ANÁLISIS NUMÉRICO PARA INGENIER0S

1  PRECISIÓN EN CÁLCULOS NUMÉRICOS CON DERIVE 6.    Derive 6 posee tres formas de precisión para trabajar con números en cálculos numéricos  u operaciones aritméticas, estas son:  1) Precisión en modo exacto.  2) Precisión en modo aproximado.  3) Precisión en modo mixto.  Los tres modos de precisión se pueden obtener mediante la siguiente secuencia.  OPCIONES:    AJUSTE DE MODO:    En la zona Precisión, del cuadro de diálogo anterior, aparecen las casillas de selección:  Modo: para escoger el modo de precisión: Exacto = Exact , Aproximado = Approximate, y  Mixed =Mixto  

Dígitos:  para  elegir  el  número  de  cifras  significativas  con  las  cuales  van  a  trabajar  los  modos Exacto y Mixto 

 

Nota:  Derive  6  trabaja  con  10  cifras  significativas  por  defecto,  además,  almacena  internamente todos los números reales como enteros o como un cociente entre enteros,  es  decir,  como  fracciones  y  todas  las  operaciones  realizadas  se  realizan  utilizando  aritmética racional. 

 

La  precisión  en  modo  exacto  significa  que  Derive  6  trabaja  los  números  irracionales  en  modo  exacto,  así  por  ejemplo  para  efectos  de  cálculo  aritmético  2  será  2  y  no  1.414213... Derive 6 en este caso utiliza mucha más memoria para almacenar los números  racionales,  los  cuales  son  expresados  en  forma  de  cociente  entre  enteros,  así  en  modo  exacto 1.5 se expresa como3

2   o 2.34657 como 

234657

100000 la precisión en modo exacto es la  precisión por defecto en Derive 6. 

 

La precisión en modo aproximado, Derive 6 corta un número de acuerdo al número de  cifras  significativas  indicadas  en  la  casilla  de  selección  Dígitos:  así  entonces  los  números  2.1354678...  ,  0.02345676...  ,  0.0001232597...  se  expresan  en  modo  aproximado  con  Dígitos:  5  como  2.1354  ,  0.023456  y  0.00012325  respectivamente.  Nótese  que  Derive  6  considera el corte para las cifras significativas y no para las cifras decimales y además no  utiliza redondeo. 

La  precisión  en  modo  mixto,  Derive  6 trata  a  los  números  decimales  e  irracionales  de  acuerdo a la precisión en modo aproximado y a los números expresados como fracciones  en precisión en modo exacto, de esta forma los números12;4, 285679 5

13 y serán expresados 

en modo mixto (con Dígitos: 5) como12;4, 285679 2, 2360

13 y   respectivamente. 

Nota: A  pesar  de  encontrarse  elegida  la  opción  de  precisión  en  modo  exacto,  se  puede  expresar el resultado en modo aproximado, si se selecciona el número y se hace clic sobre el botón

 

NÚMEROS APROXIMADOS. 

DERIVE trabaja por defecto en modo exacto y así por ejemplo si queremos calcular 3‐ln7 y  presionamos  el  botón     obtenemos  la  misma  expresión.  Sin  embargo  si  presionamos 

obtenemos 1.054089850 con 9 cifras decimales. 

 

En  el  menú  Simplificar/Aproximar  podemos  seleccionar  el  número  de  dígitos.  Esta  selección sólo es para esta operación. 

Si queremos cambiar el número de dígitos de modo permanente lo tenemos que hacer en  el menú Opciones/Ajustes de Modo en la zona Precisión, la casilla Dígitos. 

 

SUCESIONES 

Sea a a a0, ,1 2,...anuna  sucesión  de  números  (enteros,  racionales,  reales  o  complejos).  Se  representa esta sucesión por 

{ }

an _n o simplemente por ansi necesitamos abreviar. 

Estamos  interesados  en  aquellas  sucesiones  en  las  que  cada  término  es  construido  en  función  de  los  anteriores  mediante  fórmulas  o  reglas,  llamadas  SUCESIONES  RECURRENTES 

3  Los primeros ejemplos de esta teoría son las PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y  GEOMÉTRICAS. (Una sucesión 

{ }

_n n a es una progresión aritmética   PROGRESIONES ARITMÉTICAS  Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo  el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa  por d. an+1= +an dpara cada n≥0 

Es claro que en una progresión aritmética 

{ }

an de diferencia d se tiene an= +a0 ( )n d ésta  es la expresión del Término General de la progresión, en algunos ejercicios se utiliza ésta  fórmula generalizada para un primer términoa1 dado:  an = + −a1 (n 1)d 

NOTA: No siempre es posible encontrar una expresión en función de n del término general  de  una  sucesión  recurrente. Por  ejemplo,  en  la  importante  sucesión  de  los  números  primos:  2,  3,  5,  7,  11,  13,  17,  19,  23,...  no  hay  ninguna  fórmula  que  exprese  el  término  general.   

En  ocasiones  nos  referimos  a  la  progresión  formada  por  los  n  primeros  términos  de  la  progresión; en este caso se trata de una progresión aritmética limitada.   Son progresiones aritméticas:   a) Los múltiplos de 2 o números pares: 2, 4, 6, 8, 10... La diferencia es d = 2.  b) Los múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15... La diferencia es d = 3  c) Los múltiplos de a: a, 2a, 3a, 4a, 5a... La diferencia es d = a.    EJEMPLO 1. Consideremos la sucesión de término general a_n = +2 3n  1 5; 2 8; 3 11... a = a = a =   Observamos que cada término de la sucesión es igual que el anterior más 3. Se dice que la  sucesiónanes una progresión aritmética y que d =3 d es la diferencia de la progresión. En  la progresión anterior a1 =5;a2 = ⇒ = − =   8; d 8 5 3   EJEMPLO 2.  Determine el término general de la progresión aritmética 5, 8, 11, 14...   Ese término es a_n = + −5 (n 1)3⇒a_n = +5 3n− ⇒3 a_n = +2 3n    

EJEMPLO  3.  Determine  el  término  general  de  una  progresión  aritmética  en  la  que 

1 13; 2 n 13 ( 1)2 n 2 1

a = d = ⇒a = + −n ⇒a = n+

   

EJEMPLO  4.  Hallar  el  primer  término  de  una  progresión  aritmética  sabiendo  que 

11 35; 4 a = d =   11 1 (11 1)4 1 35 40 5 a = +a − ⇒a = − = −     PROGRESIONES GEOMÉTRICAS.   Una progresión geométrica es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo  el primero) es igual al anterior multiplicado por un número constante llamado razón, que  se representa por r.   

  Observemos las potencias de 10 que resultan de la sucesión  1 10n n a = − .   2 3 4 1, 10, 10 ,10 , 10 ,...Cada término de esta sucesión es igual al anterior multiplicado por  10. Esta sucesión es una progresión geométrica.     Término general. El término general de una progresión geométrica de primer término  a1   y razón  r  es  1 1 n n a =a r −      EJEMPLO 5. ¿Cuál es la razón de la progresión geométrica 3, 6, 12,...?  La razón se obtiene dividiendo un término entre el anterior:  1 6 2 3 n n a r r a ₋ = ⇒ = =  

EJEMPLO  6.  ¿Cuál  es  el  quinto  término  de  una  progresión  geométrica  en  la  que 

1 2 3

a = y r= ? 

Podemos  ir  hallando  cada  uno  de  los  términos  (2,  6,  18,  54,  162,...)  multiplicando  cada  término por 3. También se puede obtener directamente:  5 1 4 5 1 5 2(3) 162 a =a r −⇒a = =     EN DERIVE  CÁLCULO DE TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN  Para introducir en DERIVE la sucesión de término general a_n= −  , escribe en la barra de 3n 5 expresiones  a(n):=3n‐5  y confirma pulsando el botón Sí.     Se coloca a(n) en vez de  an  para indicar que  n  es la variable, además  se utiliza:=  en vez  de  =,  porque se trata de una asignación o definición, y no de una ecuación.    EJEMPLO 7. Determine según la sucesión anterior  

a a a

₃

;

₉₈

;

₁₀₀₀  

Para  ello,  sólo  borramos  la  parte  de  la  expresión  y  sustituimos  el  valor  de  n  correspondiente  y después, pulsa     o    para obtener el valor. 

 

Aunque  lo  podríamos  hacer  con  lo  anterior,  parece  más  sencillo  usando  el  comando 

SUSTITUIR. Si, por ejemplo, queremos encontrar el término 25 a25de la sucesión anterior 

5   

  EJEMPLO  8.  Dada  una  progresión  1 1

n n

a =a r − de  r=   y  cuyo  primer  término 4 a1=  7

encontrar el término a25 de la sucesión. 

Procedimiento: Introducimos el término general de la progresión geométrica a1 =  luego b

vamos al menú SIMPLIFICAR SUSTITUIR VARIABLE... Sustituyendo: los valores dados  

  CONSTRUIR SUCESIONES. 

Con  la  función  VECTOR  podemos  obtener  todos  los  términos  que  necesitemos  de  una  sucesión cualquiera si conocemos su término general. 

EJEMPLO 9. Determine los primeros 10 términos de la sucesiónan =3n−5 

Primero introducimos la expresión del término general y nos vamos a CÁLCULO, VECTOR,  VARIABLE  “n” Y  le  indicamos  el  número  de  términos  que  queremos  obtener  de  la  sucesión. 

   

  Otra forma: Introduce y simplifica la expresión VECTOR(a(n),n,10). 

Indicamos,  el  término  general,  la  variable,  el  primer  término,  el  último  y  el  tamaño  del  salto, de esa manera obtendrás los diez primeros términos de la sucesión).    EJEMPLO 10. Determine los términos de la sucesión comprendidos entre  A50  y  A60.  Para este caso colocamos: VECTOR(a(n),n,50,60).    Para casos como el ejemplo anterior  se puede definir una herramienta para realizar los  cálculos automáticamente: TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN: TS(i,j):=VECTOR(b(n),n,i,j).  

    De manera similar, para obtener los  n  primeros términos de una sucesión en forma de  columna, se define: TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN EN COLUMNA:   TSC(n):=VECTOR([i,b(i)],i,1,n)      Para incluir un incremento k. se define: TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN EN COLUMNA MAS  INCREMENTO:  TSCI(n,k):=VECTOR([i,b(i)],i,1,n,k)   EJEMPLO 11. Obtener la sucesión de b_n= −3n 5 para  n=80y k=5   Se obtendrá:   a1,  a6,  a11,  a16...   

7  EJEMPLO 12. Dada la progresión aritmética a_n = + −3 (n 1)2 Determine A(12), A(108), A(1)        EJEMPLO 13. Determine los 10 primeros términos con la progresión: a_n = + −3 (n 1)2      

EJEMPLO  14.  Obtener  los  valores  de  la  progresión a_n = + −3 (n 1)2entre  (6,20)  y  entre  (20,25) 

   

EJEMPLO  15.  Obtener  los  términos  en  columna  de  la  sucesióna_n = + −3 (n 1)2  para  20 n= con un incremento de 3.  EJEMPLO 16. Dada la progresión geométrica  ( 1) 3(2)n n a = − Determine A(12), A(108), A(1)     

  EJEMPLO 17. Dada la progresión geométrica  ( 1) 3(2)n n a = − Hallar los 10 primeros términos      

EJEMPLO  18.  Obtener  los  términos  en  columna  de  la  sucesión ( 1)

3(2)n n a = −   para  10 n= con un incremento de 2.    REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS TÉRMINOS DE UNA SUCESIÓN. 

Para  graficar  términos  de  una  sucesión,  ya  sea  aritmética  o  geométrica,  se  procede  de  manera similar a las graficar puntos en dos dimensiones. Al colocar en DERIVE, la sucesión  y  determinar  los  términos    en  forma  de  columna,  estos  resultados  quedan  resaltados,  luego  utilizar  este  procedimiento:  INSERTAR,  GRAFICA  2D  y  una  vez  en  la  ventana  de  gráficos, pulsar la ventana    para representar efectivamente los puntos. Si no aparecen  todos los puntos, puedes usar las teclas de zoom,     y    , para ampliar  o disminuir la escala, y     para centrar los ejes en la posición del cursor. Para visualizar  mejor los puntos, accede al menú Opciones de la barra de herramientas, elige Puntos y  marca  la  opción  de  Unir.  Confirma  con  Sí  y  vuelve  a  pulsar      .    Si  el  color  no  es  apropiado, vuelve a pulsar     para redibujar en otro color.  Para eliminar los gráficos,  pulsa CTRL+D. Para regresar a la ventana de expresiones pulsa    .  EJEMPLO 19. Graficar los 10 primeros términos de la sucesión,  3 2 n n a = +    

9   

EJEMPLO  20.  Obtener  los  términos  en  columna  de  la  sucesión 3 2 n

n

a = +   para  ) 100, 10; ) 1000, 50

a n= k= b n= k=   grafique y observe  el comportamiento  de  la  sucesión  para  términos alejados y destacar la tendencia. 

 

 

 

 

 

   

EJEMPLO  21.  a)  Obtener  una  sucesión  recurrente,  cuyos  términos  se  obtienen  multiplicando por 2 el término anterior, dondea1=  b) Determine   (6); (8)1 s s    

Se construye  esta sucesión con la expresión sn =2s(n−1), y en DERIVE La construcción será 

“si  n=  el valor de  1 s_n = ; si no, el valor será   2 (1 s n− ” quedando de esta manera: 1) S(n):= IF(n=1, 1, 2*S(n‐1)) (lo que se debe escribir en la barra de expresiones)    EJEMPLO 22. Graficar los 10 primeros términos de la sucesión  1 ( 1) 1 1 2 n n n s s s s − = − ⎧ ⎪ = ⎨ = + ⎪⎩      

11   

NOTA: Las  expresiones  recurrentes  ocupan  muchos  recursos  del  ordenador  y  pueden  provocar un “desbordamiento de pila”. Si el ordenador tarda en responder, pulsa ESC para  abortar la operación y prueba con otro valor de  n menor. 

 

EJEMPLO  23.  Graficar  los  10  primeros  términos  de  una  progresión  aritmética  que  comience con a1 =  y cada término se obtenga sumando un medio al anterior. 2

Se define A(n):=IF(n=1,2,A(n‐1)+1/2). 

 

 

  SUCESIÓN DE FIBONACCI  El prototipo de sucesión recurrente es la sucesión de Fibonacci definida:  0 1 2 1 0, 1, n n n a a a ₊ a ₊ a = = = +   La ecuación de recurrencia paran≥0   

EJEMPLO  24.  Graficar  los  10  primeros  términos  de  la  sucesión  de  Fibonacci  que  se  obtienen  sumando  los  dos  términos  anteriores,  dados  los  valores  iniciales,a1 = y  1

2 1 a =  (podemos considerar a0 = ). 0 La construcción con DERIVE será: FIB(n):=IF(n<2,n,FIB(n‐1)+FIB(n‐2))      Para comprobar los cálculos:      UTILIZANDO LAS FUNCIONES ITERATE E ITERATES  

ITERATE  se  utiliza  para  definir  el  término  general  de  la  sucesión  recurrente  an ,  generando  los  términos  de  modo  iterativo.  Este  proceso  resulta  más  rápido  para  Derive  que con la expresión IF.  

13  EJEMPLO 25. Determine a(10) de la sucesión  1 1 1 1 2 n _n n s s _s s + = − ⎧ ⎪ = ⎨ = + ⎪⎩       Una construcción más eficiente se consigue con la definición: 

FIBON(n):=ITERATE([k,j+k],[j,k],[0,1],n)  La  construcción  se produce  por  iteración  a partir  de [0, 1]. El segundo elemento es [1, 0+1], el tercero [1, 1+1], etc.  EJEMPLO 26. Determine el término 25 de la sucesión de Fibonacci     Es el segundo número que aparece al simplificar FIBON(25).   Para obtener el resultado de cada iteración se puede redefinir FIB(n):=FIBON(n) sub 2.    Si utilizas ITERATES, en lugar de ITERATE, al simplificar se generan los primeros n términos  de la sucesión recurrente  EJEMPLO 27. Determine los 10 primeros términos  de la sucesión  1 1 1 1 2 n _n n a F _x a + = − ⎧ ⎪ = ⎨ = + ⎪⎩      

 

EJEMPLO  28.  Determinar  los  primeros  cuatro  valores  numéricos  que  se  obtengan  mediante un proceso iterativo para 

g x

( )

=

e

senx

−

2

 a partir de x₀=3

 como valor de inicio.      Ahora de una forma directa:    Hacemos uso de los comandos para hacer las tablas y luego graficar.    AQUEL QUE LE GUSTA  LA PRÁCTICA SIN LA TEORÍA, ES COMO EL MARINO QUE NAVEGA  BARCOS SIN TIMÓN NI  BRÚJULA Y NUNCA SABE DÓNDE DEBE ANDAR”   LEONARDO DE VINCI