Control vectorial en modo tensión de un motor asíncrono
RESUMEN
El presente proyecto tiene como objeto el diseño, implementación y prueba de un control vectorial en modo tensión para un motor asíncrono.
El trabajo se ha llevado a cabo en diferentes fases.
x Modelado del sistema y cálculo de reguladores.
x Implementación y simulación del sistema completo.
x Construcción de la plataforma de control para el motor.
x Construcción de la interfaz gráfica y prueba física del control sobre el motor.
La simulación se ha llevado a cabo mediante el software Matlab Simulink, tanto en régimen continuo como en discreto. Se han analizado las diferentes respuestas de los reguladores, su dinámica, y el comportamiento general del sistema, entre otros parámetros.
Para realizar el control del motor en tiempo real, se ha utilizado la plataforma Dspace, que incluye la tarjeta DS1103 y el software de control ControlDesk. A partir de este software se ha creado una interfaz para el usuario, con varios paneles virtuales que permiten tanto el control como la observación de los parámetros del sistema.
Por otra parte, se ha construido una plataforma de control para el motor sobre un armario móvil, que se compone de varios elementos: inversor trifásico, sensores de corriente y tensión, resistencias de frenado, medidas de seguridad, etc
Esta plataforma, aparte de ser usada en este proyecto, quedará disponible para su utilización en posteriores pruebas o prácticas con el motor asíncrono, con otros tipos de control.
Finalmente, se ha probado físicamente el control vectorial sobre el motor asíncrono, en tiempo real, controlando diferentes parámetros, observando diferencias con la simulación, y analizando el comportamiento del motor.
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ĐŽŵƉůĞƚĂŵĞŶƚĞĐŽŶĨŝŐƵƌĂďůĞƐ͕ƉĞƌŵŝƚŝĞŶĚŽĂůƵƐƵĂƌŝŽŝŶƚĞƌĂĐƚƵĂƌĞŶƚŝĞŵƉŽƌĞĂůĐŽŶůŽƐƉĂƌĄŵĞƚƌŽƐ
ĐĂƌĂĐƚĞƌşƐƚŝĐŽƐ ĚĞů ĐŽŶƚƌŽů͗ ƌĞĨĞƌĞŶĐŝĂƐ͕ ĐŽŶƐƚĂŶƚĞƐ͕ ƐĞŐƵƌŝĚĂĚ͕ ĞƚĐ ĂĚĞŵĄƐ ĚĞ ƉŽĚĞƌ ǀŝƐƵĂůŝnjĂƌ ůŽƐ
ƌĞƐƵůƚĂĚŽƐĞŶƚŝĞŵƉŽƌĞĂů͘
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ƚĠĐŶŝĐĂĚĞĐŽŶƚƌŽůǀĞĐƚŽƌŝĂůĞŶŵŽĚŽƚĞŶƐŝſŶ͘
ŽŵŽŽďũĞƚŝǀŽƐĞĐƵŶĚĂƌŝŽ͕ƐĞƌĞĂůŝnjĂůĂĐŽŶƐƚƌƵĐĐŝſŶĚĞůĂƉůĂƚĂĨŽƌŵĂĨşƐŝĐĂĚĞĐŽŶƚƌŽůƐŽďƌĞ
ƵŶ ĂƌŵĂƌŝŽ ŵſǀŝů͕ ĐŽŶ ůĂ ŝŶƚĞŶĐŝſŶ ĚĞ ƋƵĞ ƉĞƌŵĂŶĞnjĐĂ ĨŝũĂ ƉĂƌĂ ƉŽƐƚĞƌŝŽƌĞƐ ƵƐŽƐ ĞŶ ƉƌĄĐƚŝĐĂƐ͕
ƉƌŽLJĞĐƚŽƐ͕ƚƌĂďĂũŽƐ͕ĞƚĐ͘
ĂƉşƚƵůŽϭ͘/ŶƚƌŽĚƵĐĐŝſŶ
WĄŐŝŶĂϱĚĞϰϮ
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ů ƌĞƐƵůƚĂĚŽ ƉƌŝŶĐŝƉĂů ĚĞů ƉƌŽLJĞĐƚŽ ĞƐ ƵŶĂ ƉůĂƚĂĨŽƌŵĂ ĚĞ ĐŽŶƚƌŽů ƉĂƌĂ Ğů ŵŽƚŽƌ ĂƐşŶĐƌŽŶŽ
ďĂƐĂĚĂĞŶĞůĐŽŶƚƌŽůǀĞĐƚŽƌŝĂůƉŽƌƚĞŶƐŝſŶ͘
ů ƚƌĂďĂũŽ ŶŽ ƐĞ ŚĂ ƌĞĂůŝnjĂĚŽ Ă ƉĂƌƚŝƌ ĚĞ ƵŶŽƐ ŽďũĞƚŝǀŽƐ ƉƌĞĨŝũĂĚŽƐ ĞŶ ĐƵĂŶƚŽ Ă ƚŝĞŵƉŽƐ ĚĞ
ƌĞƐƉƵĞƐƚĂ͕ ƐŽďƌĞŽƐĐŝůĂĐŝŽŶĞƐ͕ ĞƚĐ͘ ^Ğ ŚĂ ƋƵĞƌŝĚŽ ŚĂĐĞƌ ƵŶ ĐŽŶƚƌŽů ĨƵŶĐŝŽŶĂů͕ ƐŝŶ ĂƚĞŶĞƌƐĞ Ă ƵŶĂƐ
ĚŝŶĄŵŝĐĂƐ Ž ƌĞƐƉƵĞƐƚĂƐ ĐŽŶĐƌĞƚĂƐ͘ EŽ ŽďƐƚĂŶƚĞ͕ ƐĞ ŚĂŶ ĞůĞŐŝĚŽ ƵŶŽƐ ƉĂƌĄŵĞƚƌŽƐ ĚĞ ĐŽŶƚƌŽů ƋƵĞ
ƉƌŽƉŽƌĐŝŽŶĂŶ ƵŶĂƐ ĚŝŶĄŵŝĐĂƐ ĂĐĞƉƚĂďůĞƐ LJ ĐŽŚĞƌĞŶƚĞƐ ĐŽŶ Ğů ƐŝƐƚĞŵĂ͕ ƐŝĞŵƉƌĞ ĚĞƐĚĞ ŵŝ ƉƌŽƉŝŽ
ĐƌŝƚĞƌŝŽLJĞůĚĞŵŝƚƵƚŽƌ͘
ŽŶ ůĂ ƉůĂƚĂĨŽƌŵĂ ƐĞ ŝŶĐůƵLJĞ ƵŶ ƉƌŽŐƌĂŵĂ ĚĞ ĐŽŶƚƌŽů ĚĞ ŽŶƚƌŽůĞƐŬ͕ ƋƵĞ ĐŽŶƐƚĂ ĚĞ Ϯ
ƉĂŶĞůĞƐ͕ĐƵLJĂƐĐĂƌĂĐƚĞƌşƐƚŝĐĂƐƐŽŶ͗
• DĄdžŝŵĂ ĨƌĞĐƵĞŶĐŝĂ ĚĞ ŵƵĞƐƚƌĞŽ ƋƵĞ ƉĞƌŵŝƚĞ ůĂ ƚĂƌũĞƚĂ ĐŽŶ Ğů ƉƌŽŐƌĂŵĂ ŐĞŶĞƌĂĚŽ͕
ϭϬ<,nj͘
• ůŽƋƵĞ ŐůŽďĂů ĚĞ ƐĞŐƵƌŝĚĂĚ LJ ƉƌŽƚĞĐĐŝſŶ͕ ĐŽŶ ŝŶĚŝĐĂĐŝſŶ ĚĞ ƚŝƉŽ ĚĞ ĨĂůůŽ͕ ĞŶĂďůĞ
ŵĂŶƵĂů͕ƌĞƐĞƚĚĞůĨĂůůŽ͕ĞƚĐ͘
• ůŽƋƵĞĚĞŐĞŶĞƌĂĐŝſŶĚĞůƚŝƉŽĚĞĐĂƌŐĂƌĞƐŝƐƚĞŶƚĞƉĂƌĂĞůŵŽƚŽƌ͘
• ^ĞŐƵŝŵŝĞŶƚŽĚĞůŽƐƉƌŝŶĐŝƉĂůĞƐƉĂƌĄŵĞƚƌŽƐĚĞĐŽŶƚƌŽůLJƐĞŐƵƌŝĚĂĚ͗ĐŽƌƌŝĞŶƚĞƐĚĞƉĂƌLJ
ĐĂŵƉŽ͕ĚĞƐůŝnjĂŵŝĞŶƚŽ͕ƉĂƌŵŽƚŽƌ͕ǀĞůŽĐŝĚĂĚ͕ƌĞĨĞƌĞŶĐŝĂƐ͕ƚĞŶƐŝſŶĚĞďƵƐ͕ĞƚĐ͘
• 'ĞŶĞƌĂĐŝſŶ ĚĞ ĐŽŶƐŝŐŶĂƐ ĐŽŶƐƚĂŶƚĞƐ Ž ĐƵĂĚƌĂĚĂƐ ƉĂƌĂ ůŽƐ ĚŝĨĞƌĞŶƚĞƐ ůĂnjŽƐ ĚĞ
ƌĞŐƵůĂĐŝſŶ͘
• ĐƚƵĂĐŝſŶ ĞŶ ƚŝĞŵƉŽ ƌĞĂů ƐŽďƌĞ ůĂƐ ĐŽŶƐƚĂŶƚĞƐ ĚĞ ůŽƐ ƌĞŐƵůĂĚŽƌĞƐ ĚĞ ůŽƐ ůĂnjŽƐ ĚĞ
ĐŽƌƌŝĞŶƚĞĚĞƉĂƌ͕ĐŽƌƌŝĞŶƚĞĚĞĐĂŵƉŽ͕ƉĂƌŵŽƚŽƌLJǀĞůŽĐŝĚĂĚ͘
ĚĞŵĄƐĚĞůƉƌŽŐƌĂŵĂĚĞĐŽŶƚƌŽů͕ƐĞŽďƚŝĞŶĞŶƚĂŵďŝĠŶůĂƐƐŝŵƵůĂĐŝŽŶĞƐĚĞDĂƚůĂď^ŝŵƵůŝŶŬ͕
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ĐŽŵƉŽŶĞŶůĂƉůĂƚĂĨŽƌŵĂ͕ƐŝŶĞŶƚƌĂƌĞŶĚĞƚĂůůĞƐ
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ŶĞdžŽ//͘
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>ĂƚĂƌũĞƚĂ^ϭϭϬϯĞƐĐĂƉĂnjĚĞĚĞƐĂƌƌŽůůĂƌĞůĐŽŶƚƌŽ ĐĂƌŐĂ ŵĞĐĄŶŝĐĂ͘ ŝĐŚĂ ĐĂƌŐĂ ŵĞĐĄŶŝĐĂ ĞƐ ĚĂĚĂ ƉŽƌ ƵŶ ƐŽůŝĚĂƌŝĂŵĞŶƚĞĐŽŶĞůĚĞůŵŽƚŽƌĂƐşŶĐƌŽŶŽ͘
>Ă ƚĂƌũĞƚĂ ĐŽŵĂŶĚĂ ƐŽďƌĞ ĚŽƐ ŝŶǀĞƌƐŽƌĞƐ͘ ů ƉƌŝŵĞƌŽ ĐŽŶƚƌŽůĂĚŽƚŽƚĂůŵĞŶƚĞƉŽƌůĂƚĂƌũĞƚĂ͕LJĞůŝŶǀĞƌƐŽƌ
ĞƐƚĄĐŽŶĨŝŐƵƌĂĚŽƉĂƌĂƌĞĐŝďŝƌůĂƐĞŹĂůĚĞ
ŵŽƚŽƌ ĂƐşŶĐƌŽŶŽ ŝŶĐůƵLJĞ Ğů ƌĞĐƚŝĨŝĐĂĚŽƌ ŶĞĐĞƐĂƌŝŽ Ɖ ĂůŝŵĞŶƚĂĞůŝŶǀĞƌƐŽƌ͘^ŝŶĞŵďĂƌŐŽ͕ĞůŝŶǀĞƌƐŽƌĚĞů
ŶĞĐĞƐŝƚĂƵŶŽŝŶĚĞƉĞŶĚŝĞŶƚĞƉĂƌĂŐĞŶĞƌĂƌĚŝĐŚŽďƵƐ͘
ů ƐŝƐƚĞŵĂ ĨşƐŝĐŽ ƐĞ ĐŽŵƉŽŶĞ ĚĞ ƐĞŝƐ ĞůĞŵĞŶƚŽƐ ƉƌŝŶ ĞƐƋƵĞŵĂƐŝŵƉůŝĨŝĐĂĚŽĚĞŝŶƚĞƌĐŽŶĞdžŝſŶĞŶƚƌĞůŽƐĐŽŵ
ĞŶƚƌĞĞůůŽƐ͘
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ĨƵŶĐŝŽŶĂŵŝĞŶƚŽ LJ ƐĞ ĞdžƉŽŶĞŶ ůĂƐ ĐĂƌĂĐƚĞƌşƐƚŝĐĂƐ ŐĞŶĞƌĂůĞƐ ĚĞ ůŽƐ ƉƌŝŶĐŝƉĂůĞƐ ĞůĞŵĞŶ ĐŽŵƉŽŶĞŶůĂƉůĂƚĂĨŽƌŵĂ͕ƐŝŶĞŶƚƌĂƌĞŶĚĞƚĂůůĞƐĚĞĨƵŶĐŝŽŶĂŵŝĞŶƚŽŶŝĚĞůŝŶƚĞƌ
>ŽƐĚĞƚĂůůĞƐĚĞůĂƐĐĂƌĂĐƚĞƌşƐƚŝĐĂƐĚĞůŽƐƉƌŝŶĐŝƉĂůĞƐĐŽŵƉŽŶĞŶƚĞƐƐĞŵƵĞƐƚƌĂŶĞŶĞůŶĞdžŽ/LJ
ĚĞĐŽŶĨŝŐƵƌĂĐŝſŶLJĐŽŶĞdžŝŽŶĂĚŽĚĞůŽƐĐŽŵƉŽŶĞŶƚĞƐĚĞůĂƉůĂƚĂĨŽƌŵĂƐĞŵƵĞƐƚƌĂŶĞŶĞů
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>Ă ƉůĂƚĂĨŽƌŵĂ ĚĞ ĐŽŶƚƌŽů ƉĂƌĂ Ğů ŵŽƚŽƌ ĂƐşŶĐƌŽŶŽ ĐŽŶƐŝƐƚĞ ĞŶƵŶ ƐŝƐƚĞŵĂ ĐŽŶƚƌŽůĂĚŽ ƉŽƌ ůĂ
ƚĂƌũĞƚĂ ^ϭϭϬϯ WW ĚĞ ƐƉĂĐĞ ;ďĂƐĂĚĂ ĞŶ ƵŶ ƉƌŽĐĞƐĂĚŽƌ WW LJ ƵŶ ^W ĞƐĐůĂǀŽͿ͘
>ĂƚĂƌũĞƚĂ^ϭϭϬϯĞƐĐĂƉĂnjĚĞĚĞƐĂƌƌŽůůĂƌĞůĐŽŶƚƌŽůƐŽďƌĞĞůŵŽƚŽƌĂƐşŶĐƌŽŶŽƐŽŵĞƚŝĚŽĂĐƵĂůƋƵŝĞƌ
ĐĂƌŐĂ ŵĞĐĄŶŝĐĂ͘ ŝĐŚĂ ĐĂƌŐĂ ŵĞĐĄŶŝĐĂ ĞƐ ĚĂĚĂ ƉŽƌ ƵŶ ŵŽƚŽƌ ƐşŶĐƌŽŶŽ ĐƵLJŽ ĞũĞ ĞƐƚĄ ĂĐŽƉůĂĚŽ
ĚĞůŵŽƚŽƌĂƐşŶĐƌŽŶŽ͘
>Ă ƚĂƌũĞƚĂ ĐŽŵĂŶĚĂ ƐŽďƌĞ ĚŽƐ ŝŶǀĞƌƐŽƌĞƐ͘ ů ƉƌŝŵĞƌŽ͕ Ğů ŝŶǀĞƌƐŽƌ ĚĞů ŵŽƚŽƌ ĂƐşŶĐƌŽŶŽ͕ ĞƐ
ĐŽŶƚƌŽůĂĚŽƚŽƚĂůŵĞŶƚĞƉŽƌůĂƚĂƌũĞƚĂ͕LJĞůŝŶǀĞƌƐŽƌĚĞůŵŽƚŽƌƐşŶĐƌŽŶŽƚŝĞŶĞƵŶĐŽŶƚƌŽůƉƌŽƉŝŽ͕ĞůĐƵĂ ĞƐƚĄĐŽŶĨŝŐƵƌĂĚŽƉĂƌĂƌĞĐŝďŝƌůĂƐĞŹĂůĚĞƉĂƌƋƵĞĚĞďĞĚĞƐĂƌƌŽůůĂƌĞůŵŽƚŽƌƐşŶĐƌŽŶŽ͘ůŝŶǀĞ
ŵŽƚŽƌ ĂƐşŶĐƌŽŶŽ ŝŶĐůƵLJĞ Ğů ƌĞĐƚŝĨŝĐĂĚŽƌ ŶĞĐĞƐĂƌŝŽ ƉĂƌĂ ĚŝƐƉŽŶĞƌ ĚĞů ďƵƐ ĚĞ ĐŽŶƚŝŶƵĂ͕ ĚĞů ĐƵĂů ƐĞ
ĂůŝŵĞŶƚĂĞůŝŶǀĞƌƐŽƌ͘^ŝŶĞŵďĂƌŐŽ͕ĞůŝŶǀĞƌƐŽƌĚĞůŵŽƚŽƌƐşŶĐƌŽŶŽŶŽŝŶĐůƵLJĞƌĞĐƚŝĨŝĐĂĚŽƌ͕ƉŽƌĞƐŽ ŶĞĐĞƐŝƚĂƵŶŽŝŶĚĞƉĞŶĚŝĞŶƚĞƉĂƌĂŐĞŶĞƌĂƌĚŝĐŚŽďƵƐ͘
ů ƐŝƐƚĞŵĂ ĨşƐŝĐŽ ƐĞ ĐŽŵƉŽŶĞ ĚĞ ƐĞŝƐ ĞůĞŵĞŶƚŽƐ ƉƌŝŶĐŝƉĂůĞƐ͘ Ŷ ůĂ ĨŝŐƵƌĂ Ϯ͘ϭ ƐĞ ŽďƐĞƌǀĂ ƵŶ
ĞƐƋƵĞŵĂƐŝŵƉůŝĨŝĐĂĚŽĚĞŝŶƚĞƌĐŽŶĞdžŝſŶĞŶƚƌĞůŽƐĐŽŵƉŽŶĞŶƚĞƐĚĞůƐŝƐƚĞŵĂĨşƐŝĐŽLJƐƵŝŶƚĞƌĂĐƚƵĂĐŝſŶ
×
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ĐĂƌĂĐƚĞƌşƐƚŝĐĂƐ ŐĞŶĞƌĂůĞƐ ĚĞ ůŽƐ ƉƌŝŶĐŝƉĂůĞƐ ĞůĞŵĞŶƚŽƐ ƋƵĞ
ĚĞĨƵŶĐŝŽŶĂŵŝĞŶƚŽŶŝĚĞůŝŶƚĞƌĐŽŶĞdžŝŽŶĂĚŽ͘
ůĞƐĐŽŵƉŽŶĞŶƚĞƐƐĞŵƵĞƐƚƌĂŶĞŶĞůŶĞdžŽ/LJ
ĞůĂƉůĂƚĂĨŽƌŵĂƐĞŵƵĞƐƚƌĂŶĞŶĞů
ŶƐŝƐƚĞ ĞŶƵŶ ƐŝƐƚĞŵĂ ĐŽŶƚƌŽůĂĚŽ ƉŽƌ ůĂ
ƐĂĚĂ ĞŶ ƵŶ ƉƌŽĐĞƐĂĚŽƌ WW LJ ƵŶ ^W ĞƐĐůĂǀŽͿ͘
ůƐŽďƌĞĞůŵŽƚŽƌĂƐşŶĐƌŽŶŽƐŽŵĞƚŝĚŽĂĐƵĂůƋƵŝĞƌ
ŵŽƚŽƌ ƐşŶĐƌŽŶŽ ĐƵLJŽ ĞũĞ ĞƐƚĄ ĂĐŽƉůĂĚŽ
͕ Ğů ŝŶǀĞƌƐŽƌ ĚĞů ŵŽƚŽƌ ĂƐşŶĐƌŽŶŽ͕ ĞƐ
ĚĞůŵŽƚŽƌƐşŶĐƌŽŶŽƚŝĞŶĞƵŶĐŽŶƚƌŽůƉƌŽƉŝŽ͕ĞůĐƵĂů
ƉĂƌƋƵĞĚĞďĞĚĞƐĂƌƌŽůůĂƌĞůŵŽƚŽƌƐşŶĐƌŽŶŽ͘ůŝŶǀĞƌƐŽƌĚĞů
ĚŝƐƉŽŶĞƌ ĚĞů ďƵƐ ĚĞ ĐŽŶƚŝŶƵĂ͕ ĚĞů ĐƵĂů ƐĞ
ŵŽƚŽƌƐşŶĐƌŽŶŽŶŽŝŶĐůƵLJĞƌĞĐƚŝĨŝĐĂĚŽƌ͕ƉŽƌĞƐŽƐĞ
ĐŝƉĂůĞƐ͘ Ŷ ůĂ ĨŝŐƵƌĂ Ϯ͘ϭ ƐĞ ŽďƐĞƌǀĂ ƵŶ
ƉŽŶĞŶƚĞƐĚĞůƐŝƐƚĞŵĂĨşƐŝĐŽLJƐƵŝŶƚĞƌĂĐƚƵĂĐŝſŶ
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ĂƉşƚƵůŽϮ͘ĞƐĐƌŝƉĐŝſŶĚĞůƐŝƐƚĞŵĂĨşƐŝĐŽ͘ŽŶƐƚƌƵĐĐŝſŶĚĞůĂƉůĂƚĂĨŽƌŵĂ
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ŶĞƐƚĞĂƉĂƌƚĂĚŽƐĞŵƵĞƐƚƌĂŶůŽƐƐĞŝƐƉƌŝŶĐŝƉĂůĞƐĐŽŵƉŽŶĞŶƚĞƐĚĞůĂƉůĂƚĂĨŽƌŵĂĚĞĐŽŶƚƌŽů͕
ůŽƐĐƵĂůĞƐƐŽŶĞůŝŶǀĞƌƐŽƌĚĞĂůŝŵĞŶƚĂĐŝſŶĚĞůŵŽƚŽƌĂƐşŶĐƌŽŶŽ͕ĞůƉƌŽƉŝŽŵŽƚŽƌ͕ƵŶŵŽƚŽƌƐşŶĐƌŽŶŽ
ƋƵĞĂĐƚƷĂĐŽŵŽĐĂƌŐĂ͕ĞůͲŝŶǀĞƌƐŽƌĚĞůŵŽƚŽƌƐşŶĐƌŽŶŽ͕ĞůƌĞĐƚŝĨŝĐĂĚŽƌƌĞŐĞŶĞƌĂƚŝǀŽƋƵĞĂůŝŵĞŶƚĂ
ĚŝĐŚŽ ŝŶǀĞƌƐŽƌ LJ ƉŽƌ ƷůƚŝŵŽ ůĂ ƚĂƌũĞƚĂ ĚĞ ŐĞŶĞƌĂĐŝſŶ ĚĞ ƐĞŹĂůĞƐ ĚĞ ĐŽŶƚƌŽů LJ ƚƌĂƚĂŵŝĞŶƚŽ ĚĞ ůĂƐ
ƐĞŹĂůĞƐĚĞƌĞĂůŝŵĞŶƚĂĐŝſŶ^ϭϭϬϯ͘
Ŷ Ğů ŶĞdžŽ // ƐĞ ĚĞƐĐƌŝďĞ ĞŶ ĚĞƚĂůůĞ Ğů ŝŶƚĞƌ ĐŽŶĞdžŝŽŶĂĚŽ ĚĞ ƚŽĚŽƐ ĐŽŵƉŽŶĞŶƚĞƐ͕ ƚĂŶƚŽ
ƉƌŝŶĐŝƉĂůĞƐ ĐŽŵŽ ƐĞĐƵŶĚĂƌŝŽƐ͕ ĚĞ ůĂ ƉůĂƚĂĨŽƌŵĂ ĐŽŶ ƚŽĚĂƐ ůĂƐ ƐĞŹĂůĞƐ ĚĞ ĞŶƚƌĂĚĂ LJ ƐĂůŝĚĂ
ƉĞƌƚĞŶĞĐŝĞŶƚĞƐĂĐĂĚĂƵŶŽĚĞĞůůŽƐ͘
ĐŽŶƚŝŶƵĂĐŝſŶƐĞŵƵĞƐƚƌĂŶůĂƐĞƐƉĞĐŝĨŝĐĂĐŝŽŶĞƐŐĞŶĞƌĂůĞƐĚĞĞƐƚŽƐƐĞŝƐĐŽŵƉŽŶĞŶƚĞƐ͘
ʹǤʹǤͳÀ Ǥ
ůŵŽƚŽƌĚĞŝŶĚƵĐĐŝſŶ^ŝĞŵĞŶƐŵŽĚĞůŽϭ>ϳϭϬϲͲϰϭϬĞƐƵŶŵŽƚŽƌĂƐşŶĐƌŽŶŽƚƌŝĨĄƐŝĐŽ͘^Ƶ
ĚĞǀĂŶĂĚŽƐĞĂůŝŵĞŶƚĂĚŝƌĞĐƚĂŵĞŶƚĞĂƚƌĂǀĠƐĚĞůƌĞĐƚŝĨŝĐĂĚŽƌͲŝŶǀĞƌƐŽƌĚĞůĂŵĂƌĐĂ^ĞŵŝŬƌŽŶ͘^ƵĞũĞ
ĞƐƚĄĂĐŽƉůĂĚŽƐŽůŝĚĂƌŝĂŵĞŶƚĞĐŽŶĞůĞũĞĚĞůŵŽƚŽƌƐşŶĐƌŽŶŽ͘ŶůĂĨŝŐƵƌĂϮ͘ϮƐĞŽďƐĞƌǀĂƵŶĂŝŵĂŐĞŶ
ĚĞůŵŽƚŽƌ͘
ǤʹǤʹ ×À
Ŷ ůĂ ƚĂďůĂ / ƐĞ ƉƵĞĚĞŶ ǀĞƌ ůĂƐ ƉƌŝŶĐŝƉĂůĞƐ ĐĂƌĂĐƚĞƌşƐƚŝĐĂƐ ĚĞů ŵŽƚŽƌ ĂƐşŶĐƌŽŶŽ͘ ĚĞŵĄƐ͕ ƐĞ
ƉƵĞĚĞŶ ĐŽŶƐƵůƚĂƌ ĞŶ ĚĞƚĂůůĞ ĞŶ Ğů ĐĂƚĄůŽŐŽ D ϭϭ ϮϬϬϬ ĚĞ ^ŝĞŵĞŶƐ ǭ^ƋƵŝƌƌĞů ĂŐĞ DŽƚŽƌƐ͘ >ŽǁͲ sŽůƚĂŐĞDŽƚŽƌƐDzƉĄŐŝŶĂϯͬϮ͘
ĂƌĂĐƚĞƌşƐƚŝĐĂƐŐĞŶĞƌĂůĞƐ DŽĚĞůŽ
WŽƚĞŶĐŝĂ
&ƌĞĐƵĞŶĐŝĂŶŽŵŝŶĂů dĞŶƐŝſŶŶŽŵŝŶĂů
ŽƌƌŝĞŶƚĞŶŽŵŝŶĂůĂϰϬϬsƌŵƐz
ŽƌƌŝĞŶƚĞŵĂŐŶĞƚŝnjĂŶƚĞ
&ĂĐƚŽƌĚĞƉŽƚĞŶĐŝĂ sĞůŽĐŝĚĂĚŶŽŵŝŶĂů sĞůŽĐŝĚĂĚĚĞƐŝŶĐƌŽŶŝƐŵŽ EƷŵĞƌŽĚĞƉĂƌĞƐĚĞƉŽůŽƐ
WĂƌŶŽŵŝŶĂů WĞƐŽ 'ƌĂĚŽĚĞƉƌŽƚĞĐĐŝſŶ dŝƉŽĚĞĐŽŶƐƚƌƵĐĐŝſŶ ZĞƐŝƐƚĞŶĐŝĂĞƐƚĂƚŽƌ /ŶĚƵĐƚĂŶĐŝĂ
ZĞƐŝƐƚĞŶĐŝĂƌŽƚŽƌ /ŶĚƵĐƚĂŶĐŝĂƌŽƚŽƌ
ʹǤʹǤʹ ǦÀ
ů ƌĞĐƚŝĨŝĐĂĚŽƌͲŝŶǀĞƌƐŽƌ͕ ŵŽĚĞůŽ ^ĞŵŝƚĞĂĐŚ /'d ^<D ϱϬ ' ^< ϱϭ ĚĞ ĐŽŶƚŝĞŶĞƵŶƌĞĐƚŝĨŝĐĂĚŽƌƋƵĞƐĞĂůŝŵĞŶƚĂĚĞƐĚĞƵŶĂ
ƚĞŶƐŝſŶĂůŵŽƚŽƌĂƐşŶĐƌŽŶŽ͘ůƌĞĐƚŝĨŝĐĂĚŽƌƉƌŽƉŽƌĐ ĚĞƚƌĞƐƌĂŵĂƐĚĞĐŽŶŵƵƚĂĐŝſŶ;ƌĂŵĂ͕ƌĂŵĂLJƌĂŵĂ
/'dͲͿ LJ ĂĚĞŵĄƐ ĐŽŶƚŝĞŶĞ ƵŶĂ ƌĂŵĂ ĚĞ ƐĞŐƵƌŝĚĂĚ ƉĂƌĂ ĐŽŶĞĐƚĂƌ ůĂƐ ƷůƚŝŵĂƌĂŵĂ;ƌĂŵĂͿĐŽŶŵƵƚĂĞůďƵƐĚĞĐŽŶƚŝŶƵĂĐŽŶ
>ĂƐƐĞŹĂůĞƐĚĞĐŽŶƚƌŽůĚĞůŽƐ/'dƐƐŽŶĚĞůſŐŝĐĂƉ ƚĞŶƐŝſŶͿ͘ĂĚĂƌĂŵĂƉŽƐĞĞƵŶĂƐĞŹĂůĚĞĂůĂƌŵĂƋƵĞƐĞĚŝƐƉĂƌĂ
ĐŽŶƚƌŽůĚĞ/'dƐŶĞĐĞƐŝƚĂƵŶĂĂůŝŵĞŶƚĂĐŝſŶĚĞнϭϱs
ƌĞĐƚŝĨŝĐĂĚŽƌͲŝŶǀĞƌƐŽƌ͘
ǤʹǤ͵
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ĂĐƚĞƌşƐƚŝĐĂƐŐĞŶĞƌĂůĞƐ DŽƚŽƌĂƐşŶĐƌŽŶŽ^ŝĞŵĞŶƐ
DŽĚĞůŽ ϭ>ϳϭϬϲͲϰϭϬ
WŽƚĞŶĐŝĂ Ϯ͘ϮŬt
&ƌĞĐƵĞŶĐŝĂŶŽŵŝŶĂů ϱϬ,njͬϲϬ,nj;^ĞƚƌĂďĂũĂƌĄĂϱϬ,njͿ
dĞŶƐŝſŶŶŽŵŝŶĂů ϰϬϬsƌŵƐz
ŽƌƌŝĞŶƚĞŶŽŵŝŶĂůĂϰϬϬsƌŵƐz ϰ͘ϳƌŵƐ;ϲ͘ϲϰŵĄdžŝŵŽͿ
ŽƌƌŝĞŶƚĞŵĂŐŶĞƚŝnjĂŶƚĞ Ϯ͘ϰƌŵƐ;ϯ͘ϯϵŵĄdžŝŵŽͿ
&ĂĐƚŽƌĚĞƉŽƚĞŶĐŝĂ Ϭ͕ϴϮ
sĞůŽĐŝĚĂĚŶŽŵŝŶĂů ϭϰϮϬƌƉŵ
sĞůŽĐŝĚĂĚĚĞƐŝŶĐƌŽŶŝƐŵŽ ϭϱϬϬƌƉŵ
EƷŵĞƌŽĚĞƉĂƌĞƐĚĞƉŽůŽƐ Ϯ
WĂƌŶŽŵŝŶĂů ϭϱEŵ
WĞƐŽ ϮϮ<Ő
'ƌĂĚŽĚĞƉƌŽƚĞĐĐŝſŶ /Wϱϱ
dŝƉŽĚĞĐŽŶƐƚƌƵĐĐŝſŶ /Dϯ
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/ŶĚƵĐƚĂŶĐŝĂĞƐƚĂƚŽƌ Ϭ͕Ϯϴ,
ZĞƐŝƐƚĞŶĐŝĂƌŽƚŽƌ Ϯ͕ϲɏ
/ŶĚƵĐƚĂŶĐŝĂƌŽƚŽƌ Ϭ͕Ϯϴ,
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ŝŶǀĞƌƐŽƌ͕ ŵŽĚĞůŽ ^ĞŵŝƚĞĂĐŚ /'d ^<D ϱϬ ' ^< ϱϭ ĚĞ
ĐŽŶƚŝĞŶĞƵŶƌĞĐƚŝĨŝĐĂĚŽƌƋƵĞƐĞĂůŝŵĞŶƚĂĚĞƐĚĞƵŶĂƵƚŽƚƌĂŶƐĨŽƌŵĂĚŽƌLJƵŶŝŶǀĞƌƐŽƌƋƵĞƉƌŽƉŽƌĐŝŽŶĂ
ƚĞŶƐŝſŶĂůŵŽƚŽƌĂƐşŶĐƌŽŶŽ͘ůƌĞĐƚŝĨŝĐĂĚŽƌƉƌŽƉŽƌĐŝŽŶĂƵŶďƵƐĚĞĐŽŶƚŝŶƵĂĂůŝŶǀĞƌƐŽƌ͕ĞůĐƵĂůĐŽŶƐƚĂ ĚĞƚƌĞƐƌĂŵĂƐĚĞĐŽŶŵƵƚĂĐŝſŶ;ƌĂŵĂ͕ƌĂŵĂLJƌĂŵĂͿ͘ĂĚĂƌĂŵĂĐŽŶƚŝĞŶĞĚŽƐ/'dƐ;/'dнĞ
ĄƐ ĐŽŶƚŝĞŶĞ ƵŶĂ ƌĂŵĂ ĚĞ ƐĞŐƵƌŝĚĂĚ ƉĂƌĂ ĐŽŶĞĐƚĂƌ ůĂƐ ƌĞƐŝƐƚĞŶĐŝĂƐ ĚĞ ĨƌĞŶĂĚŽ ƷůƚŝŵĂƌĂŵĂ;ƌĂŵĂͿĐŽŶŵƵƚĂĞůďƵƐĚĞĐŽŶƚŝŶƵĂĐŽŶƵŶƐŽůŽ/'d͘
>ĂƐƐĞŹĂůĞƐĚĞĐŽŶƚƌŽůĚĞůŽƐ/'dƐƐŽŶĚĞůſŐŝĐĂƉŽƐŝƚŝǀĂ;ƐĞĐŝĞƌƌĂŶĐŽŶƵŶŶŝǀĞůƉŽƐŝƚŝǀŽĚĞ
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ŶůĂƚĂďůĂ///ƐĞŵƵĞƐƚƌĂŶůĂƐƉƌŝŶĐŝƉĂůĞƐĐĂƌĂĐƚĞƌşƐƚŝĐĂƐĚĞůŵŽƚŽƌƐşŶĐƌŽŶŽ͕LJĞŶůĂĨŝŐƵƌĂϮ͘ϱ
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ŵĂƌĐĂ^ŝŵŽǀĞƌƚDĂƐƚĞƌĚƌŝǀĞƌƐ͘ŶůĂƚĂďůĂ/sƐĞŵƵĞƐƚƌĂŶůĂƐĐĂƌĂĐƚĞƌşƐƚŝĐĂƐƉƌŝŶĐŝƉĂůĞƐĚĞůŝŶǀĞƌƐŽƌ͘
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ŽƌƌŝĞŶƚĞŶŽŵŝŶĂůĚĞƐĂůŝĚĂ Ϯϱ͘ϱƌŵƐ
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ĞŶĞƌպà à ůĂ ƌĞĚ ĞůĠĐƚƌŝĐĂ ĐƵĂŶĚŽ Ğů ŵŽƚŽƌ ƐşŶĐƌŽŶŽ ĞƐ ĂƌƌĂƐƚƌĂĚŽ ĐŽŵŽ ŐĞŶĞƌĂĚŽƌ͘ WĂƌĂ ƉŽĚĞƌ
ĂĚĂƉƚĂƌĞƐƚĂƵŶŝĚĂĚƌĞŐĞŶĞƌĂƚŝǀĂĂůĂƌĞĚƐĞƵƚŝůŝnjĂƵŶĂƵƚŽƚƌĂŶƐĨŽƌŵĂĚŽƌ͘
ŶůĂƚĂďůĂsƐĞŵƵĞƐƚƌĂŶůĂƐƉƌŝŶĐŝƉĂůĞƐĐĂƌĂĐƚĞƌşƐƚŝĐĂƐĚĞůƌĞĐƚŝĨŝĐĂĚŽƌ
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ĂƌĂĐƚĞƌşƐƚŝĐĂƐŐĞŶĞƌĂůĞƐ ZĞĐƚŝĨŝĐĂĚŽƌ^ŝĞŵĞŶƐ
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ŽƌƌŝĞŶƚĞŶŽŵŝŶĂůƌĞŐĞŶĞƌĂĐŝſŶĐŽŶĂƵƚŽƚƌĂŶƐĨŽƌŵĂĚŽƌĞŶůĂ
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ŽƌƌŝĞŶƚĞŶŽŵŝŶĂůƌĞŐĞŶĞƌĂĐŝſŶĐŽŶĂƵƚŽƚƌĂŶƐĨŽƌŵĂĚŽƌĞŶůĂ
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&ƌĞĐƵĞŶĐŝĂŶŽŵŝŶĂůĚĞƐĂůŝĚĂ ϴϮƌŵƐ
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ʹǤʹǤͳͳͲ͵Ǥ
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ƉƌŽƉŽƌĐŝŽŶĂƌƚĂŶƚŽƵŶĂŐƌĂŶƉŽƚĞŶĐŝĂĚĞĐĄůĐƵůŽĐŽŵŽƵŶĂŵƉůŝŽŶƷŵĞƌŽĚĞƐĞŹĂůĞƐĞŶƚƌĂĚĂͬƐĂůŝĚĂ͘
ůƉƌŽĐĞƐĂĚŽƌƉƌŝŶĐŝƉĂůĞƐƵŶ͞WŽǁĞƌWϲϬϰ͟ĂϯϯD,nj͕LJƚŝĞŶĞƵŶƐƵďƐŝƐƚĞŵĂĞƐĐůĂǀŽďĂƐĂĚŽĞŶƵŶ
^WĚĞ͞dĞdžĂƐ/ŶƐƚƌƵŵĞŶƚƐ͕͟ĞŶĐŽŶĐƌĞƚŽĞůŵŽĚĞůŽdD^ϯϮϬ&ϮϰϬ͘ŝĐŚŽŵŽĚĞůŽƐĞĐĂƌĂĐƚĞƌŝnjĂƉŽƌ
ƐƵĞdžĐĞůĞŶƚĞƉƌĞĚŝƐƉŽƐŝĐŝſŶĂůĚĞƐĂƌƌŽůůŽĚĞƚŽĚŽƚŝƉŽĚĞĐŽŶƚƌŽůĞƐĞůĞĐƚƌſŶŝĐŽƐ͘>ĂƐĐŽŶĞdžŝŽŶĞƐƋƵĞ
ŽĨƌĞĐĞůĂƚĂƌũĞƚĂƐŽŶ͗
• ϭϲĐĂŶĂůĞƐ;ŵƵůƚŝƉůĞdžĂĚŽƐĐĂĚĂϰͿĂŶĂůſŐŝĐŽƐͲĚŝŐŝƚĂůĞƐ͕ϭϲďŝƚƐ͕ϰƵƐ͕нͲϭϬs͘
• ϰĐĂŶĂůĞƐĂŶĂůſŐŝĐŽƐͲĚŝŐŝƚĂůĞƐŝŶĚĞƉĞŶĚŝĞŶƚĞƐ͕ϭϮďŝƚƐ͕ϴϬϬϬŶƐ͕нͲϭϬs͘
• ϴĐĂŶĂůĞƐ;ŵƵůƚŝƉůĞdžĂĚŽƐĐĂĚĂϰͿĚŝŐŝƚĂůĞƐͲĂŶĂůſŐŝĐŽƐ͕ϭϰďŝƚƐ͕ϲƵƐ͕нͲϭϬs͘
• ϳĐĂŶĂůĞƐĚĞƚƌĂƚĂŵŝĞŶƚŽĚĞǀĞůŽĐŝĚĂĚĞƐĂŶŐƵůĂƌĞƐĚĞĞŶĐŽĚĞƌƐŝŶĐƌĞŵĞŶƚĂůĞƐ͘
• ϯϮůşŶĞĂƐĚŝŐŝƚĂůĞƐĚĞĞŶƚƌĂĚĂͲƐĂůŝĚĂ/ͬKƉƌŽŐƌĂŵĂďůĞƐĞŶŐƌƵƉŽƐĚĞϴďŝƚƐ͘
ůƉĂƋƵĞƚĞĚĞƐŽĨƚǁĂƌĞ͕ƋƵĞƉƌŽƉŽƌĐŝŽŶĂƐƉĂĐĞĐŽŶůĂŵŝƐŵĂƚĂƌũĞƚĂ͕ĞƐƚĄĐŽŵƉƵĞƐƚŽƉŽƌĞů
ƉƌŽŐƌĂŵĂ͞ŽŶƚƌŽůĞƐŬ͕͟ĐŽŶĞůĐƵĂůƐĞƉƵĞĚĞŶŐĞŶĞƌĂƌƉĂŶĞůĞƐǀŝƌƚƵĂůĞƐĚĞĐŽŶƚƌŽůĞŶĞůWLJƉŽƌĞů
ĐŽŵƉŝůĂĚŽƌ͞ZĞĂůdŝŵĞtŽƌŬ^ŚŽƉ͟;Zd>͕Zdt͕dͿƉĂƌĂŐĞŶĞƌĂƌĐſĚŝŐŽĂƉĂƌƚŝƌĚĞĂƌĐŚŝǀŽƐĚĞ
DĂƚůĂďͬ^ŝŵƵůŝŶŬ͘
WĄŐŝŶĂϭϮĚĞϰϮ
>Ă ƚĂƌũĞƚĂ ^ϭϭϬϯ ĞƐƚĄ ŝŶƐĞƌƚĂĚĂ ĞŶ ƵŶĂ ĐĂũĂ ĚĞ ĞdžƚĞŶƐŝſŶ ƋƵĞ ƉŽƐĞĞ ƵŶĂ ĨƵĞŶƚĞ ĚĞ
ĂůŝŵĞŶƚĂĐŝſŶ ŝŶĚĞƉĞŶĚŝĞŶƚĞ͘ >Ă ƚĂƌũĞƚĂ ƐĞ ĐŽŵƵŶŝĐĂ ĐŽŶ Ğů W Ă ƚƌĂǀĠƐ ĚĞ ĨŝďƌĂ ſƉƚŝĐĂ͘ ĚĞŵĄƐ ƐĞ
ĐŽŶĞĐƚĂ Ă ƚƌĂǀĠƐ ĚĞ ƐĞŝƐ ďƵƐĞƐ ĐŽŶ ƵŶĂ ĐĂũĂ ĚĞ ŵƵůƚŝĐŽŶĞdžŝſŶ ;WϭϭϬϯͿ ƋƵĞ ƉĞƌŵŝƚĞ ĂĐĐĞĚĞƌ
ĨĄĐŝůŵĞŶƚĞĂƚŽĚĂƐůĂƐƐĞŹĂůĞƐ͕ĂŶĂůſŐŝĐĂƐLJĚŝŐŝƚĂůĞƐ͕ƋƵĞŽĨƌĞĐĞůĂŵŝƐŵĂƚĂƌũĞƚĂ͘ŶůĂƐĨŝŐƵƌĂƐϮ͘ϲLJ
Ϯ͘ϳ ƐĞ ƉƵĞĚĞŶ ǀĞƌ ůĂ ĐĂũĂ ĚĞ ŵƵůƚŝĐŽŶĞdžŝſŶ LJ Ğů ĞƐƋƵĞŵĂ ĚĞ ůŽƐ ĐŽŶĞĐƚŽƌĞƐ ĚĞ ůĂ ĐĂũĂ WϭϭϬϯ͘ ů
ĚĂƚĂƐŚĞĞƚĚĞůĂƚĂƌũĞƚĂ^ϭϭϬϯƐĞĞŶĐƵĞŶƚƌĂĞŶĞůĂŶĞdžŽ/͘
ǤʹǤ ×ͳͳͲ͵
ǤʹǤ ͳͳͲ͵
ĂƉşƚƵůŽϯ͘ůĐŽŶƚƌŽůǀĞĐƚŽƌŝĂůĞŶŵŽĚŽƚĞŶƐŝſŶ
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ĞƚƌĄƐĚĞůĐŽŶƚƌŽůǀĞĐƚŽƌŝĂůŚĂLJƵŶĂĞdžƚĞŶƐĂďĂƐĞƚĞſƌŝĐĂĐŽŶĚĞŵŽƐƚƌĂĐŝŽŶĞƐƋƵĞŶŽĂƉĂƌĞĐĞŶĂƋƵş͕
ŶŽŽďƐƚĂŶƚĞƐĞƉƵĞĚĞĐŽŶƐƵůƚĂƌĞƐƚĂŝŶĨŽƌŵĂĐŝſŶĞŶĞůůŝďƌŽϭĂƉĂƌƚŝƌĚĞůĂƉĄŐŝŶĂϭϮϮŽ͕ĚĞĨŽƌŵĂ
ŵĄƐƉƌĄĐƚŝĐĂĞŶĞůW&ϲ͕ĂƉĂƌƚŝƌĚĞůĂƉĄŐŝŶĂϭϭϭ͘
͵Ǥͳ V
ůĐŽŶƚƌŽůǀĞĐƚŽƌŝĂů͕ĐŽŵŽƐƵƉƌŽƉŝŽŶŽŵďƌĞŝŶĚŝĐĂ͕ŽƉĞƌĂĐŽŶůŽƐǀĞĐƚŽƌĞƐĚĞůĂƐŵĂŐŶŝƚƵĚĞƐ
ĨşƐŝĐĂƐ͘ WĂƌĂ ĞůůŽ ƐĞ ĂƉůŝĐĂŶ ƵŶŽƐ ĐĂŵďŝŽƐ ĚĞ ƌĞĨĞƌĞŶĐŝĂ Ă ĞƐƚĂƐ ŵĂŐŶŝƚƵĚĞƐ͕ ƋƵĞ ǀĞƌĞŵŽƐ ŵĄƐ
ĂĚĞůĂŶƚĞ͘ůŽďũĞƚŝǀŽĚĞůĐŽŶƚƌŽůǀĞĐƚŽƌŝĂůĞŶůĂƐŵĄƋƵŝŶĂƐĚĞŝŶĚƵĐĐŝſŶĞƐĐŽŶƐĞŐƵŝƌƵŶĚĞƐĂĐŽƉůŽ
ĞŶƚƌĞĞůĨůƵũŽŵĂŐŶĠƚŝĐŽLJĞůƉĂƌĞůĞĐƚƌŽŵĂŐŶĠƚŝĐŽ͕ƉĂƌĂĂƐşůŽŐƌĂƌƵŶĐŽŶƚƌŽůſƉƚŝŵŽĚĞĞƐƚĞƷůƚŝŵŽ͘
WĂƌĂĞůůŽ͕ƐĞĂƉůŝĐĂůĂƚĞŽƌşĂĚĞǀĞĐƚŽƌĞƐĞƐƉĂĐŝĂůĞƐĞŶƌĞĨĞƌĞŶĐŝĂƐĐŽŶĐƌĞƚĂƐĞŶůĂƐƋƵĞ͕ŵĞĚŝĂŶƚĞĚŽƐ
ĐŽŵƉŽŶĞŶƚĞƐ ĚĞ ĐŽƌƌŝĞŶƚĞ ŽƌƚŽŐŽŶĂůĞƐ͕ ƐĞ ĐŽŶƚƌŽůĂ ŝŶĚĞƉĞŶĚŝĞŶƚĞŵĞŶƚĞ Ğů ĨůƵũŽ LJ Ğů ƉĂƌ ĚĞ ůĂ
ŵĄƋƵŝŶĂ͘ ƐƚĞ ĐŽŶƚƌŽů ƐĞ ĂƐĞŵĞũĂƌşĂ Ăů ƋƵĞ ƐĞ ƵƚŝůŝnjĂ ĞŶ ůĂ ŵĄƋƵŝŶĂ ĚĞ ĐŽŶƚŝŶƵĂ ĐŽŶ ĞdžĐŝƚĂĐŝſŶ
ŝŶĚĞƉĞŶĚŝĞŶƚĞ͘
ůĐŽŶƚƌŽůǀĞĐƚŽƌŝĂůƉƵĞĚĞĞƐƚĂƌŽƌŝĞŶƚĂĚŽĂƚƌĞƐƐŝƐƚĞŵĂƐĚĞƌĞĨĞƌĞŶĐŝĂ͗ĨůƵũŽĚĞůĞƐƚĂƚŽƌ͕ĨůƵũŽ
ĚĞůƌŽƚŽƌLJĨůƵũŽŵĂŐŶĞƚŝnjĂŶƚĞ͘ŶĞƐƚĞƚƌĂďĂũŽƐĞǀĂĂƵƚŝůŝnjĂƌĞůƐŝƐƚĞŵĂŽƌŝĞŶƚĂĚŽĂůĨůƵũŽĚĞůƌŽƚŽƌ͕
ƉŽƌ ƐĞƌ Ğů ŵĄƐ ƵƚŝůŝnjĂĚŽ͘ dŝĞŶĞ ĚŽƐ ŝŵƉůĞŵĞŶƚĂĐŝŽŶĞƐ͕ ŵĠƚŽĚŽ ĚŝƌĞĐƚŽ LJ ŵĠƚŽĚŽ ŝŶĚŝƌĞĐƚŽ͘
ŶĞůŵĠƚŽĚŽĚŝƌĞĐƚŽ͕ƋƵĞĞƐĞůƋƵĞƐĞĚĞƐĂƌƌŽůůĂƌĄĞŶĞůƉƌŽLJĞĐƚŽ͕ůĂƐŵĂŐŶŝƚƵĚĞƐĚĞĨůƵũŽŶĞĐĞƐĂƌŝĂƐ
ƉĂƌĂ Ğů ĐŽŶƚƌŽů ƐĞ ĐĂůĐƵůĂŶ ƉŽƌ ŵĞĚŝŽ ĚĞ ƵŶ ŵŽĚĞůŽ ĚĞ ĨůƵũŽ Ă ƉĂƌƚŝƌ ĚĞ ůĂ ǀĞůŽĐŝĚĂĚ LJ ĚĞ ůĂƐ
ĐŽƌƌŝĞŶƚĞƐ ŵĞĚŝĚĂƐ ĚĞů ĞƐƚĂƚŽƌ͘ Ŷ Ğů ŵĠƚŽĚŽ ŝŶĚŝƌĞĐƚŽ͕ ďĂƐĂĚŽ ĞŶ ůĂ ƉƌĞĂůŝŵĞŶƚĂĐŝſŶ͕ ůĂƐ
ŵĂŐŶŝƚƵĚĞƐƐĞŽďƚŝĞŶĞŶĂƉĂƌƚŝƌĚĞůĂƐĐŽƌƌŝĞŶƚĞƐĚĞƌĞĨĞƌĞŶĐŝĂĐĂůĐƵůĂĚĂƐƉĂƌĂĚĂƌĞůƉĂƌŽǀĞůŽĐŝĚĂĚ
ĚĞƐĞĂĚŽƐ͘
͵Ǥʹ
^ĞĂƉůŝĐĂŶĚŽƐĐĂŵďŝŽƐĚĞƌĞĨĞƌĞŶĐŝĂŽƚƌĂŶƐĨŽƌŵĂĐŝŽŶĞƐĂůĂƐŵĂŐŶŝƚƵĚĞƐĨşƐŝĐĂƐĐŽŶůĂƐƋƵĞ
ƋƵĞƌĞŵŽƐƚƌĂďĂũĂƌĞŶĨŽƌŵĂĚĞǀĞĐƚŽƌĞƐ͘ŶůĂƉƌŝŵĞƌĂ͕ƐĞƉĂƐĂĚĞůĂƐƚƌĞƐĐŽŵƉŽŶĞŶƚĞƐĚĞůƐŝƐƚĞŵĂ
ƚƌŝĨĄƐŝĐŽƚĞŵƉŽƌĂůĚĞƵŶĂǀĂƌŝĂďůĞ͕ĂůĂƐĚŽƐĐŽŵƉŽŶĞŶƚĞƐĚĞůǀĞĐƚŽƌƋƵĞƌĞƉƌĞƐĞŶƚĂĂĚŝĐŚĂǀĂƌŝĂďůĞ
;ƚƌĂŶƐĨŽƌŵĂĐŝſŶĚĞůĂƌŬͿ͘WŽƌĞũĞŵƉůŽ͕ƉĂƌĂĞůǀĞĐƚŽƌĚĞĐŽƌƌŝĞŶƚĞĚĞĞƐƚĂƚŽƌଓഥƐĞƚŝĞŶĞ͗௦
݅௦ ൌ ܴ݁ሾଓሬሬԦሿ ൌ௦ ଶଷή ሺ݅௦െଵଶή ݅௦െଵଶή ݅௦ሻ
݅௦ொ ൌ ܫ݉ሾଓሬሬԦሿ ൌ௦ ξଷଵ ή ሺ݅௦െ ݅௦ሻ
WŽƌƚĂŶƚŽ͕ŵĂƚƌŝĐŝĂůŵĞŶƚĞƋƵĞĚĂ͗
݅ݏܦ݅ݏܳ൨ ൌʹ
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