ECO 3- 1er parcial

(1)

INSTITUTO TECNOLOGICO AUTONOMO DE MEXICO

ECONOMIA III

NOTAS DE ESTUDIO- 1er Parcial

Combinación convexa

Sea , el vector es una combinación convexa de y si existe un valor

, - tal que ( ) es una combinación estrictamente convexa de y si además

Explicación: Un punto intermedio corresponde a una combinación convexa de dos puntos extremos.

Ej.

Sea

( ) ( ) ( )

Nota:

La unión de las combinaciones convexas entre los puntos y forman una recta.

Conjunto Convexo

Un conjunto es un conjunto convexo si para cada y cada , -, si

( ) entonces

(2)

Función convexa

La función es convexa si para cada y cada , -, (

( ) ) ( ) ( ) ( ); y es estrictamente convexa si para cada y cada

, -, ( ( ) ) ( ) ( ) ( )

Explicación:

Función convexa:

 Una función es convexa si la función evaluada en el promedio de los puntos es menor o igual al promedio de la función.

 Una función es convexa en su dominio si y solo si su grafica nunca está por debajo de su linealización (recta o plano tangente).

 Una función es convexa si para cualquier par de puntos, la recta que los une NO pasa por debajo de la grafica de la función, pero toca a la función.

 Sea S un conjunto abierto y convexo, entonces Si y es convexa en S.

Función estrictamente convexa:

 Una función es convexa si la función evaluada en el promedio de los puntos es menor al promedio de la función.

 Para cualquier par de puntos, la recta que los une NO pasa por debajo de la grafica de la función, y NO toca a la función.

 Sea S un conjunto abierto y convexo, entonces

Si y es estrictamente convexa en S.

Función Cóncava

La función es cóncava si para cada y cada , - (

( ) ) ( ) ( ) ( ); y es estrictamente cóncava si para cada y cada

, -, ( ( ) ) ( ) ( ) ( )

Explicación:

Función cóncava:

 Una función es cóncava si la función evaluada en el promedio de los puntos es mayor o igual al promedio de la función.

 Una función es cóncava si y solo si su grafica nunca está por encima de su linealización.

(3)

Función estrictamente cóncava:

 Una función es cóncava si la función evaluada en el promedio de los puntos es mayor al promedio de la función.

 Para cualquier par de puntos, la recta que los une pasa por debajo de la grafica de la función, y NO toca a la función.

 Sea S un conjunto abierto y convexo, entonces

Si y es estrictamente cóncava en S.

Nota: Si no es cóncava ni convexa.

Función Cuasicóncava

La función es cuasicóncava si para cada y cada , -, (

( ) ) * ( ) ( )+; y es estrictamente cuasicóncava si para cada y cada

, -, ( ( ) ) * ( ) ( )+

Explicación:

Función cuasicóncava:

 Para cada par de puntos y cada combinación convexa de estos puntos, el valor de la función evaluada en la combinación convexa de los puntos es mayor o igual que el valor mínimo que toma la función en los dos puntos.

 Para cualquier par de puntos, la recta de pendiente nula que pasa por el mínimo valor de la función pasa por debajo de la grafica de la función, pero la toca.

 Nota: Si las derivadas de segundo orden son ambas negativas, implican cuasiconcavidad.

Función estrictamente cuasicóncava:

 Para cada par de puntos y cada combinación convexa de estos puntos, el valor de la función evaluada en la combinación convexa de los puntos es mayor que el valor mínimo que toma la función en los dos puntos.

 Para cualquier par de puntos, la recta de pendiente nula que pasa por el mínimo valor de la función pasa por debajo de la grafica de la función, y no la toca.

Concepto matemático:

El contorno ( ) es lo que denominamos conjunto de nivel o curva de nivel.

En el caso de una función de utilidad ( ) correspondiente a la canasta de dos bienes ( ) el contorno ( ) es la curva de indiferencia:

(4)

El contorno superior ( ) representa las preferencias del consumidor, dadas por las canastas que le generan una utilidad mayor o igual que

( ) *( ) | ( ) +

Entonces, se dice que una función es cuasicóncava si para todo en la imagen de el conjunto

( ) es convexo.

Teorema:

 convexa cuasiconvexa convexo.

 concava cuasiconcava convexo.

Nota:

La suma de funciones cóncavas (convexas) da una función cóncava (convexa). (No aplica lo mismo con cuasiconcavidad o cuasiconvexidad).

Función Homogénea

Se dice que una función ( ) es homogénea de grado si satisface:

( ) ( ) , .

Notas:

 Toda función homogénea es homotética. (Ojo: No al revés).

(5)

FUNCION DE UTILIDAD

La función de utilidad sirve para ordenar, en términos de bienestar de la persona, las distintas alternativas. Es decir, es una forma de ordenar las preferencias.

Transformación Monótona

Tomando el concepto de ordinal de la función de utilidad, para las mismas preferencias existen muchas funciones de utilidad que las representan.

Entonces, podemos decir que cualquier transformación creciente de una función de utilidad representa las mismas preferencias.

Nota: Toda transformación monótona es una función homotética. Pero no implica homogeneidad. Por ejemplo, no es una función homogénea, sino más bien una transformación monótona de una función homogénea ( ). Es claro que es una función homotética.

Curvas de indiferencia

Una forma de representar la función de utilidad es el mapa de curvas de indiferencia.

La curva de indiferencia de nivel son todas las canastas ( ) tal que ( )

Cuando se habla de curvas de indiferencia, se está hablando de curvas de nivel, o conjuntos de nivel.

Curvas de nivel Teniendo una función en , una curva de nivel representa una función en de la función original cuando la variable dependiente se iguala a una constante.

Ejemplo:

( )

(6)

Utilidades marginales

La utilidad marginal de un bien mide el cambio en la utilidad al aumentar el consumo de ese bien, manteniendo el otro constante.

 Utilidad marginal de x: ( ) ( )

 Utilidad marginal de y: ( ) ( )

Las utilidades marginales representan las derivadas parciales de la función de utilidad.

Derivada parcial Se deriva la función respecto a una variable, tomando a la otra variable como una constante.

Implicaciones:

Si la utilidad marginal de una variable es positiva, entonces es un bien, si es negativa, es un mal:

( )

Tasa marginal de Sustitución (TMS)

La TMS mide la disposición a intercambiar un producto por una unidad más del otro.

( ) ( )

Implicaciones:

 La TMS es el negativo de la pendiente de la curva de indiferencia.

 Entonces, la pendiente de la curva de indiferencia es:

( ) ( )

 Su signo NO implica que se tengan bienes o males, ya que se puede tener el cociente de dos males (signo negativo) que resultan una TMS con signo positivo.

(7)

PROPIEDADES DE LA FUNCION DE UTILIDAD

Monotonía

Función estrictamente monótona:

Una función de utilidad es estrictamente monótona si para cada par de canastas distintas ( ) ( ) tales que ´e tenemos que ( ) ( )

Función monótona:

Una función de utilidad es estrictamente monótona si para cada par de canastas distintas ( ) ( ) tales que ´e tenemos que ( ) ( )

Implicaciones:

Si la función de utilidad es monótona hablamos de que la comodidad es un bien.

 Estricta: Con aumentar uno de los bienes (sin disminuir el otro) la utilidad aumenta.

 No estricta: Si aumento el consumo de ambos bienes implica un aumento de la utilidad. (No al revés).

Cuasiconcavidad

Estrictamente cuasicóncava

Una función de utilidad es cuasicóncava si para cada par de canastas distintas

( ) ( ) y cada , -, entonces si

( ) ( ( ) ( )( ) ( ) ( )( )) tenemos que ( ) * ( ) ( )+

( ) ( ) si ( )= ( ) , - entonces

( ( ) ( ) ´, ( ) ( ) ´)> ( ) ( )

Cuasicóncava

Una función de utilidad es cuasicóncava si para cada par de canastas distintas

( ) ( ) y cada , -, entonces si

( ) ( ( ) ( )( ) ( ) ( )( )) tenemos que ( ) * ( ) ( )+

( ) ( ) si ( )= ( ) , - entonces

(8)

Implicaciones:

 Por si sola sólo nos dice que si la persona está indiferente entre dos canastas, entonces cada canasta intermedia es preferida (estrict. Cuasiconc.) o indiferente a estas.

 Monotonía + Cuasiconcavidad Las curvas de indiferencia del consumidor son convexas al origen y tienen pendiente negativa.

Homoteticidad

Una función de utilidad es homotética si para cada par de canastas distintas

( ) ( ) y cada , si ( ) ( ) entonces tenemos que ( ) ( )

Implicaciones:

 Una función es homotética si es una transformación monótona de una función homogénea.

(9)

FUNCIONES DE UTILIDAD TÍPICAS

CES

Antes de presentar a otras funciones, el importante dar a conocer la función de preferencias CES, de la cual se derivan todas las demás:

( ) , ( ) -

( ) , ( ) - ( )

( ) . /

Elasticidad de sustitución: ( )

Si Cobb-Douglas

Si Sustitutos Perfectos (con a= , b=( ))

Si Complementos Perfectos.

Cobb-Douglas

( )

Sup. 1 Si ó ( ) Sup. 2 Si ( )

( )

(10)

Implicaciones:

Sup. 1 En los ejes: Si alguno de los bienes es cero, la utilidad es cero. La función no es monótona ni estrictamente cuasicóncava.

Sup. 2 Las curvas son asintóticas a los ejes. Son estrictamente monótonas, estrictamente cuasicóncavas y homotéticas.

 UmgSon positivas y son bienes.

 TMS: Es un cociente entre dos bienes, por lo tanto es positiva. (Ojo: No al revés).

 Límites: Si tengo muy poco de x, estoy dispuesto a intercambiar mucho del bien y por una unidad adicional de x, por lo tanto mi TMS tiende a infinito. Si tengo muy poco de y, no estoy dispuesto a intercambiar nada de y por una unidad adicional de x, por lo tanto la TMS tiende a cero.

Notas:

 La TMS es decreciente con las x a lo largo de cualquier curva de indiferencia, lo cual implica que las preferencias son estrictamente convexas.

 Es una función homogénea de grado , ya que

( ) ( ) ( ) _{( )}

 En general son cuasicóncavas, y solo son cóncavas las que satisfacen .

Sustitutos Perfectos

( )

( ) ( )

Implicaciones:

 Funciones de utilidad son estrictamente monótonas

 Son cuasicóncavas, pero no estrictas, ya que la utilidad de una canasta promedio de otras dos no es mayor que esas dos. (Líneas rectas).

(11)

Complementos perfectos

( ) * +

Implicaciones:

 La función no es diferenciable. (Puntos esquina).

 Las curvas son en forma de L y se tiene la misma utilidad en toda la L.

 Es cuasicóncava, pero no estricta porque la utilidad de una canasta promedio de otras dos no es mayor que esas dos.

 Es monótona no estricta, ya que si aumentas el consumo de un bien, no implica que aumenta la utilidad.

 Es homotética.

Cuasilineal

( ) ( )

Estrictamente cóncava creciente

( )

( ) ( )

( )

Implicaciones:

 Puede ser asintótica a los ejes o no.

 No es homotética Si se duplica el consumo de x e Y, la TMS se duplica.

 La TMS nunca depende de las cantidades consumidas del bien lineal (su utilidad marginal es una constante).

(12)

RESTRICCIONES AL CONSUMO

Restricción Presupuestal Marshaliana

Pendiente:

La ecuación es una recta. La abscisa al origen es , que representa la cantidad de x si

el consumidor destinara todo su ingreso a la compra del bien x. De forma análoga se interpreta la

ordenada al origen .

Implicaciones:

 El ingreso es exógeno y mayor que cero:

 Los precios son de mercados competitivos (La persona puede comprar la cantidad que quiere al precio de mercado).

 Los precios son mayores que cero:

 Gasto no puede ser mayor que el Ingreso:

 Ingreso puede ser mayor que el gasto

 Ingreso igual al gasto:

 Son los precios relativos, que representan el número de unidades de Y que el mercado entrega a cambio de una unidad de x.

Dinámicamente:

 Si aumenta , disminuye , pero no se ve afectado. Pero la pendiente cambia. (Lo mismo si sube precio de Y).

 Si aumenta el ingreso, aumenta tanto , como . La pendiente no cambia.

 Si aumentan tanto , como en la misma proporción, disminuye tanto , como la pendiente no cambia.

(13)

Restricción Presupuestal Walrasiana

̅ ̅

 En lugar de ingreso, la persona cuenta con una dotación de bienes: ( ̅ ̅)

 Los precios son de mercados competitivos (La persona puede comprar la cantidad que quiere al precio de mercado).

 Los precios son mayores que cero:

 La abscisa al origen es ̅ ̅ , que representa la cantidad de x si el consumidor destinara todo su ingreso a la compra del bien x. De forma análoga se interpreta la ordenada al origen ̅ ̅

.

 Ingreso Walrasiano ̅ ̅ = valor de mercado de la dotación.

Dinamicamente:

 Si aumenta , sube el ingreso walrasiano, pero disminuye la …. La pendiente cambia.

 Si aumenta la dotación es como si aumentara el ingreso. La pendiente es la misma.

 Inflación pura Si aumentan precios e ingreso en la misma proporción, la restricción presupuestal no cambia. (multiplicación de todo por )

Restricción Presupuestal Dotación + Ingreso

 Es cuando la persona cuenta con una dotación y un ingreso exógeno.

 Su ingreso total es ̅ ̅ .

 La abscisa al origen es ̅ ̅ , que representa la cantidad de x si el consumidor destinara todo su ingreso a la compra del bien x. De forma análoga se interpreta la ordenada al origen

̅ ̅

.

Restricción Presupuestal Precio Venta ≠ Precio Compra

La persona cuenta con una dotación y el precio de venta es distinto del precio de compra.

El precio de venta es menor que el precio de compra: ,

NOTA:

En el caso de dos mercados, dos bienes, la persona elegirá entre los dos mercados analizando:

1. Ventajas absolutas Los precios y “tarifas” que impone un mercado me permite tener proporcionalmente más de ambos bienes. (Mercados= líneas paralelas).

(14)

EL PROBLEMA DEL CONSUMIDOR

Conceptos matemáticos:

Optimización Libre

Cuando se busca maximizar una función de dos variables, se buscan los puntos óptimos donde el gradiente es igual a cero. Posteriormente se sacan derivadas de segundo orden; se construye el Hessiano, con el que se clasifican los puntos críticos (máximo, mínimo), y la función como convexa o cóncava.

1. 2. (puntos críticos).

3. (

)

4. Si y es convexa y se tiene un mínimo.

Si y es cóncava y se tiene un máximo.

Teorema sobre las condiciones suficientes de segundo orden:

a) convexa tiene un mínimo global en

b) estrictamente convexa tiene un mínimo global único en c) concava tiene un máximo global en

d) estrictamente cóncava tiene un máximo global único en .

**Concepto poco usado en el curso de Economía III.

Optimización con restricciones de igualdad

Restricción de igualdad: la recta que restringe está constituida por puntos frontera (PF).

Cuando se quiere maximizar una función que está restringida, se construye una nueva función llamada Lagrangeana o Lagrangeano, que sirve para saber los puntos óptimos donde se cumple la condición de tangencia entre la función objetivo (la que se quiere maximizar) y la función que restringe.

( ) ( )

Condición de tangencia implica que los vectores gradientes de f y g son paralelos entre sí, es decir,

(15)

( ) ( ) ( ( ) )

Condiciones de primer orden (CPO):

1. ( ) ( ) 2. ( ) ( )

3. ( )

El lagrangeano y las CPO son condición necesaria, mas no suficiente para garantizar un máximo.

Condiciones suficientes de segundo orden:

Los criterios correspondientes se basan en una análisis de la concavidad o convexidad de la función lagrangeana (¡no de la función objetivo!).

Métodos:

1. Se puede construir matriz Hessiana. (matriz de 3x3).

2. Analizar si función objetivo y función restricción son cóncavas (convexas), la lagrangeana es su suma, por lo tanto también es cóncava (convexa). Entonces f tiene un máximo (L cóncava) o un mínimo (L convexa).

Cuándo falla Lagrange:

 Cuando el conjunto de gradientes son linealmente dependientes.

 Cuando la función no es cuasicóncava.

Optimización con restricciones de desigualdad (Método Kuhn-Tucker)

 Restricción de desigualdad: el semiplano restringente está constituido por puntos frontera (PF) y puntos interiores (PI).

Es cuando se tiene:

(16)

Condiciones de Primer orden (CPO):

1. ( ) ( ) 2. ( ) ( )

3. y , es decir:

( ) , ( ( ))

Imponer en la condición de tangencia implica que, en el óptimo, los gradientes deben apuntar en el mismo sentido. (Recordar que si se multiplica un vector por un escalar ( ) menor que cero, el vector cambia de dirección).

No negatividad de las variables:

En economía, por lo general, se presentan variables que no pueden tomar valores negativos. Por lo que se restringe:

Las cuales se agregan a las CPO como ( ) ( ) ,

Entonces, en lagrangeano completo es

( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( )

Que debe satisfacer las CPO:

1. ( ) ( ) 2. ( ) ( )

3. , es decir:

( ) , ( ( )) 4. ( ) 5. ( )

Condiciones suficientes para un máximo:

(17)

En economía:

El problema del consumidor consiste en maximizar (su función de utilidad) sujeta a restricciones (restricción presupuestal). La solución de dicho problema es por definición la demanda del consumidor.

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Entonces, las CPO son

1. ( ) 2. ( )

3. ( ) 4. ( )

5. ( )

A veces es tedioso utilizar el método Kuhn-Tucker por las restricciones de desigualdad, por lo que se busca simplificar el problema:

Primera simplificación:

Ley de Walrás

Si la función de utilidad es monótona (débil o estricta) entonces en cualquier canasta óptima la restricción presupuestal se cumple con igualdad:

Pasa a ser:

CPO:

1. ( ) 2. ( ) 3.

(18)

Dada la R.P. con igualdad,

Si

Segunda simplificación:

Ignorar restricciones de no negatividad

Dada la R.P. con igualdad,

Si

Entonces, el que se pueda ignorar o no las condiciones de no negatividad, va a depender de cómo se comporten las utilidades marginales, así como la TMS cuando un bien es cero:

Analizando la umg

Se puede ignorar cuando:

 Sup.

 Si

( ) ( )

 Entonces sabemos que x>0.

No se puede ignorar cuando no dé infinito:

 Ej.

( ) ( )

 Sup.



(19)

Analizando la TMS En las CPO:

1. ( ) ( ) (A)

2. ( ) ( ) (B)

3.

4. ( ) 5. ( )

Se pueden ignorar cuando:

Sup. La canasta

 Como

 ( )_{( )} ( )

 Sabiendo que y acomodando:

 ( )

 Entonces,

 Si

( ) ( ( )_{( )}).

 Entonces sabemos que .

Sup. la canasta

 Si

( ) ( ( )

( )).

 Entonces sabemos que .

Interpretaciones

Si en el punto óptimo se tiene Consumo positivo de ambos bienes:

 Si sabemos que



 ( ) (A)

(20)

No Consumo de x, :



 ( ) ( ) ( ) (B)

 ( )

No Consumo de y, :



 ( ) ( ) ( ) (B)

 ( )

De esto se concluyen las condiciones de eficiencia en el consumo:

a) ( )

b) (0, ) ( )

c) ( ) ( )

Explicación:

a) Si ( ) entonces la valoración relativa del consumidor de una unidad adicional de x

es igual a la valoración de mercado.

b) Si ( ) entonces la valoración relativa del consumidor de una unidad adicional de x

es menor a la valoración de mercado (el mercado pide una mayor cantidad de Y por cada unidad de x, que lo que el consumidor está dispuesto a entregar).

c) Si ( ) entonces la valoración relativa del consumidor de una unidad adicional de x

es mayor a la valoración de mercado (el mercado pide una menor cantidad de Y por cada unidad de x, que lo que el consumidor está dispuesto a entregar).

Recordar que:

(21)

FUNCIÓN DE UTILIDAD INDIRECTA

La función de utilidad indirecta asigna a cada posible nivel de precios e ingreso el nivel de utilidad que obtiene una persona al escoger una canasta optima dada su restricción presupuestal.

Los maximizadores del problema, ( ) ( ) son llamados demandas marshalianas. Estos asignan, a cada nivel de precios e ingreso, el conjunto de canastas optimas para la persona.

A la función valor del problema se le llama función de utilidad indirecta y se denota:

( ) ( ( ) ( ))

Teorema de la Envolvente

En muchas aplicaciones de economía, tanto la función objetivo como el conjunto de restricciones dependen no solo de las variables independientes (x,y), sino también de una colección de parámetros o variables exógenas.

Una vez que se optimiza respecto a (x,y), el optimo obtenido depende del valor de los parámetros.

El teorema de la envolvente muestra el efecto que tiene sobre el valor óptimo de la función algún posible cambio en los parámetros.

Existen dos formas de desarrollarlo:

1. Derivar la función respecto al parámetro y después evaluar en maximizadores. 2. Evaluar maximizadores y después derivar respecto al parámetro.

Aplicaciones del Teorema de la envolvente

En la función lagrangeana, los parámetros son .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Entonces,

1. donde mide el cambio en la utilidad al aumentar el ingreso.

2. , despejando:

3. , despejando:

(22)

Si se restringe más al consumidor, disminuye su utilidad:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1. 2.

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE UTILIDAD INDIRECTA

Homogeneidad

Recordando la definición de función homogénea:

Se dice que una función ( ) es homogénea de grado si satisface:

( ) ( ) , .

La función de utilidad indirecta es homogénea de grado cero, ya que ante un cambio en precios e ingreso en la misma proporción y dirección, tanto la restricción presupuestal, como las canastas optimas no cambian, lo cual implica que la utilidad indirecta no cambia:

( )

₍ _{) (}₎

Cambios en el Ingreso

Por el Teorema de la Envolvente:

Si ( ) es monótona, entonces se puede decir que la función de utilidad indirecta es creciente en el ingreso ( ).

Si la función no es monótona, solo se puede decir que la función de utilidad indirecta es no-decreciente en ingreso.

Explicación:

(23)

Cambios en Precios

Por el Teorema de la Envolvente:

La función de utilidad indirecta es no-creciente en precios.

Dos razones por las que puede permanecer constante ante un cambio en precios:

1. Si la función de utilidad no es monótona 2. Si el consumo optimo del bien es 0 unidades.

Explicación:

 Si la función de utilidad no es monótona, la persona tal vez no querrá gastarse todo su ingreso y su canasta de consumo optimo esté en la región por debajo de la restricción presupuestal, por lo que un cambio en ésta no le afecta su consumo.

 Está claro que si aumentan el precio de un bien que la persona no consume, su utilidad permanecerá constante.

Cuasiconvexidad en precios e ingreso

Partiendo del concepto de Cuasiconvexidad, si la persona tiene dos restricciones, obtiene mayor utilidad en una de las dos que en la restricción promedio.

En otras palabras, la utilidad máxima que la persona obtiene en una de las dos restricciones es mayor o igual a la utilidad máxima que obtiene en la combinación convexa de las restricciones.

NOTA:

(24)

PROPIEDADES DE LA DEMANDA MARSHALIANA

Homogénea de grado cero

Ante un cambio en precios e ingreso en la misma proporción y dirección, tanto la restricción presupuestal, como las canastas óptimas no cambian.

Al ser homogéneas de grado cero, se cumple el teorema de Euler para funciones homogéneas:

 Para 

En términos de elasticidades:

 Lo mismo para .

Cuasiconcavidad

Cuando ( ) es estrictamente cuasiconcava, para cada nivel de precios e ingreso hay un único maximizador y la demanda Marshaliana es una función. (Si no es cuasicóncava, pueden existir múltiples canastas maximizadoras, entonces la demanda Marshaliana es una correspondencia y puede ser perfectamente elástica).

Unicidad

(25)

ESTATICA COMPARATIVA

La estática comparativa es el análisis de los efectos al problema del consumidor (demandas marshalianas), producidos por cambios (caeteris paribus) en el precio de uno de los bienes o en el ingreso.

Elasticidades

Las elasticidades miden el cambio porcentual en el consumo de un bien al aumentar uno de los precios o el ingreso en 1%.

Elasticidades Precio

( )

Elasticidades Precio Cruzadas

( )

Elasticidades Ingreso

( )

Porcentaje de gasto en x 

Porcentaje de gasto en y 

Agregaciones de Cournot (para funciones monótonas)

Cambios en :

(26)

Agregación de Engel (para funciones monótonas)

Cambios en Ingreso:

Agregaciones de Euler (para toda función)

TIPOLOGIA DE BIENES

Cambios en propio precio

Para x:

 Ordinario Si al aumentar el precio, disminuye la cantidad.

 Inelástico Si al aumentar el precio, la cantidad permanece constante:

 Giffen Si al aumentar el precio, aumenta la cantidad. Lo mismo para el caso de Y.

Cambios en precio cruzado

 Y es sustituto de x si al aumentar el precio de x, aumenta la cantidad de Y:

 Y es independiente de x si al aumentar el precio de x, la cantidad de Y no cambia:

 Y es complemento de x si al aumentar el precio de x, la cantidad de Y disminuye:

Cambios en el ingreso

Para x:

 Normal Si al aumentar el ingreso, aumenta la cantidad:

 Neutro Si al cambiar el ingreso, la cantidad permanece constante:

(27)

Implicaciones de agregaciones sobre Tipología

1. Agregaciones de Cournot

Cambios en :

 Si

 Si x es Giffen Y es complemento de x.

2. Agregación de Engel

Cambios en Ingreso:

 Si

 Si x es inferior Y tiene que ser normal.

3. Agregaciones de Euler

Necesita saber el signo de 2 elasticidades y que sean de la misma dirección para poder concluir el signo de la otra.

ANALISIS “GRAFICO”

Curva Precio Consumo CPC

Cambios en Precio

Variar un precio de (0, ) manteniendo Ingreso y el otro precio constantes. Graficar las canastas consumidas para cada restricción presupuestal.

El signo de la pendiente depende del tipo de bienes:

 X Giffen, Y complemento de x Pendiente Negativa {

-- relación negativa entre x,y

 X Giffen, Y sustituto de x  NO!

 X normal, Y complemento de x Pendiente Positiva { -- relación positiva entre x,y

(28)

Curva Ingreso Consumo CIC

Cambios en Ingreso

Variar el ingreso de (0, ) manteniendo precios constantes. Graficar el consumo de x,y para cada restricción presupuestal.

 Si x,y son normales Pendiente Positiva { -- relación positiva entre x,y.

 Si x normal, y inferior Pendiente Negativa { -- relación negativa entre x,y.

(29)

SOLUCION AL PROBLEMA DEL CONSUMIDOR PARA CASOS PARTICULARES

Cobb-Douglas

 Sabemos que en este tipo de funciones, en el óptimo la TMS es igual a los precios relativos.

 También sabemos que la restricción presupuestal se cumple con igualdad (Ley de Walras).

 Resolviendo ambas como un sistema de ecuaciones (despejando Y de la primera y sustituyendo en la segunda se obtiene:

Demandas marshalianas:

Complementos Perfectos

Sabemos que la restricción presupuestal se cumple con igualdad y que cualquier canasta optima debe satisfacer . Entonces formamos el sistema:

Resolviendo:

Demandas marshalianas:

(30)

Sustitutos Perfectos

Existen 3 posibles puntos óptimos:

1. ( )