TEMA 6 SEMEJANZA. APLICACIONES -

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LECCIÓN I 1. SEMEJANZA: ESCALAS

ESCALA: es el cociente entre cada longitud de reproducción (mapa, plano, maqueta) y la correspondiente longitud en la realidad. Es, por tanto, la razón de semejanza entre la reproducción y la realidad. Por ejemplo una escala 1:200 significa que 1 cm del plano corresponde a 200 cm de la realidad. Ejemplo 1: En un mapa cuya escala es 1:1500000, la distancia entre dos ciudades es de 2,5 cm. ¿Cuál es la distancia real entre ellas?

A cada centímetro en el mapa le corresponde 1.500.000 cm en la realidad, es decir, 15 km. Entonces la distancia entre las dos ciudades se calcula multiplicando 2,5 por 15 km, es decir, en realidad hay 37,5 km de distancia.

¿Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades A y B cuya distancia real es 360 km?

En este caso, la operación a realizar es una división. Pero antes tenemos que pasar los 360 km a cm, que corresponde a 36.000.000 cm. Dividimos 36.000.000 entre 1.500.000 y obtenemos 24 cm.

Ejemplo 2: En un mapa cuya escala es 1:300000, la distancia entre dos ciudades es de 5 cm. ¿Cuál es la distancia real entre ellas?

A cada centímetro en el mapa le corresponde 300.000 cm en la realidad, es decir, 3 km. Entonces la distancia entre las dos ciudades se calcula multiplicando 5 por 3 km, es decir, en realidad hay 15 km de distancia.

Ejemplo 3: En un mapa cuya escala es 1:800000, la distancia entre A y B es de 5 cm. En otro mapa de escala 1:1200000, la distancia entre C y D es también de 5 cm ¿Cuál es la distancia AB o CD es mayor en la realidad? A cada centímetro en el mapa le corresponde 1.800.000 cm en la realidad, es decir, 18 km. Entonces la distancia entre las dos ciudades se calcula multiplicando 5 por 18 km, es decir, en realidad hay 90 km de distancia. A cada centímetro en el mapa le corresponde 1.200.000 cm en la realidad, es decir, 12 km. Entonces la distancia entre las dos ciudades se calcula multiplicando 5 por 12 km, es decir, en realidad hay 60 km de distancia.

Así que hay más distancia entre la ciudad A y B.

TEMA 6 – SEMEJANZA. APLICACIONES -

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Ejemplo 4: La Estatua de la Libertad de Nueva York mide 30,6 m de los pies a la cabeza. Si con ella se reprodujo a una persona cuya estatura era de 170 cm, ¿qué escala utilizaron para su construcción?

Tenemos que realizar la división para saber lo que equivale en la maqueta, pero antes pasamos ambas medidas a la misma magnitud.

30,6 m = 3060 cm : 170 cm = 18 cm. La escala es 18:1; es decir, 18 cm en la escultura representan 1 cm en la realidad.

LECCIÓN II

2. RELACIONES ENTRE LAS ÁREAS Y LOS VOLÚMENES

Si la razón de semejanza entre dos figuras es k, la razón entre sus áreas es k2 y la razón entre sus volúmenes es k3.

La razón entre las áreas de dos figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza.

La razón entre los volúmenes de dos figuras semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza.

Ejemplo 1: Las áreas de dos polígonos semejantes están en la razón 1:64. ¿Cuál es la razón de semejanza?

Al tratarse de la semejanza de áreas, tenemos que hacer la raíz cuadrada para obtener la razón de semejanza: R=

8

1

64

1

=

Ejemplo 2: Los volúmenes de dos polígonos semejantes están en la razón 1:512. ¿Cuál es la razón de semejanza?

Al tratarse de la semejanza de áreas, tenemos que hacer la raíz cúbica para obtener la razón de semejanza: R=

8

1

512

1

3

=

Ejemplo 3: Una maqueta está hecha a escala 1:250. Calcula:

1. Las dimensiones de una torre cilíndrica que en la maqueta mide 6 cm de altura y 4 cm de diámetro.

1 cm equivale a 250 cm

6 cm de altura equivale a 250 x 6 = 1500 cm, es decir, 15 m

(3)

3

2. La superficie de un jardín que en la maqueta ocupa 40 cm2.

A= área x escala2 = 40 x 2502 = 2.500.000 cm2 = 250 m2

3. El volumen de una piscina que en la maqueta contiene 20 cm3 de agua.

V= volumen x escala3 = 20 x 2503 = 312.500.000 cm3 = = 312,5 m3

Ejemplo 4: La razón de semejanza entre dos triángulos es 2/5. Si el área del mayor es 150 cm ¿cuál es el área del menor?

El área del menor es A= 150 x 2

5

2

= 150 x

25

4

=

25

600

=24 cm2.

Ejemplo 5: Dos depósitos cilíndricos semejantes tienen un volumen de 100 m3 y 250 m3, respectivamente. Si la altura del menor es 1,5 m, ¿cuánto mide el radio del mayor?

Como los depósitos son semejantes, sabemos que Vmayor = k3 · Vmenor

Sustituyendo en la formula, 250 = k3 · 100 k3 =

100

250

; k3 =

2

5

; k = 3

2

5

Vmenor= π · r2 · h ; 100= π · r2 ·1,5 ; r2=

5

,

1

100

; r=

6

,

25

m

5

,

1

100

=

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Ejemplo 6: El dibujo adjunto representa la maqueta de una urbanización a escala 1:500. Sobre la maqueta se ha tomado las siguientes medidas:

• Polideportivo: largo 30 cm y ancho 18 cm.

• Depósito cilíndrico: diámetro 6 cm y altura 10 cm. • Carpa: diámetro 16 cm.

Para construir la carpa de la maqueta se han necesitado 402 cm el depósito de la maqueta caben 283 cm

a) La superficie total del polideportivo. b) El volumen del depósito.

c) La superficie y el volumen de la carpa en realidad. DIMENSIONES EN REALIDAD: Polideportivo Largo 30 cm x 500 =15000 cm =150 m Ancho 18 cm x 500 =9000 cm =90 mDepósito cilíndrico: Diámetro 6 cm Altura 10 cm x 500 =5000 cm = 50 mCarpa: Diámetro 16 cm

a) La superficie total del polideportivo.

A= b· h = 150 · 90 = 13500 m

b) El volumen del depósito.

V=π· r

También se puede calcular mediante el volumen del depósito:

Vdepósito real

Vdepósito real

4

El dibujo adjunto representa la maqueta de una urbanización a escala 1:500. Sobre la maqueta se ha tomado las siguientes medidas:

deportivo: largo 30 cm y ancho 18 cm.

Depósito cilíndrico: diámetro 6 cm y altura 10 cm. Carpa: diámetro 16 cm.

Para construir la carpa de la maqueta se han necesitado 402 cm el depósito de la maqueta caben 283 cm3 de arena. Hallar:

ficie total del polideportivo. El volumen del depósito.

La superficie y el volumen de la carpa en realidad. DIMENSIONES EN REALIDAD: Polideportivo: Largo 30 cm x 500 =15000 cm =150 m Ancho 18 cm x 500 =9000 cm =90 m Depósito cilíndrico: Diámetro 6 cm radio 3 cm x 500 =1500 cm = 15 m Altura 10 cm x 500 =5000 cm = 50 m Diámetro 16 cm radio 8 cm x 500= 4000 cm =40 m

La superficie total del polideportivo.

A= b· h = 150 · 90 = 13500 m2

El volumen del depósito.

V=π· r2 ·h= π· 152 ·50 = 35342,9 m3

También se puede calcular mediante el volumen del depósito:

depósito real = Vdepósito maqueta · k3

depósito real = 283· 5003 =35.375.000.000 cm

El dibujo adjunto representa la maqueta de una urbanización a escala 1:500. Sobre la maqueta se ha tomado las siguientes medidas:

Para construir la carpa de la maqueta se han necesitado 402 cm2 de tela. En

radio 3 cm x 500 =1500 cm = 15 m

radio 8 cm x 500= 4000 cm =40 m

También se puede calcular mediante el volumen del

(5)

5

c) La superficie y el volumen de la carpa en realidad.

A=

2

1

· 4 · π· r2 = 2· π· r2 =2· π· 402 = 10053,1 m2

También se puede calcular mediante el área de la carpa:

Acarpa real = Acarpa maqueta · k2

Adepósito real = 402· 5002 =100.500.000 cm2 = 10050 m2 Respecto al volumen: V=

2

1

·

3

4

· π· r3 =

3

2

· π· 403 = 134041,3 m3

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MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO ESCALAS

EJERCICIOS DE ESCALAS

NOMBRE:_______________ APELLIDOS:__________________________________

1. En un mapa cuya escala es 1:50000 la distancia entre la ciudad A y la ciudad B es 7,2 cm. ¿Cuál es la distancia real entre ellas?

2. En un mapa cuya escala es 1:2500000 ¿Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades A y B cuya distancia real es de 175 km?

3. En un mapa cuya escala es 1:9500000, la distancia entre A y B es de 7 cm. En otro mapa cuya escala es 1:7200000 , la distancia entre C y D es de 9 cm. ¿Qué distancia es mayor en realidad AB ó CD?

4. La estatua de un emperador romano mide 41,7 m de los pies a la cabeza. Sabiendo que ese emperador tenía en realidad una estatura de 139 cm. ¿Qué escala utilizaron para su construcción?

5. La siguiente maqueta está hecha a una escala de 1:7000. Sabiendo que: ESTADIO DE FUTBOL Largo 25 cm y ancho 13 cm ESFERA Radio 4 cm

PISCINA Largo 7 cm, ancho 3 cm y alto 4 cm CILINDRO Diámetro 10 cm y altura 12 cm

Calcula:

a) El área del campo de fútbol

b) El volumen y el área de la esfera

c) El área y el volumen de la piscina

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7

MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO ESCALAS

EJERCICIOS DE ESCALAS RESUELTOS

1. En un mapa cuya escala es 1:50000 la distancia entre la ciudad A y la ciudad B es 7,2 cm. ¿Cuál es la distancia real entre ellas?

2. En un mapa cuya escala es 1:2500000 ¿Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades A y B cuya distancia real es de 175 km?

3. En un mapa cuya escala es 1:9500000, la distancia entre A y B es de 7 cm. En otro mapa cuya escala es 1:7200000, la distancia entre C y D es de 9 cm. ¿Qué distancia es mayor en realidad AB ó CD?

4. La estatua de un emperador romano mide 41,7 m de los pies a la cabeza. Sabiendo que ese emperador tenía en realidad una estatura de 139 cm. ¿Qué escala utilizaron para su construcción?

5. La siguiente maqueta está hecha a una escala de 1:7000. Sabiendo que: ESTADIO DE FUTBOL Largo 25 cm y ancho 13 cm ESFERA Radio 4 cm

PISCINA Largo 7 cm, ancho 3 cm y alto 4 cm CILINDRO Diámetro 10 cm y altura 12 cm

Calcula:

a) El área del campo de fútbol b) El volumen y el área de la esfera c) El área y el volumen de la piscina

50000 cm =5 hm 7,2 x 5 =36 hm =3,6 km

175 km = 17500000 cm : 2500000=7 cm

AB 9500000 cm =95 km 95 x 7 =665 km

CD 7200000 cm =72 km 72 x 9 =648 km

MAYOR AB

41,7 m = 4170 cm : 139 = 30 cm 30:1

(8)

8

d) El volumen del cilindro

ESTADIO DE FUTBOL Largo 25 cm x 7000 = 175000 cm =1750 m Ancho 13 cm x 7000 = 91000 cm =910 m ESFERA Radio 4 cm x 7000 = 28000 cm = 280 m PISCINA Largo 7 cm x 7000 = 49000 cm =490 m Ancho 3 cm x 7000 = 21000 cm =210 m Alto 4 cm x 7000 = 28000 cm = 280 m

CILINDRO Diámetro 10 cm = Radio 5 cm x 7000 = 35000 cm = 350 m Altura 12 cm x 7000 = 84000 cm = 840 m ESTADIO DE FUTBOL Área = 1750 x 910 = 1.592.500 m2 ESFERA Área = 4 · π ·r2 = 4 · π ·280 2 = 985.203,4562 m2 Volumen =

3

4

· π ·r3 =

3

4

· π ·2803 = 91.952.322,58 m3 PISCINA AT = AL +2AB AL = 1400· 280 = 392.000 m2 AB= 490· 210 = 102.900 m2 AT = AL +2AB=392.000 + 102.900 =494.900 m2 Volumen = 490 ·210·280 =28.812.000 m3 CILINDRO Área = π ·r2·h= π ·3502·840=323.269.884,1 m3

(9)

9

LECCIÓN III

3. SEMEJANZA

I. SEMEJANZA DE FIGURAS

Ejemplo 1: Observa estas tres fotografías e indica si son semejantes entre sí y por qué:

Solución: . semejantes son no C y B 6 12 10 21 . semejantes son sí B A y 3 6 5 10 → ≠ → = Ejemplo 2: Solución:

5

5

,

7

8

12

=

A y B sí son semejantes

5

,

7

9

12

13

B y C no son semejantes

(10)

10

Ejemplo 3: Mide las dimensiones de este rectángulo y construye un rectángulo semejante a él de forma que la razón de semejanza sea 3:

Solución:

1,5 · 3 = 4,5 cm

3 · 3 =9 cm

Ejemplo 4: Construye un triángulo semejante de forma que la razón de semejanza sea 2, sabiendo que los lados de un triángulo mide 1,5 cm, 2 cm y 2,5 cm.

1,5 · 2 = 3 cm 2 · 2 = 4 cm 2,5 · 2 = 5 cm

Ejemplo 5: Una fotografía de 9 cm de ancha y 6 cm de alta, tiene alrededor un marco de 2, 5 cm de ancho. ¿Son semejantes los rectángulos interior y exterior del marco?

Fotografía: 9cm de ancha y 6cm de alta.

Fotografía con marco: 9cm+2,5 +2,5 = 14 cm de ancha 6cm+2,5 +2,5 = 11 cm de alta.

(11)

II. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

TEOREMA DE TALES

Si dos rectas cualquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son pro

segmentos correspondientes en la otra.

Ejemplo 1: Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

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SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

TEOREMA DE TALES

Si dos rectas cualquieras se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra.

Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.

Si dos rectas cualquieras se cortan por varias rectas paralelas, los porcionales a los

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12

Ejemplo 2: Sabiendo que las rectas a, b, c y d son paralelas calcula la longitud de x e y: Solución: cm 5 7 12 90 cm 5 17 12 210 3 7 12 30 , y , x y x = = = = = =

Ejemplo 3: Calcula el valor de x e y en esta construcción:

Solución: cm 7 8 6 25 5 cm 6 5 4 6 8 = → = = → = y y , x , x

Ejemplo 4: Calcula x en el siguiente dibujo si:

2

4

x

x

=

x

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TEOREMA DE TALES EN UN TR Dado un triángulo ABC

los lados del triángulo, se obtiene otro proporcionales a los del

Ejemplo 1: Hallar las medidas de los segmentos a y b.

Ejemplo 2: Calcula x en el siguiente dibujo si a = 3 cm, b = 4 cm, c = 6 cm (x se denomina segmento cuarto proporcional).

Solución:

13

TEOREMA DE TALES EN UN TRIÁNGULO

triángulo ABC, si se traza un segmento paralelo, B'C', del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C', cuyos

a los del triángulo ABC.

Hallar las medidas de los segmentos a y b.

Calcula x en el siguiente dibujo si a = 3 cm, b = 4 cm, c = 6 cm (x se denomina segmento cuarto proporcional).

Solución:

8

cm

3

6·4

x

x

6

4

3

x

c

b

a

=

=

=

=

segmento paralelo, B'C', a uno de , cuyos lados son

(14)

14

Ejemplo 3: Calcula el valor de x en esta ilustración.

Solución:

33

m

5

55·3

x

55

x

5

3

=

=

=

Ejemplo 4: En la siguiente ilustración, calcula D si conocemos h = 1,65 m; d = 2 m; H = 14,85 m Solución:

18

m

1,65

14,85·2

h

H·d

D

D

H

d

h

=

=

=

=

Ejemplo 5: Calcula la altura de un depósito de agua que da una sombra de 15 m de largo, si a la misma hora un bastón de 1 m de alto da una sombra de 1,8 m de largo.

Los dos triángulos son semejantes pues dos de sus lados son paralelos, y podemos considerar que los lados formados en ambos triángulos por los rayos del Sol también son paralelos.

En consecuencia, m 8,33 1,8 1·15 CD 15 h 1,8 1 DE CD BC AB = = ⇒ = ⇒ =

(15)

15

Ejemplo 6: Halla x e y en la siguiente figura:

Solución:

Aplicando el Teorema de Tales: 6,75cm 2 3·4,5 x 2 3 4,5 x = = ⇒ =

cm

10,11

4,5

7·6,5

y

y

6,5

7

4,5

=

=

=

Ejemplo 7: Calcula x (todas las medidas están en centímetros).

Solución:

7,5

cm

2

3·5

x

5

x

2

3

=

=

=

Ejemplo 8: Calcula x (las unidades son metros):

Solución:

3

m

3

6·1,5

x

x

6

1,5

3

=

=

=

(16)

16

Ejemplo 9: Calcula x e y (las unidades son metros):

Solución: m 2 6 8·1,5 y y 1,5 8 6 = = ⇒ = m 2,5 6 10·1,5 x x 1,5 10 6 = = =

Ejemplo 10: Calcula x (las unidades son metros):

Solución: cm 3 8 6·4 x 4 8 x 6 = = = cm 4 6 3·8 y y 8 3 6 = = ⇒ = cm 4 6 3·8 z z 8 3 6 = = =

(17)

17

LECCIÓN IV 4. TEOREMA DEL CATETO

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

• a hipotenusa • b y c catetos

• m proyección del cateto b sobre la hipotenusa • n proyección del cateto c sobre la hipotenusa

Ejemplo: La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.

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5. TEOREMA DE LA ALTURA

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.

Ejemplo: En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 centimetros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

18

TEOREMA DE LA ALTURA

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.

En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 centimetros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media

En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 centimetros. Calcular la altura

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19

MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO TEOREMA DEL CATETO Y DE LA ALTURA

RESUELTOS

1. En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa divide a ésta con longitudes de 5 cm y 14 cm. Hallar la longitud de dicha altura y dibujar el triángulo correspondiente.

Aplicamos el teorema de la altura:

2. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 cm y la proyección del cateto b sobre el mide 3,6 cm. Hallar:

a. La longitud del cateto b.

b. La longitud de la proyección del cateto c sobre la hipotenusa.

c. La longitud del cateto c.

(20)

20

e. Dibuja el triangulo rectángulo.

(21)

21

4. Determina la altura sobre la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo.

Por el teorema de la altura tenemos que:

Por el teorema del cateto tenemos que:

n=17,46 cm

h=8,9 cm

(22)

22

5. Calcula el lado que falta y la altura sobre la hipotenusa del siguiente triángulo rectángulo.

En primer lugar, por el teorema de Pitágoras, calculamos la hipotenusa que es el lado que falta: a=20 cm

Por el teorema de la altura tenemos que:

(23)

23

LECCIÓN V

6. APLICACIÓN ALGEBRAICA DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

Para resolver estos problemas se tiene que hacer el teorema de Pitágoras de cada triángulo y resolver el sistema de ecuaciones formado por los dos triángulos. Se puede hacer también mediante un trapecio u otras figuras geométricas.

Ejemplo 1: Hallar el área, el perímetro y la altura sobre el lado mayor en un triángulo cuyos lados miden 6 cm, 8 cm y 10 cm.

x2+h2=62 (10-x)2+h2=82

x2+h2=62

100-20x+x2+h2=64

Resolviendo este sistema obtenemos x=3,6 cm y h= 4,8 cm

Área=24 cm2 P=24 cm

(24)

Ejemplo 2: Hallar el volumen de un tronco de cono de 9 cm de altura sabiendo que los radios de sus bases miden 20 cm y 8 cm.

Ejemplo 3: Para medir la altura de un edificio, Miguel se sitúa de modo que ve alineados la parte alta de la verja y la del edificio. Señala su posición y toma las medidas que se ven en el dibujo.

a) Explicar por qué los triángulos ABC y ADE son semejantes. b) Calcular ED y la altura del edificio.

24

Hallar el volumen de un tronco de cono de 9 cm de altura sabiendo que los radios de sus bases miden 20 cm y 8 cm.

Para medir la altura de un edificio, Miguel se sitúa de modo que ve alineados la parte alta de la verja y la del edificio. Señala su posición y toma las medidas que se ven en el dibujo.

Explicar por qué los triángulos ABC y ADE son semejantes. Calcular ED y la altura del edificio.

Hallar el volumen de un tronco de cono de 9 cm de altura sabiendo que los radios de sus bases miden 20 cm y 8 cm.

Para medir la altura de un edificio, Miguel se sitúa de modo que ve alineados la parte alta de la verja y la del edificio. Señala su

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7. TEOREMA DE PITÁGORAS

PITÁGORAS

8. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS

RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO ACUTÁNGULO Ejemplo 1: Conociendo l sus ángulos: a. a= 13 cm b= 5 cm c= 7 cm b. a= 13 cm b= 12 cm c= 5 cm c. a= 12 cm b= 9 cm c= 8 cm

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

25

LECCIÓN VI TEOREMA DE PITÁGORAS

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS

RECTÁNGULO a2 = b2 + c2 OBTUSÁNGULO a2 > b2 + c2 ACUTÁNGULO a2 < b2 + c2

Conociendo los diferentes lados de un triángulo, clasifícalo según

a= 13 cm b= 5 cm c= 7 cm a= 13 cm b= 12 cm c= 5 cm a= 12 cm b= 9 cm c= 8 cm

TRIÁNGULO OBTUSÁNGULO

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

TRIÁNGULO ACUTÁNGULO

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS

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26

9. APLICACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS EN FIGURAS

1. Diagonal del cuadrado

2. Diagonal del rectángulo

3. Lado oblicuo del trapecio rectángulo

4. Altura del trapecio isósceles

(27)

27

6. Apotema de un polígono regular

7. Apotema del hexágono inscrito

8. Lado de un triángulo equilátero inscrito

(28)

28

Ejemplo 1: Calcula “x”, el perímetro y el área coloreada en cada figura: 1 2 3 4 5 6 7

(29)

29

8 9 10

A=46,9 cm

2

P=33,6 cm

X=8,4 cm

Y=11,1 cm

H=6,7 cm

11

A=25,9 cm

2

P=27,7 cm

X=18,4 cm

Y=11,04 cm

H=4,32 cm

12

A=145,5 cm

2

P=108,1 cm

X=17 cm

Y=22,6 cm

Z=17,5 cm

Figure

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Referencias

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