LOS AXIOMAS DE PEANO Y EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA

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INDUCCIÓN MATEMÁTICA

OMAR HERNÁNDEZ RODRÍGUEZ Y JORGE M. LÓPEZ FERNÁNDEZ

Resumen. En este escrito N representa el conjunto de los nú-meros naturales y para cada n N, I(n) denota el conjunto {m N|m < n}. En este escrito se demuestra que los siguien-tes principios son equivalensiguien-tes:

i. El principio de inducción: Si S N satisface 0 S y

(∀n∈N)(n∈S⇒n+ 1∈S), entoncesS=N.

ii. El principio de inducción fuerte: Si S N satisface (∀n

N)(I(n)⊆S ⇒n∈S), entoncesS=N.

iii. El principio de la buena ordenación: Todo subconjunto no vacíoS deNtiene un elemento menor.

1. Introducción

En nuestra última reunión se intentó demostrar la equivalencia de los enunciados que aparecen en el Resumen de este escrito, sin que se pudieran completar todos los detalles de la prueba. En estas notas se presentan tales detalles. Debemos señalar que hay varias formas de denir los números naturales. Se pueden denir empleando alguna axiomatización de la teoría de conjuntos1, como en [1, 1960, Ÿ12, p.46]. Nosotros seguiremos otro camino y es observando que en cualquier cuerpo ordenado (comoR) existe una copia de los números naturales. Un subconjunto de I R es inductivo si satisface dos

condiciones, a saber: 0 I y si para todo x I también se tiene que x+ 1∈I (claramenteRes un conjunto inductivo, así que los conjuntos

inductivos existen a granel). Un ejercicio rutinario que dejamos al lector establece que la intersección de todos los subconjuntos inductivos de

Date: 18 de octubre de 2015.

1Se dice que Leopold Kronecker es el autor del lema "Dios creó los enteros,

todo lo demás es creación del hombre. En realidad pudo haber dicho que los números naturales fueron creados por Dios y el resto por el hombre. En [1] se construyen los números naturales a partir de la teoría de conjuntos (una versión de la axiomatización de Zermelo-Fraenkel) y luego, construcciones matemáticas generales sirven para construir, en orden, los números enteros, los números racionales, los números reales y los números complejos.

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R es también un conjunto inductivo y está contenido en todos los subconjuntos inductivos de R. A este subconjunto inductivo de R

se denota como N y se le conoce como el conjunto de los números naturales. Si denimos s : N N :: n 7→ n + 1 decimos que s es la

función del sucesor y que para todo n N, s(n) = n+ 1es el sucesor

el n.

Teorema 1 (Axiomas de Peano). Existe un conjuntoN y una función (función del sucesor) n→N::n7→s(n)tal que

APi. 0N.

APii. Para todo n N,s(n)N.

APiii. Para todo par de elementosn, m∈N, sis(n) = s(m), entonces

n=m.

APiv. Para todo n N,s(n) = 0 es falso.

APv. (Axioma de inducción) Si S Nsatisface:

a. 0∈S, y

b. (∀n∈N)(n∈S ⇒s(n)∈S),

entonces S =N.

Demostración. Todos los resultados son directos. APi es cierto ya que

0 pertenece a todos los subconjuntos inductivos de R y N es uno de

ellos. Además APii también es válido por la denición de un conjunto inductivo; APiii es trivial; APiv es válido ya que, primeramente

N∩ {n N|n 0}, es un conjunto inductivo de R y por lo tanto

contiene a N. En particular n 0 para todo n N y s(n) = n+ 1

0 + 1>0. Finalmente APv es válido ya que dice, en efecto, queN está

contenido en todos los subconjuntos inductivos de R, en particular en

S.

Estos son los famosos Axiomas de Peano, los cuales hemos incluido para benecio del lector.

Observación 1.

i. Para probar alguna relación válida para todos los números naturales es necesario emplear el APv; véase el Teorema 1.. Denición 1. En esta denición emplearemos la siguiente notación: para todo n N, I(n) = {m N|m < n}. Considere los siguientes

enunciados.

i. (Principio de la buena ordenación (PBO)) Todo S N no vacío

tiene un primer elemento (es decir, existe uns0 ∈S tal ques0 ≤s

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ii. (Principio de inducción matemática fuerte (PIMF)) Si S N

satisface (∀n∈N)(I(n)⊆S ⇒n∈S), entoncesS =N.

iii. (Principio de inducción matemática (PIM)) Si S N satisface

0 S y (∀n N)(n S n+ 1 S), entonces S = N (Véase

Axiomas de Peano 1, enunciado APv.

Ahora estamos listos para demostrar nuestro resultado:

Teorema 2. Si APi-APiv son válidos, entonces si alguno de los si-guientes enunciados es válido, también lo son los otros:

i. PIM (es decir APv) ii. PIMF

iii. PBO Demostración.

Demostraremos las implicaciones (PIM)(PIMF)(PBO)(PIM). (PIM) (PIMF):

Necesitamos tres datos:

Dato 1: Para todo n∈N, n≥0;

Dato 2: Para todo n∈N\ {0}, existe unn′ N tal que n=s(n′);

Dato 3: Para todo n∈N, {m∈N|n < m < n+ 1}=.

Suponer ahora que el PIM es válido y sea S N tal que para todo n∈N, si I(n)⊆S, entoncesn ∈S. Debemos demostrar queS =N.

Para demostrar los datos emplearemos el PIM. Un argumento directo muestra que el conjunto {n N|n 0} es un conjunto inductivo y

por el PIM N={n N|n≥0}. Esto dice quen 0para todo n∈N.

Esto completa la demostración del Dato 1. Para la demostración del Dato 2 sea K = {0} ∪ {s(n)|n N} y note que K es un conjunto

inductivo. Por lo tanto K = N por el PIM. De aquí se obtiene el

Dato 2. Para la demostración del Dato 3 denimos para cada n N, Jn={m∈N|n < m < n+1}. SeaT el conjunto de todas lasn∈Ntal que Jn =. Note queJ0 ={m N|0< m <1}. Si m ∈J0, entonces 0< m <1. En particular, = 0 y por el Dato 2 existem′ Ntal que m=s(m′). En particular0< m′+ 1<1. Esto dice quem′ <0, lo cual

contradice el Dato 1. Todo esto dice que J0 =y 0∈T. Suponer que

n∈T. Alegamos quen+1∈T; de lo contrario existem ∈Jn+1, es decir

unm∈Ntal quen+1 < m < n+2. En particular= 0, y por el Dato

2 para algúnm′ N,n+ 1< m′+ 1 < n+ 2, es decir n < m′ < n+ 1

y vemos que m′ Jn lo cual contradice la hipótesis inductiva. Por lo tanto T es un conjunto inductivo, y por el PIM, T =N. Esto termina

la demostración del Dato 3. Ahora completamos la demostración de la implicación (PIM)(PIMF).

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Suponer que el PIM es válido y sea S N tal que para todo n N,

si I(n) S, entonces n S. Debemos demostrar que S = N y

pa-ra ello, por la hipótesis sobre el conjunto S, es suciente demostrar

que T = {n N|I(n) S} es un conjunto inductivo. Claramente,

I(0) = ∅ ⊆S y 0 T. Suponga ahora que n ∈T, es decir, I(n) ⊆S.

Por la hipótesis sobre el conjunto S podemos concluir que n ∈S. Por

lo tanto, por el Dato 3,I(n+ 1) =I(n)∪ {m N|n≤m < n+ 1}=

I(n)∪ {n} ⊆S. Todo esto dice queI(n+ 1)⊆S, es decir que sin∈T

entonces n+ 1 T. Por el PIM, y los comentarios anteriores, T = N

como se quería demostrar. (PIMF)(PBO):

La demostración es indirecta. Suponga que PIMF es cierto pero que no se cumple el PBO. Entonces existe un conjunto no vacío S Nsin

primer elemento. Suponer que n N y que I(n) N\S. Es fácil ver

que n∈ N\S ya que si n ∈S, entonces n sería el primer elemento de S (ya que I(n) N\S), lo cual es absurdo. Por lo tanto, para todo n N, si I(n)N\S, entonces n∈N\S. Por el PIMF tenemos que N\S =N, es decir, S = lo cual es absurdo. Todo esto muestra que

S tiene un primer elemento.

(PBO)(PIM):

Suponga que se cumple el PBO y sea S N un conjunto inductivo.

Debemos demostrar que S = N. Considere el conjunto N\S. Si este

último conjunto fuese no vacío, entonces tendría un primer elemento

n S. Como n ̸= 0 ya que 0 S, entonces n = s(n′) para algún

elementon′ N(Dato 2). Entonces n=n′+ 1yn′ < n. Esto dice que n′ ∈S (siendo menor que el elemento menor deN\S). Pero comoS es

inductivo, tendríamosn=n′+ 1∈S y esto es absurdo ya que entonces n∈S∩(N\S) =. Todo esto muestra que N\S = y S =N.

Referencias

[1] Halmos, P., Naive Set Theory Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).

Omar Hernández Rodríguez

Departamento de Estudios Graduados, Facultad de Educación, Univer-sidad de Puerto Rico, Río Piedras, PR 00931

E-mail address: omar.hernandez4@upr.edu URL: http://geometriamamikon.blogspot.com/

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Jorge M. López Fernández

Departmento de Mathematica, Universidad de Puerto Rico, Río Piedras, PR 00931

E-mail address: jorgemar.lopez@gmail.com URL: http://geometriamamikon.blogspot.com/

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