CARACTERIZACION DE LA TAPA ARMONICA DE UN PIANO DE COLA.
NATALIA CALDERÓN CAMPOS
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA MECÁNICA BOGOTÁ D.C.
Tabla de contenido
Lista de Imágenes ... 4
Lista de Gráficas ... 4
Lista de Tablas ... 5
1. Introducción ... 6
2. Conceptos Fundamentales ... 8
3. Física del Piano ... 9
3.1. Diseño General de los Pianos ... 9
3.2. Acción del Piano ... 10
3.2.1. Acción del Piano de Cola ... 10
4. Tapa Armónica del piano (Soundboard) ... 11
4.1. PARTES DE LA TAPA ARMÓNICA ... 12
4.1.1. Puente ... 12
4.1.2. Costillas (Ribs) ... 13
4.2. GEOMETRIA ... 13
5. ANÁLISIS MODAL PARA LA TAPA AMÓNICA DEL PIANO .... 14
5.1. Análisis Modal ... 14
5.2. Modos de Vibración ... 15
5.3. Tipos de análisis Modal ... 17
5.4. Análisis Modal – Experimental ... 17
5.5. Función de Respuesta en Frecuencia (FRF) ... 18
5.5.1. Formas Alternativas y propiedades de la FRF de un sistema SDOF ... 19
5.5.2. Respuesta de un sistema SDOF (Sistema con un único grado de libertad) 20 5.6. ¿En qué influye la respuesta obtenida a partir del análisis modal en el desempeño y diseño de la tapa armónica de un piano? ... 22
5.6.1. Propiedades aplicadas de la Frecuencia ... 23
5.6.2. Propiedades direccionales del Piano ... 24
5.6.3. Vibración de la tapa armónica ... 25
5.6.4. Radiación de Sonido ... 26
5.6.5. Diseño de la tapa armónica ... 26
6. SIMULACIÓN COMPUTACIONAL ... 28
6.1. Análisis Modal ... 28
6.2. Geometría ... 29
6.2.1. Adquisición de Imágenes ... 29
6.2.2. Importación en MatLab ... 30
6.2.3. Modelación Geométrica ... 30
6.3. Definición del Comportamiento de la Estructura a modelar. ... 33
6.3.1. Aplicación del Mallado ... 33
6.3.2. Suposiciones Teóricas del Sistema a Modelar ... 34
6.3.3. Suposiciones de la estructura ... 35
6.4. Condiciones de Frontera ... 36
6.5. Resultados Computacionales ... 36
6.6. Comparación de Resultados Computacionales ... 39
6.7. Influencia del Material en la Simulación ... 41
7. ESTUDIO EXPERIMENTAL ... 42
7.1. Instrumentación ... 42
7.1.1. Martillo de Impulso de Fuerza ... 42
7.1.2. Sensor Piezoeléctrico de voltaje- Unidad de Potencia / Acondicionador .. 43
7.1.4. Acelerómetros ... 44
7.1.5. Instrumentación Adicional. ... 44
7.2. Preparación del Montaje Experimental ... 45
7.2.1. Desarrollo de la soporte de la tapa armónica. ... 46
7.2.2. Determinación del centro de masa de la tapa armónica ... 46
7.3. Calibración de la Instrumentación ... 47
7.3.1. Martillo de Impulso ... 47
7.3.2. Calibración del sistema ... 49
7.4. Prueba de Excitación por Impacto ... 49
7.4.1. Montaje Experimental ... 49
7.5. Tratamiento de Datos ... 52
7.5.1. Auto-correlación y Relación cruzada en MatLab® ... 53
7.5.2. Función de transferencia en MatLab® ... 53
7.5.3. Estimadores o Función de Coherencia ... 54
7.5.4. Función de Coherencia en MatLab® ... 54
7.6. Resultados Experimentales ... 55
7.6.1. Función de Transferencia y Coherencia ... 55
... 56
... 57
7.6.2. Comparación de Resultados ... 60
8. Conclusiones ... 63
9. Trabajo Futuro ... 64
Lista de Imágenes
Imagen 1-Diagrama simplificado del piano (Fletcher & Rossing). ... 9
Imagen 2-Operación del mecanismo de acción de un piano de Cola. (Fletcher & Rossing) ... 11
Imagen 3- Vista superior de la tapa Armónica de estudio. ... 11
Imagen 4- Costillas o Ribs de la tapa armónica (Sohn) ... 13
Imagen 5- Tabla y modos de vibración del modelo. (Escuela de Lutheria. Conservatorio de Bilbao) ... 14
Imagen 6-Modos de vibración de una tapa armónica (Fletcher & Rossing) (Fletcher & Rossing) ... 24
Imagen 7- Primer Modo de vibración (Giordano N. J., 2010) ... 25
Imagen 8- Segundo modo de Vibración. (Giordano N. J., 2010) ... 25
Imagen 9- Tapa armónica del piano (Sohn) ... 26
Imagen 10-Corte de madera “Quarter sawn”. (Green, Winandy, & Kretschman, 1999) ... 27
Imagen 11- Cara Superior T.A. ... 29
Imagen 12- Tapa armónica cargada en Matlab. ... 30
Imagen 13- Suposiciones del análisis modal (Brüel&Kjaer) ... 35
Imagen 14-Martillo de impulso e instrumentación adicional. ... 44
Imagen 15-Tarjetas de Adquisición de datos ... 45
Imagen 16- Fuente de Voltaje variable. ... 45
Imagen 17- Soporte de la tapa armónica. ... 46
Imagen 18- Superposiciones de las imágenes obtenidas. ... 47
Imagen 19-Variables dinámicas del martillo de impulso (APCB Group Company) ... 47
Imagen 20- Gráficos para la calibración del martillo de impulso. (APCB Group Company) ... 48
Imagen 21- Hoja de especificaciones técnicas del martillo (APCB Group Company) ... 49
Imagen 22- Diagrama de conexiones. ... 50
Imagen 23-Montaje experimental. ... 51
Imagen 24- Ubicación de los acelerómetros. ... 55
Imagen 25- Función de Coherencia para la función de transferencia del acelerómetro 3. ... 59
Lista de Gráficas Gráfica 1- Aproximación Geométrica de la Tapa Armónica ... 32
Gráfica 2- Enmallado de la tapa armónica del piano ... 37
Gráfica 3- Modos 1 y 2. ... 37
Gráfica 4- Modo 3 y4. ... 38
Gráfica 5- Modos 4 y 5. ... 38
Gráfica 6-Frecuencia Natural registrada en los seis modos de estudio ... 38
Gráfica 7- Análisis de convergencia por mallado. ... 39
Gráfica 8- Comparación de resultados computacionales. ... 40
Gráfica 9-Variación de Propiedades mecánicas partiendo desde Spruce como base hasta llegar a Ash White Norway. ... 41
Gráfica 10- Espectro típico de potencia de impulso del martillo. (kistler) ... 44
Gráfica 11 ... 56
Gráfica 13- Función de Coherencia para la función de transferencia del
acelerómetro 1. ... 57
Gráfica 14- Respuesta en Frecuencia del acelerómetro 2. ... 57
Gráfica 15- Función de Coherencia para la función de transferencia del acelerómetro 2. ... 58
Gráfica 16- Respuesta en Frecuencia del acelerómetro 3. ... 58
Gráfica 17- Comparación de resultados experimentales y computacionales . 61 Gráfica 18-Comparación de los resultados experimentales de “Spruce” vs. Los de la universidad de Auckland de “Ash White”. ... 62
Gráfica 19- Debate de Resultados Experimentales-Computacionales de Ash White Vs Experimentales de Spruce. ... 62
Lista de Tablas Tabla 1-Definición de las funciones de respuesta en frecuencia (Ewins, 2000) ... 19
Tabla 2- Valores tomados para las propiedades mecánicas de la madera Pícea. ... 27
Tabla 3- Relación Pixel – Distancia Real. ... 30
Tabla 4- Aproximación Contorno Principal ... 31
Tabla 5-Aproximación Puente inferior ... 31
Tabla 6- Aproximación Puente Superior. ... 32
Tabla 7- Parámetros de entrada a la simulación de la tapa armónica del piano. ... 39
Tabla 8- Propiedades mecánicas de las maderas de picea usada y algunas características claves de los resultados presentados. ... 40
Tabla 9 -Resultados Experimentales-Acelerómetro 1 ... 56
Tabla 10- Resultados Experimentales-Acelerómetro 2. ... 57
1. Introducción
Enfocados en el estudio del diseño y construcción de instrumentos musicales, es de resaltar que la mayoría de éstos requieren una estructura que vibra e irradia sonido, y dependiendo del tipo de instrumento, ésta posee un conjunto de partes y mecanismos que le permiten emitir diferentes tonos.
Dentro de los instrumentos musicales que se encuentran en dicha gama, está clasificado el piano. Este instrumento se ha convertido en uno de los más versátiles y populares instrumentos musicales. Es también uno de los instrumentos de madera mas complicados de manufacturar y de diseñar, razón por la cual el presente estudio se centra en el análisis de las propiedades dinámicas y acústicas de una de sus partes principales, la tabla armónica. Las propiedades del piano están determinadas significativamente por el comportamiento de las partes resonantes, tales como: caja de resonancia, que contiene la tapa armónica, martinetes, cuerdas, entre otros; pero generalmente, el comportamiento de la tapa armónica 1tanto acústica y mecánicamente hablando, es de relevante importancia para el diseño y manufactura del mismo (Tippner, Koñas, & V).
El estudio del comportamiento de la tapa armónica del piano, ha venido desarrollándose desde hace ya varias décadas. De manera experimental, se comenzó a través de los resultados de impedancia y radiación del sonido causados por la vibración de la tapa armónica, presentados por Wogram (Wogram, 1981), en donde emplea el método del análisis modal2 para determinar la impedancia y las frecuencias fundamentales de las cuerdas en los puntos de selección. De la misma manera, se han realizado numerosos estudios sobre el comportamiento de la tapa armónica a bajas frecuencias, cuyos resultados muestran similitud con el modelo estudiado por Conklin (Bank, 2000) (Conklin, 1996b). Paralelamente, el comportamiento de la tapa armónica, en la región de altas frecuencias, fue estudiado por Giordano (Giordano, 1998), en donde se reportan resultados acerca de la variación de la impedancia teniendo en cuenta algunas propiedades mecánicas.
Es importante resaltar la contribución de Balázs Bank (2000) en cuanto al método de medición implementado, en donde la tapa armónica fue medida a través de un martillo de impacto cuya consecuencia (movimiento de la tapa), fue detectado por un acelerómetro (Bank, 2000). Dicha técnica de medición, es una de las formas mas comunes para desarrollar el análisis modal y la contribución de Balázs permitió el mejoramiento de dicha técnica.
Así mismo, en el proceso de estudio del comportamiento dinámico de la tapa armónica, existen también estudios computacionales que van encaminados a la modelación de dicho elemento. Entre éstos se encentra Tippner J., Koñas P. Y Dániel V., quienes a través de su estudio, determinan la influencia de los factores en el comportamiento dinámico de éste objeto; en este punto, se presenta la simulación y uso de elementos finitos a través de ANSYS y la
2Análisis modal: Consiste en fijar y marcar una red de puntos de interés a medir, en este caso la tabla armónica de un piano de cola (Grand Piano). Luego, se excita la red de puntos en sucesión mediante los golpes del martinete, que incorpora un medidor de fuerza. Un micrófono de contacto pequeños (acelerómetro), que se fija a la caja de resonancia en un momento dado, y se obtienen de allí los registros de las vibraciones resultantes. La señal eléctrica a partir del acelerómetro se envía a un sistema computacional con el que se analizan posteriormente los datos (Wogram, 1981). (N.)
importancia de variables tales como material, modo de resonancia3 y algunas condiciones de frontera para el análisis frecuencial (Tippner, Koñas, & V).
Kindel y Wang (1987), realizaron comparaciones de los resultados de análisis modal y elementos finitos, a partir de la excitación del sistema (mediante impacto), se desarrolló el análisis de la aceleración como función de la frecuencia (Kindel & Wang, 1987). De la misma forma, se ha estudiado el comportamiento de la tapa armónica a través del análisis interferométrico, como es el caso de Thomas Moore y Sarah Zietlow, quienes enfocaron su estudio, en el análisis de las diferentes formas de deflexión tanto experimental como computacionalmente, la mediciones realizadas se centraron en las frecuencias de resonancia y el punto de impedancia4 que se detectaba superficialmente con un interferómetro (Moore & Zietlow).
En el caso mas cercano de lo que se desea llegar a modelar en este proyecto, esta el ejemplo de J. Berthaut, M.N. Ichochou, L. Jézéquel, quienes en trabajo conjunto, determinaron el comportamiento estructural, numérica y experimentalmente a bajas frecuencias con el fin de generar una herramienta numérica para mejorar y optimizar las tapas armónicas (Berthaut & Ichchou, 2003).
El presente trabajo pretende caracterizar la tapa armónica de un piano (Soundboard), a partir del estudio computacional y experimental, de las variables que determinan el comportamiento acústico-dinámico de ésta. Se pretende concentrar el estudio en las vibraciones y la respuesta en frecuencia del sistema, de manera que a través de la modelación computacional de elementos finitos se obtenga una respuesta dinámica del sistema. Así como también, se pretende realizar la medición experimental de las vibraciones generadas por la tapa armónica, con el fin de contrastar y/o validar la teoría con los resultados obtenidos.
La estructura del presente trabajo, se puede dividir en pasos o fases que son la secuencia implementada para llegar al objetivo final.
- Entender y caracterizar las variables dinámicas que se involucran dentro del comportamiento y la estructura de una tapa armónica.
- Producción de un montaje experimental, que permita realizar mediciones con fines de caracterización.
- Generar un modelo computacional a partir de la teoría para simular el comportamiento de la tapa armónica.
- Comparación de los resultados computacionales con los experimentales.
3 Resonancias: Acústicamente, son los máximos vibracionales del sistema frente a una fuerza periódica externa suministrada. Y son el punto central del estudio de los instrumentos y de la acústica musical. Estas resonancias determinadas por la geometría del instrumento (forma y tamaño) y las características del material[11].
4 Impedancia: Se define como la razón compleja entre la presión sonora y la velocidad volumétrica. Es un parámetro muy útil para poder caracterizar el comportamiento de una onda sonora.[11]
- Utilización de los resultados obtenidos durante los estudios anteriores para la caracterización de la tapa armónica.
2. Conceptos Fundamentales
Sonido: Es un tipo de energía hecha a partir de vibraciones. Es un fenómeno vibratorio que mediante una perturbación inicial del medio elástico en donde se produce, se propaga en él bajo la forma de una vibración periódica de presión.
Resonancia: Fenómeno que ocurre cuando dos fuentes de vibración con
ciclos similares, son ubicadas lo suficientemente cerca para que ambas comiencen a comportarse a la misma tasa.
Frecuencia: Se define como el número de ondas o vibraciones que pasan un punto dado por segundo. La frecuencia de onda es la misma que la frecuencia de la fuente de emisión (Kahn, 1995).
*Frecuencia Fundamental: Dado que la mayoría de tonos son complejos, se puede decir que la componente (o parcial) con la menor frecuencia pura, es la frecuencia fundamental. *Armónicos: Son aquellos encargados de generar el timbre de una fuente sonora. En la mayoría de tonos musicales, la frecuencia de los parciales son múltiplos enteros de la frecuencia fundamental, de tal forma que un tono esta hecho de sus armónicos.
Tapa Armónica (Soundboard): Elemento de la caja de resonancia que se encarga de convertir las vibraciones emitidas por las cuerdas, en tonos audibles. La importancia de manufacturar una tapa armónica de calidad, radica en su posterior capacidad para transmitir y amplificar el sonido. Todas las tapas armónicas están construidas en madera, varía la procedencia de ésta, pero lo que hace que éstas sean únicas para cada piano, a parte de su tamaño, es el proceso de manufactura.
Análisis de Señal: Se define como el proceso de determinar la respuesta de un sistema, debido a cualquier excitación desconocida, y de presentarla en una manera cuya interpretación es sencilla.
Sistema de Análisis: Esta relacionado con las técnicas para
determinar las propiedades inherentes de un sistema. Esto puede ser realizado a través de la simulación del sistema con fuerzas medibles y estudiando la relación respuesta/fuera (susceptibilidad). Es importante resaltar que para sistemas lineales esta relación es independiente y se mantiene así el sistema este en reposo o sea excitado.
Modo de Forma (Mode Shape): Es un patrón específico a una
frecuencia natural de un sistema, es decir la forma en la que vibra libremente un sistema o componente de un sistema que esta asociado con una frecuencia natural característica.
Se puede definir también como un patrón de deflexión, asociado con una frecuencia natural modal o ubicación de polos. Este concepto es forma intangible ya que matemáticamente es un parámetro que define un patrón de deflexión como si existiera de manera aislada de todos los otros modos presentes en la estructura.
Análisis Modal: Método de análisis ampliamente usado para describir las propiedades dinámicas de una estructura en términos de parámetros modales: frecuencia natural, factor de amortiguamiento, masa modal y modos de forma.
FRF: La función de respuesta en frecuencia, es una medición que describe la relación entrada-salida por fuerza, entre dos puntos de la estructura en función de la frecuencia, teniendo como base que tanto la fuerza como el movimiento, son cantidades vectoriales, con magnitud y dirección. Esta es similar a la función de transferencia, excepto que la relación salida/entrada se da en el dominio complejo de Fourier y no en el dominio de Laplace. Es posible obtener la respuesta en frecuencia de la función de transferencia, usando simplemente un cambio de variables 𝑠 =𝑗𝜔 .
Anisotrópico: Valores diferentes de una propiedad en las distintas direcciones del material.
3. Física del Piano
El piano se ha convertido en uno de los instrumentos más versátiles y populares. Tiene un rango de más de siete octavas y un rango amplio dinámicamente hablando.
3.1. Diseño General de los Pianos
Las partes principales de un piano son: el teclado, la acción, las cuerdas, la tapa armónica y el marco. A continuación se presenta un diagrama
simplificado del mecanismo interno de un piano.
Imagen 1-Diagrama simplificado del piano (Fletcher & Rossing).
Básicamente, cuando una tecla es pulsada el amortiguador es levantado y el martillo es levantado contra la cuerda, para que esta comience a vibrar. Las vibraciones de la cuerda son transmitidas por la tapa armónica
a través del puente y las costillas, tienen la función de tensionar la tapa en la dirección cruzada del grano. La tapa armónica es la principal fuente que radia sonido.
Para obtener el volumen deseado, las cuerdas el piano son retenidas a altas tensiones que probablemente exceden los 1000[N] (Fletcher & Rossing). Y para poder mantener la estabilidad tonal dentro del piano, ya que son alcanzadas altas magnitudes de tensión, se hace uso de un robusto marco de hierro fundido.
Es importante resaltar, que la madera usada para fabricar el piano, afecta directamente la resonancia. Sí la madera es de alta calidad, la resonancia será excelente.
3.2. Acción del Piano
En principio, la acción del piano se encarga de transmitir energía desde los dedos de quien toca el instrumento, a través del martillo hasta las cuerdas.
3.2.1. Acción del Piano de Cola
En un piano de cola típico, cuando la tecla es presionada, la fuerza es transmitida al martillo por la acción de dos palancas. Durante la fase de aceleración, la tecla se mueve a una velocidad 𝑣!(𝑡), mientras que el martillo se mueve a una velocidad 𝑣! 𝑡 . Para pianos Steinway y Bechstein, la relación 𝑣! 𝑣
! =5.5 durante aproximadamente el 70% de la pulsación,
después de lo cual el martillo mantiene un movimiento libre de vaivén (Fletcher & Rossing).
A continuación se presenta un esquema descriptivo de cómo es el funcionamiento de la acción del piano. En la primera ilustración (a), la tecla es presionada y los demás componentes son elevados. En la segunda ilustración (b), la tecla comienza a levantar el amortiguador. Luego, en la ilustración (c) y (d) el martillo rebota desde las cuerdas y es atrapado por un control trasero.
Finalmente, luego de ser soportado por el control trasero, el martillo se atenúa como se muestra en la ilustración (e).
Imagen 2-Operación del mecanismo de acción de un piano de Cola. (Fletcher & Rossing)
4. Tapa Armónica del piano (Soundboard)
La tapa armónica de un piano, es un elemento encargado de convertir las vibraciones de las cuerdas del piano en tonos audibles. Ésta tiene una corona curvada con el fin de ejercer presión a las cuerdas y de este modo entregar la máxima proyección de sonido. El diseño de la tapa armónica es generalmente diafragmático, esto quiere decir que el espesor de ésta termina en punta, desde el centro a las esquinas; lo cual permite libertad de movimiento generando una respuesta tonal más perdurable. En este caso, la tapa armónica que se estudiará es perteneciente a un piano de ¼ de cola francés, de marca Henry Herz, cuya ilustración se presenta a continuación.
Imagen 3- Vista superior de la tapa Armónica de estudio.
Para el entendimiento del lector, se presenta a continuación un esquema básico de los componentes internos de un piano y el elemento en cuestión.
Figura 1- Esquema de un piano y sus componentes resonantes. (Fletcher & Rossing)
4.1. PARTES DE LA TAPA ARMÓNICA
4.1.1. Puente
Los pianos modernos, tienen dos puentes: un puente principal al cual van sujetadas las cuerdas que emiten los sonidos agudos y medios, y un puente de bajos, más corto que el principal. Este último esta hecho 2 o 3 cm más alto que el puente principal, con el fin de elevar o levantar las cuerdas de los bajos, par que el puente pase fácilmente sobre el puente y las cuerdas.
En pianos pequeños, el puente de bajos es de tipo cantiléver.
Básicamente, el puente puede ser entendido como aquel elemento que cumple una función similar a la de un transformador que ejerce una impedancia a las cuerdas, como si estas estuvieran terminando directamente en la tapa armónica. Estos puentes juegan un papel importante en la producción del tono, es decir, si se cambian o rediseñan dichos puentes, se puede obtener una modificación en el volumen, duración y calidad tonal; éstos permiten que la tapa armónica responda a las vibraciones de las cuerdas, en el plano longitudinal y normal de la tapa armónica.
4.1.2. Costillas (Ribs)
Las costillas, también denominadas refuerzos, están pegadas en la parte trasera de la tapa armónica, en el lado opuesto a los puentes. Estas le otorgan un refuerzo a la tapa armónica y ayudan a mantener la corona (se encuentra en la parte superior de la tapa y se encarga de ejercer una fuerza opuesta a la de las cuerdas) de la tapa armónica.
Imagen 4- Costillas o Ribs de la tapa armónica (Sohn)
4.2. GEOMETRIA
Los sistemas que se analizan en acústica, tienen un nivel de complejidad puesto que según la geometría de la estructura, los modos naturales de vibración también se van haciendo más complejos.
Las frecuencias y los modos de vibración se pueden calcular matemáticamente conociendo como actúan las fuerzas internas y calculando la ecuación diferencial de movimiento del sistema (lo cual se encuentra explicado más adelante).
El sistema de estudio, se puede modelar como una placa o tabla que vibra, según estudios realizados por la escuela de Lutheria (Escuela de Lutheria. Conservatorio de Bilbao), se dice que una placa cuya longitud sea al menos 10 veces mayor que su anchura se puede considerar como una tabla unidimensional.
De esta forma, un elemento de material elástico tiene a determinadas frecuencias, unos modos de vibración naturales que se pueden calcular conociendo las características geométricas y propiedades mecánicas del material.
Las frecuencias características, serán proporcionales al espesor h de la tabla y a la raíz cuadrada del módulo de Young de la madera, e inversamente proporcionales al cuadrado de la longitud L al cuadrado de la longitud L.
En esta fórmula el módulo de Young se explica físicamente como la facilidad de deformar el material, ρ es la densidad volumétrica del material (kilogramos por unidad de volumen). En una tabla Libre-Libre tenemos unos modos de vibración con puntos nodales en los que la velocidad es nula y zonas en las que la velocidad de vibración es máxima (Escuela de Lutheria. Conservatorio de Bilbao).
Imagen 5- Tabla y modos de vibración del modelo. (Escuela de Lutheria. Conservatorio de Bilbao)
5. ANÁLISIS MODAL PARA LA TAPA AMÓNICA DEL
PIANO
5.1. Análisis Modal
Centrados en el análisis de instrumentos de cuerdas como lo es el piano, en este caso en particular, es importante resaltar que las cuerdas vibrantes transfieren su energía a una estructura sólida o una tapa armónica, cuya función es irradiar o amplificar, de manera más eficientemente que las cuerdas. Es por esto, que el comportamiento de las vibraciones en la estructura es estudiado en términos de los modos de vibración, y el aspecto más importante en la ciencia de las cuerdas de instrumentos, es analizar los modos normales de vibración.
Por lo anterior, se emplea el análisis modal, éste es ampliamente utilizado para describir las propiedades dinámicas de una estructura en términos de los parámetros modales: frecuencia natural o de resonancia, factor de amortiguamiento y el modo de forma. Este tipo de análisis debe ser realizado de forma matemática o experimental (Rossing). De la forma matemática, se pretende descomponer las ecuaciones estructurales de movimiento, de manera tal que cada ecuación de movimiento pueda ser solucionada por separado. No obstante, cuando las soluciones exactas no son posibles, los métodos de aproximaciones numéricas tales como elementos finitos y elementos de frontera son implementados.
De la forma experimental, el análisis modal, es desarrollado a partir de una fuerza medible que excite el sistema en uno o varios puntos y la respuesta es medida en dichos puntos, con el fin de construir la función de respuesta en frecuencia. Así mismo, los parámetros modales pueden ser determinados partiendo de dichas funciones a partir del modelo computacional.
Antes de proceder con las propiedades y parámetros que hacen parte del análisis modal, es pertinente aclarar el concepto de Modo.
5.2. Modos de Vibración
Un modo de vibración esta definido como una frecuencia modal y una forma de modo; un ejemplo claro de esto, es la manera en la que una cuerda vibra, en ésta las vibraciones tienen una amplitud proporcional al valor de la frecuencia natural.
Los modos (o resonancias) son propiedades inherentes de una estructura (Richardson, 1999); las resonancias están determinadas por las propiedades del material entendidas estas como masa, rigidez y propiedades de amortiguamiento, y condiciones de frontera de la estructura. Cada modo esta definido por una frecuencia natural (modal o resonante), por un amortiguamiento modal y una forma de modo. Con lo cual, si las propiedades o condiciones de frontera de una estructura cambian, su modo lo hará también.
Los modos de vibración de una estructura se encuentran clasificados de manera general en dos formas: Modo normal y modo complejo.
• Modo Normal: Representa el movimiento de un sistema lineal a la
frecuencia normal (eigen-frecuency). Físicamente, estos modos pueden caracterizarse por el hecho de que todas las partes de la estructura de estudio se mueven en fase, o fuera de fase a 180º una respecto a la otra (Brüel&Kjaer). Cada modo esta caracterizado por una frecuencia natural, un modo de forma y un factor de amortiguamiento. El término “normal”, implica que cada forma es independiente de, ortogonal a, todos los otros modos de forma de vibración del sistema. En el sentido estrictamente matemático, un modo normal provee una solución para un sistema sub-amortiguado, en donde cada modo de forma (mode shape) representa una lista de desplazamientos en diferentes lugares y en diferentes direcciones. Estos vectores normales modales contienen un número para cada grado de libertad estudiado. También se tiene que el factor de amortiguamiento de cada modo es proporcional a la frecuencia natural asociada, pero cuando los modos normales proveen una solución exacta, el amortiguamiento es proporcional a la distribución de la masa, en tanto cada factor de amortiguamiento es inversamente proporcional a su frecuencia natural asociada. En el caso en el cual dichas condiciones de proporcionalidad no existen, entonces la estructura debería ser modelada con modos de forma complejos.
Ilustración 1- Modo Normal (Brüel&Kjaer)
• Modos Complejos: Pueden tener alguna relación de fase entre las
diferentes partes de la estructura. Las formas modales complejas pueden ser consideradas como entes que se propagan sin líneas de nodo estacionarias (Brüel&Kjaer). Esto es, que los desplazamientos modales son complejos y pueden tener algún valor de fase.
Ilustración 2-Modo Complejo (Brüel&Kjaer)
• ¿Cuándo esperar modos normales o complejos?
La distribución del amortiguamiento en una estructura determina cuales modos serán normales o complejos. Es decir, cuando una estructura tiene amortiguamiento bajo o nulo, ésta exhibe modos normales. De la misma forma, sí el amortiguamiento esta distribuido de la misma forma que la inercia o la rigidez (proporcional al amortiguamiento), se puede decir que se espera encontrar un modo normal.
Por el contrario, estructuras con amortiguamiento localizado como automóviles, están determinadas a tener modos complejos.
5.3. Tipos de análisis Modal
Teniendo en cuenta que la realización del análisis se da en el dominio de la frecuencia (FRF), es apropiado entonces considerar el rango de frecuencia en el cual cada análisis individual será ejecutado, lo cual divide el análisis modal en dos categorías (Ewins, 2000):
• Métodos SDOF, por sus siglas en inglés Single Degree of Freedom, o
con un solo grado de libertad.
• Métodos MDOF, por sus siglas en inglés Multiple Degree of Freedom,
o con múltiples grados de libertad.
Y como una clasificación aparte, y según el número de FRF’s (Frequency Reponse Function) que están incluidas en un único análisis, lo anterior teniendo en cuenta que se deben tener en cuenta diversos análisis para poder establecer el procesamiento total de una prueba. Dentro de esta clasificación se tienen tres tipos diferentes de FRFs:
• SISO: Por sus siglas en inglés (Single-Input Single-Output). Este tipo
se encarga de describir individualmente una función de respuesta en frecuencia. Se emplea cuando se tiene una sola entrada y una sola salida en el sistema a caracterizar.
• SIMO: Por sus siglas en inglés (Single-Input Multiple-Output). Cuyo
objeto es referirse al conjunto de funciones de respuesta en frecuencia que han sido medidas simultáneamente en diferentes puntos de respuesta, pero todas bajo la misma excitación. Es usado cuando se tiene solo una entrada (en este caso el martillo de impulso) y diferentes señales de respuesta (varios acelerómetros dispuestos a lo largo de la estructura).
• MIMO: Por sus siglas en inglés (Multiple-Input Multiple-Output). En la
cual se tienen diferentes respuestas en distintos puntos de la estructura, bajo excitaciones en diferentes puntos de la estructura al mismo tiempo.
5.4. Análisis Modal – Experimental
La idea básica del análisis modal de forma experimental se centra de la misma forma que lo anterior, en la determinación de las frecuencias naturales, constantes de amortiguamiento y formas de los modos (mode-shape), a través de pruebas de vibración. Existen dos ideas fundamentales:
• Cuando una estructura es excitada, su respuesta exhibe un pico alto
de resonancia sí la frecuencia forzada es igual a su frecuencia natural y el amortiguamiento no es significativo.
• El cambio de fase en la respuesta puede ser dado a 180º en tanto la
frecuencia forzada sobrepase la frecuencia natural de la estructura; o 90º si ésta es igualada.
A la hora de realizar este tipo de análisis de forma experimental, es necesario tener un equipo que cumpla los requerimientos necesarios, es decir que se componga de:
Ilustración 3- Configuración general de una prueba modal (Brüel&Kjaer)
• Una fuente de vibración o un elemento que excite el sistema, con el fin
de aplicar una fuerza conocida de entrada. En el caso en particular de estudio, esta fuente es un martillo de impacto con un transductor de fuerza incorporado en la cabeza. Este tipo de instrumento, es usado para impactar la estructura, de modo que se excite un rango amplio de frecuencias y poder caracterizarlas.
• Un transductor para convertir el movimiento físico de la estructura en
una señal eléctrica. En el presente proyecto, se aplica un transductor de tipo piezoeléctrico denominado acelerómetro. Éste genera señales proporcionales a la fuerza, en donde el material piezoeléctrico actúa como un resorte rígido haciendo que tenga una frecuencia de resonancia o natural.
• Un amplificador de acondicionamiento de señal, para hacer
compatibles las características del transductor con la entrada electrónica del sistema digital de adquisición de datos. Es usado para hacer coincidir y amplificar las señales antes de ser analizadas.
• Un analizador para realizar el procesamiento de señales y el análisis
modal a través de un software apropiado. Que en el caso particular de estudio será implementado el software LabView y la tarjeta de adquisición de datos National Instruments.
5.5. Función de Respuesta en Frecuencia (FRF)
La función de respuesta en frecuencia, es una medición fundamental que aísla las propiedades dinámicas inherentes de una estructura. Esta describe la relación entrada-salida por fuerza, entre dos puntos de la estructura en función de la frecuencia, teniendo como base que tanto la fuerza como el movimiento, son cantidades vectoriales, con magnitud y dirección.
En principio la respuesta en frecuencia es una herramienta que permite el análisis de las vibraciones de un sistema. Esta puede ser definida como una función de transferencia expresada en el dominio frecuencial. Una respuesta en frecuencia es una función compleja con componentes reales e imaginarios, cuya representación esta dada en términos de magnitud y fase. En términos
generales, este tipo de función expresa el comportamiento estructural de una fuerza, aplicada como función de la frecuencia, es decir en términos de desplazamiento, velocidad o aceleración (como es el presente caso de estudio).
El propósito del presente estudio, es obtener una función de transferencia a partir de la respuesta en frecuencia de la tapa armónica del piano.
5.5.1. Formas Alternativas y propiedades de la FRF de un sistema SDOF
Existen tres formas básicas para poder llegar a la función de respuesta en frecuencia de un sistema de un grado de libertad. A continuación, en la tabla 1 se presentan dichas formas.
Tabla 1-Definición de las funciones de respuesta en frecuencia (Ewins, 2000)
Parámetro de respuesta FRF
Definición Parámetro
Inverso de
respuesta Receptancia,
Admitancia 𝑌 𝜔 =𝑋𝑒 !"#
𝐹𝑒!"# = 𝑋 𝐹
Rigidez dinámica
Movilidad 𝑌 𝜔 = 𝑉
𝐹
Impedancia Mecánica Acelerancia
𝑌 𝜔 = 𝐴
𝐹
Masa Aparente
En donde X es la respuesta del sistema en términos del desplazamiento, V la velocidad de respuesta y A la aceleración a la salida del sistema.
El modelo básico que se pretende implementar se presenta en la siguiente ilustración.
Ilustración 4- FRF Modelo básico.
En donde la fuerza de entrada es la que se proporciona mediante el impacto con el martillo de impulso 9722A, H es la función de transferencia y A la respuesta en aceleración que proporciona el acelerómetro dispuesto en cada una de las ubicaciones principales de la tapa armónica.
A partir de las mediciones experimentales se pretende determinar las características que identifican un sistema de este estilo.
Es por lo anterior, que la FRF del un sistema, y se define como se muestra a continuación (Brüel&Kjaer):
H(w)
Fuerza de
Entrada AceleraciónRespuesta
𝐻 = 𝑋 𝜔
𝐹 𝜔
Esto representa la proporción compleja entre la salida y la entrada, como función de la frecuencia 𝜔 . Es decir, la función como magnitud 𝐻 𝜔 y una fase ≮𝐻 𝜔 = Φ(𝜔). Es importante recalcar, que la función de respuesta en frecuencia de un sistema describe las propiedades dinámicas de un sistema independientemente del tipo de señal usado para la medición.
La relación que existe entre la función de transferencia y la función de respuesta en frecuencia de un sistema, radica en que la primera es un modelo matemático que define la relación entre la entrada y la salida de un sistema físico, y matemáticamente, esta función de transferencia es definida como la transformada de Laplace de la salida y la entrada, una dividida la otra. Sin embargo, la función de respuesta en frecuencia, es definida de la misma forma (relación entrada-salida) y esta relacionada con la función de transferencia; no obstante, la definición matemática de la FRF, es la proporción de la transformada de Fourier a la salida y entrada (out/in). Entonces, la relación existente se explica en el proceso de pruebas, en donde las medidas tomadas durante una prueba modal son función de la respuesta en frecuencia y el tratamiento de datos se realiza en el dominio de Laplace que lleva a las funciones de transferencia. Mientras que la FRF, es simplemente la función de transferencia medida a lo largo del eje imaginario (Brüel&Kjaer).
Ilustración 5-Representación en 3D de Laplace (Brüel&Kjaer)
5.5.2. Respuesta de un sistema SDOF (Sistema con un único grado de libertad)
Aunque muy pocas estructuras pueden ser modeladas por un sistema tipo SDOF. Las propiedades de tales sistemas son muy importantes porque aquellos sistemas mas complejos, pueden ser representados como la superposición lineal de un número determinado de SDOFs característicos (Ewins, 2000).
La ecuación de movimiento para un sistema de este tipo se muestra a continuación.
𝑦+2𝜁𝜔!𝑦+𝜔!!𝑦 =𝑥 𝑡
En donde se debe usar una solución general:
x t =Xe!"
Con lo cual se obtiene una condición que debe ser satisfecha para una solución existente, como se muestra a continuación:
𝑚𝑠!+cs+k =0 ; 𝑠
!,! =−
𝑐
2𝑚±
𝑐!−4𝑘𝑚
2𝑚 = −𝜛!ξ±i𝜛! 1−𝜉!
𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝜔! = 𝑘
𝑚 𝜁= 𝑐
𝑐! 𝑐! =2𝑘𝑚
Lo cual implica una solución modal de la siguiente forma:
𝑥 𝑡 = 𝑋𝑒!!!!"𝑒!!(!! !!!!)!
= 𝑋𝑒!!!𝑒!!!!!
En donde esta respuesta es un único modo de vibración, con una frecuencia natural compleja que tiene dos partes:
• Una parte imaginaria u oscilatoria; con una frecuencia de 𝜔!! =
𝜛! 1−𝜉!.
• Una parte real o decreciente; con una tasa de amortiguamiento de
𝛼(=𝜉𝜛!)
Que de manera física, la segunda parte (real), es representada gráficamente como la envolvente de la oscilación de la parte imaginaria.
Si se considera una respuesta forzada en donde 𝑓 𝑡 = 𝐹𝑒!"# y como en la definición anterior x t =Xe!!!. Dando como resultado la siguiente ecuación de movimiento:
−𝜔!𝑚+𝑖𝜔𝑐+𝑘 𝑋𝑒!"# =𝐹𝑒!"# Ilustración 6‐ SDOF (Rao, 2004)
Cuya representación en términos de la respuesta en función de frecuencia (FRF), esta dada de la siguiente forma
𝐻 𝜔 =𝛼 𝜔 = 1
𝑘−𝜔!𝑚 +𝑖(𝜔𝑐)
De donde se obtiene una magnitud y un ángulo de fase. 𝛼 𝜔 = 𝑋
𝐹 =
1
𝑘−𝑤!𝑚 +𝑖 𝑤𝑐 ;< 𝛼 𝜔 =tan
!! −𝜔𝑐 𝑘−𝜔!𝑚
5.6. ¿En qué influye la respuesta obtenida a partir del
análisis modal en el desempeño y diseño de la tapa armónica de un piano?
Para contextualizar el análisis modal y la respuesta en frecuencia de la tapa armónica del piano, es importante tener en cuenta que el campo de aplicación de mayor importancia, en el cual los parámetros de estudio juegan un papel importante, es el de la restauración5 y la manufactura de los mismos. En el campo de la restauración, es fundamental el estudio de aspectos mecánicos y vibratorios: el alcance del proceso es entonces volver al desempeño inicial del piano. En estudios previos realizados por la Universidad de Genoa (Italia) (ANALYSIS RESTORATION, 2009), se hizo énfasis en que la caracterización de una familia de violines, generalmente encuentra referencia en instrumentos famosos, a los cuales se les realiza este tipo de análisis: vibraciones estructurales y modelos dinámicos; cuyos resultados de simulaciones y experimentos, son utilizados efectivamente para la actividad práctica de los fabricantes.
No obstante, hoy en día la restauración de instrumentos musicales es una actividad bastante complicada que envuelve un amplio espectro de aspectos técnicos, históricos y culturales, cuyo énfasis ha sido desarrollado sólo en la parte estructural, dejando de lado los aspectos acústicos y vibratorios.
En lo que respecta al campo de vibraciones, se sabe que esta meramente ligado a las propiedades inherentes del material, es por esto que al tener en cuenta el envejecimiento de los materiales, se llega a decir que siendo éste un proceso irreversible, las propiedades de amortiguamiento, rigidez, parámetros dinámicos y/o la respuesta acústica, cambian con el curso del tiempo (ANALYSIS RESTORATION, 2009).
En cuanto a la manufactura de pianos, se sabe que un proceso correcto de construcción es la imitación de los pianos originales, pero la construcción del mismo podría ser fuertemente facilitada sí estuviera disponible información y/o datos geométricos, estructurales, dinámicos, de vibraciones y acústicos. Es entonces el propósito facilitar en este sentido herramientas flexibles para sostener análisis acerca del comportamiento dinámico de los componentes de instrumentos de cuerda ( en este caso el piano), combinando resultados
5 Restauración: Rama del arte que se encarga de la reparación y conservación de obras
numéricos provenientes de simulaciones y de análisis modales de forma experimental.
Ambos procedimientos, tanto el experimental como el numérico exhiben ventajas y limitaciones aplicados por separado, sin embargo una integración de ambos permite desarrolla herramientas más precisas y acertadas.
Ahora bien, el conocimiento preciso de las frecuencias de vibración correspondientes en los diferentes modos, es muy importante durante las fases de construcción, además el análisis modal es fundamental para cualquier tipo de aproximación estructural ya que permite crear límites de diseño, para que el instrumento funcione de manera óptima sin perder sus características fundamentales.
5.6.1. Propiedades aplicadas de la Frecuencia
• Tapa Armónica
Como se ha desarrollado anteriormente, la tapa armónica del piano, es la parte más relevante del piano, puesto que su función radica en radiar el sonido que producen las cuerdas; es decir, la vibración de las cuerdas pasan a través del puente y de allí a la tapa armónica, en donde la energía mecánica es transformada en energía acústica.
El modelo mas simple del cual se puede hacer uso para representar este componente, es un plato rectangular con soportes en sus esquinas (Fletcher & Rossing). La exactitud de este modelo puede ser determinada comparando las frecuencias estimadas para cada modo según el modelo matemático y las frecuencias registradas a través de la experimentación.
Existen entonces dos aproximaciones matemáticas:
𝑓!,! = 0,453ℎ 𝑐! 𝑚+1 𝐿!
!
+𝑐! 𝑛+1 𝐿!
!
𝑐! = 𝐸!
𝜌(1−𝜈!"𝜈!" ; 𝑐! =
𝐸! 𝜌(1−𝜈!"𝜈!"
Y la otra aproximación (Kaplan, 2010), se denota como sigue:
𝑓!,! = 0.453𝑐!ℎ 𝑚! 𝐿!! +
𝑛!
𝐿!!
En donde 𝑐!,ℎ son la velocidad longitudinal de propagación de onda en un placa (3600 [m/s]) y el espesor de la placa, respectivamente.
Es importante resaltar, que existe una diferencia entre los valores que se predicen usando cualquiera de las aproximaciones mencionadas anteriormente, sin embargo, esto se debe a que en la realidad la tapa armónica no es rectangular, puesto que en una de las esquinas, hay una parte inexistente. En ausencia de esta parte, se evidencia entonces una reducción en el área, haciendo que la longitud de onda en la frecuencia de resonancia característica, sea mas pequeña que en una placa rectangular.
Al tener determinada entonces la frecuencia de cada modo o por lo menos de los más significativos a la hora de caracterizar el instrumento, es posible poder devolverse a través de las relaciones matemáticas estipuladas anteriormente, para poder determinar dimensiones geométricas y/o el tipo de material que más se adecue según sus propiedades mecánicas.
5.6.2. Propiedades direccionales del Piano
Las propiedades direccionales del piano, son resultado de la interacción entre los patrones de radiación sonora por parte de la tapa armónica y la tapa del piano. Las cuerdas tienen una influencia menor particularmente en el rango de altas frecuencias, en donde ellas radian cierta cantidad de energía (Kaplan, 2010). Pero debido a que el diámetro de la cuerda es mucho menor y dado que son por naturaleza malos radiadores, entonces el estudio se limita al estudio de la tapa armónica.
Si se ignora la influencia de la tapa, las propiedades direccionales del piano pueden ser analizadas a través de los patrones de radiación sonora de la tapa armónica.
• Para los modos altos, el comportamiento de la radiación es
impredecible y resulta en arreglos de mono-polos y dipolos.
• Para los 5 primeros modos de vibración (bajos), el patrón aumenta en
un mono polo, cuya oscilación está en desfase con sus vecinos.
• Se puede decir entonces, que el modo mas bajo es un mono polo, el
segundo modo es un dipolo (compuesto de dos monopolios que oscilan desfasados uno respecto al otro), el tercer modo es un mono polo y un dipolo, el cuarto modo son dos dipolos y el quinto modo esta formado por dos dipolos y un mono polo.
A continuación se presentan los diferentes modos de vibración (5 primeros modos) de una tapa armónica perteneciente a un piano de cola de concierto de 2.7 [m] de largo.
Imagen 6-Modos de vibración de una tapa armónica (Fletcher & Rossing) (Fletcher & Rossing)
5.6.3. Vibración de la tapa armónica
Las vibraciones de éste elemento se deben a la respuesta frente una fuerza externa de la cuerda. Es importante resaltar que el desplazamiento de la tapa armónica mientras vibra, es dependiente de factores tales como: la frecuencia de la nota, la fuerza aplicada en la tecla y la ubicación dentro de la tapa armónica, en la que se realice la medición (Giordano N. J., 2010).
Como se presentó anteriormente, existen distintos modos en los cuales la tapa armónica puede vibrar. En la siguiente figura se ilustra el primer modo, llamado también “modo respiratorio” gracias a que su comportamiento se asemeja al de la respiración (movimiento ascendente y descendente). Este modo se caracteriza por presentar la frecuencia más baja y la mayor longitud de onda. Varía inversamente con el tamaño total de la tapa armónica y es entonces aquel modo en el que a menor tamaño, la frecuencia natural es mayor (puesto que la longitud de la cuerda es menor).
Imagen 7- Primer Modo de vibración (Giordano N. J., 2010)
Es importante resaltar que en la figura que se presenta, hay una región simbolizada con el símbolo +, que es denominada “blanco”, en donde se presenta el punto con mayor amplitud de vibración. No obstante, cuando se presenta el segundo modo de vibración aparece un dipolo, o dos blancos, en donde uno es representado a través del símbolo +, y el otro con el símbolo -; dichas convenciones se centran en enfatizar que existen dos altas frecuencias que están vibrando fuera de fase una con respecto a la otra, como se muestra en la siguiente figura (Giordano N. J., 2010).
Cabe resaltar que este modo no es llamado “segundo armónico”, ya que las frecuencias de la tapa armónica no forman una serie de armónicos (Giordano N. J., 2010).
El comportamiento descrito anteriormente para cada uno de los dos primeros modos, se extiende de forma que aparecen más blancos, con diferentes frecuencias naturales y fuera de fase entre cada uno.
5.6.4. Radiación de Sonido
La radiación de sonido, es el papel fundamental de la tapa armónica. Las cuerdas son conectadas a la tapa armónica a través del puente; la energía mecánica proveniente de las cuerdas es transmitida del puente a la tapa armónica y emitido como energía acústica (Kaplan, 2010).
El comportamiento de la radiación sonora, es altamente dependiente de la frecuencia. Por debajo de aproximadamente 80 Hz, la tapa armónica se comporta como un radiador débil ya que en este rango de frecuencias se excede el tamaño de la tapa armónica y por esto es incapaz de resonar eficientemente.
5.6.5. Diseño de la tapa armónica
En la siguiente figura se presenta una tapa armónica. La imagen (a), es la vista superior, en donde se aprecia tanto el puente para las cuerdas que emiten los sonidos graves del instrumento, así como el puente para los tonos medios y agudos. La imagen (b), es la vista posterior del componente y enfatiza en la presencia de las costillas.
Imagen 9- Tapa armónica del piano (Sohn)
La tapa armónica está fabricada usualmente de madera Picea, específicamente de Picea Sitka o de Picea roja. Esta madera se caracteriza por ser ligera, tener alta resistencia (en su orientación longitudinal) y por tener características vibratorias favorables a comparación de los otros tipos de madera (Giordano N. J., 2010).
Debido a la estructura de grano, la madera es un material anisotrópico, es decir que sus propiedades mecánicas son diferentes en todas las direcciones. Estas son construidas pegando tiras largas de madera típicamente de 10 a 20 cm de ancho, con un espesor de aproximadamente 9 mm en el centro de la pieza y de 6mm cerca de las esquinas (Conklin, 1996b).
Las tiras de madera son cortadas del árbol en una forma denominada “quarter-sawn”, en el cual el grano de madera corre paralelo al borde largo de la tira. Como se muestra en la siguiente imagen.
Imagen 10-Corte de madera “Quarter sawn”. (Green, Winandy, & Kretschman, 1999)
Según el corte que se aplica, se puede debe determinar principalmente dos direcciones: una a que se aprecia a lo largo del grano y otra que es perpendicular al grano. Lo anterior, debido a que las propiedades en cada dirección son totalmente diferentes. La propiedad elástica más importante es el módulo de Young, el cual determina la facilidad, que tiene cada una de las tiras que componen la tapa armónica, de ser inclinada o curvada en pro de la determinación de las propiedades vibratorias de la tapa armónica.
Para el caso en particular de estudio, se tomaron los valores de dichas propiedades como se presentan a continuación, según estudios desarrollados por Berthaut J, en “Etude de plaques orthotropes”.
Tabla 2- Valores tomados para las propiedades mecánicas de la madera Pícea.
𝜌 𝑘𝑔
𝑚! =390
𝐸! [𝐺𝑃𝑎] 11.6 𝐺!" [𝐺𝑃𝑎] 0.5 𝑣!" [𝐺𝑃𝑎] 0.37
𝐸! [𝐺𝑃𝑎] 0.9 𝐺!" [𝐺𝑃𝑎] 0.039 𝑣!" [𝐺𝑃𝑎] 0.5 𝐸! [𝐺𝑃𝑎] 0.5 𝐺!" [𝐺𝑃𝑎] 0.75 𝑣!" [𝐺𝑃𝑎] 0.43
Se dice entonces que la madera de este tipo, es más fuerte a lo largo de la dirección de grano (longitudinal: L), a comparación de la dirección perpendicular (tangencial: T). Lo cual explica el comportamiento común de las tapas armónicas, de presentar grietas en la dirección paralela al grano.
La tapa armónica es sujetada rígidamente a la caja armónica exterior y gracias a que en sus extremos es mucho más delgada, esta adquiere más flexibilidad.
Teniendo en cuenta la ubicación y las propiedades del material, se procede a evaluar las propiedades vibratorias del elemento, y es en este punto en donde la relación entre el modulo de elasticidad E y la densidad del material, denominada Q, juega un papel importante.
• Entre mayor sea la anterior relación Q, significa que las vibraciones
decaen lentamente con el tiempo.
• Por el contrario, con un decaimiento rápido en el tiempo, se tiende a
producir un sonido confuso, mientras que para relaciones que toman valores altos de Q, el sonido es claro y placentero.
• La relación entre el módulo de elasticidad o modulo de Young y la
densidad del material, en nuestro caso particular, la madera de tipo Picea, esta dentro del rango alto, lo cual es favorable pues permite que las vibraciones decaigan lentamente, para generar una mejor calidad de sonido. (Kaplan, 2010)
6. SIMULACIÓN COMPUTACIONAL
6.1. Análisis Modal
Un análisis modal determina las características de vibración (frecuencia natural y modos de forma) de una estructura.
Puntos a Remarcar
• Solo es válido si se asume un comportamiento lineal. • El amortiguamiento es ignorado en un análisis modal. • Cualquier carga aplicada es ignorada.
6.2. Geometría
En el caso en particular de estudio, se desarrolló un modelo en el software computacional Solid Edge V.20, en donde se modelo la geometría de la tapa armónica mediante el procesamiento de imágenes a través de MATLAB. De la siguiente forma:
Esquema 1-Proceso de Modelación Geométrico.
6.2.1. Adquisición de Imágenes
El procedimiento seguir en este punto consiste en realizar la toma de fotos mediante una cámara Samsung de 12.2 Mega pixeles de serie SL620,con la cual se adquieren imágenes de la tapa armónica, tanto de la cara superior como de la cara inferior, teniendo en cuenta referencias métricas ubicadas en la estructura (escuadra y metro).
Imagen 11- Cara Superior T.A. Adquisición de
Imágenes
• Fotos de T.A. • Referencia métrica
real dentro de la foto.
Importación en Matlab
• Toolbox: Image Procesing • Determinación de
distancias mediante la relación de pixeles.
Modelación Geometría • Solid Edge
• Usando la relación
pixel‐distancia real
Y
x
Es importante resaltar, que durante la toma de fotos, se realiza la toma de medidas generales: largo, ancho y espesor (en distintos puntos de la estructura).
6.2.2. Importación en MatLab
Teniendo entonces las imágenes adquiridas en el paso anterior, se procede a desarrollar un algoritmo sencillo en el cual se cargan las imágenes en el programa, a través del paquete de procesamiento de imágenes que ofrece MatLab, a través de los comandos: Imread, Imload, Imshow.
De allí se posiciona una referencia, cuyo origen (0,0) se encuentra localizado en la parte inferior izquierda de la imagen. Esto con el fin de tomar distancias longitudinales (línea sobre la imagen), recorriendo puntos a lo largo del eje X (horizontal).
Imagen 12- Tapa armónica cargada en Matlab.
6.2.3. Modelación Geométrica
Para finalizar, después de tomar las distancias en pixeles, se procede a establecer una relación pixel y distancia real, ayudada de las referencias métricas incluidas en la imagen, llegando a los siguientes resultados, como se presenta en la siguiente tabla.
Tabla 3- Relación Pixel – Distancia Real.
Equivalencia [cm] X[pixel] 100 18,5 Y[pixel] 170 30
Teniendo dicha relación, se procede a obtener las medidas reales de la tapa armónica. En este punto se tienen en cuenta 3 tipos de curvas diferentes: el contorno principal, puente superior e inferior.
En las siguientes tablas, se presenta los valores adquiridos a través del procesamiento de imágenes y los datos de las distancias reales.
Tabla 4- Aproximación Contorno Principal
Tabla 6- Aproximación Puente Superior.
Según los datos tomados y procesados se obtuvo el siguiente resultado.
Gráfica 1- Aproximación Geométrica de la Tapa Armónica
Después de tener la geometría modelada en Solid Edge®, se procede a
6.3. Definición del Comportamiento de la Estructura a modelar.
Dentro del análisis modal, es fundamental tener en cuenta las propiedades del material de la estructura, porque la respuesta de la misma esta determinada por las características del material, que en el caso particular, es un material compuesto (madera, tipo Picea o Spruce).
Por lo anterior, se enunciaran los puntos fundamentales que se deben tener en cuenta en este ítem para la modelación acertada de la estructura de interés.
• Las propiedades del material pueden ser constantes o dependientes de la temperatura y anisotrópicas u ortotrópicas. Para el modelo en cuestión, se asumen constantes para cada parámetro de entrada, sin embargo, no se asume algún tipo de dependencia de la temperatura, simplemente se asume una condición ortotrópica.
• Para adicionar el material, se hizo uso de la aplicación de “Datos de Ingeniería” que ofrece ANSYS, con el fin de generar el nuevo material para la estructura.
• Otro punto fundamental, es plasmar en modelo a simular es determinar el cuerpo rígido, esto entendido como la designación de la parte como flexible o rígida. En caso de asumir que el cuerpo es esencialmente rígido, se reduce a un único punto de masa, lo cual influye directamente el tiempo de solución del sistema, logrando reducirlo, en este punto, solo existen requerimientos de densidad, en tanto las demás propiedades como el módulo de elasticidad (E) son ignorados. No obstante, en el estudio en particular, se pretende definir la estructura con sus propiedades inherentes, es por esto que no se asume un cuerpo rígido.
6.3.1. Aplicación del Mallado
En principio, el mallado es el proceso mediante el cual la geometría de estudio es discretizada en elementos y nodos. La malla generada, es utilizada para representar matemáticamente las propiedades (distribución de masa y rigidez) de la estructura.
Los métodos de control del mallado están caracterizados para los cuerpos sólidos de la siguiente forma:
• Automático: Donde el cuerpo es barrido en lo posible y de lo contrario se aplica un mallado de Tetraedro.
• Tetraedro: Allí la malla se crea en forma tetraédrica, y se permite cambiar o escoger los siguientes parámetros:
-“Revisión Conforme a”: Incluye el factor de expansión, que se encarga de controlar el crecimiento interno de tetraedros con respecto al tamaño de la frontera.
-“Revisión Independiente”: Definido por el tamaño máximo del elemento y el número aproximado de elementos. El primero, hace referencia al tamaño de la subdivisión inicial.
-“Coarse”: Definido como un tipo de mallado que no es refinado, en donde se puede variar de manera amplia el tamaño del elemento finito, evitando que la solución del modelo genere errores que impidan la convergencia del problema. Debido a lo anterior, se aplicara este método para hacer la mallado del sistema.
6.3.2. Suposiciones Teóricas del Sistema a Modelar
Dentro del análisis modal, es importante resaltar ciertas suposiciones para poder proseguir con la caracterización de la tapa armónica, es por lo anterior que se tendrán en cuenta las siguientes suposiciones.
• Linealidad: Se debe asumir que los sistemas a modelar, se
comportan lineal, esto quiere decir que la respuesta siempre será proporcional a la excitación (Brüel&Kjaer). Es por esto, que se puede decir que existen tres importantes implicaciones en términos de la función de respuesta en frecuencia (FRF).
o Superposición. Una FRF medida, no es dependiente del tipo
de onda de excitación usada. Un barrido sinusoidal entregará el mismo resultado que una excitación de ancho de banda.
o Homogeneidad. Una FRF medida es independiente del nivel
de excitación.
o Reciprocidad. En un sistema mecánico lineal, existe una simetría particular, la cual es descrita por el teorema de Maxwell, en el que cualquiera de dos grados de libertad es independiente de cual de estos sea usado para la excitación o respuesta.
Imagen 13- Suposiciones del análisis modal (Brüel&Kjaer)
6.3.3. Suposiciones de la estructura
En general, las estructuras se comportan linealmente en pequeñas deflexiones. Pero la linealidad es casi siempre violada cuando las deflexiones se vuelven grandes, es por lo anterior que el análisis modal no puede ser usado para predecir fallas de gran magnitud. Entonces para el caso en particular, es permitido asumir que:
o Causalidad. La estructura no comenzará a vibrar antes de que sea excitada.
o Estabilidad. Las vibraciones se atenuaran cuando la
excitación sea removida.
o Invariante en el Tiempo. Las características dinámicas no cambiaran a lo largo de las mediciones.
6.4. Condiciones de Frontera
Con el fin de garantizar que las condiciones externas de la tapa armónica del piano son lo más reales posible dentro de la simulación, se presenta en esta sección del documento el conjunto de condiciones de frontera que se tuvieron en cuenta para poder realizar la simulación.
• Geometría del piano con las condiciones anisotrópicas de la madera
tipo Spruce, es decir, las propiedades mecánicas según las direcciones de la madera (longitudinal, tangencial y radial), teniendo en cuenta que la dirección longitudinal estaba orientada a 30º con respecto a la horizontal.
o Cabe resaltar en este punto, que el eje longitudinal fue desplazado 30º para que coincidiera con la dirección de la fibra de la madera, con el fin de asignar las propiedades correctamente y hacer que los ejes gráficos coincidan acorde con las propiedades descritas anteriormente.
• Se asume que las costillas y los puentes son parte de la tapa armónica
y son modelados como un todo.
• En cuanto a los grados de libertad de la tapa armónica, se establece
una condición que impide el movimiento de la estructura, de modo que todo el perímetro de la tapa se encuentra restringido, lo cual limita la translación en cualquier dirección x, y y z.
6.5. Resultados Computacionales
Siguiendo todas las suposiciones descritas anteriormente para el sistema de estudio, se presentan a continuación los resultados obtenidos al simular 6 de los modos de vibración de la tapa armónica del piano. Es importante resaltar que los valores de la deformación no son reales.
Según la escala de colores que presenta la simulación, se tiene que las zonas que están resaltadas en rojo, son correspondientes al modo de la estructura al cual se presenta la frecuencia natural característica del sistema.
Gráfica 2- Enmallado de la tapa armónica del piano
Gráfica 4- Modo 3 y4.
Gráfica 5- Modos 4 y 5.
El resumen de los resultados y las características de la simulación se presentan a continuación.
Gráfica 6-Frecuencia Natural registrada en los seis modos de estudio 39,16
66,5
87,3
110,67 124
146,74
0 20 40 60 80 100 120 140 160
1 2 3 4 5 6
Frecuencia Natural[Hz]
Modos Analizados
