rectasyplanosR3

(1)

el espacio

Laura Hidalgo Solís

Planos en el espacio Rectas en el

espacio

Geometría en el espacio

Planos y Rectas

Laura Hidalgo Solís

Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Iztapalapa

(2)

Geometría en el espacio

Planos en el espacio

Rectas en el espacio

Planos en el espacio

Anteriormente vimos que es posible encontrar un número infinito de vectores, no paralelos entre si, que sean perpendiculares a un vector dado enR3, y que las

representaciones geométricas ordinarias de estos vectores estén en el mismo plano. Usando éstos hechos se puede especificar un plano en el espacio.

Plano

SiP es un plano ySun punto enP, y si~nes un vector no nulo cuya representación geométrica es perpendicular aP, entonces un puntoU(x,y,z)está sobreP si y sólo si

(~u−~s)·~n=0 (1)

(3)

el espacio

 



(4)

Puesto queU(x,y,z)es cualquier punto deP, la ecuación 1 es simplemente una afirmación de que el vector~ntiene una representación geométrica que es perpendicular a todo vector geométrico cuyo punto inicial seaSy este sobreP. Un vector no nulo perpendicular a un planoP recibe el nombre devector normalaP.

SiU(x,y,z),~n= (A,B,C)y~s·~n=−D, la ecuación 1 puede reescribirse como

(5)

el espacio

Nótese que la ecuaciónAx+By+Cz =Des una ecuación de primer grado con respecto a las variablesx,y,z, y que los coeficientes de estas variables son las componentes respectivas del vector normal~n.

Recíprocamente, siT(x2,y2,z2)es un punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación 2 y, por tanto, a la ecuación 1, se verifica que

A(x2−x1) +B(y2−y1) +C(z2−z1) =0

(6)

Esto es:

Teorema

La ecuación general de un plano es de la forma

Ax +By +Cz+D=0,

en dondeA,B,C yDson constantes, y~n= (A,B,C)son es su vector normal.

Reciprocamente:

Teorema

Toda ecuación lineal de la forma

Ax+By +Cz+D=0

(7)

el espacio

Ejemplo 1

Podemos obtener la ecuación cartesiana del plano que pasa porS(1,2,3)y tiene vector normal~n= (−1,3,5) como sigue:

De la ecuación 1 tenemos:

(~u−~s)·~n=0 o equivalentemente, ~u·~n=~s·~n

SiU(x,y,z), sustituyendo los valores tenemos

−x+3y+5z =−1+6+15=20

Por lo que, la ecuación cartesiana del plano que pasa por S(1,2,3)y tiene vector normal~n= (−1,3,5)está dada como

(8)

Ejemplo 2

De geometría euclidiana sabemos que tres puntos no colineales determinan un plano, siA(3,4,1),B(−1,−2,5)y C(1,7,1)podemos encontrar la ecuación del planoP que contiene a estos puntos de, al menos, dos formas distintas. Primeramente, sean~v1=~b−~a= (−4,−6,4),

~v2=~c−~a= (−2,3,0). entonces

~

n = ~v1×~v2=

~_i ~_j ~_k

−4 −6 4

−2 3 0

= (−12,−8,−24)

de donde, una ecuación deP es

−12x −8y−24z = (3,4,1)·(−12,−8−24) =−92

o equivalentemente

(9)

Nuesto segundo método, comoA,ByCno son colineales, estos se encuentran en un plano, cuya ecuación es de la forma

Ax+By +Cz+D=0

y por tanto, satisfacen esta ecuación, es decir,

3A+4B+C+D = 0

−A−2B+5C+D = 0

A+7B+C+D = 0

Resolviendo este sistema de 3 ecuaciones en 4 variables tenemos:

a= 3

2t, b=t, c =3t, d =− 23

2 t, t ∈R. Tomandob=2, tenemosa=3,c =6 yd =−23, por lo que, una ecuación paraP es

(10)

Definiciones

SiP1es un plano con vector normal~n1, yP2es otro plano con vector normal~n₂, entonces

1 P₁yP₂son paralelos si y sólo sin~₁×~n₂=~0.

2 P₁yP₂son perpendiculares si y sólo si~n₁·~n₂=0.

(11)

el espacio

Rectas en el espacio

SiS(x1,y1,z1)yT(x2,y2,z2)son dos puntos distintos, ellos determinan una recta`, así el vector

~v =~t−~s= (x2−x1,y2−y1,z2−z1)tiene una

representación geométrica que está sobre`y que por lo tanto es paralela a`. Entonces el vector~v =~t−~ses un vector de dirección de`.

Mediante un razonamiento análogo al realizado enR2 podemos demostrar que siU(x,y,z)representa un punto en el espacio entonces

~u=~s+λ(~t−~s), λ∈R

(12)

Esto es, siU(x,y,z)es un punto en la recta`, entonces el vectorw~ =~u−~stiene una representación geométrica que también está sobre`, y por lo tanto,w~ es paralelo a~v, esto es,w~ =λ~v para algúnλ∈R, es decir:

~

w = λ~v

~

u−~s = λ(~t−~s)

∴~u = ~s+λ(~t−~s)

Así, podemos decir que la recta`es

{U∈_R3;~u =~s+λ(~t−~s), λ∈_R}

o equivalentemente

(13)

el espacio

(14)

Así, unaecuación paramétrica vectorialde la recta`que pasa porS(x1,y1,z1)yT(x2,y2,z2)es:

(x,y,z) = (x1,y1,z1) +λ(x2−x1,y2−y1,z2−z1)

o bien

(x,y,z) = (x1+λ(x2−x1),y1+λ(y2−y1),z1+λ(z2−z1)

La recta`tiene asociado el siguientesistema de ecuaciones paramétricas cartesianas:

x = x1+λ(x2−x1)

(15)

el espacio

Si las diferenciasx2−x1,y2−y1, yz2−z1no son todas cero entonces~v = (x2−x1,y2−y1,z2−z1)es un vector de dirección de`, y por lo tantox2−x1, y2−y1, z2−z1son números directoresde`. Six2−x1,y2−y1,z2−z1son todos distintos de cero entonces

x−x1 x2−x1

= y −y1 y2−y1

= z−z1 z2−z1

son lasecuaciones simétricasde la recta`dada. Si el vector de dirección~v se escribe como~v = (v1,v2,v3) entonces:

x−x1 v1

= y −y1 v2

= z−z1 v3

(16)

Notamos que podemos reescribir las ecuaciones simétricas de`como:

x −x1 v1

= y−y1 v2 x −x1

v1

= z−z1 v3

o equivalentemente

v2x−v1y + (v2y1−x1v1) = 0 v3x−v1z+ (v3z1−v1x1) = 0

(17)

Si una recta es paralela a un eje de coordenadas, entonces dos de los números directores son cero, y en lugar de las ecuaciones simétricas se tiene simplemente las ecuaciones que expresan las dos coordenadas constantes en cada punto sobre la recta.

De esta manera,

1 si la recta`que es paralela al ejez pasa por el punto

S(x1,y1,z1)la recta se puede especificar mediante las ecuaciones

x =x1, y y =y1

2 si la recta`que es paralela al ejey pasa por el punto

x =x1, y z =z1

3 si la recta`que es paralela al ejex pasa por el punto

(18)

Si una recta es paralela a un plano de coordenadas, entonces uno de los números directores es cero, en este caso tenemos sólo una ecuación simétrica, y la otra

ecuación expresa simplemente la coordenada constante de un punto sobre la recta.

1 si la recta`que es paralela al planoxy pasa por el punto

x−x1 v1

= y−y1

v2

, y z=z1.

2 si la recta`que es paralela al planoyz pasa por el punto

y−y1 v2

= z−z1

v3

, y x =x1.

3 si la recta`que es paralela al planoxz pasa por el punto

S(x1,y1,z1)la recta se puede especificar mediante las

ecuaciones

x−x1 v1

= z−z1

v3

(19)

el espacio

Ejemplo 1

Deseamos obtener las ecuaciones paramétrica vectorial, el sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas y las ecuaciones simétricas de la recta`que pasa por los puntos S(2,3,−1)yT(1,0,3).

ComoS6=T, entonces~v =~t−~s = (−1,−3,4)es un vector de dirección de`.

Por lo que, un puntoU(x,y,z)∈`si, y sólo si

~

u = ~s−λ~v λ∈_R

∴(x,y,z) = (2,3,−1) +λ(−1,−3,4) λ∈_R

(20)

La recta por

S(

2,

3,

−1

)

y

(21)

el espacio

De la ecuación(x,y,z) = (2,3,−1) +λ(−1,−3,4) podemos deducir el sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas de la recta`.

x = 2−λ

y = 3−3λ

z = −1+4λ con λ∈_R

Despejando el parámetroλtenemos:

x−2 −1 =

y−3 −3 =

z+1 4 =λ

obteniéndose así las ecuaciones simétricas de la recta`.

x −2 −1 =

y −3 −3 =

(22)

De la igualdadx −2 −1 =

y−3

−3 obtenemos la ecuación del plano

3x −y−3=0,

y de la igualdadx −2 −1 =

z+1

4 obtenemos la ecuación del plano

4x +z−7=0.

Por lo que, en particular podemos ver a la recta`como la intersección de los planos 3x −y −3=0 y 4x +z−7=0.

También podemos usar la ecuación y −3 −3 =

z+1

4 , por lo que la recta`también está sobre el plano

(23)

el espacio

La recta porS(2,3,−1)yT(1,0,3)vista como la

(24)

Ejemplo 2

SiS(1,2,3)yT(3,4,3), entonces~v =~t−~s= (2,2,0), por lo que, la ecuación paramétrica cartesiana de la recta`que pasa porSyT es

(x,y,z) = (1,2,3) +λ(2,2,0)

El sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas está dado por

x =1+2λ, y =2+2λ, z =3

de donde,

x −1 2 =

y −2

2 , z =3 Así,`es la intersección de los planos

(25)

el espacio

La recta por

S(

1,

2,

3 )

y

(26)

Ejemplo 3

SiS(2,3,4)yT(3,3,4), entonces~v =~t−~s= (1,0,0), de donde la ecuación paramétrica vectorial de la recta`que pasa porSyT está dada como

(x,y,z) = (2,3,4) +λ(1,0,0)

De aquí, deducimos el sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas

x =2+λ, y =3, z =4

(27)

el espacio

La recta por

S(

2,

3,

4 )

y

(28)

Rectas dirigidas

Tal como sucede enR2, si un vector~v ∈R2es un vector de dirección de una recta`, entonces−~v es también un vector de dirección de`y se puede considerar que la dirección de

`es la de~v o la de−~v.

Cuando se asocia una recta`, a un vector de dirección particular~v, se dice que`es unarecta dirigida, y que su dirección es la de~v.

Por ejemplo la recta`que pasa porS(2,3,−1)y que tiene al vector~v = (−1,−3,4)como vector de dirección es la misma recta que pasa porSy que tiene al vector

(29)

el espacio

Elángulo que forman dos rectas dirigidasse define como el ánguloφ, con 0≤φ≤π, que forman sus vectores de dirección.

Nótese que esta definición se aplica a todas las rectas dirigidas en el espacio, sin importar si se intersecan o no. Por ejemplo, si`1y`2son las rectas cuyos vectores de dirección son~v1= (−1,−1,0)y~v2= (1,1,

√ 6, respectivamente, entonces

cosφ= ~v1·~v2 k~v1kk~v2k

=−1 2

(30)

Una recta`esparalelaa un planoP, si y sólo si un vector de dirección de`es perpendicular a un vector normal aP. Nótese que`puede estar contenida enP.

Una recta`esperpendiculara un palnoP, si y sólo si un vector de dirección de`es paralelo a un vector normal de P.

Definiciones

Si~v es un vector de dirección de la recta`y~nes un vector normal al planoP, entonces

1 `esparalelaaP si y sólo si~v·~n=0

(31)

el espacio

Recta paralela a un plano



(32)

Recta perpendicular a un

plano



(33)

el espacio

Relaciones entre rectas y

planos

Al estudiar geometría notamos que dos planos dados o son paralelos (coinciden o nunca se cortan), o se intersectan en una recta.

Propiedad

Dos planos cuyos vectors normales no sean paralelos se intersectan en una recta.

(34)

SiP₁,P₂son tales planos, con vectores normales~n1y~n2 respectivamente, entonces cualquier recta contenida enPj

debe tener vector de dirección perpendicular a~nj para

j=1,2. Por tanto, un vector de dirección~v de la recta de intersección de estos planos no paralelos debe ser

perpendicular a las normales a ambos planos, puesto que el producto cruz de dos vectores dados es un vector perpendicular a cada uno de los vectores dados, entonces

(35)

el espacio

Rectas en el

espacio Propiedad

Si~n1es un vector normal al planoP1y~v2es un vector normal al planoP2, y siP1yP2se intersectan en una recta

(36)

Ejemplo

Deseamos obtener una ecuación paramétrica vectorial de la recta`de intersección de los planosx +2y −6=0, z =4. Un vector normal al planox+2y −6=0 es~n1= (1,2,0), y un vector normal al planoz =4 es~n2= (0,0,1), de donde, un vector de dirección~v de`es

~ v =

~_i ~_j ~_k

1 2 0 0 0 1

= (2,−1,0)

Una solución particular del sistema de ecuaciones

x+2y =6 z=4

esS(6,0,4), por lo que, una ecuación paramétrica vectorial de la recta`es

(37)

el espacio

Existen varias relaciones posibles entre las posiciones relativas y las intersecciones comunes de tres planos en el espacio:

1 Si los tres planos son paralelos: entonces no existe intersección común a menos que los tres planos coincidan, en cuyo caso la intersección común es todo el plano.

2 Si dos, pero no los tres, planos son paralelos entonces no existe intersección común a menos que los dos planos paralelos coincidan, en cuyo caso la

intersección común es una recta.

(38)

4 Si no hay ningún par de planos paralelos y sus rectas de intersección no son paralelas, entonces los planos se intersectan en un único punto.

En este caso, las coordenadas del punto se pueden obtener resolviendo tres ecuaciones lineales

simultáneas, que representan a los planos.

Las intersecciones de un plano con los ejes de

coordenadas resultan también útiles para trazar una gráfica del plano. Estas intersecciones tienen coordenadas de la forma(a,0,0),(0,b,0)y(0,0,c), respectivamente. Puesto que estas intersecciones son también los puntos donde las trazas cortan a los ejes de coordenadas, se pueden

(39)

el espacio

Intersecciones de rectas y

planos

Dados una recta y un plano en el espacio hay tres posibles configuraciones:

1 La recta es paralela al plano pero no lo intersecta. 2 La recta es paralela al plano y está completamente

contenida en el plano.

3 La recta intersecta al plano en un sólo punto.

(40)

Propiedad

Si`no es paralela aP, entonces`intersecta aP en un sólo punto.

(41)

el espacio

Ejemplo

Encuentre las coordenadas del puntoSde intersección de la recta`:x −2=−y−1=−z−6 y el plano

3x−2y +3z+16=0.

Notamos que~v = (1,−1,−1)y~n= (3,−2,3), así

~

v ·~n= (1,−1,−1)·(3,−2,3) =3+2−3=26=0

Por lo que`no es paralela aP, de donde, se intersectarán en un único punto.

Para obtener este punto, consideremos a`como la

(42)

Sustituyendo estos valores en la ecuación P :3x−2y+3z+16=0 obtenemos

0 = 3x−2(1−x) +3(−x −4) +16

= 3x−2+2x−3x−12+16=2x+2

Por lo cualx =−1, sustituyendo en los valores dey yz tenemosy =2,z =−3,_∴S(−1,2,−3).

(43)

el espacio

F órmulas de distancia

Distancia de un punto a un plano

SiSes un punto yP es un plano, siT es cualquier punto sobreP, y~nes un vector normal aP, entonces la distancia que separa aS deP, que denotaremosd(S,P), es igual al valor absoluto de la componente escalar de~s−~tparalela a

~n. Es decir

(44)

Para obtener una expresión cartesiana ded(S,P), nótese que la ecuación cartesianaAx +By+Cz+D=0 deP se puede escribir como(x,y,z)·(A,B,C) +d =0; es decir, para cualquier puntoT sobreP, se tiene~t·~n+d =0, o sea

~_t_·~n=−d. Tomando en cuenta esto, seaS(x1,y1,z1)y sustitúyanse estas coordenadas en la ecuación

d(S,P) = |(~s−~t)·~n| k~nk

= |(x1,y√1,z1)·(A,B,C) +d A2₊_B2₊_C2

(45)

el espacio

Ejemplo

Deseamos encontrar el lugar geométrico de los puntos U(x,y,z)∈R3que son equidistantes de los planos cuyas ecuaciones sonP₁:2x +2y −z−1=0 y

P₂:x−2y+2z+1=0.

Esto esL:{U(x,y,z);d(U,P1) =d(U,P2)}.

Usando la fórmula de la distancia de un punto a un plano tenemos:

|2x +2y −z−1| √

22₊₂2₊₁2 =

|x−2y+2z+1| p

12_{+ (−2)}2₊₂2

de donde|2x+2y−z−1|=|x−2y+2z+1|o

equivalentemente: 2x +2y −z−1=±(x −2y +2z+1) Por lo cualL={(x,y,z)∈_R3_;_x ₊₄_y ₋₃_z₋₂₌

0} ∪ {(x,y,z)∈R3;3x+z =0}

(46)

Distancia de un punto a una

recta

La distancia de un puntoS a una recta`se define como la longitud del segmento perpendicular a la recta que va de la recta al punto. Para calcular la distancia deS a

`:~u=~t+λ~v, λ∈_R, que denotaremosd(S, `), procederemos de la siguiente forma:

La distancia deSa un puntoT en`esk~s−~tk, y que

d(S, `) =k~s−~tksenθ

Pero, como demostramos anteriormente, para cualesquier dos vectores~u, ~v ∈R3se tiene quek~u×~vk=k~ukk~vksenθ.

Entonces, si~v 6=~0,k~uksenθ= k~u×~vk

k~vk Sustituyendo en esta ecuación~u=~s−~t tenemos

(47)

el espacio

Ejemplo

7,6,5 Calculemos la distancia que separa el puntoS(7,6,5)

de la recta`: x−1 6 =

y−1 7 =

z−1 8 .

Notamos que un puntoT ∈`esT(1,1,1), y un vector de dirección~v de`es~v = (6,7,8), de donde

~s−~t = (7,6,5)−(1,1,1) = (6,5,4)

Así

(~s−~t)×~v =

~_i ~_j ~_k

6 5 4 6 7 8

= (12,−24,12)

de dondek(~s−~t)×~vk=p122_{+ (−24)}2₊₁₂2₌√_{864 y} k~vk=√62₊₇2₊₈2₌√₁₄₉

Por lo que,

d(S, `) = r

864