OPERACIONES UNITARIAS I. Ing. Alicia Pérez Olivares.

OPERACIONES

UNITARIAS I

BREVE DESCRIPCIÓN DEL CURSO:

Asignatura conducente a entregar a los alumnos los conocimientos y fundamentos de la operaciones unitarias que se observan en las industrias, su modelamiento, control y diseño de equipamiento.

OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA:

Al finalizar la asignatura, el alumno estará en condiciones de conocer y comprender los principios y fundamentos de las operaciones unitarias industriales, considerando los fenómenos de transporte de fluidos, transferencia de calor y balances de materia y energía, en sistemas con y sin cambios químicos.

UNIDADES:

1.- Escurrimiento de fluidos. 2.-Transferencia de calor.

3. Transporte y mezclado de sólidos.

4.- Balances de Materia y Energía en sistemas de procesos 5.- Sistemas Reaccionantes

BIBLIOGRAFIA:

•Mecánica de fluidos / / Frank M. White ; México : : McGraw-Hill,, 1988. •Operaciones unitarias en ingeniería química / Warren L. McCabe, Julian C. Smith, Peter Harriott ; Madrid : McGraw-Hill, 1991.

MÓDULO I

1.- Principios Básicos

¿Qué es un Fluido?

Cuando se observa algo que tiene la capacidad de moverse en cualquier medio sin conservar su forma original, entonces puede llamarse fluido.

Estado de la materia que no tiene volumen definido debido a su poca cohesión intermolecular, por lo tanto este se adapta a la forma del recipiente que lo contiene, y además son poco resistibles a fuerzas tangenciales o cortantes, es decir cualquier fuerza grande o pequeña que se le aplique a un fluido, este enseguida se pondrá en movimiento.

Propiedades de los fluidos

Los fluidos poseen propiedades que los definen, como presión (P), temperatura (T), densidad (ρ), volumen (V), peso (P) viscosidad (µ) etc. Los valores de las propiedades son los que definen en que estado se encuentra un sistema.

Propiedades Intensivas y Extensivas

Intensivas: Son funciones de masa Ej.: Volumen, Peso.

Extensivas: Son funciones de punto, independiente de la masa. Ej.: Presión, Temperatura.

Densidad

La densidad de un cuerpo es la relación que existe entre la masa del mismo dividida por su unidad de volumen.

Densidad (ρ) = masa / volumen Unidades

S.I: [Kg/m3 _]

Densidad del Mercurio: ρ Hg= 13.600 [Kg/m3_]

Densidad del Aire: ρ aire = 1,293 [Kg/m3_]

Densidad Relativa

La densidad relativa de un cuerpo es un número adimensional establecido por la relación entre el peso de un cuerpo y el peso de un volumen igual de una sustancia que se toma como referencia.

D.R= ρ Sustancia / ρ H₂O (estándar) Líquidos

Peso Específico

El peso específico de una sustancia se puede definir como la relación entre el peso de la sustancia por su unidad de volumen.

Peso específico (γ) = peso / volumen [N/m3_]

(γ)= P/ V = m * g / V = ρ* g

En el Sistema Técnico se mide en kilogramos–fuerza por metro cúbico: [Kgf/m3]

Como el kilogramo fuerza representa el peso de un kilogramo en la Tierra, el valor numérico de esta magnitud, expresada en [Kgf/m3], es el mismo que el de la densidad, expresada en [Kg/m3].

Problema 1

Si la densidad de un líquido es de 835 [Kg/m3_{], determinar su peso}

específico y su densidad relativa.

(γ)= ρ* g = 835 [Kg/m3_{] * 9.81 [m/s}2_{] = 8191,35 [N/m}3_]

1 N = [Kg*m/s2_{] (Newton)}

Tensión Superficial

Indica la cantidad de trabajo que debe realizarse para llevar una molécula del interior de un líquido hasta la superficie.

Capilaridad

Se define como la capacidad que tiene una columna de un líquido para ascender y descender en un medio poroso. La capilaridad está influenciada por la tensión superficial y depende de las magnitudes relativas entre las fuerzas de cohesión, las fuerzas de adhesión del líquido y las paredes del medio.

Cuando se trabaja en medios porosos con diámetros menores de 10 mm, es importante a considerar.

2.- Gases ideales

Se dice que una sustancia en estado gaseoso se comporta como un gas ideal cuando obedece con exactitud a las leyes de los gases que se detallan a continuación:

Ley de Boyle

A temperatura constante, el volumen (V) que ocupa una masa definida de gas es inversamente proporcional a la presión aplicada (P).

V α 1/P → V* P =Cte

Ley de Charles

A presión constante, el volumen (V) que ocupa una masa dada de gas es directamente proporcional a su temperatura absoluta (T).

VαT → V= cte * T (n,P ctes)

V

/ T

= V

/ T

Las temperaturas han de expresarse en Kelvin

Ley de Gay-Lussac

Establece la relación entre la temperatura y la presión de un gas cuando el volumen es constante.

Al aumentar la temperatura las moléculas del gas se mueven más rápidamente y por tanto aumenta el número de choques contra las

paredes, es decir aumenta la presión ya que el recipiente es de paredes fijas y su volumen no puede cambiar.

Gay-Lussac descubrió que, en cualquier momento de este proceso, el cociente entre la presión y la temperatura siempre tenía el mismo valor:

Ley de Avogadro

A la misma temperatura y presión, volúmenes iguales de gases contienen el mismo número de moléculas (n: Nº de moles)

Vα n → V=Cte* n (P,T ctes)

V

/ n

= V

/ n

A partir de combinar estas leyes de los gases ideales, se

obtiene la ecuación de los gases ideales.

Ley de los Gases Ideales

La ley de los gases ideales es la ecuación de estado del gas ideal, un gas hipotético formado por partículas puntuales, sin atracción ni repulsión entre ellas y cuyos choques son perfectamente elásticos (conservación de

momento y energía cinética).

La ecuación que describe normalmente la relación entre la presión, el volumen, la temperatura y la cantidad (en moles) de un gas ideal es:

P*V= n*R*T

V=n *Ѵ P* Ѵ=R*T Ѵ=1 / ρ P / ρ = R*T ρ=P / (R*T) Donde:

Procedimiento alternativo

En caso de que la cantidad de sustancia fuese dada en masa en lugar de moles, a veces es útil una forma alternativa de la ley.

El número de moles (n) es igual a la masa (m) dividido por la masa molar (M)

n= m /M

Donde queda

P* V= m*R*T / M -> P= m*R*T / (V* M) m/V = ρ -> P= ρ*R*T / M

Problema 2

Un gas con peso molecular 44 [g/mol] esta a una presión de 0,9 [MPa] y a una temperatura de 20[º C]. Determine su densidad.

Se tiene M= 44 [g/mol] ; P= 0,9 [MPa] ; T = 20 [º C] ; ρ = x P*V= n*R*T ; n= m /M ; Remplazando P*V = (m/M) *R*T P= m *R*T / (V*M) en donde m/V = ρ , remplazando ρ = P*M / R*T

Desarrollo: ρ = P*M / R*T

ρ = 9 [atm] * 44 [g/mol] / (0,082 [atm·L/(mol·K)]* (273+20) [K]) ρ = 16,48 [g/L] = 16,48 [Kg/m3]

Observación :

La ecuación de los gases ideales nos permite calcular una de las variables del gas (P,V,T ó n) a partir de conocer las tres restantes.

Cuando un gas sufre una trasformación sus variables P, V ó T, y siempre y cuando se mantenga la misma cantidad de gas (n), existe una ecuación resultante de la ecuación de los gases ideales que permite relacionar las variables del gas ( P, V y T) del estado inicial y final de la trasformación.

3.- Estática de Fluidos

La estática de fluidos es el estudio de fluidos en los que no hay movimiento relativo entre sus partículas. Si no hay movimiento relativo, no existen esfuerzos cortantes, el único esfuerzo que existe es un esfuerzo normal, la presión, por lo que ésta es de primordial importancia en la estática de fluidos.

Concepto de Presión

La presión promedio se calcula al dividir la fuerza normal que empuja contra un área plana entre dicha área.

P= F/A S.I se mide [N/m2] = [Pa]

De manera particular la presión puede expresarse como presión manométrica y presión absoluta. Estos conceptos de la presión se encuentran referidos a un nivel de presión determinado (nivel de referencia de la presión), que en el caso de la presión absoluta es cero, que es la mínima presión alcanzable cuando se tiene el vacio absoluto. Las presiones manométricas se encuentran referidas a la presión atmosférica.

P_man = P_abs - P_atm (para presiones superiores a la P_atm) P_vac = P_atm – P_abs (para presiones inferiores a la P_atm) Donde

Fluidos Compresibles e Incompresibles

Llamaremos fluido compresible a aquel cuya densidad en un recipiente depende de la profundidad a que nos encontremos.

Fluido incompresible es aquel cuya densidad es constante, independiente de la profundidad. (H₂O prácticamente incompresible)

Los gases son en general muy compresibles, en cambio, la mayoría de los líquidos tienen una compresibilidad muy baja. Por ejemplo, una presión de 500 kPa provoca un cambio de densidad en el agua a temperatura ambiente de solamente 0.024%, en cambio esta misma presión aplicada al aire provoca un cambio de densidad de 250%. Por esto normalmente al estudio de los flujos compresibles se le conoce como dinámica de gases

Clasificación

Los flujos compresibles pueden ser clasificados de varias maneras, la más común usa el número de Mach (M) como parámetro para clasificarlo.

M = V/a

Donde V es la velocidad del flujo y a es la velocidad del sonido en el fluido.

Prácticamente incompresible: M < 0.3 en cualquier parte del flujo. Las

variaciones de densidad debidas al cambio de presión pueden ser despreciadas. El gas es compresible pero la densidad puede ser considerada constante.

Flujo transónico: 0.8 ≤ M ≤ 1.2. Hay ondas de choque que conducen a

un rápido incremento de la fricción y éstas separan regiones subsónicas de hipersónicas dentro del flujo. Debido a que normalmente no se pueden distinguir las partes viscosas y no viscosas este flujo es difícil de analizar.

Flujo supersónico: 1.2 < M ≤ 5. Normalmente hay ondas de choque pero

ya no hay regiones subsónicas. El análisis de este flujo es menos complicado.

Flujo hipersónico: M > 5. Los flujos a velocidades muy grandes causan

un calentamiento considerablemente grande en las capas cercanas a la frontera del flujo, causando disociación de moléculas y otros efectos químicos.

Variación de la presión con la altura en un fluido

incompresible.

En un fluido cualquiera en reposo, la presión depende de la profundidad. Esta variación de presión se debe a la fuerza gravitatoria que experimentan las partículas del fluido, o dicho de otra manera, al peso del que se encuentra por encima.

La diferencia de presiones entre dos puntos a distintos niveles en un líquido viene dada por:

P

–P

= γ (h

-h

)

Donde

P= Presión [Pa]

γ= Peso especifico [N/m3_{] ó [Kg/m}3_]

h= altura [m]

P

–P

= γ (h

-h

) -> P

–P

= ρ*g (h

-h

)

Puntos importantes como consecuencia

•Dos puntos del fluido a la misma profundidad tienen la misma presión.

Problema 3

Un dispositivo de exploración de las profundidades del mar tiene una ventana de área 0,10 [m2_{]. ¿Qué fuerza es ejercida sobre ella por el agua}

Datos: Área= 0,1 [m2_] ρ= 1.030 [Kg/m3_] Δh = 5.000 [m] P_atm = 100 KPa F₂= x Desarrollo P=F/A → P₂ = F₂ / A₂ F₂ =A₂ *P₂ P₂ –P₁ = ρ*g (h₂-h₁) P₂ –P_atm = ρ*g* Δh P₂₌ ρ*g* Δh + P_atm

P₂ = 1.030 [Kg/m3_{] * 9,8 [m/s}2_{]* 5.000 [m] + 100.000 [Pa] 1[Pa] = [N/m}2_] P₂ = 50.470.000 [Kg/m*s2_{] + 100.000 [Kg/m*s}2_] P₂ = 50.570.000 [Kg/m*s2_] F₂ =A₂ * P₂ F₂ = 0,1 [m2_{] * 50.570.000 [Kg/m*s}2_] F₂ = 5.057.000 [N] = 5,05*106 _[N]

Variación de la presión con la altura en un flujo

compresible

A partir de:

Si el fluido es un gas ideal en reposo a temperatura constante, se tiene

P / ρ = P

/ ρ

Ecuación para la variación de presión en un gas isotérmico en función de la elevación.

P= P

* exp

P = P

* exp

Ecuación para la variación de presión de un gas al

presentarse gradiente de temperatura.

Se tiene:

La temperatura (T) a una altura z está dada por:

T = T

– α * (z – z

)

Donde T₀ es la temperatura a un nivel de referencia z₀. La presión (P) a una altura z está dada por:

P = P

[(T

– α *(z – z

))/T

]

Problema 4

Suponiendo que prevalecen las condiciones isotérmicas en la atmósfera, calcúlese la presión y densidad de una elevación de 2.000 [m] si P= 105

[Pa] abs y ρ = 1,24 [Kg/m3_{] al nivel del mar.}

Datos

P= x ; ρ = x ; z = 2.000 [m] ; Po = 105 [Pa] abs ; ρo = 1,24 [Kg/m3_{] ;}

zo= 0 [m] Se tiene

P= P₀ * exp [ - (z – zo) / (Po/ g*ρo) ] ; P / ρ = P₀ / ρ₀

[ - (z – zo) / (Po/ g*ρo) ] = [ - (2.000 [m] - 0 [m]) / (105 _{[Pa]/ 9,8 [m/s}2_{] * 1,24}

[Kg/m3_{] ) ]}

P= P₀ * 0,78424 = 105 _{[Pa] * 0,78424}

P = 78424,0 [Pa] P = 78,42 [KPa]

ρ = P* ρ₀ / Po = 78424,0 [Pa] * 1,24 [Kg/m3_{] / 10}5 _[Pa]

Manometría

Es la medición de presiones (o diferencia de presiones) por medio de los desplazamientos de las columnas fluidas.

Los manómetros son tubos adaptados a depósitos, tuberías o canales con el propósito de medir presiones (fluidos en reposo o en movimiento).

Tubos piezómetros

Los piezómetros son dispositivos elementales para medir la presión. Consiste en un simple tubo el cual se conecta por un extremo inferior al recipiente que contiene el líquido cuya presión se desea conocer.

El liquido en el recipiente llena parcialmente el tubo hasta alcanzar cierto nivel B. La presión absoluta en A se reduce a la suma de columnas de presión sobre el plano horizontal que pasa por el punto A:

P_A = Po + γ * h

En esta expresión γ es el peso específico del líquido y Po la presión atmosférica.

La presión relativa es entonces:

Para el caso en que la presión del líquido en el recipiente es menor que la atmosférica, el tubo piezómetro deberá disponerse en la siguiente forma:

La presión en A se calcula así: Pc =Patm

Pc’=P_A’ + γ*h’

Como c y c’ pertenecen al mismo plano se debe satisfacer que Pc = Pc’ resultando entonces

P_A’ = Patm + γ*h’

Una vez determinada la presión en A’ se puede deducir la presión en otro punto del recipiente.

Manómetros

Para medir presiones altas se emplean manómetros con líquidos de peso específico elevado a fin de evitar que la columna manométrica alcance una exagerada altura.

Manómetros abiertos

Presiones mayores que la atmosférica

Sea el recipiente o tubo mostrado en la figura, lleno con un líquido sometido a presión, al cual se ha conectado un manómetro de mercurio. La columna de mercurio ocupa la zona BCD del tubo y actúa sobre su extremo D de la presión atmosférica.

La presión en A, objeto de la medición, se obtiene estableciendo la presión en B y C.

P_B= P_A + γ* h₁

Pc= Patm + γ _Hg* h

Como P_B = Pc (están en el mismo plano horizontal) P_A + γ* h1= Patm + γ _Hg* h

P_A = Patm + γ _Hg* h - γ* h₁

Siendo γ el peso especifico del líquido del recipiente que llena parcialmente el tubo manométrico entre A y B.

Presiones menores que la atmosférica

Pc =γ * h₁ + P_A + γ _Hg* h P_D= Patm

Pc= P_D

Manómetros diferenciales

Están destinados, como lo indica su nombre, a determinar diferencias de presión.

Para establecer la diferencia de presiones que hay entre A y E, se procede en forma similar a la seguida en los casos anteriores. Un procedimiento simplificado sigue los siguientes pasos:

•Comenzando con un extremo, anotar la presión en ese punto empleando unidades adecuadas.

•Utilizando las mismas unidades, se suma a este valor el cambio de

presión que se entrega de un menisco al siguiente (positivo si el segundo menisco se encuentra a menor elevación, negativo si se trata de una

elevación mayor).

•Proceder de esta manera hasta alcanzar el otro extremo del manómetro e igualar la expresión obtenida a la presión en éste ultimo punto, se

Para el caso del manómetro de la figura se tendrá que:

P_A+ γ₁*h₁ + γ_m*h₂-γ₂*h₃ = P_E

La diferencia de presiones en columna de agua resulta

P_A - P_E / γ_H20 = (γ₂*h₃ -γ₁*h₁ - γ_m*h₂ ) / γ_H20 = S₂* h₂ – S₁* h₁ – S_m* h₂

Siendo

S₁ Gravedad especifica del líquido en el recipiente A.

Manómetro diferencial compuesto

Cuando la diferencia de presión es apreciable se puede usar un manómetro con diferentes líquidos, como se muestra en la figura. Para calcular de presión P_A - P_B se puede mostrar que

P_A + γ₁*H₁ - γ_M1*h₂ + γ_M2*h₃ - γ_M3*h₄ – γ₂*h₅ = P_B P_A – P_B = γ_M1*h₂ + γ_M3*h₄ + γ₂*h₅ - γ₁*H₁ - γ_M2*h₃

1.- Una cantidad de gas ocupa un volumen de 80 cm3 _{a una presión de}

750 mm Hg. ¿Qué volumen ocupará a una presión de 1,2 atm.si la temperatura no cambia?

2.- El volumen inicial de una cierta cantidad de gas es de 200 cm3 _{a la}

temperatura de 20ºC. Calcula el volumen a 90ºC si la presión permanece constante.

3.- Una cierta cantidad de gas se encuentra a la presión de 790 mm Hg cuando la temperatura es de 25ºC. Calcula la presión que alcanzará si la temperatura sube hasta los 200ºC.

5.- Las sales de nitatrato (NO3-) al calentarse producen nitritos (NO2-) y oxígeno (O2), una muestra de nitrato de potasio se calienta de manera que el gas O2 producido se recolecta en un matraz de 750 mL. La presión de este gas en el matraz es de 2,8 atmósferas y la temperatura medida es de 53,6 °C. ¿Cuántas moles de O2 se han producido?

4.-Se tiene una masa de oxigeno, que ocupa un volumen de 200 [L] a la temperatura de 97 ºC y presion de 100,8 [KPa], se requiere saber a que Tº ocupara un volumen de 150 litros si la presion es de 103, [KPa]

5.- Cual es la presión a 1 m a 10 m de profundidad desde la superficie del mar ? Suponga que la ρ = 1,03 * 10^3 Kg/m3 como densidad y que la presión atmosférica en la superficie es de 10^5 Pa. Suponga además que a este nivel de presión la densidad no varia con la profundidad.

6.- Un experimentador desea determinar la densidad de una muestra de aceite que ha extraído de una planta. A un tubo de vidrio en Y abierto en ambos extremos llena un poco de agua con colorante (para la visibilidad). Después vierte sobre el agua una pequeña cantidad de la muestra de aceite en un lado del tubo y mide las alturas h1 y h2. Según como se muestra en la figura. ¿Cual es la densidad del aceite en términos de la densidad del agua y de h1 y de h2?

Presión sobre un punto de un fluido

La presión sobre un punto totalmente sumergido en un fluido en reposo es igual en todas direcciones. Para demostrar esto consideremos un pequeño prisma triangular como se muestra en la figura. Debido a que la cuña esta en reposo relativo no hay fuerzas cortantes y las fuerzas que existen son perpendiculares a las superficies.

Los valores de presiones promedio sobre cada una de las tres superficies son P₁,P₂ y P₃, en la dirección z las fuerzas son iguales y opuestas y se cancelan mutuamente

Haciendo la sumatoria de fuerza obtenemos

Cuando el prisma triangular se aproxima a un punto

dy →0, y las presiones promedio se hacen uniformes, esto es la presión para un “punto”

Principio de Pascal

Al aplicar una presión extra en un punto de un fluido en reposo, el aumento de presión se trasmite por igual a todos los puntos del fluido.

Este principio tiene numerosas aplicaciones, especialmente en el caso de los líquidos, ya que por ser estos prácticamente incompresibles se les puede utilizar como multiplicadores o reductores de fuerza. Esto se consigue variando la superficie contra la cual se transmite la presión, y proporcionalmente a la fuerza que se desea obtener.

Se tiene

P₁ = F₁ / A₁ P₂ = F₂ / A₂ ʌ P₁ = P₂ Entonces:

Principio de Arquímedes

Este principio sostiene que todo cuerpo parcial o completamente sumergido en un líquido experimenta una fuerza de empuje cuyo valor equivale al peso del líquido desalojado por él.

Para comprobar éste principio, considere una porción pequeña de agua en un recipiente como se muestra en la figura.

El agua sobre ésta porción actúa hacia abajo, al igual que su peso. El agua bajo la porción empuja hacia arriba. Puesto que la porción de agua está en equilibrio, la fuerza hacia arriba equilibra las fuerzas hacia abajo.

F

+ P

= F

La fuerza neta hacia arriba debido al fluido se llama fuerza de Empuje, así

F

= F

– F

= P

Si la porción de agua de peso P es substituido por un objeto de la misma forma y tamaño, este objeto también sentiría la fuerza de empuje hacia arriba.

F = P

O sea que la fuerza de empuje F_E es F_{E =} ρ*g*V, donde ρ es la densidad del fluido, y V es el volumen del cuerpo sumergido.

Si el peso del objeto es mayor que P (el peso del fluido desplazado), el objeto se hundirá. Si el peso del objeto es menor que el peso del agua desplazada cuando se sumerge totalmente, experimentara una fuerza neta hacia arriba y flotará a la superficie.

Centro de empuje

Es el punto a través del cual actúan las fuerzas de empuje, y está en el centro de gravedad del volumen del líquido desplazado. Si el cuerpo es homogéneo y esta totalmente sumergido, su centro de gravedad coincide con el centro de empuje.

Equilibrio rotacional de objetos flotantes

Un cuerpo tiene estabilidad vertical cuando un pequeño desplazamiento vertical en cualquier sentido origina fuerzas restauradoras que tienden a volver al cuerpo a su posición original y tiene estabilidad rotacional cuando al aplicar un pequeño desplazamiento angular se origina un par restaurador. En la figura se muestran los diversos casos de equilibrio que se presentan.

Estable: Ocurre cuando el centro de gravedad del cuerpo está por debajo

del centro de empuje, para una pequeña rotación el par de fuerzas hará retornar al cuerpo a su posición inicial.

Inestable: Ocurre cuando el centro de gravedad del cuerpo está por

encima del centro de empuje para una pequeña rotación el par de fuerzas tenderá a hacer rotar el cuerpo hacia una nueva posición de equilibrio.

Indiferente: Ocurre para cilindro recto horizontal y esfera, ya que su peso

Fuerzas sobre superficies planas sumergidas

Sea la superficie de la figura, se desea determinar la fuerza sobre su superficie superior, si ésta esta bajo la presión de un liquido mientras que por el otro lado no tiene presión aplicada.

Cp: centro de presión Cg: centroide

x̅, y̅ : coordenadas del centroide de la placa. x', y’ :coordenadas del centro de presión de la placa.

y: coordenada del elemento diferencial de presión

θ: ángulo de la placa con el eje vertical

Sabemos que la fuerza hidrostática actúa perpendicularmente a cualquier superficie en el fluido.

dF = PdA

La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada elemento diferencial:

F_R =

Para ello se debe tomar en cuenta que la relación entre la presión y la altura viene dada por:

P = P₀ + _{= P}

0 + ρgh = P0 + γh

Y como la geometría de la placa se expresa en función de x e y, h se puede expresar como:

h = y senθ En este caso la ecuación de la fuerza será:

La distancia al centroide se define como:

Centro de presión

El punto de aplicación de la fuerza debe ser tal que el momento de dicha fuerza con respecto a cualquier eje resulte igual al momento de la fuerza distribuida respecto al mismo eje. Si llamamos a las coordenadas del punto de aplicación de la fuerza resultante de x’, y’.

El valor de la coordenada y’ se puede obtener igualando momentos alrededor del eje x, siendo éste horizontal:

Donde el momento de inercia del área A se define como:

Este momento de inercia se pude determinar a partir del momento de

inercia respecto al centroide con la ayuda del teorema de transferencia de ejes paralelos:

I_X = I̅ + Ay̅ ²

Sustituyendo estos valores en la ecuación para la coordenada y’ obtenemos:

El valor de la coordenada x’, se puede obtener igualando momentos alrededor del eje y:

Luego la coordenada x’ será:

Utilizando el teorema de transferencia para el punto de inercia: I_XY = I̅_XY + A x̅y̅

Obtenemos

X’ = ( I̅

+ A x

̅y̅ ) / (y̅ A) = I̅

/ (

y̅ A) + x̅

En resumen se tiene que:

1.- La magnitud de la fuerza está dada por la ecuación:

F

= γ h̅ A

2.- La dirección de la fuerza es perpendicular a la superficie.

3.- La línea de acción de la fuerza resultante pasa a través del punto (x’, y’), cuyas coordenadas se obtienen con las expresiones:

x' = I̅

/ (

y̅ A) + x̅

y’ = I̅ / (y̅ A) + y̅

Fuerza sobre superficies curvas sumergidas

La diferencia básica en el cálculo de la fuerza que actúa sobre una superficie curva respecto de una plana radica en el hecho de se dF perpendicular en todo momento a la superficie, entonces cada diferencial de fuerza tiene una dirección diferente.

Para simplificar la operación de totalización solo debemos sumar los componentes de los vectores fuerza, referidos a un eje de coordenadas adecuado. Por lo tanto en este caso debemos aplicar 3 veces, como máximo, la ecuación para la superficie.

Componentes de la fuerza

La fuerza de presión en este caso esta dada por:

dF = PdA

La fuerza resultante se determina sumando las contribuciones de cada elemento diferencial:

Esta fuerza resultante se puede descomponer en componentes: F_R = F_Rx i + F_Ry j + F_Rz k

Donde i, j, k son los vectores unitarios de las direcciones x, y, z respectivamente

Donde θx, θy y θz son los ángulos entre dA y los vectores unitarios i, j y k respectivamente.

Por lo tanto dA_x, dA_y y dA_z son las proyecciones del elemento dA sobre los planos perpendiculares a los ejes x,y y z respectivamente.

Aquí se pueden diferenciar dos casos:

•Las componentes horizontales de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual a la suma vectorial de las fuerzas de presión ejercidas sobre la proyección de la superficie curva en los planos verticales.

•La componente vertical de la fuerza de presión sobre una superficie curva es igual al peso del líquido que se encuentra verticalmente por encima de dicha superficie hasta la superficie libre.

Esto ya que si se analiza la expresión para la fuerza vertical y tomando en cuenta que P = γ h obtenemos lo siguiente:

Línea de acción de la fuerza

Una vez establecidas las componentes de las fuerzas se debe especificar las líneas de acción de cada componente, utilizando el mismo criterio que para superficies planas. Es decir la sumatoria de momentos de cada componente de la fuerza resultante debe ser igual al memento de la fuerza distribuida, respecto al mismo eje.

Caso de superficie con curvatura en dos dimensiones

Para comprender mejor el problema lo vamos a simplificar al caso de una superficie curva en dos dimensiones. Es decir una superficie curva con ancho constante en la dirección x. Por lo tanto no existirán fuerzas hidrostáticas en esa dirección.

En este caso las

componentes de la fuerza se expresan:

Y la línea de acción se

Cuando se trabaja con superficies cilíndricas (radio de curvatura constante) es conveniente expresar el dA en función del ángulo de barrido en la circunferencia es decir:

dA = WRdθ Donde:

R: radio del cilindro

W: ancho de la superficie

θ: ángulo de barrido de la circunferencia

De esta forma se puede utilizar θ como variable de integración, quedando la fuerza expresada de la siguiente forma:

4.- Fenómeno de flujo de fluidos

Viscosidad

La viscosidad es el coeficiente de fricción interna del fluido.

Entre las moléculas de un fluido existen fuerzas moleculares que se denominan cohesión. Al desplazarse unas moléculas con relación a las otras se produce a causa de la cohesión una fricción.

Por otra parte, entre las moléculas de un fluido en contacto con un sólido y las moléculas del sólido existen fuerzas moleculares que se denominan fuerzas de adherencia.

u : velocidad

y : distancia transversal

A : área en contacto con el fluido

τ : esfuerzo cortante aplicado al fluido

μ : viscosidad Se tiene

F= A* μ * du/dy τ = μ du/dy

En al figura se observa que u₀ / y₀ = du/dy

La viscosidad se puede expresar entonces como:

μ = τ * y₀ / u₀

Esto indica que la velocidad con que se desplaza la placa superior es proporcional a la fuerza aplicada, principio descubierto por Newton.

• En un fluido ideal la viscosidad es cero μ = 0

• En un fluido real la viscosidad toma un valor finito μ > 0 • En un sólido la viscosidad tiende al infinito μ ≅ ∞

Fluidos Newtonianos y No Newtonianos

La relación entre la fuerza y la velocidad de desplazamiento lineal expresada en el párrafo anterior es válido solo para el caso de fluidos Newtonianos.

Fluido Newtoniano

Aquellos fluidos donde el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la rapidez de deformación se denominan fluidos Newtonianos.

Algunos ejemplos de fluidos prácticamente newtonianos son el agua, el aire, la gasolina y el petróleo.

Fluido No Newtoniano

Los fluidos No Newtonianos son aquellos en que el esfuerzo cortante no es directamente proporcional a la deformación.

Algunos ejemplos de fluidos con comportamientos marcadamente No Newtonianos son la crema dental, la grasa y el lavaplatos en gel. En estos ejemplos existe un esfuerzo de cedencia por debajo del cual se comportan como un sólido.

Viscosidad cinemática:

La viscosidad cinemática (ν) es una medida de la viscosidad referida a la densidad:

ν = μ / ρ

Esta medida de la viscosidad se usa mucho en hidrodinámica ya que además de las fuerzas de roce intervienen las fuerzas de inercia que dependen de la densidad.

La unidad en el sistema internacional es [m2 _{/ s] pero también se suele}

usar el Stoke (St), 1 St = 10-4 _[m2 _/s]

Fenómeno de flujo de fluidos

Anteriormente se ha considerado a los fluidos en reposo y la única propiedad significativa es el peso del fluido, en esta sección se expondrán conceptos adicionales, requeridos para el estudio del movimiento de fluidos.

Contrariamente a lo que sucede con los sólidos, las partículas de un fluido en movimiento pueden tener diferentes velocidades y estar sujetas a distintas aceleraciones. Tres principios fundamentales que se aplican al flujo de fluidos son:

•El principio de conservación de la masa, a partir del cual se establece la ecuación de continuidad.

•El principio de la energía cinética, a partir del cual se deducen ciertas ecuaciones aplicables al flujo y

Características Generales Del Flujo De Fluidos:

El flujo puede clasificarse como estacionario (o estable) y no estacionario uniforme y no uniforme, laminar (o irrotacional) o turbulento (o rotacional), compresible e incompresible y viscoso y no viscoso.

Cuando un fluido está en movimiento existen dos grandes tipos de flujo: Flujo estacionario y flujo no estacionario: Un flujo se dice estacionario cuando las magnitudes de interés, tales como la presión, velocidad y densidad, no dependen del tiempo. Por el contrario cuando alguna de las magnitudes de interés y, en particular, el campo de velocidades, dependen del tiempo, el flujo se denomina No estacionario o variable.

El camino seguido por una partícula del fluido en un flujo estacionario se denomina línea de corriente. La velocidad de la partícula siempre es tangente a la línea de corriente. Dos líneas de corriente no se pueden cortar por considerar el flujo como estacionario. Un conjunto de líneas de flujo se denomina tubo de flujo.

El estudio de un fluido real es muy complejo, por lo que comenzaremos modelizando un fluido en base a ciertas hipótesis sencillas. Se dice que un fluido es ideal si se verifica lo siguiente:

a) Fluido no viscoso: se desprecia la fricción interna. Un objeto que se desplace dentro del fluido no sufre fuerzas opuestas a su movimiento. b) Flujo estacionario: la velocidad, densidad y presión en un punto del fluido son constantes en el tiempo.

c) Fluido incompresible: la densidad del fluido es igual en todos los puntos (es constante espacialmente)

d) Flujo irrotacional: no hay momento angular del fluido respecto a ningún punto. Es decir, si se coloca una pequeña rueda en el seno del

Flujo laminar y flujo Turbulento

Los flujos viscosos se pueden clasificar en laminares y turbulentos, teniendo en cuenta la estructura interna de flujo.

En un flujo laminar, la estructura del flujo se caracteriza por el movimiento en láminas o capas.

En régimen turbulento la estructura del flujo se caracteriza por movimientos tridimensionales aleatorios de las partículas de fluido, superpuesto al movimiento promedio.

El que el flujo sea laminar o turbulento depende de las propiedades del fluido y de la velocidad de movimiento a la cual se somete.

Se puede predecir el tipo de flujo en un tubo usando el número de Reynolds:

Re = ρ*V̅*D / μ

El número de Reynolds no tiene dimensiones, por lo tanto, es independiente del sistema de unidades utilizado.

Si Re > 4000 el flujo será turbulento. Si Re < 2000 el flujo será laminar.

Principio de continuidad

De la conservación de la masa del líquido en un tubo del flujo, resulta inmediatamente la ecuación de la continuidad.

Consideremos un tubo de flujo constante de un líquido no viscoso; tal como el mostrado en la figura. Sean 1 y 2 dos sectores cuyas secciones tienen áreas normales al flujo A₁ y A₂, con velocidades ν₁ y ν₂

Considere las porciones sombreadas de los líquidos en 1 y 2. Luego, en un intervalo de tiempo Δt la masa de líquido Δm₁ pasa por la sección 1 y la masa Δm₂ que pasa por la sección 2 deben ser iguales, porque las mismas partículas son las que se mueven en el tubo de flujo, sin haber ingresado o salido partículas.

Tal que Δm1= Δm₂

Donde ΔѴ₁ y ΔѴ₂ son los volúmenes del líquido en las secciones 1 y 2 respectivamente y ρ₁ y ρ₂ son las densidades del líquido en 1 y 2.

De tal manera que ρ₁ A₁ ν₁ Δt = ρ₂ A₂ ν₂ Δt ⇒ ρ₁ A₁ ν₁ = ρ₂ A₂ ν₂

Si consideramos el fluido incompresible o poco incompresible como los líquidos

ρ₁ = ρ₂ , y ρ₁ A₁ = ρ₂ A₂ ⇒ Aν = constante Ahora Aν = constante

Aν = área * distancia/ tiempo = Volumen / tiempo = Gasto (G)

A esta razón de flujo de volumen G = Aν = constante, se le conoce con el nombre de Gasto o Caudal y sus unidades son [m3_/s].

Ecuación de Bernoulli

Al aplicar las leyes de Newton a los fluidos en movimiento se obtiene la ecuación de Bernoulli.

Se tiene una tubería por la que circula un fluido ideal de densidad ρ y p, ν y z denotan la presión, la velocidad del fluido y la altura respectivamente.

Tomemos una partícula de fluido de forma prismática (sección A largo Δs) que se mueve a lo largo de una línea de flujo en la dirección s. La partícula prismática se muestra en detalle en la siguiente figura.

Considerando un fluido no viscoso, o sea, que no hay pérdidas de energía, aplicamos la segunda ley de Newton

∑F_s = m * a_s

Las fuerzas que actúan son el peso y las fuerzas debido a las presiones p y p + dp, la masa de la partícula es Δm = ρAΔs

Luego:

pA – ( p + Δp ) A – ρ g A Δs cosθ = ρ A Δs a_s

Simplificando y dividiendo entre Δs: Δp / Δs + ρ g cosθ + ρ a_s = 0

En el limite Δs → 0

dp/ ds + ρ g cosθ + ρ a_s = 0 (1) Como

Por consiguiente la ecuación (1) puede escribirse:

p + ρ*g*z + ½ ρ ν

_{= constante}

Expresión que es la ecuación de Bernoulli. La misma que puede ser obtenida por la conservación de la energía, siendo por supuesto, equivalente. Como la ecuación de Bernoulli es válida para cualquier sección, entre dos puntos cualesquiera, se podrá escribir:

p₁ + ρgz₁ + ½ ρν2 _{= p}

2 + ρgz2 + ½ ρν2

Adicionalmente podemos decir que cuando existen pérdidas por la presencia de fuerzas viscosas, ésta expresión de la ecuación de Bernoulli se modificará escribiéndose:

p₁ + ρgz₁ + ½ ρν2 _{= p}

Aplicaciones

•Fluido en reposo

ν₁ = ν₂ = 0 → p₁ + ρgy₁ = p₂ +ρgy₂

p1 – p2 = ρg (y1 - y2)

Es decir, la presión disminuye con la altura (aumenta con la profundidad) •Fórmula de Torricelli

Permite calcular la velocidad ν₂ con que sale un líquido de un recipiente con un agujero a una distancia h de la superficie.

Bombas

Una bomba hidráulica es, por definición, una máquina que transmite energía a un fluido incompresible (agua en nuestro caso). En la Fig. se representa un esquema sencillo en el cual distinguimos el tubo de aspiración (entrada del agua) y el tubo de impulsión (salida del agua). El motor eléctrico acoplado a la bomba hace girar su rotor. Esta rotación genera un defecto de presión respecto de la presión atmosférica a la entrada del mencionado rotor. De este modo, el aire externo empuja la masa líquida dentro del rotor y el agua sale por la periferia del mismo. Como consecuencia de su viaje a través del rotor, el agua adquiere energía adicional que le permitirá salvar desniveles en los distintos tramos de su curso posterior, u obtener presión suficiente para otros usos. Hacemos aquí la observación de que, cuando la bomba está funcionando, la presión a la entrada del rotor será menor que la atmosférica.

Si en la figura aplicamos Bernoulli entre la entrada y la salida de la bomba, suponiendo un flujo irrotacional e incompresible y una bomba que no entrega energía, obtendremos:

z_s + p_s /(ρg) + ν_s2 _{/ 2g = z}

e + pe /(ρg) + νe2 / 2g (1)

Donde p es la presión, ν es la velocidad, ρ es la densidad, g es la aceleración de la gravedad y z es la altura medida desde una referencia horizontal arbitraria. Los subíndices “e” y “s” hacen referencia a “entrada” y “salida”, respectivamente.

A consecuencia de que no se han tenido en cuenta la viscosidad del fluido, ni la turbulencia del flujo, ni la energía entregada por máquinas, no se podrá satisfacer la igualdad en la ecuación anterior. La bomba trabaja entregando energía al fluido, energía cuantificada a través de la llamada altura manométrica H_m suministrada por la bomba:

z_s + p_s /(ρg) + ν_s2 _{/ 2g = z}

e + pe /(ρg) + νe2 / 2g + Hm (2)

Dicha altura manométrica Hm dependerá fundamentalmente del caudal circulante a través de la bomba, la geometría del rotor, su frecuencia de rotación, etc.

Si en la ecuación anterior, despreciamos las diferencias tanto de alturas como de velocidades entre la entrada y la salida, obtenemos:

H_m ≈ ( p_s - p_e ) / (ρg)

Para calcular Hm, podíamos no haber despreciado las diferencias de velocidades y de altura entre la entrada y la salida de la bomba. Así, para calcular las primeras, como conocemos el diámetro tanto de la tubería de impulsión (Di) como de la tubería de aspiración (Da), bastará con hacer lo siguiente:

ν_a = 4Q/ (π D_a2₎

s

m

kg

m

s

m

m

kg

W







'



Una vez conocida la altura manométrica H_m para un caudal de funcionamiento Q, podemos calcular la potencia transmitida al fluido:

W = Q ( p_s - p_e ) = ρ g Q H_m

De acuerdo al rendimiento del motor (ƞ ) W’ = ρ g Q H_m / ƞ

Ƞ siempre menor a la unidad. Las unidades de W resultan:

Para expresarla en HP debe dividirse por 75 por lo que finalmente tendremos:

Conceptos de cálculo de flujo en tuberías

Flujo laminar. Ecuación de Hagen-Poiseuille.

Cuando se tiene un flujo laminar, el fluido parece desplazarse en forma de varias capas, una sobre la otra. Debido a la viscosidad del fluido, se crea una tensión de corte entre las capas del fluido. La energía del fluido se pierde mediante la acción de vencer a las fuerzas de fricción producidas por la tensión de corte.

Puesto que el flujo laminar es tan regular y ordenado, se puede derivar una relación entre la pérdida de energía y los parámetros movibles del sistema de flujo .Esta relación se conoce como ecuación de Hagen-Poiseuille:

En función a las pérdidas de carga lineales: h_pl

h_pl = 32 μ L ν / (ρ*g*D2₎ h_pl = 128 μ L Q / ( ρ*g* π* D4₎

En función de la caída de presión:

∆p = 128 μ L Q / (π* D4₎

La ecuación de Hazen-Poiseuille solamente es válida para flujos laminares con número de Reynolds menor de 2000. Sin embargo, la ecuación de

Darcy se puede utilizar para calcular la pérdida de fricción en un flujo

Ecuación de Darcy-Weisbach

La ecuación de Darcy-Weisbach es una ecuación ampliamente usada en hidráulica, permite el cálculo de la pérdida de carga debida a la fricción dentro una tubería.

h_f = f Lν2 _{/ ( D* 2*g)}

Donde:

h_f = pérdida de carga debida a la fricción.

f = factor de fricción de Darcy. L = longitud de la tubería.

D = diámetro de la tubería. v = velocidad media del fluido.

Coeficiente de fricción:

La fórmula de Darcy-Weisbach también es válida para flujo laminar utilizando un coeficiente de fricción definido de la manera siguiente:

f = 64 / Re

Si el flujo es turbulento (Re ≥ 4000) o pertenece a la llamada zona de transición (2000 <Re < 4000) se recurre a diagramas como el de Moody que expresa la relación entre "f", el número de Reynolds (Re) y un parámetro conocido como rugosidad relativa de la conducción, que se representa como ε/d (d sigue siendo el diámetro interno de la conducción) y que se encuentra tabulado para distintos materiales.

Medición de caudal

El caudal que circula por una instalación se puede determinar de forma simple imponiendo un estrechamiento en la sección de paso, de modo que se genere una reducción de presión, tanto más acusada cuanto mayor es el caudal circulante. Dentro de esta categoría de caudalímetros se encuentran el tubo Venturi.

Tubo Venturi

Un tubo Venturi, como el mostrado en la figura, consiste en un tubo corto con un estrechamiento de su sección transversal, el cual produce un aumento de la velocidad del fluido y por consiguiente, puesto que la conservación de la carga expresada por el teorema de Bernoulli debe satisfacerse, una disminución de la altura piezométrica. El estrechamiento va seguido por una región gradualmente divergente donde la energía cinética es transformada de nuevo en presión con una inevitable pequeña pérdida por fricción viscosa. La caída de presión puede relacionarse con el caudal de fluido que circula por el conducto, a partir de la ecuación de continuidad (caudal constante en cualquier sección de la conducción) y de la ecuación de Bernoulli (conservación de la energía mecánica).

Aplicando el teorema de Bernoulli entre los puntos 1, en la entrada, y 2, en la garganta del tubo Venturi de la figura, se obtiene:

z₁ + p₁ / (ρg) + ν₁2 _{/ (2g) = z}

2 + p2 / (ρg) + ν22 / (2g) (1)

Si el Venturi se encuentra situado en posición totalmente horizontal, las alturas de posición de los puntos 1 y 2 son iguales, es decir z₁=z₂, y estos

términos se cancelan en la ecuación (1), pero si el tubo Venturi está

inclinado, como se muestra en la figura, las alturas de posición son diferentes, z ≠ z .

Por otra parte, ν₁ y ν₂ pueden considerarse como las velocidades medias en la sección correspondiente del tubo Venturi, y como el flujo se desarrolla en régimen permanente y el fluido es incompresible, la ecuación de continuidad establece que:

Q = A₁ ν₁ = A₂ ν₂ ⇒ ν₁ = A₂ ν₂ / A₁ (2)

Sustituyendo la expresión (2) en la ecuación (1), se obtiene: