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Relaciones definidas en un conjunto. Matemática I. TPI. UNQ. 2012 RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO
1. Introducción. Relaciones binarias.
1.1. Definición de relación binaria
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, una relación binaria definida entre los mismos es un subconjunto de A x B, caracterizado por alguna propiedad común a sus elementos
Al ser una relación un subconjunto de A x B, es en particular un conjunto, entonces vale todo lo visto sobre conjuntos: definición por extensión o comprensión, operaciones de conjuntos, etc..
Algunos ejemplos:
a) si A = {x / x es vocal}, B ={día, sol, perro, sarampión, esperanza, abuelito, murciélago, mls(golosina en checo)} y la relación viene definida en la forma:
x R y sii x es letra de y
la relación definida por extensión quedaría:
R = {(a, día), (a, sarampión), (a, esperanza), (a, abuelito), (a, murciélago), (e, perro), (e, esperanza), (e, abuelito), (e, murciélago), (i, día), (i, sarampión), (i, abuelito), (i, murciélago), (o, sol), (o, perro), (o, sarampión), (o, abuelito), (o, murciélago), (u, abuelito), (u, murciélago)}
b) si A = {x / x ∈ Zp ∧ - 4 < x ≤ 10}, B = Z y la relación viene definida en la forma: x R y sii y es el cuadrado de x
la relación definida por extensión quedaría:
R = {(- 2, 4), (0, 0), (2, 4), (4, 16), (6, 36), (8, 64), (10, 100)} c) si A = B = R, y la relación viene definida en la forma:
x R y sii x. y ≤ 0
si bien a la relación no se la puede expresar por extensión, se podrían señalar algunos elementos en la forma R = {(4, -6), (-3, 10), (0, 3), (0, - 9), …}
y se podría graficar en el plano cartesiano.
R = {(x, y) / (x, y) ∈ A x B ∧ p(x, y)}⊆ A x B
Los puntos
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¿Estás de acuerdo en que quedarán sombreados el segundo y cuarto cuadrantes? d) si A = B = R, y la relación viene definida en la forma:
x R y sii x2 < y
si bien la relación no se la puede expresar por extensión, se podrían señalar algunos elementos en la forma R = {(1, 2), (-3, 10), (0, 3), …}
y se podría graficar en el plano cartesiano.
¿Estás de acuerdo en que quedará sombreado la región correspondiente al par (0,1) limitada por la parábola de ecuación y = x2?
1.2. Dominio e imagen de una relación binaria:
Si R ⊆ A x B, entonces
D(R) = {x / x ∈ A ∧∃ y: (y ∈ B ∧ (x, y) ∈ R} ⊆ A I(R) = {y / y ∈ B ∧∃ x: (x ∈ A ∧ (x, y) ∈ R} ⊆ B Así en los ejemplos considerados con anterioridad: a)
D(R) = A e I(R) = B – {mls} b)
D(R) = A e I(R) = {4, 0, 16, 36, 64, 100} c)
D(R) = I(R) = R d)
D(R) = R e I(R) = R+
1.3. Relación inversa de una relación binaria.
R-1 = {(y, x) / (y, x) ∈ B x A ∧ (x, y) ∈ R}⊆ B x A Así en los ejemplos considerados con anterioridad:
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Relaciones definidas en un conjunto. Matemática I. TPI. UNQ. 2012 a) x R-1 y sii y R x sii y es letra de x
y definida por extensión quedaría:
R = {(día, a,), (sarampión, a,), (esperanza, a,), (abuelito, a,), (murciélago, a,), (perro, e,), (esperanza, e,), (abuelito, e,), (murciélago, e,), (día, i,), (sarampión, i,), (abuelito, i,), (murciélago, i,), (sol, o,), (perro, o,), (sarampión, o,), (abuelito, o,), (murciélago, o,), (abuelito, u,), (murciélago, u,)}
b) x R-1 y sii x es el cuadrado de y y definida por extensión quedaría:
R = {(4,- 2), (0, 0), (4, 2), (16, 4), (36, 6), (64, 8), (100, 10)} c) x R -1 y sii y. x ≤ 0
(observar que en este caso R = R- 1) d) x R-1 y sii y2 < x
1.4. Composición de relaciones
Dadas las relaciones R ⊆ AXB y S ⊆ BXC se puede construir la relación composición: S o R = {(x, z) / (x, z) ∈ AXC ∧∃y ∈B:((x, y) ∈R ∧ (y, z ) ∈ S}⊆ AXC
Por ejemplo:
Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {a, b, c, d, e, f} y C = {x, y, z, t, l} y las relaciones R ⊆ AXB y S ⊆ BXC:
R = {(1, a), (2, a), (2, b), (3,e), (4, f)}, S = {(a, x), (c,z), (b,t), (f,l)} Queda definida la relación S o R = {(1, x), (2, x), (2, t), (4, l)}
2. Relaciones definidas en un conjunto
Si una relación R es tal que R ⊆A x A, se dice que está definida en el conjunto A. Observaciones:
a) en el caso de que las relaciones se puedan graficar en el plano cartesiano, se podría observar que los gráficos de la relación y su inversa son gráficos simétricos respecto de la recta x = y.
b) por convención se suele indicar (x, y) a los elementos de una relación binaria cualquiera. En el caso particular de la relación inversa, tener en cuenta:
R x y R
y
x, )∈ − ⇔( , )∈
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TRABAJO PRÁCTICO N º 3
RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO
1)
Indicar por extensión, en cada caso, la relación R indicando dominio e imagen: R : {1, 2, 3} → {1, 2, 3, 4, 5}
a) (x, y) ∈ R ⇔ x + y = 4 b) (x, y) ∈ R ⇔ x > y
c) (x, y) ∈ R ⇔ x es divisor de y
2)
Dado el conjunto A = {a, b} determinar por extensión las siguientes relaciones e indicar su dominio e imagen.
R : A → P (A) x RY → x ∈ Y S : A → P (A) x SY → {x} ∪ Y = A T : P (A) → P (A) X T Y ⇔ X ∩ Y = ∅
3)
Para las siguientes relaciones definidas en R: graficar, indicar dominio e imagen, y determinar relación inversa.
R1 = {(x, y) ∈ R2 / x ∈ N} R2 = {(x, y) ∈ R2 / x = y + 1} R3 = {(x, y) ∈ R2 / x = y} R4 = {(x, y) ∈ R2 / x+1 < y} R5 = {(x, y) ∈ R2 / x ≤ 1 ^ y ≤ 1} R6 = {(x, y) ∈ R2 / 1 ≤ x+y ≤ 4}
4)
Determinar si las siguientes relaciones definidas en A=
{
a,b, c, d}
son reflexivas, simétricas, antisimétricas y transitivas:
(
) (
) (
) (
)
{
}
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
{
}
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
{
a a a b b a b c c b b b}
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Relaciones definidas en un conjunto. Matemática I. TPI. UNQ. 2012
5)
Si se consideran las representaciones de una relación definida en un conjunto A = {a1,a2,a3,...,an}:
Indicar las matrices y digrafos correspondientes a las relaciones R y S definidas en A = {1, 2, 3, 4, 6}:
a R b sii a < b
a S b sii a es divisible por b
6)
Dadas las matrices de las relaciones R, S y T definidas en A = {a, b, c, d}:
= 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 ) (R M = 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 ) (S M = 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 ) (T M
a) ¿Cómo se determinaría dominio e imagen de las mismas?
b) ¿A qué relación representa cada una de las transpuestas de las dadas, es decir la matriz que se obtiene de intercambiar los elementos de la fila-i con los elementos de la columna-i?
c) ¿De qué manera se analizarían si son o no reflexivas, simétricas, antisimétricas, transitivas?
7)
Dada R ⊆ A x A, demostrar que:
a) Si R es reflexiva entonces R∩R−1≠∅ b) Si R es simétrica entonces R= R−1.
Matriz de R M(R) = [mij]nxncon
∈ ∉ = R a a si R a a si m j i j i ij ) , ( 1 ) , ( 0 y Digrafo de R
Gráfico consistente en puntos del plano representativos de los elementos del conjunto A, de modo tal que si (ai,aj)∈Rse unirán ai y ajmediante un arco
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Relaciones definidas en un conjunto. Matemática I. TPI. UNQ. 2012 8)
Dadas las relaciones R, S ⊆ A x A. demostrar que:
a) si R y S son reflexivas entonces R ∩ S y R ∪ S son reflexivas. b) si R y S son simétricas entonces R ∩ S es simétrica
(¿ocurre lo mismo con. R ∪ S?)
c) si R y S son transitivas entonces R ∩ S es transitiva (¿ocurre lo mismo con. R ∪ S?)
d) si R y S son antisimétricas entonces R ∩ S es antisimétrica (¿ocurre lo mismo con. R ∪ S?)
9)
a) Verificar que en un conjunto de dos elementos se pueden definir exactamente tres relaciones de orden y dos relaciones de equivalencia.
b) Definir seis relaciones de orden y tres relaciones de equivalencia distintas en A = {a, b, c}. ¿Cuántas habrá en total?
Observación:
Cada una de las relaciones de orden se podrá visualizar a través de un diagrama de Hasse. El mismo es una figura que consta de puntos del plano o del espacio etiquetados por elementos de un conjunto finito A y similar al digrafo de la relación, pero con las siguientes diferencias:
o Se coloca “b” por sobre “a” siempre que a R b, con lo cual los arcos de curva del dígrafo se reemplazan por segmentos. No se pierde información porque toda relación de orden es antisimétrica, por lo tanto no puede haber arcos de ida y de vuelta.
o Como toda relación de orden es reflexiva, en cada punto “a” habrá un arco con extremo inicial y final, como lo habrá en todos se conviene en suprimirlos todos. o Como toda relación de orden es transitiva, se suprimirán también los arcos que se
obtengan al hallar el cierre transitivo de los restantes. Por ejemplo se reemplazará por
10)
Analizar para cada una de las siguientes relaciones definidas en un conjunto si es o no reflexiva, simétrica, antisimétrica y transitiva y en caso de ser una relación de orden analizar si es parcial o total.
a) En R:
x R y sii x+y = 2
a Sb sii a−b<2 en R b) En P(A) donde A es un conjunto cualquiera:
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Relaciones definidas en un conjunto. Matemática I. TPI. UNQ. 2012 X S Y sii X ∪ Y = A
X T Y sii X ∩ Y = ∅ c) En IR : 2
P R Q sii P dista menos de 2 unidades de Q.’ P S Q sii P y Q equidistan de (1, 3).
(a,b) T (c,d) sii (a ≤ c yb ≤ d) (a,b) L’ (c,d) sii a = c
11)
En IR se define la relación “es menor o igual que” en la forma: a ≤ b sii ∃ k: ( k ∈ R0+ ∧ b = a + k). Demostrar que es un orden.
12)
Se define la relación “es divisor de “ en la forma:
a b sii ∃ p: ( p ∈ N ∧ b = a. p) Demostrar que es un orden en N pero no lo es en Z.
13)
Dados los siguientes conjuntos ordenados a través de diagramas de Hasse, analizar en cada caso si el orden es total o parcial, y hallar los elementos particulares de X ⊆ A
a) b)
c) d)
•e
•b •a •e
• g
•c
•e •f
• i • • n
• q
• l • • p
• j •
• m • o • r
X = {h, i, j, k} X = {a, b}
• u • t
• y
• w
• v •
X = {u, v, x} •b
•a •e
• g
•c
•e •f
• 2 • 1
• 3 • 5
• 4 • 6
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Relaciones definidas en un conjunto. Matemática I. TPI. UNQ. 2012 14)
Definir en caso de ser posible en:
a) A = {a, b, c, d, e } una relación de orden de modo que no haya mínimo, el orden no sea total y el subconjunto {a, b } admita como únicas cotas superiores a “d” y a “e”.
b) A = {a, b, d } un orden total tal que el subconjunto {a, b } admita como única cota inferior a “b”.
c) A = {1, 2, 3, 4 } un orden parcial tal que 3 sea el máximo y el subconjunto {1, 4 } admita como única cota superior a “3”.
15)
Dados los siguientes conjuntos ordenados, analizar en cada caso si el orden es total-parcial y hallar los elementos particulares del subconjunto X, indicado en cada caso:
a) (D36,) con X = {2, 3, 6} y D36 = {x/ x ∈ N ∧ x es divisor de 36} b) (IN, ) con X = {4, 8, 12}
c)
(
P( )
A;⊆)
con A={
1;2;3}
y X ={
{ } { }
1; 1;3}
d) (IR, ≤) con X = { x/ x ∈ R ∧ x =n 1
∧ n ∈ IN} e) ( 2
IR , S) con (x,y) S (z, t) sii ( x ≤ z ∧ y ≤ t) y X = { (-3,4), (1,4), (-2,5), (0,7)}
16)
Demostrar que:
a) Si R es un orden en A, −1
R es un orden en A b) Si R es un orden total, también lo es R−1 17)
Sea (E, R) un conjunto ordenado y A ⊂ E. Analizar la correspondencia entre los elementos particulares del subconjunto ordenado (A, R) con los de (A, R−1).
18)
En A=
{
1;2;3;4}
se considera la relación{
(
;)
2/ 3}
= + ∨ = ∈= x y A x y x y
R
Definir R por extensión, probar que es de equivalencia y determinar la correspondiente partición de A.
19)
Indicar en cada caso si las siguientes familias constituyen una partición del conjunto A a) A=
{
1;2;3;4;5;6}
1.
{
A1;A2;A3}
A1 ={1,4,6} A2 ={2,3} A3 ={5}2.
{
B1;B2;B3}
B1 ={
1;5;6}
B2 ={
3;4}
B3 ={
2;5}
b) A = RPágina 27 de 31
Relaciones definidas en un conjunto. Matemática I. TPI. UNQ. 2012 2.
{
B1;B2;B3}
B1 =[4,10) B2 ={10} B3 =(10,+∞)20)
Para cada una de las siguientes relaciones, probar que es de equivalencia y encontrar el conjunto cociente.
a) A = conjunto de palabras del diccionario , x R y si son palabras que empiezan por la misma letra.
b) A={x/x∈IN∧x≤100} , xRy sii x=y ó x+y=101. c) A=IN , xRy sii ∃k:k∈Z∧x =y+10k.
21)
Hallar las clases de equivalencia y el conjunto cociente correspondiente a las siguientes relaciones de equivalencia:
a) En el conjunto de alumnos de la TPI que hace no más de un año que están, considerando el conjunto de materias M = {Introducción a la Programación, Matemática 1, Organización del Computador, Objetos 1, Estructuras de Datos, Bases de Datos}, decimos que x R y sii x e y aprobaron las mismas materias dentro de M.
(OJO no la misma cantidad, tienen que ser exactamente las mismas materias) b) En P(A): X R Y sii X ∩ B = Y ∩ B con A = {a, b, c, d} y B = {b, c}
c) En Z2: (a,b) R (c,d) sii a = c
22)
En IN2 se define
(
a;b) (
R c;d)
sii a+d =b+ca) Demostrar que R es una relación de equivalencia en IN2. b) Determinar las clases de equivalencia y el conjunto cociente. 23)
En ℝ2 se definen las relaciones M, L y T en la forma: • (a, b) M (c, d) sii max(a,b) = max(c,d)
donde max(x,y) es el máximo entre x e y, o sea y si x ≤ y, x en caso contrario. • (a, b) L (c, d) sii a = c
• (a, b) T (c, d) sii b - a = d – c Se pide
a) Probar que son de equivalencia.
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Relaciones definidas en un conjunto. Matemática I. TPI. UNQ. 2012 RESPUESTAS PRÀCTICA
RELACIONES DEFINIDAS EN UN CONJUNTO
1)
a) R = {(1, 3), (3, 1), (2, 2)}, D (R) = I(R) = {1, 2, 3}. b) R = {(2, 1), (3, 1), (3, 2)}, D (R) = {2, 3}, I(R) = {1, 2}.
c) R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (3, 3)}, D (R) = {1, 2, 3},. I(R) = {1, 2, 3, 4, 5}.
2)
R = {(a, {a}), (a, A), (b, {b}), (b, A)}, D (R) = A, I(R) = P(A) - ∅. S = {(a, {b}), (a, A), (b, {a}), (b, A)}, D (R) = A, I(R) = P(A) - ∅.
T={(∅, ∅), (∅,{a}), (∅,{b}), (∅, A), ({a}, {b}), ({a}, ∅), ({b}, {a}), ({b}, ∅),(A,∅)}, D (R) = P(A) = I(R).
3)
3) R1
o Gráfica: familia de rectas verticales de ecuación x = n (n: natural).
o D (R1) = N o I (R1) = R
o R1-1 = {(x, y) ∈ R2 / y ∈ N}
R2
o Gráfica: recta con pendiente = 1 y ordenada al origen = -1
o D (R2) = I (R2) = R
o R2-1 = {(x, y) ∈ R2 / y = x + 1}
R3
o Gráfica: unión de las semirectas: x ≥ 0 ∧ (y = x ∨ y = - x) o D (R3) = R0+
o I (R3) = R
o R3-1 = {(x, y) ∈ R2 / y = |x|}
R4
o Gráfica: región del plano – y – 1 < x < y - 1 o D (R4) = R
o I (R4) = R+
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Relaciones definidas en un conjunto. Matemática I. TPI. UNQ. 2012 4)
1.
R1: no reflexiva – no simétrica – no antisimétrica – no transitiva. R2: reflexiva – simétrica – no antisimétrica – transitiva.
R3: no reflexiva – simétrica – no antisimétrica – no transitiva
5) = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 ) (R
M y
= 1 0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ) (S M 6)
o El dominio se determina
1`s en las filas. o La imagen se determina 1`s en las columnas.o La transpuesta de una matriz representa a la inversa de la relación.
o Una relación es reflexiva sii ∀i: aii = 1
o Una relación es simétrica sii ∀i: ∀j (aij = 1 ⇒ aji = 1) (matriz de la relación: simétrica).
o Una relación no es antisimétrica sii ∃i: ∃j: (i ≠ j ∧ aij = aji =1) o Una relación es transitiva sii ∀i: ∀j: ∀k: (ai j = 1 ∧ aj k = 1 ⇒ai k = 1)
Propiedades R S T
reflexiva no si no
simètrica no si no
antisimétrica no no no
transitiva no si no
dominio A – {c} A A – {c}
imagen A – {c} A A
10) a)
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Relaciones definidas en un conjunto. Matemática I. TPI. UNQ. 2012 b)
R: reflexiva – simétrica – no antisimétrica – transitiva.
c)
R: reflexiva – simétrica – no antisimétrica – no transitiva. S: reflexiva – simétrica – no antisimétrica – transitiva.
S es una relación de equivalencia T: reflexiva – no simétrica – antisimétrica – transitiva.
T es una relación de orden. El conjunto está parcialmente ordenado L: reflexiva – simétrica – no antisimétrica – transitiva.
L es una relación de equivalencia.
13)
Los cuatro conjuntos están parcialmente ordenados y no están bien ordenados
Elementos notables de
(X, ≼)
a) b) c) d)
mínimo a h u no
máximo b no no 5
minimales a h u 3, 4
maximales b i, k x, v 5
conjunto mayorante
A – {a} {s} {y} {5, 6}
supremo b s y 5
Conjunto minorante
a {h} {u, t} {1, 2}
ínfimo a h u no
14)
a) es posible b) no es posible c) es posible
15)
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Relaciones definidas en un conjunto. Matemática I. TPI. UNQ. 2012 Elementos
notables de (X, ≼)
a) b) c) d) e)
mínimo no 4 {1} no (-3, 4)
máximo 6 no {1, 3} 1 no
minimales 2, 3 4 {1} no (-3, 4)
maximales 6 8, 12 {1, 3} 1 (0, 7), (1, 4)
conjunto mayorante
{6,12,18,24,36} •
∩24
N {{1, 3}, A} [1,+∞) {(x,y)∈ R 2
/ x ≥ 1,y≥7}
supremo 6 24 {1, 3} 1 (1, 7)
Conjunto minorante
{1} {1, 2, 4} {∅, {1}} (-∞, 0] {(x,y)∈R2 /x≤-3, y≤ 4}
ínfimo 1 4 {1} 0 (-3, 4)
18)
A = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1, 2), (2,1)} cl (1) = cl(2) = {1, 2}, cl (3) = {3}, cl(4) = {4}
19)
a) 1. sì 2. no b) 1. sì 2. no
21)
b) cl(φ) = {φ, {a}, {d}, {a, d}} = cl(a) =cl(d) = cl({a, d}) cl({b}) = {{b}, {b, d}, {a, b,}} = cl({a, b}) = cl({b, d}). cl({c}) = {{c}, {c, a}, {d, c,}} = cl({a, c}) = cl({c, d}). cl({b, c}) = {{b, c}, A} = cl(A).
P(A) / ∼ = { cl(φ),cl({b}), cl({c}), cl({b, c}}
c) cl(a, b) = {(x, y) / |x| = |a|} y Z2 / ∼ = {cl ((x, 0)) / x ∈ N0} (por ejemplo)
22)
cl ((a, b)) = {(x, y) ∈ N2/ y = x + (b –a)} y N2 / ∼ = {cl((n, 0)), cl ((0, n +1)) con n ∈ N}
23)
Respecto de L:
Las clases de equivalencia indicadas son rectas verticales de ecuación: x = 1, x = -2 y x = - 3 respectivamente.
cl ((a, b)) = {(x, y) ∈ R2/ x = a} y R2 / ∼ = {cl((x, 0)) / x ∈ R}(por ejemplo) Respecto de T:
Las clases de equivalencia indicadas son rectas paralelas de pendiente “1” y ecuación: y = x + 2, y = x + 5 e y = x - 1 respectivamente.
