Tema_7_Ecuaciones e inecuaciones

Parte I

ECUACIONES

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que involucra variables.

Ejemplos

Ecuaciones en una variable Ecuaciones en varias variables

3x ₋2=7 3x ₋2y =1₋4x

1₋lnx =0 x2+y2=25

Ecuaciones lineales

Solución de una ecuación:

Es el conjunto de valores de la variable (o variables) que hacen cierta la igualdad.

Ejemplos

(A) 3 es solución de 3x₋2=7,pues es el único valor real que hace verdadera la igualdad. El conjunto solución es {3_}.

(B) Dada la ecuación x2₋5x +6=0.La transformamos en (x−2)(x −3) =0 y observamos que el conjunto solución es_{2,3_}.

Ecuaciones equivalentes

Dos ecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

Ecuaciones lineales

Son de la forma ax +b=c con a,b y c números reales. Claramente se tiene la siguiente cadena de ecuaciones equivalentes:

ax +b=c ax =c₋b x = c−b

a y el conjunto solución es _c

−b a

Ecuaciones lineales

Ejercicio

Resolver las siguientes ecuaciones 3x ₋2(2x₋5) =2(x ₋3)₋8

x+1 3 −

x 4 =

1 2

3x ₋4=5+3(x₋3) 2x ₋3₋x =x+5

5t−22 t2_−6t+9−

11 t2_−3t −

Ecuaciones lineales

Ejercicio

Ecuaciones lineales

Solución

Sea n el primer entero par, entonces los otros pares siguientes son n+2, n+4 y n+6.

De acuerdo con las condiciones del problema, tenemos n+ (n+2) + (n+4) = (n+6) +8, luego,

Ecuaciones lineales

Ejercicio

Ecuaciones lineales

Ejercicio

Un rectángulo cuyo largo es de 24 cm tiene la misma superficie que un cuadrado de 12 cm de lado. ¿Cuáles son las

Ecuaciones lineales

Ejercicio

Ecuaciones lineales

Ejercicio

Ecuaciones lineales

Solución Sea

x la velocidad de la corriente,

Ecuaciones lineales

Tenemos además que

Tiempo contra la corriente= (1,5)(Tiempo con la corriente a favor) Distancia contra la corriente

Velocidad contra la corriente = (1,5)

Distancia a favor de la corriente Velocidad a favor de la corriente 360

15₋x = (1,5) 360 15+x x =3

Ecuaciones lineales

Ejercicio

Parte II

Ecuación de segundo grado

Ejercicio

Ecuación de segundo grado

Ecuación de segundo grado

ax2+bx+c=0 a

x2+b

ax

=−c a

x2+b

ax +

b2

4a2

=−c+ b 2

4a

a

x + b 2a

2

= −4ac+b 2

4a

x + b 2a

2 = b

Ecuación de segundo grado

x + b 2a =±

r

b2_−4ac 4a2 x =₋ b

2a ± √

b2_−4ac 2a x = −b±

√

Ecuación de segundo grado

La expresión b2₋4ac se denomina discriminante de la ecuación cuadrática. El signo de dicho número nos

proporciona información sobre el número de soluciones así:

Discriminante Soluciones

Ecuación de segundo grado

Ejercicio

Ecuación de segundo grado

Ejercicio

Resolver 2x2₋3x =0

Ecuación de segundo grado

Ejercicio

Resolver 3x2+27=0

Ecuación de segundo grado

Ejercicio

Ecuación de segundo grado

Ejercicio Resolver

(a) √x₋1=2x₋3 (b) x +√x₋4=4 (c) x10+6x5₋16=0 (d) √x+13₋√7₋x =2 (e) _x+x_2−x+4₁ =− 2

x+2 (f) _2xx₋₄₋2₃ = 7_3x−₋2x₆ (g) 1_3−2ss−₊2₄ = s+2

Ecuación de segundo grado

Ejercicio

Ecuación de segundo grado

Ejercicio

Ecuación de segundo grado

Ejercicio

Al mismo tiempo, dos automóviles abandonan una

Parte III

Desigualdades lineales

Una inecuación es una desigualdad que involucra variables. El conjunto solución de una inecuación es el conjunto de valores para la variable (o variables) que hacen verdadera la desigualdad.

Desigualdades lineales

Ejemplos

Desigualdades cuadráticas

En forma análoga a las ecuaciones definimos las inecuaciones o desigualdades lineales y cuadráticas.

Ejemplos: 5x ₋18_≤0

1_≤3x ₋7_≤x +2 x2_−5x+6≥0

También pueden involucrar expresiones racionales como: x2₋5x +6

Desigualdades

Propiedades de las desigualdades

Sean a,b,c números reales

Si a<b y b<c, entonces a<c.

Si a<b, entonces a+c <b+c.

Si a<b y c >0, entonces ac <bc.

Si a<b y c <0, entonces ac >bc.

Si 0<a<b, entonces 1_a > 1_b.

Propiedades de las desigualdades

Sean a,b,c números reales

Si a<b y b<c, entonces a<c.

Si a<b, entonces a+c <b+c.

Si a<b y c >0, entonces ac <bc.

Si a<b y c <0, entonces ac >bc.

Si 0<a<b, entonces 1_a > 1_b.

Propiedades de las desigualdades

Sean a,b,c números reales

Si a<b y b<c, entonces a<c. Si a<b, entonces a+c <b+c.

Si a<b y c >0, entonces ac <bc.

Si a<b y c <0, entonces ac >bc.

Si 0<a<b, entonces 1_a > 1_b.

Propiedades de las desigualdades

Sean a,b,c números reales

Si a<b y b<c, entonces a<c. Si a<b, entonces a+c <b+c. Si a<b y c >0, entonces ac <bc.

Si a<b y c <0, entonces ac >bc.

Si 0<a<b, entonces 1_a > 1_b.

Propiedades de las desigualdades

Sean a,b,c números reales

Si a<b y b<c, entonces a<c. Si a<b, entonces a+c <b+c. Si a<b y c >0, entonces ac <bc. Si a<b y c <0, entonces ac >bc. Si 0<a<b, entonces 1_a > 1_b.

Propiedades de las desigualdades

Sean a,b,c números reales

Si a<b y b<c, entonces a<c. Si a<b, entonces a+c <b+c. Si a<b y c >0, entonces ac <bc. Si a<b y c <0, entonces ac >bc. Si 0<a<b, entonces 1_a > 1_b.

Si 0<a<b, entonces 0<a2_<b2_.

Propiedades de las desigualdades

Sean a,b,c números reales

Si a<b y b<c, entonces a<c. Si a<b, entonces a+c <b+c. Si a<b y c >0, entonces ac <bc. Si a<b y c <0, entonces ac >bc. Si 0<a<b, entonces 1_a > 1_b. Si 0<a<b, entonces 0<a2_<b2_.

Solución de una desigualdad lineal

Para resolver 2x +3<6₋7x procedemos como en una ecuación, teniendo en cuenta las propiedades anteriores.

2x +3<6₋7x 2x +3+7x <6₋7x +7x

9x +3<6 9x +3₋3<6₋3

9x <3 1

99x < 1 93

x < 1

Solución de una desigualdad lineal

Para resolver 2x +3<6₋7x procedemos como en una ecuación, teniendo en cuenta las propiedades anteriores.

2x +3<6₋7x 2x +3+7x <6₋7x +7x

9x +3<6 9x +3₋3<6₋3

9x <3 1

99x < 1 93

x < 1

Solución de una desigualdad lineal

Para resolver 2x +3<6₋7x procedemos como en una ecuación, teniendo en cuenta las propiedades anteriores.

2x +3<6₋7x 2x +3+7x <6₋7x +7x

9x +3<6 9x +3₋3<6₋3

9x <3 1

99x < 1 93

x < 1

Solución de una desigualdad lineal

Para resolver 2x +3<6₋7x procedemos como en una ecuación, teniendo en cuenta las propiedades anteriores.

2x +3<6₋7x 2x +3+7x <6₋7x +7x

9x +3<6 9x +3₋3<6₋3

9x <3 1

99x < 1 93

x < 1

Solución de una desigualdad lineal

Para resolver 2x +3<6₋7x procedemos como en una ecuación, teniendo en cuenta las propiedades anteriores.

2x +3<6₋7x 2x +3+7x <6₋7x +7x

9x +3<6 9x +3₋3<6₋3

9x <3 1

99x < 1 93

x < 1

Solución de una desigualdad lineal

Para resolver 2x +3<6₋7x procedemos como en una ecuación, teniendo en cuenta las propiedades anteriores.

2x +3<6₋7x 2x +3+7x <6₋7x +7x

9x +3<6 9x +3₋3<6₋3

9x <3 1

99x < 1 93

x < 1

Solución de una desigualdad lineal

Para resolver 2x +3<6₋7x procedemos como en una ecuación, teniendo en cuenta las propiedades anteriores.

2x +3<6₋7x 2x +3+7x <6₋7x +7x

9x +3<6 9x +3₋3<6₋3

9x <3 1

99x < 1 93 x < 1

Solución de una desigualdad lineal

El conjunto de todos los x < 1

3 puede escribirse como un intervalo, así que la solución de esta desigualdad es

Solución :

−∞,1

Solución de una desigualdad lineal

El conjunto de todos los x < 1

3 puede escribirse como un intervalo, así que la solución de esta desigualdad es

Solución :

−∞,1 3

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 4₋2x _≥12+3x .

4₋2x _≥12+3x

−2x₋3x _≥12₋4

−5x _≥8

−1₅(₋5x)_{≤ −}1 5(8)

x _{≤ −}8

5

Solución:

−∞,−8₅

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 4₋2x _≥12+3x .

4₋2x _≥12+3x

−2x₋3x _≥12₋4

−5x _≥8

−1₅(₋5x)_{≤ −}1 5(8)

x _{≤ −}8

5

Solución:

−∞,−8₅

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 4₋2x _≥12+3x .

4₋2x _≥12+3x −2x₋3x _≥12₋4

−5x _≥8

−1₅(₋5x)_{≤ −}1 5(8)

x _{≤ −}8

5

Solución:

−∞,−8₅

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 4₋2x _≥12+3x .

4₋2x _≥12+3x −2x₋3x _≥12₋4

−5x _≥8

−1₅(₋5x)_{≤ −}1 5(8)

x _{≤ −}8

5

Solución:

−∞,−8₅

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 4₋2x _≥12+3x .

4₋2x _≥12+3x −2x₋3x _≥12₋4

−5x _≥8 −1₅(₋5x)_{≤ −}1

5(8)

x _{≤ −}8

5

Solución:

−∞,−8₅

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 4₋2x _≥12+3x .

4₋2x _≥12+3x −2x₋3x _≥12₋4

−5x _≥8 −1₅(₋5x)_{≤ −}1

5(8) x _{≤ −}8

5

Solución:

−∞,−8₅

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 4₋2x _≥12+3x .

4₋2x _≥12+3x −2x₋3x _≥12₋4

−5x _≥8 −1₅(₋5x)_{≤ −}1

5(8) x _{≤ −}8

5

Solución:

−∞,−8₅

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 14₋7x _≤8+10x .

14₋7x _≤8+10x

−7x₋10x _≤8₋14

−17x _{≤ −}6

− 1

17(−17x)≥ − 1 17(−6)

x _≥ 6

17

Solución:

6 17,∞

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 14₋7x _≤8+10x .

14₋7x _≤8+10x

−7x₋10x _≤8₋14

−17x _{≤ −}6

− 1

17(−17x)≥ − 1 17(−6)

x _≥ 6

17

Solución:

6 17,∞

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 14₋7x _≤8+10x .

14₋7x _≤8+10x −7x₋10x _≤8₋14

−17x _{≤ −}6

− 1

17(−17x)≥ − 1 17(−6)

x _≥ 6

17

Solución:

6 17,∞

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 14₋7x _≤8+10x .

14₋7x _≤8+10x −7x₋10x _≤8₋14

−17x _{≤ −}6

− 1

17(−17x)≥ − 1 17(−6)

x _≥ 6

17

Solución:

6 17,∞

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 14₋7x _≤8+10x .

14₋7x _≤8+10x −7x₋10x _≤8₋14

−17x _{≤ −}6 − 1

17(−17x)≥ − 1 17(−6)

x _≥ 6

17

Solución:

6 17,∞

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 14₋7x _≤8+10x .

14₋7x _≤8+10x −7x₋10x _≤8₋14

−17x _{≤ −}6 − 1

17(−17x)≥ − 1 17(−6) x _≥ 6

17

Solución:

6 17,∞

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 14₋7x _≤8+10x .

14₋7x _≤8+10x −7x₋10x _≤8₋14

−17x _{≤ −}6 − 1

17(−17x)≥ − 1 17(−6) x _≥ 6

17

Solución:

6 17,∞

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 2<15₋8x _≤24.

2<15₋8x _≤24 2₋15<15₋8x₋15_≤24₋15

−13<−8x _≤9

−1₈(₋13)>₋1

8(−8x)≥ − 1 8(9) 13

8 >x ≥ − 9 8

Solución:

−9₈,13

8

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 2<15₋8x _≤24.

2<15₋8x _≤24 2₋15<15₋8x₋15_≤24₋15

−13<−8x _≤9

−1₈(₋13)>₋1

8(−8x)≥ − 1 8(9) 13

8 >x ≥ − 9 8

Solución:

−9₈,13

8

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 2<15₋8x _≤24.

2<15₋8x _≤24 2₋15<15₋8x₋15_≤24₋15

−13<−8x _≤9

−1₈(₋13)>₋1

8(−8x)≥ − 1 8(9) 13

8 >x ≥ − 9 8

Solución:

−9₈,13

8

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 2<15₋8x _≤24.

2<15₋8x _≤24 2₋15<15₋8x₋15_≤24₋15

−13<−8x _≤9

−1₈(₋13)>₋1

8(−8x)≥ − 1 8(9) 13

8 >x ≥ − 9 8

Solución:

−9₈,13

8

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 2<15₋8x _≤24.

2<15₋8x _≤24 2₋15<15₋8x₋15_≤24₋15

−13<−8x _≤9 −1₈(₋13)>₋1

8(−8x)≥ − 1 8(9) 13

8 >x ≥ − 9 8

Solución:

−9₈,13

8

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 2<15₋8x _≤24.

2<15₋8x _≤24 2₋15<15₋8x₋15_≤24₋15

−13<−8x _≤9 −1₈(₋13)>₋1

8(−8x)≥ − 1 8(9) 13

8 >x ≥ − 9 8

Solución:

−9₈,13

8

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 2<15₋8x _≤24.

2<15₋8x _≤24 2₋15<15₋8x₋15_≤24₋15

−13<−8x _≤9 −1₈(₋13)>₋1

8(−8x)≥ − 1 8(9) 13

8 >x ≥ − 9 8

Solución:

−9₈,13 8

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 48>12x+30_≥42.

48>12x+30_≥42 48₋30>12x_≥42₋30

18>12x_≥12 1

12(18)> 1

12(12x)≥ 1 12(12) 3

2 >x ≥1

Solución:

1,3

2

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 48>12x+30_≥42.

48>12x+30_≥42 48₋30>12x_≥42₋30

18>12x_≥12 1

12(18)> 1

12(12x)≥ 1 12(12) 3

2 >x ≥1

Solución:

1,3

2

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 48>12x+30_≥42.

48>12x+30_≥42 48₋30>12x_≥42₋30

18>12x_≥12 1

12(18)> 1

12(12x)≥ 1 12(12) 3

2 >x ≥1

Solución:

1,3

2

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 48>12x+30_≥42.

48>12x+30_≥42 48₋30>12x_≥42₋30

18>12x_≥12 1

12(18)> 1

12(12x)≥ 1 12(12) 3

2 >x ≥1

Solución:

1,3

2

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 48>12x+30_≥42.

48>12x+30_≥42 48₋30>12x_≥42₋30

18>12x_≥12 1

12(18)> 1

12(12x)≥ 1 12(12) 3

2 >x ≥1

Solución:

1,3

2

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 48>12x+30_≥42.

48>12x+30_≥42 48₋30>12x_≥42₋30

18>12x_≥12 1

12(18)> 1

12(12x)≥ 1 12(12) 3

2 >x ≥1

Solución:

1,3

2

Solución de una desigualdad lineal

Resolver 48>12x+30_≥42.

48>12x+30_≥42 48₋30>12x_≥42₋30

18>12x_≥12 1

12(18)> 1

12(12x)≥ 1 12(12) 3

2 >x ≥1

Solución:

1,3 2

Desigualdades lineales

Ejercicio

Encontrar el conjunto solución de las siguientes desigualdades.

1 12−3x ≤6+3x 2 ₁₅−_{6x >45}−_9x 3 −_8x +₆<−₄+_24x 4 3x−5

Solución de una desigualdad cuadrática.

Resolver x

+

4x

+

3

≥

0.

Resolver x2_{+4x +3≥0.}

x2+4x +3_≥0 (x +3)(x+1)≥0

Los factores x +3 y x+1 se anulan en los puntos₋3 y₋1 respectivamente, así que dividimos la recta real como sigue

Solución de una desigualdad cuadrática.

Resolver x

+

4x

+

3

≥

0.

Resolver x2_{+4x +3≥0.}

x2+4x +3_≥0 (x+3)(x+1)≥0

Los factores x +3 y x+1 se anulan en los puntos₋3 y₋1 respectivamente, así que dividimos la recta real como sigue

Solución de una desigualdad cuadrática.

Resolver x

+

4x

+

3

≥

0.

Resolver x2_{+4x +3≥0.}

x2+4x +3_≥0 (x +3)(x+1)≥0

Los factores x +3 y x+1 se anulan en los puntos₋3 y₋1 respectivamente, así que dividimos la recta real como sigue

Solución de una desigualdad cuadrática.

Resolver x

+

4x

+

3

≥

0.

Resolver x2_{+4x +3≥0.}

x2+4x +3_≥0 (x +3)(x+1)≥0

Los factores x +3 y x+1 se anulan en los puntos₋3 y₋1 respectivamente, así que dividimos la recta real como sigue

Solución de una desigualdad cuadrática.

Resolver x

+

4x

+

3

≥

0.

Intervalo (_−∞,₋3) (₋3,₋1) (₋1,_∞) Signo de(x+3) ₋ + + Signo de(x+1) _{− −} + Signo resultante + ₋ +

Solución de una desigualdad cuadrática.

Resolver x

+

4x

+

3

≥

0.

Intervalo (_−∞,₋3) (₋3,₋1) (₋1,_∞)

Signo de(x+3) ₋ + +

Signo de(x+1) _{− −} + Signo resultante + ₋ +

Solución de una desigualdad cuadrática.

Resolver x

+

4x

+

3

≥

0.

Intervalo (_−∞,₋3) (₋3,₋1) (₋1,_∞)

Signo de(x+3) ₋ + +

Signo de(x+1) _{− −} +

Signo resultante + ₋ +

Solución de una desigualdad cuadrática.

Resolver x

+

4x

+

3

≥

0.

Intervalo (_−∞,₋3) (₋3,₋1) (₋1,_∞)

Signo de(x+3) ₋ + +

Signo de(x+1) _{− −} +

Signo resultante + ₋ +

Solución de una desigualdad cuadrática.

Resolver x

+

4x

+

3

≥

0.

Intervalo (_−∞,₋3) (₋3,₋1) (₋1,_∞)

Signo de(x+3) ₋ + +

Signo de(x+1) _{− −} +

Signo resultante + ₋ +

Solución de una desigualdad cuadrática.

Resolver 2x

₋

2x

₋

12

<

0.

Resolver 2x2₋2x ₋12<0.

2x2₋2x₋12<0 2(x+2)(x ₋3)<0

Los factores x +2 y x₋3 se anulan en los puntos₋2 y 3 respectivamente, así que dividimos la recta real así:

Solución de una desigualdad cuadrática.

Resolver 2x

₋

2x

₋

12

<

0.

Resolver 2x2₋2x ₋12<0.

2x2₋2x₋12<0 2(x+2)(x ₋3)<0

Los factores x +2 y x₋3 se anulan en los puntos₋2 y 3 respectivamente, así que dividimos la recta real así:

Solución de una desigualdad cuadrática.

Resolver 2x

₋

2x

₋

12

<

0.

Resolver 2x2₋2x ₋12<0.

2x2₋2x₋12<0 2(x+2)(x −3)<0

Los factores x +2 y x₋3 se anulan en los puntos₋2 y 3 respectivamente, así que dividimos la recta real así:

Solución de una desigualdad cuadrática.

Resolver 2x

₋

2x

₋

12

<

0.

Intervalo (_−∞,₋2) (₋2,3) (3,_∞) Signo de(x+2) ₋ + + Signo de(x₋3) _{− −} + Signo resultante + ₋ +

Solución de una desigualdad cuadrática.

Resolver 2x

₋

2x

₋

12

<

0.

Intervalo (_−∞,₋2) (₋2,3) (3,_∞)

Signo de(x+2) ₋ + +

Signo de(x₋3) _{− −} + Signo resultante + ₋ +

Solución de una desigualdad cuadrática.

Resolver 2x

₋

2x

₋

12

<

0.

Intervalo (_−∞,₋2) (₋2,3) (3,_∞)

Signo de(x+2) ₋ + +

Signo de(x₋3) _{− −} +

Signo resultante + ₋ +

Solución de una desigualdad cuadrática.

Resolver 2x

₋

2x

₋

12

<

0.

Intervalo (_−∞,₋2) (₋2,3) (3,_∞)

Signo de(x+2) ₋ + +

Signo de(x₋3) _{− −} +

Signo resultante + ₋ +

Solución de una desigualdad cuadrática.

Resolver 2x

₋

2x

₋

12

<

0.

Intervalo (_−∞,₋2) (₋2,3) (3,_∞)

Signo de(x+2) ₋ + +

Signo de(x₋3) _{− −} +

Signo resultante + ₋ +

Resolver

−1)

≥

0.

Resolver (x+₍2_x)(₋4₁−₎x) _≥0.

Los factores x +2, 4₋x y x₋1 se anulan en los puntos₋2,4 y 1 respectivamente, así que dividimos la recta real así:

Resolver

−1)

≥

0.

Resolver (x+₍2_x)(₋4₁−₎x) _≥0.

Los factores x +2, 4₋x y x₋1 se anulan en los puntos₋2,4 y 1 respectivamente, así que dividimos la recta real así:

Resolver

−1)

≥

0.

Intervalo (_−∞,₋2) (₋2,1) (1,4) (4,_∞) Signo de(x +2) ₋ + + + Signo de(4₋x) + + + ₋ Signo de(x ₋1) _{− −} + + Signo resultante + ₋ + ₋

Solución:(_−∞,₋2]_∪(1,4].

Resolver

−1)

≥

0.

Intervalo (_−∞,₋2) (₋2,1) (1,4) (4,_∞)

Signo de(x +2) ₋ + + +

Signo de(4₋x) + + + ₋ Signo de(x ₋1) _{− −} + + Signo resultante + ₋ + ₋

Solución:(_−∞,₋2]_∪(1,4].

Resolver

−1)

≥

0.

Intervalo (_−∞,₋2) (₋2,1) (1,4) (4,_∞)

Signo de(x +2) ₋ + + +

Signo de(4₋x) + + + ₋

Signo de(x ₋1) _{− −} + + Signo resultante + ₋ + ₋

Solución:(_−∞,₋2]_∪(1,4].

Resolver

−1)

≥

0.

Intervalo (_−∞,₋2) (₋2,1) (1,4) (4,_∞)

Signo de(x +2) ₋ + + +

Signo de(4₋x) + + + ₋

Signo de(x ₋1) _{− −} + +

Signo resultante + ₋ + ₋

Solución:(_−∞,₋2]_∪(1,4].

Resolver

−1)

≥

0.

Intervalo (_−∞,₋2) (₋2,1) (1,4) (4,_∞)

Signo de(x +2) ₋ + + +

Signo de(4₋x) + + + ₋

Signo de(x ₋1) _{− −} + +

Signo resultante + ₋ + ₋

Solución:(_−∞,₋2]_∪(1,4].

Resolver

−1)

≥

0.

Intervalo (_−∞,₋2) (₋2,1) (1,4) (4,_∞)

Signo de(x +2) ₋ + + +

Signo de(4₋x) + + + ₋

Signo de(x ₋1) _{− −} + +

Signo resultante + ₋ + ₋

Solución:(_−∞,₋2]_∪(1,4].

Resolver

−1)

≥

0.

Intervalo (_−∞,₋2) (₋2,1) (1,4) (4,_∞)

Signo de(x +2) ₋ + + +

Signo de(4₋x) + + + ₋

Signo de(x ₋1) _{− −} + +

Signo resultante + ₋ + ₋

Solución:(_−∞,₋2]_∪(1,4].

Resolver

≤

0.

Resolver 4(x_x−2₍2_x)(₊3₁−₎x) ≤0.Los factores x −2, 3−x, x2y x+1 se anulan en los puntos 2, 3, 0 y₋1 respectivamente.

2 3 0

Resolver

≤

0.

Resolver 4(x_x−2₍2_x)(₊3₁−₎x) ≤0. Los factores x−2, 3−x, x2y x+1 se anulan en los puntos 2, 3, 0 y₋1 respectivamente.

2 3

Resolver

≤

0.

Intervalo (_−∞,₋1) (₋1,0) (0,2) (2,3) (3,_∞) Signo de(x ₋2) _{− − −} + + Signo de(3₋x) + + + + −

Signo de x2 _{+ + + + +}

Signo de(x +1) ₋ + + + + Signo resultante + − − + −

Solución:(₋1,0)_∪(0,2]_∪[3,_∞).

Resolver

≤

0.

Intervalo (_−∞,₋1) (₋1,0) (0,2) (2,3) (3,_∞)

Signo de(x ₋2) _{− − −} + +

Signo de(3₋x) + + + + −

Signo de x2 _{+ + + + +}

Signo de(x +1) ₋ + + + + Signo resultante + − − + −

Solución:(₋1,0)_∪(0,2]_∪[3,_∞).

Resolver

≤

0.

Intervalo (_−∞,₋1) (₋1,0) (0,2) (2,3) (3,_∞)

Signo de(x ₋2) _{− − −} + +

Signo de(3−x) + + + + −

Signo de x2 _{+ + + + +}

Signo de(x +1) ₋ + + + + Signo resultante + − − + −

Solución:(₋1,0)_∪(0,2]_∪[3,_∞).

Resolver

≤

0.

Intervalo (_−∞,₋1) (₋1,0) (0,2) (2,3) (3,_∞)

Signo de(x ₋2) _{− − −} + +

Signo de(3−x) + + + + −

Signo de x2 _{+ + + + +}

Signo de(x +1) ₋ + + + + Signo resultante + − − + −

Solución:(₋1,0)_∪(0,2]_∪[3,_∞).

Resolver

≤

0.

Intervalo (_−∞,₋1) (₋1,0) (0,2) (2,3) (3,_∞)

Signo de(x ₋2) _{− − −} + +

Signo de(3−x) + + + + −

Signo de x2 _{+ + + + +}

Signo de(x +1) ₋ + + + +

Signo resultante + − − + −

Solución:(₋1,0)_∪(0,2]_∪[3,_∞).

Resolver

≤

0.

Intervalo (_−∞,₋1) (₋1,0) (0,2) (2,3) (3,_∞)

Signo de(x ₋2) _{− − −} + +

Signo de(3−x) + + + + −

Signo de x2 _{+ + + + +}

Signo de(x +1) ₋ + + + +

Signo resultante + − − + −

Solución:(₋1,0)_∪(0,2]_∪[3,_∞).

Resolver

≤

0.

Intervalo (_−∞,₋1) (₋1,0) (0,2) (2,3) (3,_∞)

Signo de(x ₋2) _{− − −} + +

Signo de(3−x) + + + + −

Signo de x2 _{+ + + + +}

Signo de(x +1) ₋ + + + +

Signo resultante + − − + −

Resolver

≤

0.

Intervalo (_−∞,₋1) (₋1,0) (0,2) (2,3) (3,_∞)

Signo de(x ₋2) _{− − −} + +

Signo de(3−x) + + + + −

Signo de x2 _{+ + + + +}

Signo de(x +1) ₋ + + + +

Signo resultante + − − + −

Ejercicios

Encontrar todas las soluciones de las siguientes desigualdades Ejercicio

1 (2x+1)(4−x)

x2_+2x ≥0

2 (x+3)

2_(x−3) x2_−7x+12 ≤0

3 (x

2_{−x)(3x−1)} x2_−3x−10 ≥0

Parte IV

Valor Absoluto

Recordemos que el valor absoluto de un número real corresponde a la distancia que hay entre él y el origen. Definición

Sea x un número real,

|x_|= (

Valor Absoluto

|x_{| ≤}a equivale a₋a_≤x _≤a, si a_≥0

a 0

−a

|x_{| ≥}a equivale a x _≥a o x _{≤ −}a, si a_≥0

a

0

Valor Absoluto

|x_{| ≤}a equivale a₋a_≤x _≤a, si a_≥0

a 0

−a

|x_{| ≥}a equivale a x _≥a o x _{≤ −}a, si a_≥0

a 0

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|2x+1_{| ≤}4.

|2x +1_{| ≤}4

−4_≤2x+1_≤4

−4₋1_≤2x _≤4₋1

−5_≤2x _≤3

−5₂ ≤x _≤ 3

2

Solución:

−5₂,3

2

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|2x+1_{| ≤}4.

|2x +1_{| ≤}4 −4_≤2x+1_≤4

−4₋1_≤2x _≤4₋1

−5_≤2x _≤3

−5₂ ≤x _≤ 3

2

Solución:

−5₂,3

2

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|2x+1_{| ≤}4.

|2x +1_{| ≤}4 −4_≤2x+1_≤4 −4₋1_≤2x _≤4₋1

−5_≤2x _≤3

−5₂ ≤x _≤ 3

2

Solución:

−5₂,3

2

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|2x+1_{| ≤}4.

|2x +1_{| ≤}4 −4_≤2x+1_≤4 −4₋1_≤2x _≤4₋1

−5_≤2x _≤3

−5₂ ≤x _≤ 3

2

Solución:

−5₂,3

2

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|2x+1_{| ≤}4.

|2x +1_{| ≤}4 −4_≤2x+1_≤4 −4₋1_≤2x _≤4₋1

−5_≤2x _≤3 −5₂ ≤x _≤ 3 2

Solución:

−5₂,3

2

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|2x+1_{| ≤}4.

|2x +1_{| ≤}4 −4_≤2x+1_≤4 −4₋1_≤2x _≤4₋1

−5_≤2x _≤3 −5₂ ≤x _≤ 3 2

Solución:

−5₂,3 2

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|8₋3x_{| ≤}5.

|8₋3x_{| ≤}5

−5_≤8₋3x _≤5

−5₋8_{≤ −}3x _≤5₋8

−13_{≤ −}3x _{≤ −}3

−1₃(₋13)_≥x _{≥ −}1

3(−3) 13

3 ≥x ≥1

Solución:

1,13

3

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|8₋3x_{| ≤}5.

|8₋3x_{| ≤}5 −5_≤8₋3x _≤5

−5₋8_{≤ −}3x _≤5₋8

−13_{≤ −}3x _{≤ −}3

−1₃(₋13)_≥x _{≥ −}1

3(−3) 13

3 ≥x ≥1

Solución:

1,13

3

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|8₋3x_{| ≤}5.

|8₋3x_{| ≤}5 −5_≤8₋3x _≤5 −5₋8_{≤ −}3x _≤5₋8

−13_{≤ −}3x _{≤ −}3

−1₃(₋13)_≥x _{≥ −}1

3(−3) 13

3 ≥x ≥1

Solución:

1,13

3

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|8₋3x_{| ≤}5.

|8₋3x_{| ≤}5 −5_≤8₋3x _≤5 −5₋8_{≤ −}3x _≤5₋8

−13_{≤ −}3x _{≤ −}3

−1₃(₋13)_≥x _{≥ −}1

3(−3) 13

3 ≥x ≥1

Solución:

1,13

3

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|8₋3x_{| ≤}5.

|8₋3x_{| ≤}5 −5_≤8₋3x _≤5 −5₋8_{≤ −}3x _≤5₋8

−13_{≤ −}3x _{≤ −}3 −1₃(₋13)_≥x _{≥ −}1

3(−3) 13

3 ≥x ≥1

Solución:

1,13

3

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|8₋3x_{| ≤}5.

|8₋3x_{| ≤}5 −5_≤8₋3x _≤5 −5₋8_{≤ −}3x _≤5₋8

−13_{≤ −}3x _{≤ −}3 −1₃(₋13)_≥x _{≥ −}1

3(−3) 13

3 ≥x ≥1

Solución:

1,13

3

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|8₋3x_{| ≤}5.

|8₋3x_{| ≤}5 −5_≤8₋3x _≤5 −5₋8_{≤ −}3x _≤5₋8

−13_{≤ −}3x _{≤ −}3 −1₃(₋13)_≥x _{≥ −}1

3(−3) 13

3 ≥x ≥1

Solución:

1,13 3

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|12+4x_{| ≥}6. Por la propiedad tenemos que, 12+4x _{≤ −}6 o 12+4x _≥6

12+4x _{≤ −}6 4x _{≤ −}6₋12 4x _{≤ −}18

x _{≤ −}9

2

12+4x _≥6 4x _≥6₋12 4x _{≥ −}6

x _{≥ −}3

2

Solución:

−∞,−9

2

∪

−3

2,∞

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|12+4x_{| ≥}6. Por la propiedad tenemos que, 12+4x _{≤ −}6 o 12+4x _≥6

12+4x _{≤ −}6 4x _{≤ −}6₋12 4x _{≤ −}18

x _{≤ −}9

2

12+4x _≥6 4x _≥6₋12 4x _{≥ −}6

x _{≥ −}3

2

Solución:

−∞,−9

2

∪

−3

2,∞

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|12+4x_{| ≥}6. Por la propiedad tenemos que, 12+4x _{≤ −}6 o 12+4x _≥6

12+4x _{≤ −}6 4x _{≤ −}6₋12 4x _{≤ −}18

x _{≤ −}9

2

12+4x _≥6 4x _≥6₋12 4x _{≥ −}6

x _{≥ −}3

2

Solución:

−∞,−9

2

∪

−3

2,∞

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|12+4x_{| ≥}6. Por la propiedad tenemos que, 12+4x _{≤ −}6 o 12+4x _≥6

12+4x _{≤ −}6 4x _{≤ −}6₋12 4x _{≤ −}18

x _{≤ −}9

2

12+4x _≥6 4x _≥6₋12 4x _{≥ −}6

x _{≥ −}3

2

Solución:

−∞,−9

2

∪

−3

2,∞

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|12+4x_{| ≥}6. Por la propiedad tenemos que, 12+4x _{≤ −}6 o 12+4x _≥6

12+4x _{≤ −}6 4x _{≤ −}6₋12 4x _{≤ −}18

x _{≤ −}9 2

12+4x _≥6 4x _≥6₋12 4x _{≥ −}6

x _{≥ −}3

2

Solución:

−∞,−9

2

∪

−3

2,∞

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|12+4x_{| ≥}6. Por la propiedad tenemos que, 12+4x _{≤ −}6 o 12+4x _≥6

12+4x _{≤ −}6 4x _{≤ −}6₋12 4x _{≤ −}18

x _{≤ −}9 2

12+4x _≥6 4x _≥6₋12 4x _{≥ −}6

x _{≥ −}3

2

Solución:

−∞,−9

2

∪

−3

2,∞

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|12+4x_{| ≥}6. Por la propiedad tenemos que, 12+4x _{≤ −}6 o 12+4x _≥6

12+4x _{≤ −}6 4x _{≤ −}6₋12 4x _{≤ −}18

x _{≤ −}9 2

12+4x _≥6 4x _≥6₋12 4x _{≥ −}6

x _{≥ −}3

2

Solución:

−∞,−9

2

∪

−3

2,∞

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|12+4x_{| ≥}6. Por la propiedad tenemos que, 12+4x _{≤ −}6 o 12+4x _≥6

12+4x _{≤ −}6 4x _{≤ −}6₋12 4x _{≤ −}18

x _{≤ −}9 2

12+4x _≥6 4x _≥6₋12 4x _{≥ −}6

x _{≥ −}3

2

Solución:

−∞,−9

2

∪

−3

2,∞

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|12+4x_{| ≥}6. Por la propiedad tenemos que, 12+4x _{≤ −}6 o 12+4x _≥6

12+4x _{≤ −}6 4x _{≤ −}6₋12 4x _{≤ −}18

x _{≤ −}9 2

12+4x _≥6 4x _≥6₋12 4x _{≥ −}6

x _{≥ −}3 2

Solución:

−∞,−9

2

∪

−3

2,∞

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|12+4x_{| ≥}6. Por la propiedad tenemos que, 12+4x _{≤ −}6 o 12+4x _≥6

12+4x _{≤ −}6 4x _{≤ −}6₋12 4x _{≤ −}18

x _{≤ −}9 2

12+4x _≥6 4x _≥6₋12 4x _{≥ −}6

x _{≥ −}3 2

Solución:

−∞,−9 2

∪

−3 2,∞

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|25₋7x_{| ≥}8. Por la propiedad tenemos que, 25₋7x _{≤ −}8 o 25₋7x _≥8

25₋7x _{≤ −}8

−7x _{≤ −}8₋25

−7x _{≤ −}33

x _≥ 33

7

25₋7x _≥8

−7x _≥8₋25

−7x _{≥ −}17

x _≤ 17

7

Solución:

−∞,17

7

∪

33

7 ,∞

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|25₋7x_{| ≥}8. Por la propiedad tenemos que, 25₋7x _{≤ −}8 o 25₋7x _≥8

25₋7x _{≤ −}8

−7x _{≤ −}8₋25

−7x _{≤ −}33

x _≥ 33

7

25₋7x _≥8

−7x _≥8₋25

−7x _{≥ −}17

x _≤ 17

7

Solución:

−∞,17

7

∪

33

7 ,∞

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|25₋7x_{| ≥}8. Por la propiedad tenemos que, 25₋7x _{≤ −}8 o 25₋7x _≥8

25₋7x _{≤ −}8 −7x _{≤ −}8₋25

−7x _{≤ −}33

x _≥ 33

7

25₋7x _≥8

−7x _≥8₋25

−7x _{≥ −}17

x _≤ 17

7

Solución:

−∞,17

7

∪

33

7 ,∞

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|25₋7x_{| ≥}8. Por la propiedad tenemos que, 25₋7x _{≤ −}8 o 25₋7x _≥8

25₋7x _{≤ −}8 −7x _{≤ −}8₋25 −7x _{≤ −}33

x _≥ 33

7

25₋7x _≥8

−7x _≥8₋25

−7x _{≥ −}17

x _≤ 17

7

Solución:

−∞,17

7

∪

33

7 ,∞

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|25₋7x_{| ≥}8. Por la propiedad tenemos que, 25₋7x _{≤ −}8 o 25₋7x _≥8

25₋7x _{≤ −}8 −7x _{≤ −}8₋25 −7x _{≤ −}33

x _≥ 33 7

25₋7x _≥8

−7x _≥8₋25

−7x _{≥ −}17

x _≤ 17

7

Solución:

−∞,17

7

∪

33

7 ,∞

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|25₋7x_{| ≥}8. Por la propiedad tenemos que, 25₋7x _{≤ −}8 o 25₋7x _≥8

25₋7x _{≤ −}8 −7x _{≤ −}8₋25 −7x _{≤ −}33

x _≥ 33 7

25₋7x _≥8

−7x _≥8₋25

−7x _{≥ −}17

x _≤ 17

7

Solución:

−∞,17

7

∪

33

7 ,∞

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|25₋7x_{| ≥}8. Por la propiedad tenemos que, 25₋7x _{≤ −}8 o 25₋7x _≥8

25₋7x _{≤ −}8 −7x _{≤ −}8₋25 −7x _{≤ −}33

x _≥ 33 7

25₋7x _≥8 −7x _≥8₋25

−7x _{≥ −}17

x _≤ 17

7

Solución:

−∞,17

7

∪

33

7 ,∞

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|25₋7x_{| ≥}8. Por la propiedad tenemos que, 25₋7x _{≤ −}8 o 25₋7x _≥8

25₋7x _{≤ −}8 −7x _{≤ −}8₋25 −7x _{≤ −}33

x _≥ 33 7

25₋7x _≥8 −7x _≥8₋25 −7x _{≥ −}17

x _≤ 17

7

Solución:

−∞,17

7

∪

33

7 ,∞

Desigualdades con valor absoluto

Resolver_|25₋7x_{| ≥}8. Por la propiedad tenemos que, 25₋7x _{≤ −}8 o 25₋7x _≥8

25₋7x _{≤ −}8 −7x _{≤ −}8₋25 −7x _{≤ −}33

x _≥ 33 7

25₋7x _≥8 −7x _≥8₋25 −7x _{≥ −}17

x _≤ 17 7

Solución:

−∞,17

7

∪

33

7 ,∞