Interrogación 1 de Ecuaciones Diferenciales

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE

FACULTAD DE MATEMATICAS MAT1532I1-2006/1

Interrogación 1 de Ecuaciones Diferenciales

6 de Abril 2005 1. Ejercicio (20 %).Resolver las ecuaciones siguientes:

(a) (t2−9)x0+tx= 0.

Solución: Se trata de una ecuación diferencial lineal, cuya solución general se escribe inmediatamente en la forma ϕ(t) =Cexp − Z t 0 s s2₋₉ds = _p 3C |t2_−9|. 10 pts (b) (x2−1)dy dx+ 2y = (x+ 1) 2_.

Solución: La ecuación se escribe, en el dominiox6= 1, en la forma

dy dx =− 2 x2₋₁y+ x+ 1 x−1.

Es otra ecuación diferencial lineal, no homogénea, que se resuelve rápidamente calculando, por ejemplo, la función de GreenG(s, x), en la forma

G(s, x) = exp − Z x s 2 ξ2₋₁dξ . Observando que − 2 ξ2₋₁ = 1 ξ+ 1− 1 ξ−1,

la función de Green anterior, es

G(s, x) = x+ 1 x−1 s−1 s+ 1 .

La solución generalϕ(x)es entonces ϕ(x) = CG(0, x) + Z x 0 G(s, x)s+ 1 s−1ds = C x+ 1 x−1 + x+ 1 x−1 x = (C+x) x+ 1 x−1 . 10 pts

2. Ejercicio (30 %). Encuentre todas las funciones f(t, x) para las cualesµ(x) =x es un factor integrante de:

(t+x) dt+ (t

2 + f(t, x))dx= 0

Para tales f(t, x) resuelva la ecuación.

Solución: Queremos que:

x(t+x) dt+x(t

2+f(t, x))dx= 0

sea exacta. Esto ocurre si y sólo si f(t, x) satisface ∂ ∂tf(t, x) = t x+ 3 2 , de donde f(t, x) = t 2 2x + 3t 2 +c(x). 12 pts

Así, la ecuación queda

x(t+x) dt+x(2t+ t

2

2x +c(x))dx= 0 Esta ecuación es exacta, para cualquier función c(x) derivable. 5 pts

Ahora buscamos U(t, x) tal que ∂U

∂t =tx+x 2 _y ∂U ∂x = 2tx+ t2 2 +xc(x). Resulta U(t, x) = t2x 2 +x

2_{t+H(x), donde H(x) denota cualquier primitiva de la función}

xc(x).

Finalmente la solución general queda implícitamente determinada por la relación : t2x

2 +x

2_{t+H(x) =A, Aconstante arbitraria. 3 pts}

Nótese que una función f(t, x)particular que resuelve el problema se encuentra con la función

trivial c(x) = 0, de donde H(x) = 0.

3. Problema (25 %). Una cadena uniforme de largo L metros está enrollada en el piso. Se tira uno de sus extremos hacia arriba con una fuerza constante de F0 Newton. La cadena pesa 1

Newton por metro. Se desea calcular la velocidad que tendrá la cadena en el momento en que su segunda extremidad pierda contacto con el piso.

(a) Designando porx(t)la altura de la extremidad que se tira y porv(t)su velocidad, comience

por expresar el valor que tiene la masa suspendida en el tiempo ty determine la ecuación diferencial satisfecha porx yv usando la Segunda Ley de Newton en la forma:

La fuerza total ejercida sobre el móvil es igual a la derivada de su momento (producto de la masa por la velocidad) en todo instante t.

Solución: El peso dexmetros suspendidos de la cadena esW =xNewton, luego la masa correspondiente en el instantetesm(t) =W/g=x(t)/g. Orientando el eje vertical hacia arriba, la fuerza total ejercida sobre la extremidad a la alturax(t) esF0−W =F0−x.

Luego, la Segunda Ley de Newton se expresa: d dt( x(t) g v(t)) =F0−x. Es decir, x0v+xv0 =g(F0−x). (1) 5 pts

(b) Multiplicando la ecuación de la parte (a) por xy usando las relaciones v= dx dt, dv dt = dv dxv,

pruebe que su ecuación se reduce a una del tipo diferencial exacto.

Solución: Con las sustituciones señaladas y multiplicando ambos miembros de (1) por x, se obtiene: x v2+g(x−F0) +x2vdv dx = 0. Esta ecuación se puede escribir en la forma

M(x, v)dx+N(x, v)dv = 0, con M(x, v) =x

v2+g(x−F0)

,N(x, v) =x2v. 5 pts

Calculando las derivadas ∂M/∂v y ∂N/∂x se observa que ambas son iguales a 2xv. En consecuencia, se trata de una ecuación diferencial exacta. 5 pts

(c) Usando lo anterior, exprese v en términos dex y concluya.

Solución: Integrando N(x, v) con respecto a v y M(x, v) con respecto a x se obtiene una funciónU(x, v) =x2v2+ (g/3)x3−(F0/2)x2, es decir, la solución de la ecuación (1)

debe vericar la relación

x2v2+ (g/3)x3−(F0/2)x2=C1.

5 pts

Puesto que en el tiempot= 0, se tienex(0) =v(0) = 0, resulta queC1 = 0. Luego,para

t >0(cuando x(t)>0) se tiene: v2+ g 3x− gF0 2 = 0, es decir, v= r gF0 2 − g 3x.

Cuando la alturax alcanza el valorL (la cadena se despega del suelo), se tiene v= r gF0 2 − g 3L,

pero obsérvese que esto sólo es posible si F0 > 2L/3, pues de lo contrario la expresión

bajo la raíz cuadrada es negativa. 5 pts

4. Problema (25 %). Al caer una gota de agua se evapora y al mismo tiempo retiene su forma esférica. Haremos las suposiciones adicionales de que la rapidez con que se evapora (pérdida de masa) es proporcional a su área, con una constante de proporcionalidadk <0, y no se considera

la resistencia del aire. Designamos por ρ la densidad del agua, r0 el radio de la gota cuando

t= 0 y la dirección positiva se dene hacia abajo.

(a) Demuestre que bajo los supuestos anteriores la rapidez con que disminuye el radio r(t) de

la gota es constante y que se tiene

r(t) = (k/ρ)t+r0.

Solución: Basta notar que la masa total de la gota esm(t) = (4/3)πr3ρ, y dm(t)/dt=

k4πr2, según los supuestos. Derivando y simplicando se obtiene dr/dt = k/ρ. De esta relación se obtiene por integración:

r(t) =r0+

k ρt.

10 pts

(b) Si r0 = 0,01m. y si r = 0,007m. 10 segundos después, determine el tiempo en el que se

evapora la gota de lluvia por completo.

Solución: Determinamos la constante k/ρ usando los datos. Ella es igual a −0,0003.

Enseguida se resuelve la ecuación ent:−0,0003t+ 0,01 = 0, de donde t= 33,33.

5 pts

(c) Obtenga la ecuación diferencial satisfecha por la velocidad v(t) de la gota de agua en su

caída libre. Para ello comience por establecer el valor de su masa en función del tiempo. Si la gota de lluvia cae desde el reposo, determine v(t).

Solución: La masa es variable e igual am(t) = 4πr(t)

3

3 ρ. En consecuencia, aplicando la

Segunda Ley de Newton: d dt 4πr(t)3 3 ρ v(t) = 4πr(t) 3 3 ρ g d dt(r(t) 3_{v(t)) = r(t)}3_g. Y de aquí se concluye v0(t) =− 3(k/ρ) (k/ρ)t+r0 v(t) +g. (2) 5 pts

Para resolver esta ecuación lineal, calculamos su función de Green (es uno de los métodos posibles). G(s, t) = exp − Z t s 3(k/ρ) (k/ρ)ξ+r0 dξ = (k/ρ)s+r0 (k/ρ)t+r0 3 .

Como la gota parte del reposo, v(0) = 0, de donde la única solución del problema con

valores iniciales propuesto es

v(t) = Z t 0 (k/ρ)s+r0 (k/ρ)t+r0 3 gds, es decir, llamando A=k/ρ, v(t) = 1 4A (At+r0)4−r40 (At+r0)3 g. 5 pts