Introducción al método directo de Lyapunov

INTRODUCCION

AL �IETODO

DIRECTO

DE

LYAPUNOV

Ing.

Renate Gadenz N.

Secci6n Alia Tensi6n _y

Miquinaa. I.I.E.E.

RESUMEN

Se hace una breve resefla de los fundamentos del Metodo Diretto de _I:.yapunov. m�todo destinado _{prfnclpalmente} al estudio de la estabilidad de los sistemas de control nolineal.

Se indica las caractertsricas del metoda. las _propiedades de una fund6n de _Lyapunov, lot tiposde sistemasa loscuales el metodase_{puede apllcary}loa tecremas b<\sicos_{que reladonan} la estabilidad de dichos_{sistemas y} las funciones de_{Lyapunovque para}el105se_puedandetenninar. EImetoda se ilusrra mediante _ejemplos sencillos.

Se hacenotar tambien_que el metodo _{puede propcrcionar}una cierta medida delerror del sistema. teniendo valor _{potencial para} la smtesis de sistemas _epnmos.

ABSTRACT

A brief review of the fundamentals of the _Lyapunov's Direct Method is _presented. This method is_mainly concerned with the study of_stability of nonlinear control _systems.

The characteristicsof the method. the_propertiesofa _Ljapunovfunction and the_types of systems towhich the method canbe_applied aswellasthe basic theorems _relatingthe_stabilityof a _system and the _Lvapunov functions which can be determined for It. are indicated. _Simple examples illustrate the method,

It is also noted that the _{Lyapunov's Method maygive} a certain measure of _system error, thus _being of interest in _optimum system design.

EI

_problema

de la estabilidad de los sistemas de control.

especialrnente

de los sistemas nolineales, ha recibido _{gran atencion} en los ultimos aiios Y se ha atacado haciendo uso de un nuevo rnetodo: el Metodo Directo de

_Lvapunovs.

Esternetodo, basadoen el

_trabajo

realizado enel

_siglo

_pasado

_porelmatematico

rUSD A. M.

_Lyapunov,

no

_requiere

la solucion del

_conjunto

de ecuaciones dife­

renciales_{que caracterizan} el sistema, sino_que

_permite

abordar "directamente" el

problema.

basandose en la fonna de dichas ecuaciones. Se trata de detenninar

una funci6n escalar

_V(Xt),

_{que tiene} ciertas caracteristicas

_especiales

y que. si exis­

teo asegura la estabilidad del sistema en un cierto dominio del

_espacio

definido

porlasvariables de estado x.

_(i

= 1,2, ...

n).

Para sistemas nolineales

_hay

varios

_tipos

de estabilidad. Teoricarnente, eI

casomas _seguroocurrecuandoel sistemaes

_globalmente

asintoricamente estable.

Estabilidad asint6tica es una

_propiedad

de un estado deun _{sistema que.} cuando es

_perturbado,

vuelve asint6ticamente al estado no

_perturbado

a medida que el

- 158

-tiempo

creeeindefinidamente. Si estooeurre _para

_{cualquier perturbacion}

_inicial,

sin

_importar

10

_grande

_quesea,este_{estado del sistema} se llama

_globalmente

asin­

toticamenteestable.

Una Iuncion de

_Lyapunov

V tiene las

_siguientes

caracterfsticas

_principales:

1)

Es _positiva definidaen la

_region

deestabilidada.intotic. alrededordel estado

de

_equilibrio!

_••

_elegido

_por

_simplicidad

como _origen del _espacio de estado,

a sea,

_V(!)

>_{0 para todo If *'}x.

-Q

y

_V(!!.J

-V(2J

- _o·

2) Su derivada total con _respectc

�i

_tiempo,

it,

ea _negative definida en 18 misma

•

region,

0 sea,

Vel!)

<0 _{para todo !.}

_of

_'!i.•

-_Q

y

V(!..J

-ri(!!)

-0"

EI Metodo Direeto de

_Lyapunov

se

_aplica

s610 a sistemas dinarnicos libres,

en _{que "libre"}

_significa

_que "no

_hay

funei6n forzante _que sea funci6n

_expllcita

del

_tiempo",

Tarnbien, en

_particular,

seconsideran sistemas _{estacionarios,}en _que

"estacionario"

_significa

_que "no

_{depende explicitamente}

del

_tiernpo".

Un sistema libre_yestacionarioes invariante con una translaci6nen el

_tiempo

_yse llama au·

ronomo. Una

_expresi6n

_general

_para una clase de estos sistemas es un

_conjunto

de n ecuaciones diferenciales de

_primer

orden.

dx,

dt

=_.i

I

(i

-I, 2, ••• nJ

donde

_[,

_pueden

ser funciones lineales 0 no lineales de las variables x, _{que des­}

criben el estado del sistema, y se _{suponen coruinuas y} diferenciables. Ademas se

tiene t,

(0,

0....

0)

= 0;el

origen

es un estado de

equilibrio;

ahl todas las de­

rivadas x, son simultanearnente nul as·--.

Hasta ahorano

_hay

rnetodos definidos _{para obtencr} una funci6n de

_Lyapu·

nov _{para todos los} casos, _aunque se conocen diversas tecnicas _para tratar de de­

terminarla. Adernas, la funci6n de

_Lyapunov

no es _unica, en

_genera1.

Sin em­

bargo,

si Sf encuentra una funci6n de

_Lyapunov

_{VI que}

_garantiza

estabifidad asintotica para un estado de

_equilibria

de un sistema en una cierta

_regi6n

_QJ

del

_espacio

de estado, dieho estado de

_equilibrio

es realrnente asint6ticamente estable en esa

_regi6n.

Pero

_puede

haber otra fund6n de

_Lyapunov

_{V, que} ase­

gura estahilidad asintotica en otra

_regi6n

_{0, que}

_puede

incluir

_parcial

0 total­

mente la

_regi6n

_OJ'

Asimismo, si se encuentra una funci6n escalar

_V,

_que es

positiva

definida en eierta

_regi6n

_0,

alrededor del estado de

_{equilibrio (origen}

del

_espacio

de

_estado)

, pero tal que

V,

puede

tomar valores

positivos

arbitraria­

mente cereade dieho estado, indicando por 10 tanto_que se trata de unestado de

equilibrio

inestable, dicho estado de

_equilibrio

es realrnente inestable. Para

siste-·x f.'S un vector _{cuyae compcnenrcs x, (i} ::: 1. 2,...n) son las _{variables que descnbcn} el

C'slad"O del sistema. EI_{espaclodcflnidc por dlchas variables} se llama_cspactc de estado.

··,Para estabtlldad "debit", no asint6tica, V ncceeita scr 11610 _negatlva semidefinida, i.e.:

"(x)

""0 _{para tcdo}x_{+ x,} = 0_y " (0)= O.

•_{··1.os estadosde}

_;quilihrio

_{estandeflnidos}

porel sistema deecuactonee_f, = 0_(i = _1,2•...

n). Si la sclucion deeste sistema da un esradc de _equiLibrio difcrente del orlgen, se hare, por conveniencia, una transformacion de ccordcnadas _para llcvar dlcho estado de _equilibrto al

mas no

_globalmente

asintoticamente estables

_puede

interesar la determinacion

del contorno de la zona de estabi lidad asintotica enel

_espacio

de estado. Este es,

en

_general,

un

_problema

_{dificil; pero} una

_aproximaci6n

_{por defecto}

_puede

SfT

suficiente.

Un

_problema

_{que oparece} en la determinacion de 1a funci6n de

_Lyapunov

es la

_comprobaci6n

de _que es

_positiva

definida. 5610 Sf conocen las condiciones

uecesarias y suficientes para

polinomios

de

_{segundo grado}

_{y para} casos

_particu­

lares de

_polinomios

de cuarto

_grado.

_(Un

_polinomio

de

_primer

_grado

no

_puede

serfuncion de

_Lyapunov)

. Si Sf tiene una funci6n

polinomio

de

grado

superior

a dos, cuya parte cuadratica es

_positiva

_definida, dicha funci6n es una funci6n de

Lyapunov

por 10 menos en una zona suficienternente

_pequefia

alrededor del

estado de

_{equilibrio (origen)}

_siernpre

_que las _{condiciones para}

V

se

_cumplan

en esa zona. El

_problema

de la determinacion _{de que}una funci6n es

_{positiva (ne­}

gativa)

definida es masdiffcil cuandose estudia la estabilidad

_global,

_{pues, para}

ese _caso, se

_requiere

una funci6n V

_positiva

definida con V

_negativa

_{definida pa­}

ra redo el

_espacio

de estado. Esto Ileva al uso, cuando es

_posible,

de Iormas

res-tringidas

pero convenientes para V y

V,

como formas cuadraticas 0 sumas de

productos

de formas cuadraticas,

Para ilustrar la

_aplicacion

del rnetodo, considerese un

_ejemplo

_sencillo, de

soluci6n conocida.

c

d

p.­

dt

Fig.

,

La_{ecuaci6n diferencial que describe el sistema} es:

EI sistemaes _{lineal y}es table _para <X _> 0;

�

_> _ 1.

Para determinarla _{esrabilidad por}el metodo de

_Lyapunov

se hace I. sustituci6n

'" .

""

}

z •

i.

.�.

-

160-Haciendo

_z,

•

.i

•• 0 se obtiene: 1'_{•• x2 ·0,} 0 sea. el

_origen

_{del espa­}

cia

_(plano,

eneste

_case)

de estadoes el estado de

_{equilibria. Elljase}

unaIuncion

1'(,,)

cuadratica de la forma:

en

_que::

:=

vector:.

transpuesto

= �

[.1'1

xa1

y Q

-[q"

-9u

q..

]

es unamatriz sirnetrica,

q..

Las_{condiciones paraque} Vsea

_positiva

definidason

'I" > 0

q" q..

-q,:

> 0

Elijase

ademas _V�·• ...

�

•

--..,1

-z,'

que es

_negativa

definida.

Los coelicientes

_q,,'s

deben _{determinarse de modo que}

_satis£agan

las condi­ ciones de arriba y ademas la

siguiente

relacion, lIamada ecuacion de Zubov:

...

av

.

�-I'f

i

_<1z,

I av

i

_az,

•

t,

_I!)

_--<Pry

-t:"�

Par10tantosetiene:

.

(2q"

x, +

_2q"

_%,)

_x, +

(2q"

x, +

_2q"

_x,)

_[-

.. _%,

-(fJ

+ ₁₎

_x,l

-a_sea,

_igualando

_coeficlentesaambos

lades,

2q"

-2q"

ox

-2q"

-2q"

a:

_{2q" (�}

₊

₁₎

= 0

-2q"

(�

+

1)

de donde:

..

'+(�+l)·+fJ+l

�..

(fJ

+1)

J 911 •

-2-l-''{J'-+-I-}

Las condiciones_{para que} Vsea

_positiva

definida se

cumplen

_para

• _>

_o.

fJ

> .1.

Luego

para ese _{rango de} valores de los

_parametres

.• _'I

fJ.

la Iuncion de

Lyapunov

existe l estadada_par:

.'+

_(f3

+

_I)'

+

_(f3

+ ₁₎

V---�---2.(f3+1)

1

_f3

+ ₂

.' + '!II'. '11'. + ...2

...,

{3

+₁ ...,.., 2.

_(f3

+ _I) -a

Par 10 tanto, _para 0: _> 0,

�

_> - 1, el sistema _es

globalmente

asintotica­

mente estable

₍₀

_simplemente

estable, par tratarse de un sistema

lineal),

10 _que

concuerda con 10 determinado por otros metodos.

Un

_ejemplo

en _{que apareee} una nolinealidad se indica a continuacien:

r:O

<""I.

X

,.x3

r

_,

c

+

_'<"'

_.,;

_p(p+1}

-Fig.

2

Laecuacion diferendal es:

Haciendo13sustituci6n

resulta:

EI

_origen

del

_espacio

_(plano)

de estadoesel estado de

_equilibria.

l::ligiendo

_ 162 _

+

₈₄₁

_%,2

z.,2

+ 8.., Xl

%.,.

+ 8..

x,"

se_obtiene,porun_proceso

_analogo

al del

_ejemplo

anterior,

qll

-q" _

..!...}

s..

J

q" _

J2

S"

•

s.�

.

0"

osea,

x'

y • _'_ ₊

2

Las condiciones para que V sea

positiva

definida se cum

_pI

_{en, pues} el

(0-eficiente de _x1J es

_positive

_y la _parte cuadratica de V

_cumple

las condiciones:

qu > _0,

qu Q'2 ...

q,,'

> o.

Luego

el sistema es

_globalmenre

asintoticarnente estable.

Para concluir, diremos _que el Mctodo Directo de

_Lyapunov

es uti! no solo

para estudios de estabilidad, sino que

puede

tener _{gran valor para sintesis} de

sistemas.

Es interesante notur _que el metoda

_{puede proporcionar}

una cierta medida

del errordel sistema. Consideraciones de diseiio

_{pueden dirigirse}

hacia 1a mini­

mizacion de esta medida 0, en

_general,

hacia una

_oprimizacion

del sistema en

ese sentido.

_{Identifiquese,}

_por

_ejernplo,

_¢

- -

V.

que es una _funci6n

po-sit iva definida de las variables de estado, can un criteria de error, _y considerese

la

_expresion

I •

r-

dt como indice de calidad del sistema. Esta

integral

es un numero

_positive

_para todo sistema asintoticamente estable_y

_puede

servirco·

rno factorde merito del sistema. La

_integral

1 se obtiene inmediatamente si la

Iuncion V es _{conocida, pues I· Y}

_(.!o

_h

_.!.D es un _vector, como

compo-nentes J: 10 (i

-1,

2, ...

n),

que caractcriza 1a

perturbaci6n

inicial en el

espa-cio de estado. Esto

_puede

demostrarse como

_sigue:

Dado _que

_cp

- -V,

I

-f."

'"

dt

-fo"

�

V

dt

-YW

_1'-0

-VW I

,_..

que, para sistemas asintoticarnenteest_ables, se reduce a

Y(_!)

_I,

_ ₀

-V(!

oh

pues

Y(!)

I,

=ee

-V(Q)

• _0,

Es de norar_que si elcriterio de error(J se

_elige

a

_priori,

la funcion de

_Lya­

punov quede alH se determine es unica y, pOT 10 tanto. 10 mismo ocurre con 1. Este Indice de calidades Iuncion de lascondiciones iniciales _y de los

_pararnetros

BIBLIOGRAFIA

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