PROGRAMA DE ESTUDIO
Programa Educativo: Licenciatura en Matemáticas Área de Formación : Transversal
Modelos Matemáticos Horas teóricas: 3 Horas prácticas: 2 Total de Horas: 5 Total de créditos: 8 Clave: F1148 Tipo : Asignatura Carácter de la asignatura Optativa
Programa elaborado por:
Dr. Gamaliel Blé González Dr. Víctor Castellanos Vargas
M.C. Jorge López López
Fecha de elaboración: Agosto de 2004
Fecha de última actualización: Julio de 2010
Seriación explícita No
Asignatura antecedente Asignatura subsecuente
Conocimientos previos: Métodos de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias
Presentación
En el siglo XXI es imposible imaginar el desarrollo de la ciencia moderna sin la aplicación de los métodos y técnicas de la matemática; en particular, es de relevancia mencionar que los modelos matemáticos que en el pasado solo se utilizaban en las ciencias básicas, en las últimas décadas, se están utilizando en las diferentes ramas de las ciencias y en el desarrollo de la tecnología.
La ventaja de trabajar con modelos matemáticos es que permiten investigar, analizar y simular el comportamiento de procesos complicados que de otro modo sería costoso o prácticamente imposible de realizar.
El auge de la modelación matemática comienza a partir de los años 40 del siglo XX debido a la post-guerra y a la aparición de las primeras computadoras. Éstas, han evolucionado rápidamente en los últimos años y han facilitado a la modelación matemática, entrar a una etapa caracterizada por la modelación computacional y la modelación de fenómenos sociales.
Por lo anterior, es necesario que un estudiante de ciencias adquiera habilidades para elaborar, analizar e interpretar modelos matemáticos.
Objetivo General
Comprender las estrategias básicas para plantear un modelo matemático y aplicar métodos para analizar e interpretar los resultados del modelo.
Capacidad para plantear un modelo matemático usando la teoría de funciones, el concepto de derivada e integral Capacidad para interpretar los resultados obtenidos en un modelo matemático
Competencias del perfil de egreso que apoya esta asignatura
Capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas.
Capacidad para formular problemas en lenguaje matemático, de forma tal que se faciliten su análisis y su solución.
Escenario de aprendizaje Salón de clases, biblioteca y seminarios.
Perfil sugerido del docente Licenciado en Matemáticas, preferentemente con Posgrado en Matemáticas.
Contenido Temático
Objetivo particular
Conocer los fundamentos básicos en el planteamiento de un modelo matemático.
Hrs. Estimadas 30
Temas Resultados del
aprendizaje
Sugerencias didácticas Estrategias y criterios de evaluación 1.1. ¿Qué es un modelo? 1.2. Tipos de modelos. 1.3. Leyes fundamentales de la naturaleza. 1.4. Principios de variación. 1.5. Uso de analogías en la construcción de modelos. 1.6. Aproximación jerárquica en la construcción de un modelo. 1.7. Universalidad de los modelos matemáticos. 1.8. Modelos matemáticos no lineales.
Conocimiento básico sobre los fundamentos para el planteamiento de un modelo matemático
Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos de modelos matemáticos que usan las ecuaciones
tanto algebraicas como
diferenciales.
Trabajar en la clase en grupos pequeños.
Abordar ejercicios y
problemas que involucren los conceptos y resultados. Dirigir el planteamiento y las estrategias de solución a los problemas planteados. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades Resolución de problemas. Preguntas escritas. Preguntas orales. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos.
Unidad No. 2 Diseño de Modelos
Objetivo particular Generar modelos de la física-matemática y de otras ciencias utilizando leyes, principios o hechos asociados al problema.
Hrs. Estimadas 30
Temas Resultados del
aprendizaje
Sugerencias didácticas Estrategias y criterios de evaluación
2.1 Modelos usando las
leyes fundamentales de la naturaleza. 2.1.1. Conservación de la masa 2.1.2. Conservación de la energía 2.1.3. Conservación del número de partículas. 2.2. Modelos usando principios de variación 2.2.1. Ecuación de movimiento de un sistema mecánico. 2.2.2. Ecuación de movimiento en forma lagrangiana.
Conocimiento de las leyes o principios básicos usados para generar modelos en la física matemática y en otras ciencias.
Capacidad comprender
modelos básicos en otras ciencias, usando el álgebra y cálculo diferencial.
Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos de modelos matemáticos que usan las ecuaciones
tanto algebraicas como
diferenciales.
Trabajar en la clase en grupos pequeños.
Abordar ejercicios y
problemas que involucren los conceptos y resultados. Dirigir el planteamiento y las estrategias de solución a los problemas planteados. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades Resolución de problemas. Preguntas escritas. Preguntas orales. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos.
2.2.3. Principio de variación de Hamilton. 2.2.4. Modelos de sistemas mecánicos. 2.2.5. Ecuación de Boltzman y sus diferentes variantes. 2.3. Modelos de procesos económicos y financieros. 2.4. Modelos poblacionales. 2.5. Modelos epidemiológicos. 2.1. Modelos en otras ciencias.
Unidad No. 3 Validación de Modelos Matemáticos
Objetivo particular Aplicar técnicas matemáticas en el análisis de modelos de fenómenos de la física y de otras ciencias
Hrs. Estimadas 20
aprendizaje evaluación 3.1. Aplicación de métodos
de similitud.
3.2. Principio del máximo y
teorema de comparación. 3.3. Jerarquización de modelos. 3.4. Método de promedios. 3.5. Transición de modelos discretos. 3.6. Simulación numérica Comprensión de los métodos básicos para
analizar modelos, validarlos e interpretar sus resultados.
Exposiciones del profesor. Presentación de ejemplos
en cada uno de los
conceptos.
Trabajar en la clase en grupos pequeños.
Abordar ejercicios y
problemas que involucren los conceptos y resultados. Dirigir el planteamiento y las estrategias de solución a los problemas planteados. Asignar problemas y ejercicios extra-clase a los alumnos para reforzar los conocimientos y las habilidades Resolución de problemas. Preguntas escritas. Preguntas orales. Participación en clase. Exposición de la resolución de problemas por parte de los alumnos.
Bibliografía básica
1. Haberman, R. (1977). Mathematical Models: Mechanical vibrations, populations dynamics and traffic flow. Prentice Hall.
2. Enns Richard, H. y Mcguire, George C. (2006). Computer Algebra Recipes. An Introductory Guide To The Mathematical
Models Of Science. New York: Springer
3. Lomen, D. y Lovelock, D. (2000). Ecuaciones diferenciales a través de gráficas, modelos y datos. México: CECSA. 4. Samarskii, A. A. y Mikhailov, A. P. (2002). Principles of Mathematical Modeling, ideas, methods, examples. Taylor and
Francis.
5. Shier, D. R. y Wallenius, K. T. (1999). Applied Mathematical Modeling. Florida: Chapman and Hall. Bibliografía complementaria
1. Brauer, F. y Castillo-Chávez, C. (2001). Mathematical Models in population Biology and Epidemiology. New York:
Springer Verlag.
2. Gershenfeld, N. (1999). The Nature Of Mathematical Modeling. Londres: Cambridge University Press.
3. Giordano, F. R., Maurice, D. Weir y William, P. Fox. (2003). A First Course In Mathematical Modeling. 3a ed. South
Melbourne, Victoria: Thomson-Brooks/Cole
4. Mesterton-Gibbons, M. (1995). A concrete approach to mathematical modeling. New York: John Wiley and Sons.
