REPORTE DE LECTURA
Elaborado por: Fecha: José Eduardo Guerrero Maldonado.
Bibliografía: (documentada en estilo APA)
Lipschutz Seymour y Lars Lipson Marc. (1960-1994).Probabilidad. Colombia. McGraw-Hill Companies. Anderson R. David, Sweeney J. Dennis y Williams A. Thomas. (2001). Estadística para Administración y Economía. International Thompson Editores.
Grado de confiabilidad (señalar el criterio): Fuente: Libros
Autor: Lipschutz Seymour y Lars Lipson Marc.
Anderson R. David, Sweeney J. Dennis y Williams A. Thomas. Editorial: McGraw-Hill Companies
International Thompson Editores.
Actualidad: Lipschutz Seymour y Lars Lipson Marc: Su más reciente publicación fue Matemáticas Discretas en 2009. Actualmente Seymour Lipschutz trabaja en la facultad de Matemáticas de la Temple University.
Marc Lars Lipson trabaja en la facultad de la University of Georgia. Anderson R. David: actualmente trabaja en University of Cincinnati. Sweeney J. Dennis: actualmente trabaja en University of Cincinnati.
Williams A. Thomas: actualmente trabaja en Rochester Institute of Technology.
Glosario:
Axioma: Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin requerir demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo es toda proposición no deducida.
Teorema: Un teorema es una fórmula bien formada que puede ser demostrada dentro de un sistema formal. Demostrar teoremas es un asunto central en la lógica y la matemática.
Adición: Operación que consiste en unir varias cantidades en una sola.
Corolario:Un corolario (del latín corollarium)1 es un término que se utiliza en matemáticas y en lógica para
designar la evidencia de un teorema o de una definición ya demostrados, sin necesidad de invertir esfuerzo adicional en su demostración. En pocas palabras, es una consecuencia tan evidente que no necesita demostración.
Intersección: En la teoría de conjuntos, la intersección es una operación binaria en el conjunto de todos los subconjuntos de un U, Conjunto universal, dado. Por la cual a cada par de conjuntos A y B de U se le asocia otro conjunto: de U.
Preguntas que suscita el texto:
¿Qué es un axioma? ¿Cuántos teoremas de espacios de probabilidad existen? ¿A qué se refiere la probabilidad condicional e independiente? ¿En qué consiste el principio Multiplicativo?
Resumen: AXIOMAS DE PROBABILIDAD.
El primer axioma establece que la probabilidad de cualquier evento es no negativa y el segundo axioma establece que el evento es cierto o seguro S tiene probabilidad 1. Las siguientes observaciones conciernen a los dos axiomas [P3] y [P3’]. El axioma [P3] formaliza el supuesto natural de que si A y B son dos eventos
mutuamente excluyentes entonces la probabilidad de que ocurra cualquiera de ellos es la suma de sus probabilidades individuales. Utilizando la inducción matemática, se puede ampliar entonces esta propiedad aditiva para dos conjuntos a cualquier número finito de eventos mutuamente excluyentes, es decir, para cualquier conjunto mutuamente excluyente A1 y A2,….An se tiene.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Se hace énfasis en que no se deduce de , aunque (*) sea cierto para todo entero positivo . Sin embargo, si el espacio muestral es finito, entonces solamente se necesita , es decir es superfluo.
TEOREMAS EN ESPACIOS DE PROBABILIDAD. Los siguientes teoremas se deducen directamente de nuestros axiomas.
Teorema 3.1: El evento imposible o, en otras palabras, el conjunto vacío Ø tiene probabilidad cero, es decir, ( ) .
El siguiente teorema, llamado la regla de complemento, formaliza nuestra intuición de que si se alcanza un objetivo, por ejemplo, de las veces, entonces se pierde el objetivo de las veces. [Recuerde que Ac representa el complemento del conjunto A.]
Teorema 3.2(regla del complemento): Para cualquier evento A, se tiene
( ) ( )
El siguiente teorema nos dice que la probabilidad de cualquier evento debe estar entre 0 y 1. Es decir, Teorema 3.3: Para cualquier evento A, se tiene ( ) .
El siguiente teorema se aplica en el caso de que un evento sea un subconjunto de otro evento. Teorema 3.4: Si , entonces ( ) ( )
El siguiente teorema se relaciona con dos eventos arbitrarios: Teorema 3.5: Para dos eventos cualquiera A y B, se tiene
( ) ( ) ( )
El siguiente teorema llamado regla de adición general, o simplemente regla de adición, es similar al principio de inclusión-exclusión para conjuntos.
Teorema 3.6 (regla de adición): Para dos eventos cualquiera AyB, ( ) ( ) ( ) ( ) Corolario 3.7: Para cualquier evento, A, B, C se tiene
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Claramente, como el principio análogo de inclusión-exclusión para conjuntos, la regla de adición puede ser ampliada para inducción a cualquier número finito de conjuntos.
PROBABILIDAD DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE. Probabilidad condicional.
Suponga que E es un evento en un espacio muestral S con ( ) La probabilidad de que ocurra un evento A una vez que E ha ocurrido o, en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, escrita ( ) se define así:
( ) ( )
Supongamos que A y B son eventos en un espacio muestral S con ( ) Por definición de probabilidad condicional y utilizando el hecho de que , se tiene
( ) ( )
( )
Al multiplicar ambos lados por ( ) se obtiene la siguiente fórmula útil: Teorema 4.2 (Teorema de multiplicación para probabilidad condicional ):
( ) ( ) ( )
El teorema de multiplicación nos da una fórmula para la probabilidad de que ocurran ambos eventos Esto puede extenderse a tres eventos o más. Para tres eventos, se obtiene:
Corolario 4.3: ( ) ( ) ( ) ( )
Es decir, la probabilidad de que ocurran A, B y C es igual al producto de lo siguiente: i. La probabilidad de que ocurra A.
ii. La probabilidad de que ocurra B, suponiendo que A ocurrió. iii. La probabilidad de que ocurra C, suponiendo que A y B ocurrieron.
EVENTOS INDEPENDIENTES
Se dice que los eventos A y B de un espacio de probabilidad S son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no influye sobre la ocurrencia del otro. Más específicamente, B es independiente de A si ( ) es lo mismo que ( ). Ahora supongamos que se sustituye ( ) por ( ) en el teorema de multiplicación que ( ) ( ) ( ). Esto da como resultado
La ecuación anterior se utiliza formalmente como nuestra definición de independencia.
Definición: Los eventos A y B son independientes si ( ) ( ) ( ); de otra forma estos son dependientes.
Se hace énfasis en que la independencia es una relación simétrica. En particular
Observe también que los eventos mutuamente excluyentes no son independientes a menos que uno de ellos tenga de probabilidad cero. Es decir, supongamos que y Ay B son independientes entonces, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
LEY MULTIPLICATIVA
Mientras que la ley aditiva de la probabilidad se usa para determinar la probabilidad de una unión entre dos eventos, la ley multiplicativa se usa para determinar la probabilidad de una intersección de dos eventos. La ley multiplicativa se basa en la definición de la probabilidad condicional.
( ) ( ) ( )
