Metodo de Cross

Pedro Ruiz Gallo

ANÁLISIS ESTRUCTURAL

MÉTODO DE CROSS

 DOCENTE:

Ing. Cachay Silva Roberto

 INTEGRANTES:

 Arbañil Rabanal Gian

 Siesquén Rojas Marco Antonio

 CICLO:

2017 – I

MÉTODO DE CROSS 3 INTRODUCCIÓN

El saber deducir y operar el conocimiento de los modelos estructurales requiere contar con herramientas que nos permitan evaluar las tensiones que se generan en los elementos componentes del sistema.

El análisis estructural para las grandes construcciones de estructuras es una tarea formidable. Esto es un atributo a la profesión de ingeniería, y para Hardy Cross, existen pocos fallos. Cuando los ingenieros tienen que calcular los esfuerzos y deflexiones en un marco estáticamente indeterminado ellos inevitablemente vuelven a lo que fue conocido como Distribución de Momentos o Método de Cross.

Es un método de análisis estructural para vigas estáticamente y marcos planos. En el método de Cross, para analizar cada articulación, se considera fija

En el método de distribución de momentos o Método de Cross, los momentos en los extremos fijos de los marcos gradualmente distribuidos a los miembros adyacentes en un número de pasos tales que el sistema eventualmente alcanza su configuración de equilibrio natural.

MÉTODO DE CROSS 4 I. OBJETIVOS

1.1. Objetivo General

 Determinar la distribución de momentos con y sin desplazamiento a través del método de Cross.

1.2. Objetivos Específicos

 Aplicar el método de Cross para su posterior aprendizaje.

 Desarrollar ejemplos de aplicación para su mejor entendimiento.

 Aplicar los conocimientos aprendidos en nuestra carrera profesional de Ingeniería Agrícola.

MÉTODO DE CROSS 5 II. CONCEPTOS PREVIOS

2.1. MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO (MEP): cuando todos los

nudos de una estructura están perfectamente fijos para impedir cualquier rotación, las cargas externas producen ciertos momentos flexionantes en los extremos de los elementos que lo soportan.

2.2. MOMENTOS DESEQUILIBRADOS (MDe): los nudos de una estructura se

consideran inicialmente fijos. Cuando se libera alguno, gira debido a que la suma de momentos de empotramiento en el nudo es diferente de cero. La diferencia entre 0 y el valor de la suma de los momentos de extremo constituye el momento desequilibrado.

2.3. MOMENTOS DISTRIBUIDOS (MD) después de eliminar la sucesión que registre

un nudo, el momento desequilibrado lo hará girar. La rotación desviara los extremos de los elementos reunidos en la junta, cambiando sus momentos flexionantes.

MÉTODO DE CROSS 6 2.4. MOMENTOS TRANSMITIDOS (MT) los momentos distribuidos en los extremos

de la barra producen momentos flexionantes en los extremos opuestos, que supuestamente están fijos. Estos últimos son llamados los momentos transmitidos.

2.5. PARES DE EMPOTRAMIENTO Una viga empotrada, está sometida a un sistema

de acciones. En su deformada se pueden considerar tres tramos. Los tramos primero y último, de acuerdo con el convenio, tienen flexión negativa, mientras que el tramo intermedio presenta flexión positiva. Los momentos flectores MA y MB en los apoyos serán negativos, así como los momentos del tramo intermedio son positivos. Por el principio de acción y reacción, la viga ejerce sobre los apoyos unos momentos y los apoyos sobre las vigas otros, que serán iguales y de sentido contrario Por tanto, los pares de empotramiento son las acciones que ejercen los apoyos sobre la pieza.

2.6. NUDO RIGIDO. Si se tiene un nudo en el que concurren barras empotradas en sus

otros extremos (figura 3a), y se aplica un momento M en el nudo, las barras se deforman. Cada uno gira un determinado ángulo o, lo que es igual, la tangente de la deformada forma un cierto ángulo con la posición primitiva. Se dice que un nudo es rígido cuando los ángulos girados por todas las piezas son iguales.

MÉTODO DE CROSS 7 TABLA DE MOMENTO DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO:

MÉTODO DE CROSS 8 3. HARDY CROSS

El método fue publicado en 1930 en una revista de la ASCE. El método solo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales y cortantes, lo cual es suficiente para fines prácticos en barras esbeltas. Desde 1930 hasta que las computadoras comenzaron a ser ampliamente usadas en el diseño y análisis de estructuras, el método de redistribución de momentos fue el más usado en la práctica. Posteriormente otros métodos como el método matricial de la rigidez que se puede programar de manera más sencilla han llegado a ser más populares que el método de redistribución de momentos de Cross.

3. METODO DE CROSS

El Método de redistribución de momentos o método de Cross es un método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y marcos/pórticos planos, desarrollado por Hardy Cross y que permitía el cálculo de estructuras hiperestáticas mediante un método iterativo que convergía hacia la solución correcta.

El método de Cross es un método iterativo, tiene la ventaja de estar planteado como una sucesión de grupos de fases de cálculo, si a partir de un cierto punto se siguen repitiendo alguna de los gases de cálculo “transmisión” y “reparto” de momentos la solución va convergiendo hacia la solución exacta. Esto era muy importante en las primeras décadas de uso del método, cuando no existían ordenadores disponibles para el cálculo estructural.

MÉTODO DE CROSS 9 3.1. EL METODO

1. Se inicia el método considerando que todos los nudos del entramado son absolutamente rígidos, quedando las barras totalmente incomunicadas entre ellas ya que cada una tendría en su extremo un empotramiento perfecto. Esto significa . que las barras que poseen cargas, generarán en sus extremos pares de empotramiento perfecto, que deberán ser calculados para aplicar el método.

2. A continuación, se soltará nudo por nudo, de uno a la vez. dejando congelados los demás nudos y permitiendo que las barras de dicho nudo, entre las que hay continuidad, interactúen.

Si en el nudo hay momentos, este girará, y dicho giro deberá ser equilibrado por las barras que concurren al nudo. Se produce así, una interacción entre las barras que llegan al nudo y una distribución de los esfuerzos (momentos) en función de las rigideces de los elementos. (ver punto 2 de "antecedentes previos").

3. Cada barra que rotó, al asumir un momento, genera en su apoyo contrario un momento de respuesta, de igual sentido que el anterior y de la mitad del valor de este. Es decir, la barra asume un momento de valor “M” en el extremo que rota, y "traspasa" al otro extremo un momento de valor M/2. (ver punto 1 de "antecedentes previos").

Es posible anotar inmediatamente los traspasos que se originan cada vez que equilibramos un nudo, como también, podemos "soltar y equilibrar" todos los nudos, uno por uno, y después de desarrollar una vuelta completa de equilibrios, efectuar todos los correspondientes a los apoyos contrarios.

5. Al ejecutar los traspasos, los nudos ya equilibrados se vuelven a desequilibrar y será necesario repetir el ciclo de equilibrios y traspasos.

A medida de que se completa un mayor número de vueltas, los desequilibrios van disminuyendo en

magnitud, y nos acercamos más a los valores reales del momento en las barras. Por eso este método es conocido también como el “de las aproximaciones sucesivas”.

Se recomienda repetir dicho ciclo las veces. que sea necesario, hasta que los desequilibrios remanentes no sean superiores al 10% del desequilibrio original de cada nudo.

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5. El valor del momento final. en los extremos de cada barra corresponde a la suma de todos los momentos que. la fueron afectando en los sucesivos ciclos de equilibrios y traspasos.

3.2. PROCEDIMIENTO

Para aplicar el método, se dibuja una trama ortogonal que representa todas las barras de entramado.

Las intersecciones de líneas horizontales y verticales corresponden a los nudos y deberá anotarse en ellos, en el extremo de cada barra, su correspondiente coeficiente de distribución" en, dicho nudo.

Estos valores se encerrarán en un rectángulo. sobre el cual se ubicará el correspondiente valor de momento de empotramiento perfecto, para esa barra. en ese nudo. La ubicación de estos valores en el nudo, por convención, será la siguiente:

Para las barras horizontales:

 en el apoyo izquierdo: arriba,

 en el apoyo derecho: abajo. Para las barras verticales:

 en el apoyo inferior: a la izquierda

 en el apoyo superior: ala derecha.

A continuación se inician los ciclos de equilibrios y traspasos, hasta equilibrar definitivamente el nudo o al menos reducir el desequilibrio según lo recomendado. Los valores que se van obteniendo se anotan en cada barra en una columna que se genera a partir del valor de empotramiento perfecto original, y que se cierra con la sumatoria de todos los momentos de dicha columna.

MÉTODO DE CROSS 11 IV. EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1. La viga continua de la figura es de sección constante y homogénea y tiene sus extremos simplemente apoyados. Calcular los momentos en los apoyos.

.

Calculando la rigidez (K) en cada claro:  Para tramo AB:

𝐾_𝐴𝐵 = 𝐼 𝐿= 1 6= 0.17  Para tramo BC: 𝐾𝐵𝐶 = 𝐼 𝐿= 1 4= 0.25

Hallando las fuerzas de distribución (FD):  Para tramo AB:

𝐹𝐷_𝐴𝐵 = 𝐾 ∑ 𝐾 = 0.17 0.42= 0.40  Para tramo BC: 𝐹𝐷𝐵𝐶 = 𝐾 ∑ 𝐾 = 0.25 0.42= 0.60

Hallando las los momentos de empotramiento perfecto (MEP):  Para tramo AB:

𝑀𝐴 = − 𝑃𝑎𝑏2 𝐿2 = − 4500(4)(2)2 62 = − 2000 𝑁. 𝑚 𝑀_𝐵 = −𝑃𝑎 2_𝑏 𝐿2 = − 4500(4)2(2) 62 = − 4000 𝑁. 𝑚  Para tramo BC: 𝑀_𝐵= 𝑀_𝐶 = −𝑤𝐿 2 12 = − 6000(4)2 12 = −8000 𝑁. 𝑚

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Aplicando la distribución de momentos:

 ∑ de momentos en A: ∑ 𝑀_𝐴 = 0 𝑁. 𝑚  ∑ de momentos en B: ∑ 𝑀_𝐵 = 7800 𝑁. 𝑚  ∑ de momentos en C: ∑ 𝑀_𝐶 = 0 𝑁. 𝑚

MÉTODO DE CROSS 13 2. Determinar los momentos de desplazamiento de la figura mostrada a través del Método de Cross.

GRADOS DE DESPLAZABILIDAD = 2-1= 1

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MOMENTOS FINALES:

3. La viga continua de la figura soporta 3 cargas, los extremos A y D están empotrados. Calcular los momentos en los apoyos.

Calculando la rigidez (K) en cada claro:  Para tramo AB:

𝐾_𝐴𝐵 = 𝐼 𝐿= 1 4= 0.25  Para tramo BC: 𝐾_𝐵𝐶 = 𝐼 𝐿= 1 4= 0.25  Para tramo CD: 𝐾𝐵𝐶 = 𝐼 𝐿= 1 4= 0.25

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Hallando las fuerzas de distribución (FD):  Para tramo AB:

𝐹𝐷_𝐴𝐵 = 𝐾 ∑ 𝐾 = 0.25 0.5 = 0.5  Para tramo BC: 𝐹𝐷_𝐵𝐶 = 𝐾 ∑ 𝐾 = 0.25 0.5 = 0.5  Para tramo BC: 𝐹𝐷𝐶𝐷 = 𝐾 ∑ 𝐾 = 0.25 0.5 = 0.5

Hallando las los momentos de empotramiento perfecto (MEP):

𝑀_𝐴 = 𝑀_𝐵 = −𝑤𝐿 2 12 = − 6000(4)2 12 = −8000 𝑁. 𝑚 𝑀_𝐵 = −𝑃𝑎𝑏 2 𝐿2 = − 6000(2)(2)2 42 = − 3000 𝑁. 𝑚 𝑀_𝐶 = −𝑃𝑎 2_𝑏 𝐿2 = − 6000(2)2₍₂₎ 42 = − 3000 𝑁. 𝑚 𝑀_𝐶 = −𝑞𝐿 2 30 = − 9000(4)2 30 = − 4800 𝑁. 𝑚 𝑀_𝐷 = −𝑞𝐿 2 20 = − 9000(4)2 20 = − 7200 𝑁. 𝑚

MÉTODO DE CROSS 19  ∑ de momentos en A: ∑ 𝑀𝐴 = 9441.25 𝑁. 𝑚  ∑ de momentos en B: ∑ 𝑀𝐵 = 0 𝑁. 𝑚  ∑ de momentos en C: ∑ 𝑀𝐶 = 0 𝑁. 𝑚  ∑ de momentos en D: ∑ 𝑀𝐷 = −7991.25𝑁. 𝑚

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CONCLUSIONES

 El método de Cross es un método sencillo y práctico de aplicar para determinar la distribución de momentos que se producen en estructuras tales como las vigas.  Este método de aproximaciones sucesivas nos permite hallar la distribución de

momentos con cualquier grado de precisión deseado.

 El proceso de bloquear y liberar los nudos se repite hasta que la transmisión de momentos sean despreciables o hasta que la suma de momentos distribuidos y transmitidos sea nula en todos los nudos.

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BIBLIOGRAFÍA Y LINKOGRAFÍA

 Pytel y Singer. Resistencia de Materiales. Traducción de la cuarta edición en inglés. Oxford University Press. Alfaomega (1994).

 https://es.slideshare.net/keniadiana/10-ejercicios-resueltos-por-el-mtodo-de-cross?from_action=save