Inferencia Estadistica

VI. Inferencia estadística

VI. Inferencia estadística

VI. Inferencia estadística

VI. Inferencia estadística

Inferencia Estadística

Inferencia Estadística

Inferencia Estadística

Inferencia Estadística

` La inferencia estadística es primordialmente de naturaleza

inductiva y llega a generalizar respecto de las características de inductiva y llega a generalizar respecto de las características de una población valiéndose de observaciones empíricas de la

muestra.

` Al utilizar estadísticas muestrales para estudiar un parámetro

de la población es muy normal que ambos sean diferentes y la i ld d t b i id i L dif i

igualdad entre ambos sea mera coincidencia. La diferencia entre la estadística muestral y el correspondiente parámetro de la población se suele llamar error de estimación. Solo p

conoceríamos dicho error si se conociera el parámetro

poblacional que por lo general se desconoce. La única forma de tener alguna certeza al respecto es hacer todas las

de tener alguna certeza al respecto es hacer todas las

observaciones posibles del total de la población; en la mayoría de las aplicaciones prácticas es imposible o impracticable.

Inferencia Estadística

Inferencia Estadística

Inferencia Estadística

Inferencia Estadística

` Las inferencias estadísticas se hacen por posibilidades o

probabilidades.

` Por ejemplo de la media de una muestra se hacen

inferencias sobre la media de la población. Exactamente no sabemos cuál es la diferencia entre ambas. Lo que si

b ñ l b b l d d d

sabemos es que es pequeña la probabilidad de que esta diferencia sea mayor que, por ejemplo 3 o 2 errores estándares

VI 1

VI 1 Estimación

Estimación Puntual

Puntual

VI.1.

VI.1. Estimación

Estimación Puntual

Puntual

La inferencia estadística más sencilla es la Estimación Puntual o por punto, en la que se calcula un valor único (estadístico) con las datos muestrales para estimar un

á bl i l

VI 2 Estimador

VI 2 Estimador

VI.2. Estimador

VI.2. Estimador

Definición

` Un estimador es en si mismo una variable aleatoria y por

lo mismo tiene una distribución (muestral) teórica.

` Un estimador de un parámetro θ es una función de los

valores muestrales aleatorios X1, X2,..., Xn que proporciona una estimación puntual de θ.

3 2

3 2 Estimador

Estimador

3.2

3.2. Estimador

. Estimador

Ejemplo:

Sean los valores siguientes 120, 117.5, 115 tomados de una población finita, obtener la estimación resultante:

La estimación: _{X X X}

La estimación:

Se interpreta como el proceso de “tomar una muestra de tres valores y

3

ˆ X1 X2 X3 X = + +

promediarlos”.

De la muestra que se da en particular:

120

115 5 . 117 120

2 1

= = =

x x x

Y se obtiene como una estimación de la media poblacional que está basada en la muestra especificada.

115

3 =

VI 2 1

VI 2 1 Características de los

Características de los Estimadores

Estimadores

VI.2.1.

VI.2.1. Características de los

Características de los Estimadores

Estimadores

VI.2.1.1.- Estimador Insesgado.

Un estimador que es una función de los datos muestrales X₁, X₂,..., X_n se conoce como estimador insesgado del parámetro poblacional θ si su valor esperado es igual a θ. Dicho de otra manera, es un estimador insesgado del

á θ E( ) θ parámetro θ si E( ) = θ.

La condición de que el estimador es insesgado supone que el valor promedio de es exactamente correcto. No dice que un valor particular sea exactamente correcto.

VI 2 1 Características de los Estimadores

VI 2 1 Características de los Estimadores

VI.2.1. Características de los Estimadores

VI.2.1. Características de los Estimadores

VI.2.1.2- Estimador Eficiente

Se dice que un estimador es el más eficiente, para un

problema en particular , cuando tiene el error estándar más pequeño de todos los estimadores insesgados posibles.

Se utiliza la palabra eficiente porque, el estimador hace el mejor uso posible de los datos muestrales.

VI.2.1.3.- Estimador Consistente

Un estimador es consistente si se aproxima al parámetro p p poblacional con probabilidad uno a medida que el tamaño de la muestra tiende a infinito.

VI 3

VI 3 Método de Máxima

Método de Máxima Verosimilitud

Verosimilitud

VI.3.

VI.3. Método de Máxima

Método de Máxima Verosimilitud

Verosimilitud

Si x₁, x₂,..., y x_n son los valores de una muestra tomada al azar de una población con el parámetro θ, la función de verosimilitud de la muestra está dada por:

L(θ) = f (x₁, x₂ ,..., x_n ;θ)

Para valores de θ contenidos en un dominio dado.

El método de máxima verosimilitud consiste en maximizar la función de verosimilitud con respecto a θ y nos referimos al valor de θ que maximiza la función de probabilidad como la estimación de máxima verosimilitud de θ.

VI.3.1. De la distribución de probabilidad binomial VI.3.1. De la distribución de probabilidad binomial determinar el estimador de máxima verosimilitud del determinar el estimador de máxima verosimilitud del

áá

parámetro parámetro θθ

(

)

n x x

n

L(θ) _⎜⎜⎛ _⎟⎟⎞θ 1 θ −

Obteniendo el logaritmo natural.

(

)

x

L _⎟⎟ −

⎠ ⎜⎜ ⎝

= θ θ

θ) 1

(

g

( ( )) ln ln ( )ln(1 )

ln θ _⎟⎟+ θ + − −θ

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

= x n x

x n L

Derivando con respecto a θ.

⎠ ⎝ x

( )

[

l L θ

]

(

)

d

[

( )

]

(

)

) 1 ( ln θ θ θ θ − − −

= x n x

d L d

VI.3.1. De la distribución de probabilidad binomial VI.3.1. De la distribución de probabilidad binomial determinar el estimador de máxima verosimilitud del determinar el estimador de máxima verosimilitud del

áá

parámetro parámetro θθ

` Igualando a cero: _{( )}

x n

x −

0

( )

(n x)

x ₌ −

= − − θ θ θ θ ) 1 ( 0 ) 1 ( ( ) x n x x x n x − = − − = − − θ θ θ θ θ θ θ ) 1 ( ) 1 ( n x n x x x = = + − θ θ θ θ n x = ∴ θ

Es el estimador de máxima verosimilitud del parámetro θ de la distribución binomial.

VI.3.2.

VI.3.2. De la distribución de probabilidad De la distribución de probabilidad PoissonPoisson

determinar el estimador de máxima verosimilitud del determinar el estimador de máxima verosimilitud del

áá ll ii ii ll dd

parámetro

parámetro λλ en muestras aleatorias simples de tamaño nen muestras aleatorias simples de tamaño n

n

λ

xi

∏

= −

=

n i i n

x

e

X

L

i 1

!

)

:

(

λ

λ

λ

Obteniendo el logaritmo natural:

n n

Derivando parcialmente con respecto a λ:

!

ln

ln

)

:

(

ln

1 1

∑

∑

= =

−

+

−

=

i i i i

x

x

n

X

L

λ

λ

λ

Derivando parcialmente con respecto a λ:

∑

n

x

i

λ

λ

λ

₌

₋

₊

∑

₌

∂

∂

_i

x

i

n

X

L

(

:

)

₁

VI.3.2. De la distribución de probabilidad

VI.3.2. De la distribución de probabilidad PoissonPoisson

determinar el estimador de máxima verosimilitud del determinar el estimador de máxima verosimilitud del

áá ll ii ii ll dd

parámetro

parámetro λλ en muestras aleatorias simples de tamaño nen muestras aleatorias simples de tamaño n

Igualando a cero y resolviendo:

n 0 1 = + −

∑

= λ n i i x n λ

∑

n i i x 1 λ = = i n 1 x n n =

∑

λ x x n n i i =

∑

∑

=1 λ

El estimador es la media.

x n x i i = =

∑

=1

VI.3.3. Dada

VI.3.3. Dada la función de Probabilidad normal con media µ la función de Probabilidad normal con media µ y varianza

y varianza σσ22_{, determinar los estimadores de máxima , determinar los estimadores de máxima} i ili d

i ili d verosimilitud verosimilitud

` La función de probabilidad está dada por:

(

)

n

(

)

( )

(

)

⎛ ⎞ ∑( ) = − − = ∏ n i x n i i x n L 2 1 1 2 1 , ; , μ σ μ σ μ

` Obteniendo el logaritmo natural:

(

)

⎟ ∑( ) ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= i=

i

e

L 2 2 2 1

2 1 , μ σ π σ σ μ g

(

)

( ) 2 2 1 2 2 ln 2 1 2 1 ln , ln ∑ = − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = n i i e x n L μ σ π σ σ μ

(

)

[

(

)

]

( )

(

2

)

[

(

)

]

( )2

2 1 2 2 1 2 1 2 ln ) 1 ln( , ln ∑ ∑ = − − − = n n i i x n L μ σ π σ σ μ

(

)

[

(

)

]

( )

(

2

)

₂ ( )2

1 2 2 1 2 ln ln , ln 2 1 2 ln ln , ln ∑ ∑ = − − − − = − − + − = n i i i x n n L x n L μ π σ σ μ μ σ π σ σ μ

(

)

( ) 1 2 2 , ∑ = i i x μ σ π σ σ μ

VI.3.3. Dada la función de Probabilidad normal con media µ VI.3.3. Dada la función de Probabilidad normal con media µ y varianza

y varianza σσ22_{, determinar los estimadores de máxima , determinar los estimadores de máxima} i ili d

i ili d verosimilitud verosimilitud

Derivando parcialmente con respecto a µ:

(

)

[

]

_{( ) (}

_{)( )}

(

)

[

]

∑

= − − − = ∂ ∂ n i i x L 1

2 2 1

2 1 , ln _μ σ μ σ μ

Igualando a cero:

(

)

[

]

_{( ) (}

_∑

₎

= − = ∂ ∂ n i i x L 1 2 2 2 1 , ln _μ σ μ σ μ

Igualando a cero:

( ) (

2

)

0

2 1

2

∑

− =

n

i

x μ

σ

(

)

0

1 2 1 2 1 = −

∑

= = n i i i x μ σ σ

(

)

0

1 1 = −

∑

= n i i i x μ σ

VI.3.3. Dada la función de Probabilidad normal con media µ VI.3.3. Dada la función de Probabilidad normal con media µ y varianza

y varianza σσ22_{, determinar los estimadores de máxima , determinar los estimadores de máxima} i ili d

i ili d verosimilitud verosimilitud

( )

n

∑

( )

0

( )

n

x

n i

i

−

=

∑

∑

=1

0

μ

( )

( )

n

x

n i

i

=

∑

=1

μ

( )

x

n

x

i

i

=

=

∑

=1

μ

El valor obtenido es la media.

VI.3.3. Dada la función de Probabilidad normal con media µ VI.3.3. Dada la función de Probabilidad normal con media µ y varianza

y varianza σσ22_{, determinar los estimadores de máxima , determinar los estimadores de máxima} i ili d

i ili d verosimilitud verosimilitud

Ahora se deriva parcialmente con respecto a σ:

(

)

_{( ) (}

₎

2

1 3 2 2 2 1 , ln

∑

− − − − = ∂ ∂ n i i x n L _μ σ σ σ σ μ

(

)

₍

₎

2 3 2 1 1 , ln 2

∑

= − + − = ∂ ∂ n i i x n

L μ σ _μ

σ σ σ

(

)

1 3

∑

=

∂ _i i μ

σ σ

VI.3.3. Dada la función de Probabilidad normal con media µ VI.3.3. Dada la función de Probabilidad normal con media µ y varianza

y varianza σσ22_{, determinar los estimadores de máxima , determinar los estimadores de máxima} i ili d

i ili d verosimilitud verosimilitud

Igualando a cero:

(

)

n n 2

0 1

∑

(

)

(

)

n

x n n i i 2 1 3 1 0 1

∑

= = − + − μ σ σ

(

)

( )

n x n i i 2 1 3 1

∑

= = − σ μ σ

(

)

n

( )

x n i i 2 3 1

∑

= = − σ σ μ

(

x

)

n

n i i 2 2 2 1

∑

= =

− μ σ

(

x

)

n

i

i

2

1 2

∑

=

− = μ σ n σ

VI.3.3. Dada la función de Probabilidad normal con media µ VI.3.3. Dada la función de Probabilidad normal con media µ y varianza

y varianza σσ22_{, determinar los estimadores de máxima , determinar los estimadores de máxima} i ili d

i ili d verosimilitud verosimilitud

Sustituyendo el valor de se obtiene:

(

x

x

)

n

i

i

∑

=

−

1

2

2

ˆ

n

i=

=

1

2

ˆ

σ

(

x

x

)

n

i

i

∑

=

−

=

1

2

ˆ

σ

E ó d á l d d

n

σ

VI.3.4.

VI.3.4. De la Distribución de probabilidad exponencial De la Distribución de probabilidad exponencial

i b l i d d á i

i b l i d d á i i ili di ili d

negativa obtener el estimador de máxima

negativa obtener el estimador de máxima verosimilitudverosimilitud

x

e x

f ( ) θ −θ

0< x <

∞

o e x f λ θ = ) (

Obtener el estimador de máxima verosimilitud x

e x

f ( ) = λ −λ

Obtener el estimador de máxima verosimilitud. Una demostración es:

C Como, 1 ) ( 1 ) ( X E X E = λ λ ) ( 1 1 ) ( X E X E = = λ λ ) ( X E

VI.3.4. De la Distribución de probabilidad exponencial VI.3.4. De la Distribución de probabilidad exponencial

i b l i d d á i i ili d

i b l i d d á i i ili d

negativa obtener el estimador de máxima verosimilitud negativa obtener el estimador de máxima verosimilitud

Donde:

x n

i

∑

Entonces: n

X

E i

i

∑

=

= 1

) (

1

∑

=

=

n

i

i x

1

1 λ

∴

n

∑

=

n

i

i x n

1

ˆ λ

La otra demostración es por medio de los estimadores de máxima verosimilitud.

=

VI 4

VI 4 Estimación por

Estimación por Intervalos

Intervalos

VI.4.

VI.4. Estimación por

Estimación por Intervalos

Intervalos

`

1

ˆ

VI 4 Estimación por Intervalos

VI 4 Estimación por Intervalos

VI.4. Estimación por Intervalos

VI.4. Estimación por Intervalos

VI 4 Estimación por Intervalos

VI 4 Estimación por Intervalos

VI.4. Estimación por Intervalos

VI.4. Estimación por Intervalos

VI 4 Estimación por Intervalos

VI 4 Estimación por Intervalos

VI.4. Estimación por Intervalos

VI.4. Estimación por Intervalos

` Los intervalos de confianza de parámetros dados no son

únicos, existen numerosos intervalos de confianza de µ donde tienen el mismo grado de confianza. Igual que en el

d l i ió l l é d d b ió caso de la estimación puntual, los métodos de obtención de intervalos de confianza deben de juzgarse por sus

propiedades estadísticas propiedades estadísticas.

VI.4.1.

VI.4.1. Intervalos de Confianza para

Intervalos de Confianza para

Medias

Medias

Medias

Medias

VI 4 1 2

VI 4 1 2 La distribución

La distribución tt

VI.4.1.2.

VI.4.1.2. La distribución

La distribución tt

Teorema

` Si y s2 son la media y la varianza de una muestra aleatoria

de tamaño n tomada de una población normal con la media µ y la varianza σ2_{, entonces:}

x

μ

s

x

t

=

−

μ

` Tiene la distribución t con n − 1 grados de libertad

n

VI 4 1 2 La distribución t

VI 4 1 2 La distribución t

VI.4.1.2. La distribución t

VI.4.1.2. La distribución t

Por lo tanto:

α

α

α

<

<

=

−

−

−

−

)

1

(

1 , 2 1

,

2 n n

t

t

t

P

Al sustituir a t, la desigualdad queda como:

μ

−

x

μ

_α

α

α < = −

− <

−

−

− ) 1

(

1 , 2 1

,

2 n n

t

n s x t

P

VI 4 1 2 La distribución t

VI 4 1 2 La distribución t

VI.4.1.2. La distribución t

VI.4.1.2. La distribución t

` Lo que es equivalente a:

1

)

(

t

s

t

s

P

−

_α

<

μ

<

+

_α

=

−

α

−

−

)

1

(

1 , 2 1

,

2

n

t

x

n

t

x

P

n n

VI 4 1 2 La distribución t

VI 4 1 2 La distribución t

VI.4.1.2. La distribución t

VI.4.1.2. La distribución t

Propiedades:

1 La distribución t igual que la distribución normal es simétrica con 1. La distribución t, igual que la distribución normal, es simétrica con

respecto a la media µ = 0.

2. La distribución t tiene una mayor variabilidad que la distribución z. 3. Hay muchas distribuciones t que son diferentes. Se determina una

en particular al especificar sus grados de libertad, g.l. Si se toma una muestra aleatoria de una población normal, el estadístico:

n s x t = − μ

Tiene una distribución t con g.l. = n − 1.

4. A medida que n se incrementa (o, lo que es lo mismo, g.l se

incrementa) la distribución t se aproxima a la de z incrementa), la distribución t se aproxima a la de z.

Lo anterior conduce al siguiente teorema para muestras pequeñas de µ (aunque es válida para muestras de cualquier tamaño).

VI.4.1.3. Teorema (Intervalo de confianza

para µ cuando

σ

es desconocida)

para µ, cuando

σ

es desconocida)

` Si y s son los valores de la media y la desviación estándar

de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población normal con la varianza desconocida , un

i l d fi d l (1 )100% á d d

intervalo de confianza del (1 − )100% para µ está dado por:

s

s

n

s

t

x

n

s

t

x

n

n , 1

2 1

, 2

µ

− −

<

<

+

VI.4.2. Intervalo de Confianza para

Proporciones

Proporciones

` Existen situaciones en las cuales se debe de obtener la proporción,

probabilidad, porcentaje o índice (tasa), como la proporción de probabilidad, porcentaje o índice (tasa), como la proporción de unidades defectuosas en un cargamento grande de televisores, la probabilidad de que un auto tenga los frenos en mal estado, la tasa de mortalidad que provoca una enfermedad, etc. q p ,

` En muchos de estos casos es razonable suponer que se muestrea

una población binomial y, que el problema se reduce a calcular el parámetro binomial θ. Utilizando el hecho de que para n grande la

p q p g

distribución binomial se obtiene por una aproximación de la distribución normal, es decir, que la variable aleatoria:

npq np x

z = −

` Se puede considerar como si tuviera la distribución normal

VI.4.2.1. Teorema (Intervalo de Confianza

de muestra grande para p)

de muestra grande para p)

` Un intervalo de confianza del (1 − )100% para el

parámetro binomial p está dado por:

p pˆ(1 ˆ)

ˆ −

n p p

z

pˆ (1 )

2

− _α

Donde:

n x pˆ =

VI.4.2.2. Intervalo de Confianza para

Varianzas

Varianzas

` Dada una muestra aleatoria n tomada de una población

normal, se puede obtener un intervalo de confianza del (1

VI.4.2.2. Intervalo de Confianza para

Varianzas

Varianzas

VI.4.2.2. Intervalo de Confianza para

Varianzas

Varianzas

` Por lo tanto:

α

χ

σ

χ

_α < − < _α = −

− −

− ) 1

) 1 ( ( 2 1 , 2 2 2 2 1 , 2

1 n n

s n

P

` Despejando para obtener el valor de:

2 2

` Despejando para obtener el valor de:

(

)

(

)

2 2 2 2 2 ₁ 1

( n − s < < n − s

P σ

D l d d l

2 1 , 2 1 2 1 , 2 ( − − − n n α α χ χ

VI.4.2.3.

VI.4.2.3. Teorema (Intervalo de Confianza

Teorema (Intervalo de Confianza

para

para

22

₎₎

para

para

22

₎₎

` Si s2 es el valor de la varianza de una muestra aleatoria de

tamaño n tomada de una población normal, un intervalo de confianza del (1 − α )100% para 2 _{está dado por:}

(

)

(

)

2

2 2

2

2 ₁

1 _{< <} −

− s n s

n

χ

σ

χ

` Se pueden obtener límites de confianza del (1 − α )100%

1 , 2 1 1

,

2 n− − n−

α

α

χ

χ

p ( )

correspondientes para σ sacando las raíces cuadradas de los límites de confianza para 2_.

VI.4.2.3. Teorema (Intervalo de Confianza

VI.4.2.3. Teorema (Intervalo de Confianza

para

para

22

₎₎

para

para

22

₎₎

`

(

)

(

)

2

2

2

2 ₁

1 _{< <} −

− s n s

n

_σ

2

1 , 2 1 2

1 ,

2 n− − n−

α

α

χ

σ

χ