Capítulo 5. LEY DE GAUSS

Capítulo 5.

LEY DE GAUSS

5.1 INTRODUCCION.

El campo eléctrico producido por objetos cargados estáticos puede obtenerse por dos procedimientos equivalentes: median-te la ley de Coulomb1 o mediante la ley de Gauss, ley debida a Karl Friedrich Gauss2 (1777-1855) físico y matemático ale-mán que hizo muchas aportaciones a la física tanto teórica como experimental. En los dos capítulos anteriores se describió la ley de Coulomb y el potencial eléctrico, en este se presenta la ley de Gauss. La ley de Coulomb es una forma simple y directa de expresar la fuerza eléctrica . Por otro lado, la ley de Gauss es más sutil, más elegante y, a veces, más útil. La ley de Gauss requiere una sofisticación matemática mayor que la ley de Coulomb; pero, como recompensa, usándola se adquiere un conocimiento más profundo de la interacción eléctrica.

La ley de Gauss se puede aplicar para evaluar el campo eléctrico si la distribución de carga es suficientemente simétrica. Como se vera más adelante, si el campo eléctrico se conoce, la ley de Gauss se puede utilizar para calcular la carga que lo produce.

5.2 EL FLUJO.

La palabra flujo se deriva del latín fluxus, y éste de fluere, que significa fluir. Este concepto proviene de la teoría de fluidos, donde el flujo significa la rapidez con que un fluido pasa a través de una superficie imaginaria. Imaginémonos un tubo que conduce agua a velocidad constante

v

r

ver figura 5.1. El volumen de agua que pasa por cualquier sección transversal A0 del tubo, por unidad de tiempo es:

dV

dt

A v dt

dt

A v

=

0

=

0

r

r

figura 5.1

El mismo volumen sale de la superficie diagonal en el extremo del tubo. El flujo de salida se debe a la componente de velocidad

v n

r

.

$

.

dV

dt

=

Av n

=

A v

=

A v

r

_.

_$

r

_cos

_θ

0

r

Esta ultima ecuación se define como el flujo del campo de velocidades, denotado como

Φ

v

= r. $

Av n

5.1 El flujo de un campo vectorial involucra : (i) al campo; y (ii) a una superficie para la cual el flujo es evaluado. La superficie se representa mediante un vector superficie dado como

A

r

= $

An

. Para una superficie plana el vector superficie

A

r

tendrá un modulo A igual al área de la superficie, y como dirección un vector normal a la superficie.

El vector superficie presenta una ambigüedad en su definición, ya que existen dos direcciones perpendiculares, una opuesta a la otra. Esto se puede resolver fácilmente cuando la superficie es cerrada. Por superficie cerrada se entiende como aquella superficie que encierra un volumen, como en la misma figura 5.1. Siguiendo la costumbre, se escoge la dirección de

A

r

siempre saliendo hacia afuera del volumen encerrado. Esto significa que en la figura 5.1 la dirección en la cara de la

1

Charles A. Coulomb (1736-1806), Ingeniero francés quien enunció dicha ley por primera vez. La unidad de

carga eléctrica también lleva su nombre.

2

Karl Friedrich Gauss

2

(1777-1855) Matemático y físico alemán. Para muchos el matemático más grande del

siglo XIX. Hizo grandes aportes a la teoría de números.

derecha apunta como en ella se muestra, para la superficie de la izquierda apunta en la dirección contraria al campo de velocidades y para la otra superficie (cilíndrica) apunta saliendo en la dirección radial.

5.3 FLUJO ELECTRICO.

Al igual que el flujo del campo de velocidades, el flujo para un campo eléctrico para una superficie plana A se define como:

A

.

E

n

ˆ

.

E

A

E

r

r

r

₌

=

Φ

5.2 Sus unidades según la ecuación 5.2 son N-m2_-C-1 _{y dado que es un producto escalar, se trata de una magnitud escalar. El} producto escalar tiene en cuenta la orientación de la superficie con respecto a la dirección del campo como se ve en la figura 4.2.

Figura 5.2

En la figura 5.2 se observa que el flujo en (a) es positivo pues

E y A

r

r

son paralelos, el flujo en (b) es nega-tivo pues

E y A

r

r

son antiparalelos, el flujo en ( c) es cero pues

E y A

r

r

son perpendiculares entre si y el flujo en (d) es

EA cos

θ

menor que el generado en (a).

El caso anterior tiene en cuenta campos uniformes y superficies planas. Cuando la superficie está curvada, como en la figura 5.3, o cuando el campo eléctrico varia de punto a punto de la superficie, el flujo se obtiene dividiendo la superficie en pequeños elementos de superficie, tan pequeños que se puedan considerar como planos, para que el campo eléctrico no varíe a lo largo de cada una de ellas.

figura 5.3

El flujo a través de la superficie total es la suma de las contribuciones individuales de flujo a través de cada una de los elementos de superficie. Si se hace tender al limite en donde cada elemento tiende a cero, el número de elementos tiende a infinito, la suma se convierte en una integral de superficie.

Φ

_{E ∆}lim_A

∆

i i i Superficie erficie i

E

A

E dA

E ndA

=

& _→0

∑

⋅

=

∫

⋅

=

∫

sup

$

⋅

r

r

r

r

r

5.3

Si la superficie es cerrada, la integral de superficie se indica usando el símbolo de integral cerrada y la ecua-ción de flujo eléctrico 5.3 queda:

Φ

E s

E ndA

=

∫

r

⋅

$

5.4 El flujo total puede ser positivo, negativo o cero. Cuando es positivo, el flujo sale de la superficie y cuando es negativo, entra a la superficie. Es bueno anotar que la superficie cerrada para la cual se calcula el flujo es generalmente imaginaria o hipotética, que se conoce como superficie gaussiana.

Ejemplo. 1 Determinar el flujo eléctrico que pasa a través de una caja cubica de lado a en un campo

eléctri-co uniforme

E

r

=

E u

$

_x figura 5.4.

Como son vectores constantes en cualquier lado, se calcula el flujo eléctrico a través de cada su-perficie y el resultado final es la suma de las seis integrales de susu-perficie.

r

E y n

$

El campo eléctrico en las caras z=y=0 y =y=a es perpendicular a los vectores . En esas caras, z

$

z

$

$ , $

$ , $

$

n

=

u n

y

= −

u n

y

=

u y n

z

= −

u

r

E n

⋅ =

$ 0

, siendo el flujo a través de ellas igual a cero.

Como los vectores normales apuntan hacia afuera del cubo,

n

$

=

u

$

_xpara la cara en x=a y en x=0. El flujo en la cara x=a es:

$n

= − $

u

_x

Φ

_a

=

(

E n a

r

⋅

$)

2

= ⋅

E u a

r

$

_x 2

=

Ea

2

2

El flujo que pasa a través de la cara x=0 es

Φ

₀

=

⋅

2

= ⋅ −

2

= −

(

E n a

r

$)

E

r

(

u a

$ )

_x

Ea

figura 5.4 Por lo tanto el flujo neto que pasa a través del cubo es:

r

E ndA

a

Ea

Ea

s

⋅

=

+

=

+ −

=

∫

$

Φ

Φ

0

(

)

2 2

0

5.5 LEY DE GAUSS.

En esta sección se describe una relación general entre el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerra-da y la carga encerracerra-da por la superficie. Se considera en primer lugar el campo creado por una carga pun-tual positiva q, como en la figura 5.5 (a), donde la carga está rodeada por una superficie cerrada de forma arbitraria. En cada punto de la superficie, el campo

E

r

esta dirigido radialmente hacia afuera, a partir de la carga q, y su magnitud es

E

K

q

r

e

=

₂ .

En los puntos de un área dA suficientemente pequeña de la superficie puede admitirse que el campo tiene magnitud y dirección constantes. En la figura 5.5(a)

E n

r

.

$ =

E

_nque es la componente normal a la superfi-cie, y es igual a

E cos

θ

. El producto de En por el área dA es

(

E

cos )

dA

K q

dA

cos

r

e

En la figura 5.5 (b), que es una ampliación de la figura 5.5(a), se observa que el producto

dAcos

θ

es la proyección del área dA sobre un plano perpendicular a r, y que el cociente

dA

r

cos

θ

2 es igual al ángulo

sólido

d

Ω

subtendido desde la carga q por el área dA.

figura 5.5 Por lo tanto,

(

E

cos )

dA

K q

dA

cos

r

K qd

e

θ

=

2

θ

=

_e

Ω

5.5 En la figura 5.5 ( c) se hace pasar por el punto p una esfera de radio r de tal manera que, el ángulo sólido total subtendido debe ser el mismo que el de la figura 5.5 (a). Por lo tanto si se integra a ambos lados la ecuación 5.5 por una integral cerrada, el termino de la derecha

∫

d

Ω =

4

π

.

Entonces,

E

dA

E n dA K q d

s e s

cos

θ

=

∫

⋅

$

=

∫

∫

r

Ω

r

E ndA

K q

_e s

⋅

=

∫

$

4

π

5.6 La ecuación 5.6 establece que la integral de superficie es proporcional a la carga neta encerrada q, indepen-dientemente de la forma o tamaño de la superficie y de la posición de la carga q en el interior de aquella. Si se tienen varias cargas q1, q2, q3, …… dentro de la superficie arbitraria, el flujo eléctrico será la suma de

los flujos producidos por cada carga. Haciendo

K

e

y q

N i

=

1

=

∑

4

π ε

₀

q

i la ley de Gauss se puede formular como:

Φ

E _s N

E ndA

q

=

∫

r

⋅

$

=

_ε

0 . 5.7

5.5 APLICACIÓN DE LA LEY DE GAUSS.

La ley de Gauss es útil para la obtención del campo eléctrico producido por distribuciones de carga que po-sean una alta simetría. Si la distribución de carga es muy simétrica, algunas características del campo como lo es su dirección se pueden dar mediante una simple inspección de la simetría, sin necesidad de realizar cálculo alguno. En estos casos se puede: (a) seleccionar una superficie gaussiana que esté en consonancia con la simetría de la distribución de carga; (b) determinar el flujo de dicha superficie en función del campo eléctrico

E

r

; y ( c) resolver la ecuación 5.7 para obtener el campo

E

r

. El primer paso es el más importante. Debe escogerse una superficie gaussiana para la que se pueda determinar el flujo eléctrico de forma

inme-Ejemplo 2. Una esfera aislante de radio a tiene una densidad de carga uniforme

ρ

y una carga positiva total Q. Hallar el campo eléctrico en r>a y r<a.

figura 5.6

Para r>a el campo eléctrico es el creado por la carga total positiva Q, representado en la figura 5.6 a). Por razón de simetría, el campo es radial en todo punto y su valor será el mismo en todos los puntos situados a la misma distancia r del centro de la distribución. Por lo tanto, si se elige como superficie gaussiana una esfera concéntrica de radio r, en cualquier punto de ella En=E=constante. Se tiene así:

Φ

E _s N

E ndA

q

=

∫

r

⋅

$

=

_ε

0

Φ

E _s

E ndA

E A

n

r E

Q

=

∫

r

⋅

$

=

=

4

2

=

0

π

_ε

de donde

E

Q

r

=

4

0 2

πε

El campo eléctrico fuera de la esfera es idéntico al que produce una carga puntual Q en el centro de la esfe-ra.

Igual que en el ítem anterior, E es radial y su valor depende únicamente de la distancia desde el centro de la esfera. Por lo tanto, se utiliza superficies gaussianas esféricas con el mismo centro de la distribución. Para obtener el campo dentro de la distribución de carga, se toma r<a figura 5.6 b). La carga contenida en la esfera gaussiana depende únicamente del radio r. La densidad de la distribución

ρ

es:

ρ

π

=

Q

a

4

3

3

Por lo tanto la carga neta contenida en la esfera gaussiana de radio r es el producto de su volumen por la densidad de carga:

q

r

Q

a

r

Q

r

a

N

=

=

=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ρ π

π

π

4

3

4

3

4

3

3 3 3 3

La ley de Gauss para este caso es

Φ

E _s n N

E ndA

E A

r E

q

Q

r

a

=

∫

r

⋅

$

=

=

4

2

=

=

⎛

_⎝⎜

⎞

_⎠⎟

0 0 3

π

ε

ε

de donde

E

Qr

a

r

=

=

4

πε

₀ 3

3

0

ρ

ε

El campo eléctrico aumenta linealmente con r para puntos dentro de la esfera cargada, siendo máximo el campo en r=a.

En la figura 5.7 se muestra un gráfico de E contra r para la distribución uniforme de carga de la figura 5.6.

Figura 5.7

Ejemplo 3. Hallar el campo eléctrico a una distancia r de un alambre infinito con densidad positiva de carga

λ

uniformemente distribuida.

Si el alambre es muy largo, las líneas de fuerza fuera del mismo ( en puntos no muy próximos a los extre-mos) son, por razón de simetría, radiales y se encuentran en planos perpendiculares al alambre. Por lo tan-to, el campo tiene igual magnitud en todos los puntos situados a la misma distancia radial del alambre. Esto sugiere que se utilice como superficie gaussiana un cilindro concéntrico arbitrario de radio r, longitud arbitra-ria L y con bases perpendiculares al alambre (figura 5.8).

La carga neta encerrada por la superficie gaussiana es:

q

_N

=

λ

L

Figura 5.8 entonces

Φ

_E s N

E ndA

q

L

=

∫

r

⋅

$

=

_ε

=

λ

_ε

0 0

Puesto que el vector campo eléctrico es perpendicular al alambre, la contribución al flujo eléctrico de las caras laterales es cero. Por lo tanto la contribución al flujo eléctrico es debida a la superficie cilíndrica, donde E=En = constante para todos los puntos sobre esta superficie. Por lo tanto,

se puede escribir

Φ

E _s

E ndA

E

rL

L

=

∫

r

⋅

$

=

(

2

)

=

0

π

λ

_ε

E

r

=

_πε

λ

2

0

Este resultado debe ser de la misma forma si el calculo fuera el de un cilindro cargado uniformemente en un punto exterior a él, pues la carga para esta situación parece que estuviese concentrada en una recta coinci-dente con el eje.

Ejemplo 4. Encontrar el campo eléctrico debido a un plano infinito no conductor con carga uniforme por

unidad de área

σ

.

Para resolver este problema se construye una superficie gaussiana como en la figura 5.9, y que consiste en un cilindro con bases de área A y paredes perpendiculares al plano cargado. Por simetría, puesto que el plano es infinito, el campo eléctrico

E

r

es el mismo a ambos lados de la superficie, uniforme y dirigido hacia afuera. Ninguna línea de fuerza atraviesa las paredes laterales del cilindro;

Figura 5.9

esto es, la componente normal de

E

r

a estas paredes es nula. En las bases del cilindro la componente normal En=E=constante. Por consiguiente,

Φ

E _s N

E ndA

q

A

=

∫

r

⋅

$

=

_ε

=

σ

_ε

0 0

r

E ndA

EdA

EA

A

s A

∫

⋅

_$

=

2

∫

=

2

=

0

σ

ε

Despejando E se obtiene

E

=

σ

_ε

2

0

Nótese que es una aproximación válida para puntos cercanos al plano y apartados de los bordes de la distri-bución. Es el mismo resultado obtenido en el ejemplo 5 del capitulo 3.

Ejemplo 5. Una esfera de radio R tiene una densidad de carga

ρ

=

α

r

, donde

α

es una constante y r es la distancia al centro de la esfera. Calcule el campo eléctrico para puntos exteriores a la esfera.

La densidad volumétrica de carga la definimos como

ρ

=

dQ

dV

.

Entonces

ρ

dV

=

dQ

, usando el volumen de la esfera en términos del radio se tiene:

dQ

r

d

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

)

3

4

(

π

3

ρ

luego

dQ

dr

r

2

=

4

πρ

Pero,

ρ

=

α

r

; entonces

dQ

rdr

=

πα

4

La carga total de la esfera se obtiene de

∫

=

R

Q

rdr

0

4

πα

Luego,

Q

=

2

πα

R

2

Para el cálculo del campo eléctrico, considerando la simetría de la distribución de carga, el campo deberá ser radial, y dependerá solamente de r. Aplicando la ley de Gauss

0

ˆ

ε

Q

dA

n

E

s E

=

⋅

=

Φ

∫

r

Puesto que el campo depende de r, la magnitud a esa distancia es constante entonces

∫

=

=

0 2

)

4

(

ε

π

r

Q

E

dA

E

entonces resolviendo para E se tiene

2 0 2

2 r

R

E

ε

α

=

5.5 LA LEY DE GAUSS Y LOS CONDUCTORES.

Como se vio en el capitulo anterior los conductores son materiales en los que los portadores de carga se mueven libremente. Si un conductor se encuentra en equilibrio electrostático, la fuerza sobre los electrones libres en el interior del conductor debe desaparecer. Las consecuencias de esto son:

1.

En el interior del conductor,

E

r

= 0

.

2.

Inmediatamente afuera del conductor, el campo eléctrico es normal a su superficie.

Además, esto permite enunciar un teorema que se puede probar mediante la ley de Gauss para los conducto-res aislados:

La carga en exceso en un conductor aislado debe residir completamente en su superficie externa.

La primera propiedad puede entenderse considerando una placa conductora situada en un campo externo constante

E

r

producido por un plano infinito como el del ejemplo 4 (figura 5.10). En equilibrio electrostáti-co, el campo eléctrico dentro del conductor debe ser cero. Si éste no fuera el caso, las cargas libres se acele-rarían bajo el campo. Antes de que se aplique el campo externo, los electrones se distribuyen uniformemente por todo el conductor. Cuando se aplica el campo externo, los electrones aceleran hacia la izquierda y pro-ducen una acumulación de carga negativa en la superficie izquierda y una carga positiva a la derecha.

Figura 5.10

Esta distribución de cargas crean su propio campo eléctrico interno, el cual se opone al campo eléctrico ex-terno. El sistema logra el equilibrio electrostático cuando Ein= Eex, lo cual da lugar a que el campo eléctrico neto dentro del conductor sea cero.

Toda carga es generadora de un campo eléctrico, como el campo eléctrico dentro de un conductor es cero entonces la carga neta dentro del conductor debe ser cero. Para ver esto se aplica la ley de Gauss a una superficie cerrada dentro de un conductor como en la figura 5.11.

r

Como

E

= 0

, el flujo a través de cualquier superficie de ese tipo es cero, y en consecuencia esa superficie no encierra carga eléctrica neta, por lo tanto la carga en exceso debe estar en la superficie exterior.

Además, debe notarse que un objeto cargado ejerce una fuerza apreciable sobre un conductor neutro, por-que la carga superficial no está a la misma distancia del objeto figura 5.10.

Figura 5.11

Puede también utilizarse la ley de Gauss para determinar el campo justamente sobre la superficie de un conductor. Este campo debe ser perpendicular a la superficie del conductor. Si el campo tuviera en la superfi-cie del conductor una componente tangencial, los portadores de carga se moverían a lo largo de la superfisuperfi-cie, en respuesta a la fuerza tangencial correspondiente y, por lo tanto, no se estaría en la condición electrostá-tica. Por lo tanto, en la superficie de un conductor en equilibrio el campo eléctrico solo tiene la componente normal.

r

Como

E

es perpendicular a la superficie del conductor, se puede tomar como superficie gaussiana un pe-queño cilindro con caras paralelas a la superficie del conductor, como se muestra en la figura 5.12. El cilin-dro es lo suficientemente pequeño para despreciar las variaciones de

E

r

y la curvatura de la superficie del conductor en la región que ocupa.

Figura 5.12

No hay flujo a través de la parte cilíndrica de la superficie gaussiana debido a que

E

r

es tangente a esta parte y por lo tanto perpendicular al vector superficie. El flujo a través del extremo plano es cero porque

_r

E

= 0

dentro del conductor . Por último, el flujo a través del extremo plano (de área A) que se encuentra justo por fuera del conductor es

Φ

_E A

E ndA EA

A

=

∫

v

⋅

$

=

=

σ

_ε

0 de donde

E

=

_ε

σ

0 5.8

En los puntos en que

σ

sea positiva el campo irá hacia afuera de la superficie (E es positivo), y en los pun-tos en que

σ

sea negativa se dirigirá hacia la superficie (E es negativo).

Otro tipo de problemas que corresponden a la ley de Gauss es lo concerniente con la distribución de carga sobre la superficie o superficies de un conductor. Para ello se usa el hecho de que

E

r

= 0

en el interior del conductor.

Ejemplo 6. Un conductor posee una carga neta de

10

µ

C

. Dentro del conductor hay una cavidad y de-ntro de ella se encuentra una carga punto

Q

= 3

µ

C

como en la figura 5.13. Hállese la carga q1 en la superficie interior del conductor (es decir en la pared de la cavidad), y la carga q2 en la superficie exterior del mismo.

Figura 5.13

Para resolver este problema se escoge una superficie gaussiana en el interior del conductor que rodee la cavidad como se muestra en la figura. Como la gaussiana queda comprendida completamente dentro del conductor,

E

r

= 0

en todos sus puntos. por lo tanto, el flujo eléctrico de

E

r

a través de la superficie gaus-siana es

Φ

_E s N

E ndA

q

q

Q

=

∫

r

⋅

$

=

_ε

=

_ε

+

=

0 1 0

0

entonces

q

1

= − = −

Q

3

µ

C

.

Como

q

1

+

q

2

=

10

µ

C

, entonces

q

2

=

10

µ

C

− −

(

3

µ

C

)

=

13

µ

C

. Así, la carga

10

µ

C

del

conduc-tor se distribuye a sí misma como sigue:

q

1

=

−

3

µ

C

(en la superficie interior),

q

2

=

13

µ

C

(en la superficie exterior).