Universidad de Oviedo EPS de ingeniería de Gijón Dpto. Matemáticas
Algebra Lineal 4/2/2008
Segunda parte
Apellidos:
Nombre:
NIF:
Ejercicio 1 (2 puntos) Se considera la aplicación linealf :R2
→R2[x] definida como sigue
f(a, b) =a+b+bx+ (a+b)x2
a) Calcular la matriz asociada af en las bases canónicas deR2 y R2[x].
b) Decir si esf inyectiva. ¿Es suprayectiva?. Justifica las respuestas. c) Calcularf−1
1 +x+x2
y expresar el resultado en la baseB1={(1,0),(1,1)} de R2.
Se considera ahora la aplicación lineal g:R2[x]→R2 cuya matriz asociada en la base B2=1 +x, x+x2,1 +x+x2 de R2[x] y la base canónica deR2 esM = 1 0 1 −1 1 0
d) Dado el endomorfismoT :R2 →R2 definido como sigue: T(~v) =g(f(~v)), calcular la matriz de
T en la base canónica deR2.
e) Calcular An, n
∈ Z siendo A la matriz asociada al endomorfismo T calculada en el apartado
anterior.
f ) Decir si existe algún vector~u∈R2 tal queTn(~u) =~u,∀n∈N. Razona la respuesta.
g) ¿Existe algún vector~u∈R2 distinto de~0tal que l´ım
n→+∞T
n(~u) =~0? Razona la respuesta.
Solución:
a) Las imágenes de los vectores de la base canónica de R2son
f(1,0) = 1 +x2
f(0,1) = 1 +x+x2
con lo que la matriz de la aplicación en las bases canónicas deR2 yR 2[x]es N = 1 1 0 1 1 1 b) f inyectiva←→Ker f =n~0o N a b = 0 0 0 → 1 1 0 1 1 1 a b = 0 0 0 → a+b= 0 b= 0 → a= 0 b= 0 luegof es inyectiva. Por el teorema del rango
dimR2=dimImf+dim Ker f
entonces dim Imf = 2 y
f suprayectiva←→Imf =R2[x]
c) Para calcular la imagen recíproca en la baseB1, se utiliza la matrizN calculada anteriormente, que
la expresa en la base canónica de R2 y después se hace un cambio de base para expresarla en la
base pedida. f−1 1 +x+x2 = (a, b)∈R2 / f(a, b)∈1 +x+x2 Bc N a b =α 1 1 1 → 1 1 0 1 1 1 a b =α 1 1 1 → a+b=α b=α → a= 0 b=α Por tanto f−1 1 +x+x2 =h(0,1)i
en la base canónica. Para expresar el subespacio en la base B1 ={(1,0),(1,1)} deR2, se resuelve
el sistema siguiente: 0 1 Bc = 1 1 0 1 Bc→B2 a b B2 → a+b= 0 b= 1 → a=−1 b= 1
en el que la matriz de coeficientes es la matriz de cambio de base de la base canónica a la base B1,
con lo que
f−1
1 +x+x2
=h(−1,1)i
en la baseB1.
d) Como el endomorfismoT es composición de las aplicaciones linealesf yg, la matriz asociada aT es el producto de las matrices asociadas a g yf respectivamente y en este orden. Debe tenerse en cuenta que la matriz asociada ag debe estar expresada en una cierta base de R2[x] y la canónica
de R2 y que la matriz asociada a f debe estar expresada en la base canónica de R2 y una cierta
base deR2[x]que debe coincidir con la base inicial para la matriz deg.
Para que la base del espacioR2[x]coincida en ambos casos, se calcula la matriz asociada agen las
bases canónicas de R2[x] yR2, ya que se conoce la matriz asociada af en las bases canónicas de
dichos subespacios teniendo en cuenta el siguiente esquema de cambio de base
g:R2[x]B 2 M −−−−−→ R3B c ? P ? ? I R2[x]B c A −−−−−→ R3 Bc
en el queP es la matriz de cambio de base tomando como base antigua la base canónica y como base nueva la baseB2deR2[x]yB la matriz asociada agen las bases canónicas deR2[x]yR2
P = 1 0 1 1 1 1 0 1 1 , P −1 = 0 1 −1 −1 1 0 1 −1 1 y B=M P −1 = 1 0 0 −1 0 1
La matriz asociada aT en la base canónica deR2es
A=BN = 1 1 0 0 e) Para calcular An,n
∈Z, debe tenerse en cuenta que la matrizAdebe ser inversible sin <0y, en
este caso no lo es. Para el caso de valores de npositivos, se puede calcularAn sin problemas, ya
que:
p(λ) = det(A−λI) = det
1−λ 1 0 −λ
por lo que el conjunto de valores propios de T esσ(T) = {0,1}. S(1) ={X / (A−I)X = [0]} es decir 0 1 0 −1 x y = 0 0 →x=α, y= 0 yS(1) =h(1,0)i
Con respecto aS(0) ={X / AX = [0]}es decir 1 1 0 0 x y = 0 0 →x=−α, y=α yS(0) =h(−1,1)i. De esta forma An = 1 −1 0 1 1n 0 0 0n 1 −1 0 1 −1 = 1 1 0 0
f) Los vectores~u∈R2 que cumplen la condiciónTn(~u) =~u,∀n∈Nson los asociados al valor propio
1, así que se calcula dicho subespacioS(1) = h(1,0)i luego los vectores (α,0) ∈ R2 cumplen la
condición.
g) Los vectores~u∈R2distintos de~0que cumple la condición lim
n→∞T
n(~u) =~0son los vectores propios
asociados a valores propios con valor absoluto menor que 1, en este casoS(0) =h(−1,1)iluego los vectores(−α, α)∈R2cumplen la condición.
Ejercicio 2 (1 punto) Dada la aplicación q:R4→R, cuya expresión en una base{~e1, ~e2, ~e3, ~e4}de R4
es
qα,β(x, y, z, t) =αx2+βy2+αz2+βt2+ 2xz+ 2yt
a) Decir para qué valores deα, β∈Rqα,β es definida positiva. Decidir para qué valores deα, β∈R
qα,β es definida negativa.
b) Escoger el valor más pequeño deα, β∈Z para que la aplicación dada sea un producto escalar y
calcular una base{~v1, ~v2, ~v3, ~v4}deR4en la que la matriz asociada al producto escalar sea diagonal.
Dar la relación matricial que existe entre las matrices asociadas a q en las bases{~e1, ~e2, ~e3, ~e4} y {~v1, ~v2, ~v3, ~v4} de R4.
Solución
a) La matriz asociada aqα,β en la base{~e1, ~e2, ~e3, ~e4}deR4 es
A= α 0 1 0 0 β 0 1 1 0 α 0 0 1 0 β
Aplicando el método de Gauss, se expresa la forma cuadrática como suma de cuatro cuadrados. Como los elementos de la diagonal principal si la forma es definida (tanto negativa como positiva) son no nulos, se tiene queα6= 0yβ 6= 0
qα,β(x, y, z, t) = αx2+βy2+αz2+βt2+ 2xz+ 2yt = αx2 + 2xz α +β y2 + 2yt β +αz2 +βt2 = = αx+ z α 2 −z 2 α +β y+ t β 2 −t 2 β +αz 2 +βt2 = = αx+ z α 2 +β y+ t β 2 + α− 1 α z2 + β−1 β t2
y haciendo el cambio de variables x1=x+ z α y1=y+ t β z1=z t1=t
la forma cuadrática se expresa como suma de los cuatro cuadrados citados
qα,β(x1, y1, z1, t1) =αx21+βy 2 1+ α2 −1 α z 2 1+ β2 −1 β t 2 1
Entoncesqα,βserá definida positiva si los cuatro coeficientes de los cuadrados son positivos, es decir
α >0 β >0 α2−1 α >0 β2−1 β >0 → α >1 β >1
y definida negativa si los cuatro coeficientes son negativos α <0 β <0 α2−1 α <0 β2−1 β <0 → α <−1 β <−1
b) Escogiendoα=β = 2, que son los valores enteros más pequeños que hacen queqα,β sea definida
positiva, se tiene q(x, y, z, t) = 2x2 + 2y2 + 2z2 + 2t2 + 2xz+ 2yt y, teniendo en cuenta las operaciones del apartdo anterior
q(x, y, z, t) = 2x+z 2 2 + 2 y+ t 2 2 +3 2z 2 +3 2t 2
El cambio de variables del apartado anterior permite expresar las variables antiguas en función de las nuevas x=x1− z1 2 y=y1− t1 2 z=z1 t=t1
lo que lleva asociado un cambio de base de la base inicial {~e1, ~e2, ~e3, ~e4} a una base ortogonal {~v1, ~v2, ~v3, ~v4}en la que la matriz asociada al producto escalar es diagonal. La matriz que relaciona
las coordenadas de un vector en la base inicial (x, y, z, t) con las de ese vector en la base final (x1, y1, z1, t1)es la matriz de cambio de baseP de{~e1, ~e2, ~e3, ~e4}a {~v1, ~v2, ~v3, ~v4}
x y z t = 1 0 −1 2 0 0 1 0 −1 2 0 0 1 0 0 0 0 1 x1 y1 z1 t1 → X =P X1 y la base{~v1, ~v2, ~v3, ~v4} es ~v1=~e1 ~v2=~e2 ~v3=−12~e1+~e3 ~v4=−12~e2+~e4
La matriz de la forma cuadrática en la base{~v1, ~v2, ~v3, ~v4}es D= 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 3 2 y se cumple que D=PtAP
Ejercicio 3 (1 punto) En el espacio euclídeo R3 se considera el subespacio
H =
(x, y, z)∈R3 / x+y−z= 0
. Se pide:
a) Calcular una base ortonormalB de H.
b) Calcular la proyección ortogonal T de R3 sobreH.
c) Calcular la simetría ortogonal respecto deH.
d) Calcular un giro de ángulo π
4 en torno al eje V =h(1,1,−2)i. Solución:
a) Podemos resolver este apartado de dos formas alternativas:
Método 1 Lo primero, observamos queH es un subespacio de un espacio de dimensión 3, que está definido por una ecuación implícita, por lo que su dimensión es3−1 = 2, por lo que buscamos una base con2 vectores ortogonales y unitarios. Buscamos un vector cualquiera no nulo que cumpla las ecuaciones implícitas que definenH, por ejemplo(1,0,1), este vector dividido por su longitud será el primer vector de la base pedida. El segundo vector debe estar en H, es decir, debe cumplir la ecuación implícita deH: x+y−z= 0y además debe ser ortogonal al vector que ya hemos calculado, es decirx+z = 0, por lo tanto debemos resolver el sistema lineal: x+y−z= 0 x+z= 0 → xz= 0= 0
Tomaremos el vector(−1,2,1), así una base ortonormal deH puede ser:
B= ~u1= 1 √ 2,0, 1 √ 2 , ~u2= −√1 6, 2 √ 6, 1 √ 6
Método 2 Considerando el producto escalar estandar y teniendo en cuenta que H =h~v1= (1,0,1), ~v2= (0,1,1)i
se calcula una base ortogonal de H por el método de ortogonalización de Schmidt, a partir de la que se obtendrá una base ortonormal de H. La base ortogonal que se busca se llamará
{w~1, ~w2}y se calcula como sigue
~ w1=~v1
con α= ~v2·w~1 ~ w1·w~1 = 1 2 de lo que se deduce ~ w2=~v2− 1 2w~1 con lo que la base {w~1, ~w2} es
(1,0,1), −12,1,1 2
. Una base ortonormal construida a partir de{w~1, ~w2} es{~u1, ~u2}con ~u1= ~ w1 kw~1k =√1 2(1,0,1), ~u2= ~ w2 kw~2k = √2 6 −12,1,1 2
b) Se calcula una base ortonormal deR3a partir de la base ortonormal deH y su suplemento ortogonal
H⊥= ~u3= 1 √ 3(1,1,−1)
. En la base ortonormal{~u1, ~u2, ~u3}, la matriz asociada a la proyección
ortogonal deR3 sobreH es A= 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ya que
T(~u1) =~u1,T(~u2) =~u2,T(~u3) =~0
c) En la base ortonormal calculada en el apartado anterior, se cumple T(~u1) =~u1,T(~u2) =~u2,T(~u3) =−~u3
con lo que la matriz asociada a la simetría ortogonal respecto deH en la base ortonormal{~u1, ~u2, ~u3}
es M = 1 0 0 0 1 0 0 0 −1
d) Considerando una base ortonormal {~u1, ~u2, ~u3} de R3 formada por un vector de V y dos de su
suplemento ortogonal,V⊥, al matriz asociada al giro de ángulo π
4 en torno al ejeV es N = 1 0 0 0 cosπ 4 −sen π 4 0 senπ 4 cos π 4 = 1 0 0 0 √ 2 2 − √ 2 2 0 √ 2 2 √ 2 2 El suplemento ortogonal deV = ~u1= 1 √ 6(1,1,−2) es V⊥= ~v∈R3 / ~v·~u= 0, ∀~u∈V
y para buscar vectores~v ortogonales aV basta que sean ortogonales a una base deV, queda V⊥
=
(x, y, z)∈R3 / (x, y, z)·(1,1,−2) = 0 =
=
Los vectores de la base dada deV⊥
no son ortogonales, así que se busca una base ortogonal deV⊥ aplicando a los vectores dados el método de ortogonalización de Schmidt.
V⊥
=h~v2= (−1,1,0), ~v3= (2,0,1)i
La base ortogonal buscada será{w~1,w~2} y se calcula como sigue
~ w2=~v2 ~v3=α ~w2+w~3,w~2·w~3= 0 con α= ~v3·w~2 ~ w2·w~2 = −2 2 =−1 de lo que se deduce ~ w3=~v3+w~2
con lo que la base {w~2, ~w3} es{(−1,1,0),(1,1,1)}. Una base ortonormal construida a partir de {w~2, ~w3} es{~u2, ~u3}con ~u2= ~ w2 kw~2k = √1 2(−1,1,0), ~u3= ~ w3 kw~3k = √1 3(1,1,1)
