−1)tu1⊗. . .(σ−1)tuq.donde(σ−1)tes al

automorfismo inducido enV∗ por σ−1.

I Esta acci´on pasa tambi´en a los espacios proyectivos correspondientes.

(39)

Teor´ıa de Picard-Vessiot: grupo de Galois

I Consideramos GL(E)→M el fibrado, por grupos, cuya fibra en cada puntox∈M esGL(Ex).

I De esta manera si T →M es una construcci´on tensorial sobre E, las secciones de GL(E) actuan sobre las secciones de T.

I Sea ahora x un punto no s´ıngular de ∇yσ∈GL(Ex):

decimos que σ es de Galois, si para cada secci´on horizontal meromorfa Θde una conexi´on en la jerarqu´ıa Lie-Vessiot de ∇se tieneσ(Θ(x)) = Θ(x).

Gal(∇, x) =\

Θ

(40)

Teor´ıa de Picard-Vessiot: grupo de Galois

I SiM es conexo, los grupos de Galois en puntos diferentes son conjugados.

I La uni´on de estos gruposGal(∇)→M resulta ser un fibrado meromorfo, con el mismo conjunto de

singularidades S que ∇.

(41)

(42)

Campos vectoriales anal´ıticos y polinomiales

Campos vectoriales anal´ıticos en un espacio vectorial

I Consideremos U ⊂M yX~ una simetr´ıa de ∇definida en π−1(U)⊂(E).

I Por definici´on X~ es un campo vectorial vertical. I Esto es, para cada x∈U,X(x)~ es un campo vectorial

anal´ıtico en la fibra Ex.

I Podemos considerar X(E)→M el fibrado de algebras de Lie cuya fibra en x∈M es el ´algebra de Lie de los campos vectoriales enEx.

(43)

Campos vectoriales anal´ıticos en un espacio vectorial

I FijemosV 'Cn con base can´onica e1, . . . , en y

coordenadas u1, . . . , un.

I Vamos a estudiar X(V) el ´algebra de Lie de los campos vectoriales anal´ıticos en V.

I En cada punto x∈V el espacio tangenteTxV se identifica

con el propioV, pues cada vectorei se identifica con la

derivada direccional

∂ ∂ui

x.

I Tomando ei = _∂u∂_i como campos vectoriales, tenemos que

(44)

Campos anal´ıticos y polinomiales en un espacio vectorial

I Consideramos un campo vectorial anal´ıtico:

~

X=X

i

fi(u)ei.

I Tomando el desarrollo de McLaurin:

~

X=X~0+X~1+X~2+. . .

dondeX~k = P

i,|α|=k∂ |α|_fi ∂uα u

α

α!ei. Tenemos queX~ se escribe

(45)

Campos anal´ıticos y polinomiales en un espacio vectorial

I Denotemos porX[V]al ´algebra de Lie de los campos poliomiales, y Xk[V]a su componente homog´enea de grado k.

I De forma can´onica Xk[V]'Sk(V∗)⊗_CV. I El parentesis de Lie es compatible con el grado,

[, ] : Xk[V]×Xr[V]→Xk+r−1[V].

I El par´entesis de Lie de campos anal´ıticos se calcular por componentes:

[X, ~~ Y] = ∞

X

j=0 X

k+r=j+1

(46)

Campos anal´ıticos y polinomiales en un espacio vectorial

I El grupo lineal GL(V) es un grupo de transformaciones suaves de L.

I Por tanto actua en X(V).

I Adem´as conserva cada uno de los espaciosXk[V]. I Se comprueba que la acci´ıon de GL(V) en Xk_[V_]_{es la}

acci´on natural enSk(V∗)⊗_CV.

I En particularX0[V]'V, yX1[V]'gl(V).

(47)

Simetr´ıas de∇

Simetr´ıas de

∇

I Regresamos al fibradoπ:E →M con conexi´on meromorfa ∇.

I Denotemos porXk[E]→M al fibrado cuya fibra en cada punto esXk[Ex]. Por las razones expuestas antes, es una

construcci´on tensorial isomorfa a Sk(E)⊗_M E∗.

I Las secciones de Xk[E]son campos vectoriales verticales en E cuyos coeficientes son polinomios homog´eneos de grado k en cualquier sistema de coordenadas lineales enE.

I La suma de todos estos, X[E] =L

kXk[E]es un fibrado de

´

(48)

Simetr´ıas de∇

Simetr´ıas de

∇

I Lema: SeaX~ una simetr´ıa de∇cuyo lugar polar no contiene a la secci´on cero. Entonces, los t´erminos del desarrollo de MacLaurin:

~

X=X~0+X~1+X~2+. . .

donde cadaX~k es una secci´on deXk[E], son simetr´ıas de

∇all´ı donde est´en definidas.

I Lema: Una secci´on X~ de Xk[V]es una simetr´ıa de ∇si y solo si es horizontal para la conexi´on inducida por ∇en

(49)

Simetr´ıas de∇

Simetr´ıas de

∇

I Denotemos porLie(∇) al algebra de Lie de las simetr´ıas meromorfas ∇que dependen polinomialmente de las coordenadas lineales en E.

Lie(∇) =M

k

Liek(∇),

donde cadaLiek(∇) es un espacio vectorial de dimensi´on finita de secciones de Xk_[E].

I Para cadax punto regular de∇denotemosLie(∇, x) al ´

algebra de Lie de campos vectoriales polinomiales en Ex

(50)

Simetr´ıas de∇

Simetr´ıas de

∇

I Teorema: SeaX~ una simetr´ıa meromorfa de ∇anal´ıtica en π−1_(M₋_{S). Entonces para cada punto regular}_x,

Gal(∇, x)⊆Est(X(x)).~

Es decir,Gal(∇, x)estabiliza Lie(∇, x) punto a punto, y por tanto:

(51)

Simetr´ıas de grados 0 y 1

Simetr´ıas de

∇

I El fibrado X0[E]es el propio fibrado E. Por tanto, una simetr´ıa de grado0 es simplemente una secci´on horizontal de ∇.

I Esto corresponde al principio de superposición lineal, si fijamossuna sección horizontal de∇, esta actúa

infinitesimalmente sobre las dem´as haciendo: s0 s0+εs.

I De otra manera, siui=ψi(x) es una soluci´on de un cierto

sistema lineal, entonces P

iψi(x)_∂u∂_i es una simetr´ıa del

(52)

Simetr´ıas de

∇

I El fibrado X1[E]es el fibradogl(E). Por tanto, una simetr´ıa de grado 1 es una secci´on de endomorfismos de la fibra.

I En un sistema de coordenadas lineales, esto es una funci´on L con valores matriciales que verifica:

dL= [L,Γ]

(53)

Simetr´ıas de

∇

I SiL∈Lie1(∇), el grupo estabilizador de L(x) depende de la forma can´onica de Jordan.

I Como es de esperar, la ecuaci´on anterior es isoespectral y por tanto la forma can´onica de Jordan de no depende del punto regular x. Entonces:

1. SiL(x)tiene al menos dos valores propios distintos,

decimos que es descomponedora.

2. SiL(x)tiene todos los valores propios diferentes decimos

que es completamente descomponedora.

3. Si el polinomio caracter´ıstico y el anulador deL(x)

(54)

Simetr´ıas de

∇

I Teorema: Son equivalentes:

1. Hay una simetr´ıa descomponedoraL∈Lie1(∇)conk

valores propios de multiplicidadesr1, . . . , rk.

2. El grupo de Galois de∇es conjugado a un grupo de

matrices triangulares por bloques de tama˜nor1, . . . , rk.

I Corolario: Si hay una simetr´ıa completamente

decomponedora el grupo de Galois es abeliano y reductivo.

(55)

Appendix

Lecturas recomendadas

J.J. Morales-Ruiz.

Differential Galois Theory and Non-integrability of Hamiltonian Systems.

Modern Bikh¨auser Classics, 1999.

C. Athorne

Symmetries of linear, ordinary differential equations.

Journal of Physics A30 (1997) 4639-4649.

D. Bl´azquez-Sanz, J.J. Morales-Ruiz, J.-A. Weil

Differential Galois Theory and Lie Symmetries.