DESCARGAR DIVISIÓN DE POLINOMIOS (HORNER, RUFFINI Y TEOREMA DEL RESTO) – Descarga Matematicas

División algebraica I

(Método de Horner)

División por Horner:

División no algebraica de polinomios

Esta división exige condiciones especiales:

a. Aplicamos el método de Horner con el ordenamiento de los polinomios ascendentemente.

- Dividir (2x2 _{- 3x + 3) entre (4x}3 _{- x +}

1) Re s ol uc i ó n : Por Horner

b. El cociente obtenido posee infinitos términos. c. El resto se hace tender a cero.

d. Dicha división es válida para ciertos intervalos de la variable.

1 3 -3

1 3

0

2 0

0 -12

0 0

0 ...

0

- Dividir 1 entre (1 - x)

- 4

3 0 2

2

-10

0 -8

...

Re

s ol uc i ó n : Por Horner _2x2

3x 3 

4x3 x 1 

3 2x2 10x3 ...

1 1 0 0 0

1 _{1 1 1}

1 1 1 1

0 ...

1 ...

1 Es la operación que tiene como objetivo calcular una

expresión llamada cociente (q) y otra llamada residuo (R),

 1

1  x 1 x x 2

x3 ....;

| x | < 1

conociendo otras denominadas dividendo (D) y divisor (d).

Esquema clásico

- Dividir 1 entre (1 - 4x + 4x2₎

Re

s ol uc i ó n : Por Horner

D d

Se conoce : D y d

R q

Por conocer: q y R

1 1 0

4 4

-4

1 4

0 0

-4

16 -16

48

12 32 0

-48

... ...

...

Se cumple: D = dq + R

Propiedades

menos el grado del divisor.

 1

1 4x 4x2 1 4x 12x 2

32x3 ...; | x | 

1

3

AÑO

q° = D ° -d°

2. El grado máximo del resto es el grado del divisor disminuido en uno.

R°_MÁX. = dº - 1 ; Rº_MÁX. 

2 6 5 -26 33 -22 6

3

-1

9 -3

21 -7

-12 4

21 -7

3 7 -4 7 3 -1

2 10 - 4 8 6 - 5 11

2 10 - 20

- 4 6 - 12

- 6 ₁₂

- 12 24

3. La propiedad fundamental de la división en el Álgebra forma una identidad.

D = d.q + R  D(x) = d(x) . q(x) + R(x)

 Problemas resueltos

1. Dividir:

4. Si la división es exacta, el resto es un polinomio idénticamente nulo.

R(x)  0

10x5  4x 4  8x 3 6x 2 5x 11

2x 2  2x 4

S o l uc i ó n :

Aplicando Horner:

D(x)  x8 + x4 + 2x - 3  

5º

q° = 8 - 5 = 3

MÁX.

5 3 - 3 - 6 - 5 35

División entre polinomios

Para todos los métodos es necesario que el dividendo y el divisor estén ordenados y completos (o al menos tenga esa forma).

Método de Horner

Para este método sólo se utilizan coeficientes, empleando el siguiente esquema:

con

Coef. del cociente Coef. del resto

La variable se agrega de acuerdo al grado del cociente y del resto.

Se tiene:

qº = 3 ; Rº_MÁX. = 1 q = 5x3 _{+ 3x}2 _{- 3x - 6}

R(x) = - 5x + 35

2. Dividir:

12x 4 14x 3 15x 2 6x  4 su mismo

signo d D I V I D E N D O

i 4x

2

 2x 1

v

Con _i Colocando los coeficientes:

cambiado s

o r

Observación:

C O C I E N T E RESTO

4 12

2

-1

3

2

-14 15 -6 4

6 -3

-4 2

4 -2

-2 2 0 +2

- Los lugares en que se indica dividendo y divisor se colocan sólo coeficientes.

* Cociente: 3x

* Resto: 0x + 2- 2x + 2

En el caso del divisor la letra “d” simboliza al primer coeficiente del divisor, las demás letras representan a los demás coeficientes, que se colocan con signo cambiado.

Igualmente del cociente y el resto sólo se obtienen coeficientes.

- La línea que separa el cociente del resto se traza de acuerdo al grado del divisor.

Es decir, se cuenta de derecha a izquierda tantos lugares como lo indica el número que representa el grado del divisor.

3. Efectuar la división:

6x5 5x 4 26x 3 33x 2 22x 6

2x 2 3x 1

2 2 3 -4 -A -B

1

6

1 6

2 12

2 12

1 2 2 (14 - A) (12 - B)

1 1 -4 6 - m - 2 n+3

-2

-1

-2 -1

12 6

-34 -17

1 -6 17 (-m - 30) (n - 14)

B - 1 = 0  A - 6 = 0

B = 1  A = 6

4. Calcular "A + B", si la división es

exacta. Re solución:

R

e sol u c i ó n :

2x 4 3x 3 4x 2 Ax B

2x 2 x 6

Al invertir los coeficientes, la división seguirá siendo exacta.

1 1 1 3 B A

-2 -2 -3

-3 2 3

-4 -6

1 -1 2 (B - 1) (A - 6)

Como la división es exacta (R = 0), entonces:

* Si la división es exacta: Residuo = 0;

entonces:

14 - A = 0  A = 14

12 - B = 0  B = 12

Rpta.: A + B = 26

 A + B = 7

Problemas para la clase

Rpta.: 7

5. Dividir y hallar "m + n", si la división:

x 4 4x3 6x2 (m 2)x n 3

x2 2x 1

deja como resto: -27x - 11

Bloque I

1. Hallar el cociente de la siguiente división:

x 3 5x 2  6x  7

x 2

 3x  2

R

e sol u c i ó n : _{a) x - 2 b) x + 2 c) x - 1}

d) 2x - 3 e) 2x + 3

2. Al efectuar la siguiente división:

4x 4  4x 3  5x 2  9x  6

2x 2  3x  5

Igualando los restos:

Indicar el cociente.

a) x2 _{+ x - 1 b) x}2 _{- 1 c) 2x}2 _{+ x - 1}

2

-27x - 11 (-m - 30)x + (n -14) d) x + 11 e) 2x + 2x - 1

-27 = -m - 30  m = -3

-11 = n - 14  n = 3

Rpta.: m + n = 0

6. Calcular "A + B", en la división exacta:

Ax 4 Bx 3  3x 2  x 1

3x 2  2x 1

3. Hallar el residuo de la siguiente división:

3x5

2x 4 5x 2  4x 1

x 3  x 2 1

a) x2 _{+ 3x + 1 b) x}2 _{+ 3x c) x}2 _{- 3x}

d) x2 _{+ 5x e) x}2 _{- 5x + 1}

4. Al dividir:

6x 6

13x 5 7x 4 11x 2 8x 5

señalar el cociente.

a) 3x3 _{+ 2x}2 _{+ x + 2 b) x}3 _{+ 2x}2 _{+ x +}

2 c) x3 _{+ x}2 _{+ x + 1 d) x}3 _{- 2x}2 _{+ 3x}

- 2 e) 8x2 _{+ x + 3}

* Del problema anterior:

5. Señalar el residuo :

a) 22 b) 18 c) 17

d) 25 e) 28

12.En la siguiente división exacta:

2m4 4m3 am2 5m b

m2 m 2

a) x2 _{+ 2x + 2 b) 3x}3 _{+ 2x}2 _{+ x +}

2 c) 8x2 _{+ x + 3 d) x}2 _{- x + 1}

e) 2

6. El coeficiente del término lineal del cociente es:

calcular "a + b"

a) 2 b) 13 c) 9

d) 8 e) 19

13.Determinar "a + b"; si la división:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 0 e) 4 3x45x3 ax b

7. La suma de coeficientes del cociente:

a) 4 b) 7 c) 6

d) 5 e) 8

8. Hallar el residuo de la siguiente división:

y3 5y2 7y 5

y2 2y 3

a) y + 5 b) y2 _{+ 3 c) y + 3}

d) -10y + 14 e) 10y + 14

9. Hallar el residuo de la división:

z4  3z3 2z2 z 5

z2 3z 1

x2

x 1

deja como residuo: 5x + 7

a) 28 b) 24 c) 20

d) 16 e) 12

14.En la siguiente división:

2x 4 7x 3 16x 2 Ax B

2x 2 3x 4

deja como resto: 2x + 30. Hallar "A . B"

a) 1 b) 20 c) 1/2

d) 1/3 e) 30

15.Hallar el residuo luego de dividir:

a) z2 _{+ 1 b) -2 c) 4z}

d) -6 e) 4z - 6 8x 69x 42x 2 4

10.Hallar "A + B", si la siguiente división:

x 4 3x 3 2x 2 Ax B

x 2 3x 2

x 2 2

a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 60

16.Determinar "m + n", para que la división:

es exacta.

a) 1 b) 2 c) 3 6x 416x 325x 2mx n

d) 4 e) 5

Bloque II _{sea exacta.}

3x 2 2x 1

11.Calcular "m + n + p" si la división:

6y5 17y 4 7y 3 my 2 ny p

3y 3 4y 2 5y 7

a) 17 b) 18 c) 19

d) 20 e) 21

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 9

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

a) 21 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

17. Determine "p - q", si la

división: 22.Hallar el valor de "m . n" si la división:

x 4 mx n

6x 4 8x 2 px q

3x 2 3x 7

(x 1)2 ; es exacta

es exacta.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

18.Calcule "A + B", si la división:

12x 4 12x 3 13x 2  Ax B

2x 2 3x 5

deja como resto: 4x + 5.

a) 15 b) 14 c) 13

d) 12 e) 11

23.Determine "r + s" de manera que el polinomio P(x) = x3 + rx + s; sea divisible por: x2 - 2x + 1

a) -1 b) -2 c) -5

d) 5 e) 1

24.Hallar "a + b", en la siguiente división exacta:

ax 4 bx 3 3x 2  x 1

3x 2  2x 1

a) 45 b) 46 c) 47

d) 48 e) 49

19.Calcular "A + B - C", si la división:

8x 5 4x 3 Ax 2 Bx C

2x 3 x 2 3

deja como resto: 5x2 _{+ 11x +}

7

25.Hallar el resto al dividir:

6x 4  4yx3  4x 2 y2 2y 4  4xy3

3x 3  x 2 y  xy2  y3

a) x2 _{+ y}2 _{b) 2x}2 _{+ xy c) -x}2

2

d) 2x + y e) 0

20.Si al dividir:

4x 4 6x3 2x2 ax b

x2 2x 2

26.Hallar el cociente luego de dividir:

12x 4 14x 3 y 15x 2 y 2  4y

4

4x 2

 2yx  y 2

a) 3x2 _{+ 2y}2 _{b) 3x}2 _{- 2xy + 2y}2

c) 3x2 _{+ 2xy + 4y}2 _{d) 3x}2 _{+ xy - y}2

deja un resto: -25x + 21. Hallar "a - b"

a) -2 b) 0 c) 2

d) 1 e) -1

Bloque III

e) 3x2 _{+ 2xy + y}2

27. Hallar el valor de "a + b + c", si el resto de la división indicada siguiente:

ax 5 bx 4  cx 3 5x 3

21.La siguiente división: 2x

3

 x 2  x  2 ; es: 7x

2 _{+ 8x - 3}

x 4  (m 3)x 2 n 3

x 2  x 1 ; es exacta. Hallar (m + _n) 28.Si en la siguiente división:

5x 3  6x 4 1

a) -1 b) 1 c) 2

d) -2 e) 8 x 3x

2

2

a) -1 b) -2 c) -3

(x

29.En el esquema de Horner mostrado:

1 3 a 1 b c

m 9 d

2 e f

g h

n -2 p 4 -3

Determinar el valor de:

Autoevaluación

1. Dividir, hallar el cociente:

x5  x 4 2x 3 2x 2 x 2

x 4 2

a) x b) x + 1 c) x - 1

d) 2x - 3 e) x + 3

2. Hallar el resto en: 3  a  b c

 m

n  p 2 2x 43x 38x 21  4x

a) 1 b) -1 c) 3

2 a) 2x2

x 2 (x 1)

+ 5x - 1 b) x - 1 c) 1

d) 4 e)

5 d) 0 e) 2

30.En la división siguiente:

2x 5  3x 4 bx 3 6bx 2  x  a

3. Hallar el resto en:

5x 3 6x 4 1 2

x 2

 x b

x 3x 2

Se sabe que el resto es "2x + 3", además la suma de coeficientes del cociente es mayor que 15, calcular "a.b"

a) 4 b) 9 c) 7

d) 2 e) 8

a) x + 1 b) x - 1 c) 1

d) x + 3 e) x - 2

4. Hallar "m + n", si el residuo de dividir:

3x5 mx 3 nx 2 x 2

x 2 3

es: 5x - 10

a) 11 b) 5 c) 1

d) 7 e) 4

5. Sea: Q = ax2_{+ bx + c; el cociente de la división}

de:

(2x4 _{+ 3x}3 _{- 8x}2 _{+ 1 - 4x) entre (x}2 _{- x - 1)}

Calcular: (a - b + c)2

a) -4 b) 16 c) 4

d) 12 e) 25

Claves

AÑO

3x - 1 = 0 3 5 - 17 8 7

1/3  1 2 - 5 1

3 6 - 15 3 8

 3  1

 2

 - 5

 1

x - 2 = 0 3 - 2 7 - 11 5 1

2 6 8 30 38 86 Resto

3 4 15 19 43 87

División algebraica II

(Método de Ruffini - Teorema

del Resto)

Método de Ruffini e mEj p l o :

Se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma: ax + b; a  0

Al igual que en Horner, utilizaremos sólo coeficientes, cumpliendo el siguiente esquema:

Dividir:

S o l uc i ó n :

3x 4

5x3 17x2 8x  7

3x 1

N D I V I D E N D O

C O C I E N T E R

Por Ruffini:

Valor de “x” al igualar el divisor a cero.

Ejem plo:

Dividir:

3x5

 2x 4  7x3 11x2 5x 1

Como: qº = 4 - 1

Coeficientes del cociente

S o l u c i ó n

Por Ruffini:

Como:

x 2

Coeficientes del cociente

q = x3 _{+ 2x}2 _{- 5x + 1}

R = 8

Teorema del Resto

Se utiliza para calcular el resto sin tener que efectuar la división, se aplica cuando el divisor es un binomio de primer grado de la forma : ax + b y en algunos casos especiales.

Regla:

Para calcular el resto, se iguala el divisor a cero, se calcula el valor de la variable (siempre que el divisor sea qº = 5 - 1 = 4

q = 3x4 _{+ 4x}3 _{+ 15x}2 _{+ 19x + 43}

R = 87

Observación:

Si en el divisor : ax + b, a  1, luego de dividir por

Ruffini, los coeficientes del cociente deben dividirse entre “a” para obtener el cociente correcto.

de primer grado) y el valor obtenido se reemplaza en el dividendo. El resultado obtenido es el resto.

E j em plo : Calcular el resto en:

x5

 3x 5

x 2

S o l uc i ó n :

T. Resto: x - 2 = 0  x = 2

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

 Problemas resueltos

1. Dividir y dar el cociente y

residuo. Bloque I

Problemas para la clase

5x 4 16x3  8x 2

x 3

Sol

uc ió n : Colocando los coeficientes:

1. Señalar el residuo en la siguiente

división: (x3 _{+ 3x}2 _{- 7x - 5)}

entre (x - 1)

a) -5 b) -7 c) 8

d) -8 e) -9

5 16

-3 -15

5 1

3 2

0 -8 2

-3 9 -3

-3 1 -1

2. Efectuar la división:

2x 4 7x2 5x 3

x 2

dar el residuo. * Cociente: 5x + x

* Residuo: -1

2. Dividir:

- 3x + 1

a) 9 b) -9 c) 8

d) 7 e) -8

3. Dada la división:

5x 4 x3 7x2 9

Solución:

6x 4 4x3  x2 10x 2

3x 1 _{hallar el residuo.} x 1

6 -4

-1/3 -2

6 -6 3

1 10 2

2 -1 -3

3 9 -1

4. Hallar el cociente en la división

4x3 4x2 3x 9

2 -2 1 3 -1 _{2x 1}

* Cociente: 2x3 - 2x2 + x + 3 * Resto: -1

3. Calcular el resto:

(x 3)7  (x 2 x 7)8 x 2

x 2

S o l uc i ó n :

* Aplicando el Teorema del

Resto. x + 2 = 0  x = -2

* Reemplazando en el dividendo:

(-2 + 3)7 _{+ [(-2)}2 _{- (-2) - 7]}8 _{- (-2) - 2}

= R (1)7 _{+ [-1]}8 _{+ 2 - 2 = R}

2 = R

a) 2x2 _{- 3x + 3 b) 4x}2 _{- 6x + 6}

c) x2 _{- x + 1 d) x}2 _{+ x - 1}

e) 2x2 _{+ 3x + 3}

5. En el siguiente esquema de Ruffini:

4 ? 6 ? 8

? -4 ? -15 ?

? ? ? ? 16

hallar la suma de coeficientes del cociente.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

6. Si los coeficientes del cociente entero de dividir:

8x 4 18x 3 ax 2 bx c

2x 3

a) 16 b) 8 c) 20

7. Hallar el resto en la siguiente

división: 13.Al dividir:

x 3 3x 15

x 2

6x 4 4x3  x2 10x 2a

3x 1

a) 5 b) -5 c) 0

d) 1 e) -1

8. Calcular el resto en:

obtengo como resto -1: hallar "a".

 3

(x 2)8 (x 1)4 16

x 1

a) b) 1 c) -1

2

d) 5 e) 5

2 2

a) 0 b) 2 c) 32

d) 16 e) 1

9. Hallar la suma de coeficientes del cociente en la siguiente división:

14.En la división:

2x 4 3x 3 2ax 2 3a

x 1

x(x 2 1) 3x 2 (x 1) 

2 x 2

a) -8 b) -7 c) 8

d) 6 e) -4

10.Calcular el resto en:

(x 1)2n (x 1)n 3

x 2

además "n" es impar.

a) -1 b) 1 c) -2

d) 2 e) 0

Bloque II

11.Hallar "a" en la división exacta:

5x 4 16x 3 8x a

x 3

a) 4 b) -4 c) 3

d) -3 e) -2

12.Hallar el resto en:

(x 4)80 (x 4)60 1

x 5

a) 1 b) 3 c) 2

d) -1 e) 0

el resto es dos, hallar "a".

a) 3 b) 2 c) 1

d) -2 e) -1

15.Hallar el coeficiente lineal del cociente, en la división:

2x5  4x3 2x 5

x 3

a) 50 b) -60 c) -66

d) 66 e) -50

16.Hallar el coeficiente cuadrático del cociente, en:

x5 x 3 x

x 1

a) 3 b) 1 c) 0

d) 2 e) -2

17. Hallar el resto, en:

2x 9 3x6  x3 1

x3 1

a) 1 b) 2 c) 0

d) -1 e) -2

18.Hallar el residuo, en:

3x15 6x10 3

x5 1

a) 5 b) 4 c) 10

a) 2x b) 2x - 12 c) 2x + 5

d) 2x + 12 e) 2x + 7

a) 7 b) -2 c) 2

d) 4 e) 16

4

19.Hallar el resto de la

división: 25.Hallar el resto en:

(x 1)35 7(x 1)28 3(x 1)17 3 x

2

 2x  2

y 8

 y 4 1

y2  y 1

20.Determinar la suma de coeficientes del cociente que se obtiene al dividir:

a) 1 b) 0 c) 8

d) 7 e) 16

26.Hallar el resto en:

4x 80  2x 79  x b

x 1

a) 165 b) 162 c) 163

d) 164 e) 161

Bloque III

21.Hallar el resto de la división:

x3 (x 1)(x 2)

(x 5)(x  4)(x  3)(x  2)...(x 1)(x 2) x 1

a) 1 b) 2 c) 0

d) 16 e) 18

27. Hallar el resto en:

(x 3)(x  7)90  7

x 6

a) 7x + 5 b) 76x + 2 c) 7x + 6

d) 6x - 1 e) 3x - 1

22.En la división:

28.Hallar el resto en:

x 60  x 80 x 90  x 20  4

x n1 _{ (n 2)x n 1} x 1

el término independiente del cociente es -10, ¿de qué grado es el dividendo?

a) 13 b) 9 c) 7

d) 3 e) 8

23.Dado el polinomio:

x10

1

a) 2 b) 4 c) 10

d) 8 e) 6

29.Hallar el resto:

27x 425  81x 424 5x 19

x 3

a) -2 b) 3 c) -4

d) 1 e) 0

F(x) 

(

)

(



2  3

)

(

)

Hallar su valor numérico en: x 

a) 1 b) 5 c)

3  2

3  2

30.En la siguiente división:

(2x 40 n)x  5

; x 1

determinar el resto, para que la suma de coeficientes

d) 6 e) 5 6 del cociente sea 93.

24. Hallar el resto en:

(1  x)

1  x 2 x  1; -1

a) 2 b) -6 c) 18

d) 16 e) 24

a) 8x b) 8x + 8 c) 8x - 6

Autoevaluación

1. Dividir:

3x 4 5x 2

x 2

4. Dividir:

27x 4 6x2  x 15

3x 1

hallar el residuo.

a) 12 b) 24 c) 60

d) 28 e) -16

dar el término independiente del cociente.

a) -3 b) -1 c) 0

d) 9 e) 1

2. Dividir:

3x5 10x2 12x x3 15

x 3

5. Hallar el resto en:

425 424

hallar el resto. 8x 16x

x 2

5x 19

a) 26 b) 223 c) 663

d) 441 e) 645

3. Hallar el término independiente del cociente de dividir.

a) 29 b) 9 c) -9

d) -29 e) 2

2y 4 14y 2y3 5

y 3

a) 16 b) 24 c) 58

d) 169 e) 170

Claves