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(1)

Autómatas y Lenguajes Formales 2016-1

Maestría en Ciencia e Ingeniería de la Computación UNAM Tema 5: Minimización de autómatas, propiedades de cerradura de

lenguajes regulares

Dr. Favio Ezequiel Miranda Perea

[email protected]

Facultad de Ciencias UNAM

(2)

Minimización de AFD

Eliminación de Estados Inaccesibles

SeaM=hQ,Σ, δ,q0,Fiun AFD. Decimos que un estadoq∈Q

es accesible si y sólo si existew ∈Σ? tal queδ?(q0,w) =q.

Es decir,qes accesible si y sólo si el procesamiento de alguna

cadena termina en el estadoq.

El conjunto de estados accesibles de un autómataM se denota

Acc(M).

(3)

Eliminación de Estados Inaccesibles

Es decir,q es accesible si y sólo si el procesamiento de alguna

Acc(M).

(4)

Eliminación de Estados Inaccesibles

Acc(M).

(5)

Eliminación de Estados Inaccesibles

Acc(M).

(6)

Cálculo de estados accesibles

Es claro que el conjuntoAcc(M)puede construirse de manera

algoritmica, por ejemplo como sigue:

I _A_N:={q0}, AV :=∅.

I _{Mientras que}_A_N₆₌_A_V

F AV:=AN

F AN:=AN∪ {q∈Q|δ(p,a) =q a∈Σ, p∈AN}

I _Acc(M) :=AN.

(7)

Cálculo de estados accesibles

I _A_N:={q0}, AV :=∅.

I _{Mientras que}_A_N₆₌_A_V

F AV:=AN

I _Acc(M) :=AN.

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Cálculo de estados accesibles

I _A_N:={q0}, AV :=∅.

I Mientras queA_N6=A_V

F AV:=AN

F AN:=AN∪ {q∈Q|δ(p,a) =q a∈Σ, p∈AN} I _Acc(M) :=AN.

(9)

Cálculo de estados accesibles

I _A_N:={q0}, AV :=∅.

F AV:=AN

(10)

Cálculo de estados accesibles

I _A_N:={q0}, AV :=∅.

F AV:=AN

I _Acc(M) :=AN.

(11)

Cálculo de estados accesibles

I _A_N:={q0}, AV :=∅.

F AV:=AN

(12)

Cálculo de estados accesibles

I _A_N:={q0}, AV :=∅.

F AV:=AN

(13)

Eliminación de estados inaccesibles

Autómata equivalente

Dado unM =hQ,Σ, δ,q0,Fiexiste un AFDM0=hQ0,Σ0, δ0,q00,F0i

equivalente aMque contiene únicamente a los estados

accesibles deM, es decir,Q0=Acc(M)y por lo tanto no contiene

estados inaccesibles.

Basta definirM0como sigue:

I Q0 =Acc(M)

I Σ0= Σ

I _δ0₌_δ_Q0

I _q0

0=q0

I _F0=F∩Q0

La prueba de la equivalenciaL(M) =L(M0)es inmediata y se deja

como ejercicio.

(14)

Eliminación de estados inaccesibles

I Q0 =Acc(M)

I Σ0= Σ

I δ0=δQ0

I _q0

0=q0

I _F0=F∩Q0

como ejercicio.

(15)

Eliminación de estados inaccesibles

I Q0 =Acc(M)

I Σ0= Σ

I δ0=δQ0

I _q0

0=q0

I _F0=F∩Q0

como ejercicio.

(16)

Eliminación de estados inaccesibles

I Q0 =Acc(M)

I Σ0= Σ

I δ0=δQ0

I _q0

0=q0

I _F0=F∩Q0

como ejercicio.

(17)

Eliminación de estados inaccesibles

I Q0 =Acc(M)

I Σ0= Σ

I δ0=δQ0

I _q0

0=q0

I _F0=F∩Q0

como ejercicio.

(18)

Eliminación de estados inaccesibles

I Q0 =Acc(M)

I Σ0= Σ

I δ0=δQ0

I _q0

0=q0

I _F0=F∩Q0

como ejercicio.

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Eliminación de estados inaccesibles

I Q0 =Acc(M)

I Σ0= Σ

I δ0=δQ0

I _q0

0=q0

I _F0=F∩Q0

como ejercicio.

(20)

Eliminación de estados inaccesibles

I Q0 =Acc(M)

I Σ0= Σ

I δ0=δQ0

I _q0

0=q0

I _F0=F∩Q0

como ejercicio.

(21)

Eliminación de estados inaccesibles

I Q0 =Acc(M)

I Σ0= Σ

I δ0=δQ0

I _q0

0=q0

I _F0=F∩Q0

como ejercicio.

(22)

Minimización de AFD Equivalencia de estados

Equivalencias de estados

Minimización

Decimos que dos estadosq,q0 ∈Qde un AFD son equivalentes

q ≡q0si y sólo si:

∀w ∈Σ? (δ?(q,w)∈F ⇔δ?(q0,w)∈F)

(23)

Equivalencias de estados

Minimización

Decimos que dos estadosq,q0 ∈Qde un AFD son equivalentes

q ≡q0si y sólo si:

∀w ∈Σ? (δ?(q,w)∈F ⇔δ?(q0,w)∈F)

(24)

≡

es un relación de equivalencia

La relación≡entre estados es una relación de equivalencia, es decir

cumple lo siguiente:

Reflexividad:q≡q.

Simetria: siq≡q0 entoncesq0 ≡q.

Transitividad: siq ≡q0 yq0 ≡q00entoncesq ≡q00.

estados dada por las clases de equivalencia de cada estado definidas como:

[q] :={p∈Q|q≡p}

Es decir, los conjuntos[q]cumplen lo siguiente:

∀q ∈Q([q]6=_∅).

∀p,q ∈Q([q] = [p]ó[q]∩[p] =∅).

S

(30)

Partición del conjunto de estados

[q] :={p∈Q|q≡p}

∀q ∈Q([q]6=_∅).

∀p,q∈Q([q] = [p]ó[q]∩[p] =∅).

S

(31)

Partición del conjunto de estados

[q] :={p∈Q|q≡p}

∀q ∈Q([q]6=_∅).

∀p,q∈Q([q] = [p]ó[q]∩[p] =∅).

S

(32)

Partición del conjunto de estados

[q] :={p∈Q|q≡p}

∀q ∈Q([q]6=_∅).

∀p,q∈Q([q] = [p]ó[q]∩[p] =∅).

S

(33)

Minimización de AFD Autómata cociente

El autómata cociente

Dado un AFDM =hQ,Σ, δ,q0,Fiexiste un autómataMmin,

equivalente aMy que tiene un número mínimo de estados. Este

autómata se define comoMmin=hQ_m,Σ, δm,[q0],Fmidonde:

Qm:=Q/≡:={[q]|q ∈QM}

[q0]es el estado inicial.

Fm :={[q]|q∈F}

min

Dado un AFDM=hQ,Σ, δ,q0,Fiel autómata cocienteM/≡es el

autómata mínimo equivalente aM. Es decir, se tiene

L(M) =L(M/≡)y no existe un autómata equivalente aM con

menos estados queM/≡.

La equivalencia entreMyMmin se sigue de la siguiente

propiedad:

SeanM=hQ,Σ, δ,q0,Fiun AFD yMminsu autómata cociente.

Para cualesquieraq∈Q, w ∈Σ? se cumple

δ?_m([q],w) = [δ?(q,w)]

(40)

Minimalidad de

M

min

propiedad:

δ?_m([q],w) = [δ?(q,w)]

(41)

Minimalidad de

M

min

propiedad:

δ_m?([q],w) = [δ?(q,w)]

(42)

Minimalidad de

M

min

propiedad:

δ_m?([q],w) = [δ?(q,w)]

(43)

Minimización de AFD k-equivalencia

k

-equivalencia

Definimos la relación dek-equivalencia para cualquierk ∈_N

como sigue:

∀w ∈Σ?,|w| ≤k (δ?(q,w)∈F ⇔δ?(q0,w)∈F)

Es decir, para cualquier cadenaw de longitud menor o igual que

k, los estadosδ?_(q_,_w)_{, δ}?_(q0_,_w)_{son ambos finales o ambos no} finales.

≡k es una relación de equivalencia cuyas clases se denotan con

(44)

k

-equivalencia

como sigue:

∀w ∈Σ?,|w| ≤k (δ?(q,w)∈F ⇔δ?(q0,w)∈F)

(45)

k

-equivalencia

como sigue:

∀w ∈Σ?,|w| ≤k (δ?(q,w)∈F ⇔δ?(q0,w)∈F)

(46)

Propiedades

k-equivalencia

La relación dek-equivalencia cumple las siguientes propiedades:

P1 q ≡q0si y sólo si∀k ∈N(q≡k q0).

P2 q ≡₀q0 si y sólo siq,q0 ∈F óq,q0 ∈Q−F

P3 [q]0=F si y sólo siq ∈F.

P8 SeaPk ={[q]k |q∈Q}la partición dada por la relación≡k para

cualquierk ∈_N.

(52)

Propiedades

k-equivalencia

P8 SeaPk ={[q]k |q∈Q}la partición dada por la relación≡k para

cualquierk ∈_N.

(53)

Propiedades

k-equivalencia

P8 SeaPk ={[q]k |q ∈Q}la partición dada por la relación≡k para

cualquierk ∈_N.

(54)

Minimización de AFD Construcción del autómata mínimo

Construcción del autómata mínimo

Dado un AFDM =hQ,Σ, δ,q0,Fiel AFD mínimo asociado puede

construirse como sigue:

Q:=Q−estados inaccesibles desdeq0.

k :=0 Construir la particiónP0={F,Q−F}.

Repetir

I _k :=k+1

I _Construir_P_k _{a partir de}_P_k₋₁_{manteniendo a dos estados}_q,q0 _{en la} misma clase si y sólo si para todaa∈Σ, los estadosδ(q,a)y

δ(q0,a)estaban en la misma clase enPk−1.

hastaquePk =Pk−1.

En tal casoPk es la partición generada por≡,

(55)

Construcción del autómata mínimo

Repetir

I _k :=k+1

(56)

Construcción del autómata mínimo

Repetir

I _k _:=_k₊₁

(57)

Construcción del autómata mínimo

Repetir

I k :=k+1

(58)

Construcción del autómata mínimo

Repetir

(65)

Propiedades de cerradura

Lenguajes regulares

Las propiedades de cerradura nos permiten construir nuevos

lenguajes regulares a partir de lenguajes ya conocidos por medio de algunas operaciones entre lenguajes.

SiL,Mson lenguajes regulares entonces:

L∪M es regular.

LM es regular.

L? _{es regular.}

L+_{es regular.}

Les regular

L∩M es regular.

(66)

Propiedades de cerradura

Lenguajes regulares

L∪M es regular.

LM es regular.

L? es regular.

L+_{es regular.}

Les regular

L∩M es regular.

(67)

Propiedades de cerradura

Lenguajes regulares

L∪M es regular.

LM es regular.

L? es regular.

L+_{es regular.}

Les regular

L∩M es regular.

(68)

Propiedades de cerradura

Lenguajes regulares

L∪M es regular.

LM es regular.

L? es regular.

L+_{es regular.}

Les regular

L∩M es regular.

(69)

Propiedades de cerradura

Lenguajes regulares

L∪M es regular.

LM es regular.

L? es regular.

L+_{es regular.}

Les regular

L∩M es regular.

(70)

Propiedades de cerradura

Lenguajes regulares

L∪M es regular.

LM es regular.

L? es regular.

L+_{es regular.}

Les regular

L∩M es regular.

(71)

Propiedades de cerradura

Lenguajes regulares

L∪M es regular.

LM es regular.

L? es regular.

L+_{es regular.}

Les regular

L∩M es regular.

(72)

Propiedades de cerradura

Lenguajes regulares

L∪M es regular.

LM es regular.

L? es regular.

L+_{es regular.}

Les regular

L∩M es regular.

(73)

L

=

{

a

i

b

j

|

i

6=

j

}

Lenguajes no-regulares

Supongamos queLes regular.

a?b? claramente es regular.

Por propiedades de cerraduraa?b?−Ltambién es regular.

Peroa?b?−L={ai_bi _|_i_∈

N}que no es regular.

≥

1}

Por propiedades de cerraduraL∩a?b? también es regular.

PeroL∩a?b?={ai_bi _|_i_∈

n

,

n

≥

1}

PeroL∩a?b? ={ai_bi _|_i_∈

(82)

L

=

{

wb

n

| |

w

|

=

n

,

n

≥

1}

PeroL∩a?b? ={ai_bi _|_i_∈