1.POLINOMIOS

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(1)IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. POLINOMIOS 1. Dados los polinomios: P( x) = x 6 − x 5 + 2 x 4 − 3x 3 − 8 x − 1 Q ( x) = x 3 − 2 x + 1 R( x) = 3 x 6 − 4 x 5 + 3x 4 − 2 x 3 + 5 x 2 + x − 1 S ( x) = x 3 − 2 x 2 − 3 x + 1 T ( x) = x + 2 realiza las siguientes operaciones: a) P ( x) − R ( x) e) Q ( x) ⋅ T ( x) b) Q ( x) − S ( x) + T ( x) f) [S ( x) − Q( x)] ⋅ T ( x) c) 2 ⋅ Q ( x) − 3 ⋅ S ( x) g) P ( x) : Q ( x) d) Q ( x) ⋅ S ( x). 2. Efectúa las siguientes divisiones: a) (2 x 5 − x 3 + 2 x 2 + 3 x − 6) : ( x 3 + x − 1) = b) ( x 5 − x 4 + 8 x 3 + 4 x 2 − 1) : (− x 3 + 1) = c) (2 x 4 − x 2 − 3 x 3 − 8 x − 1) : (− x 2 − x + 2) =. h) [R( x) − P( x)] : Q( x) i) P ( x) : T ( x) j) R ( x) : T ( x). g) (4 x 5 − x 3 − 2 x 2 − 1) : ( x + 1) = h) (− x 6 + 4 x 5 − x 4 + 8 x 3 + 4 x) : ( x − 2) = i). ( x 6 − x 5 + 2 x 4 − 3 x 3 − 8 x − 1) : ( x − 1) =. d) (− x 6 + 4 x 5 − x 4 + 8 x 3 + 4 x 2 − 1) : ( x 3 − x + 3) =. j). (2 x 5 + 2 x 4 − 3 x 2 − 8 x) : ( x + 3) =. e) ( x 6 − x 5 + 2 x 4 − 3 x 3 − 8 x − 1) : ( x 2 − x − 2) =. k) (7 x 4 − 6 x 3 + 3 x − 4) : ( x − 1) =. f) (2 x 5 + 2 x 4 − 3 x 2 − 8 x − 1) : (− x 3 − 2 x + 1) =. l). 3. Desarrolla las siguientes identidades notables: 2 a) (2x − 5) = b) c). (3a. 2. )(. ). − 5 ⋅ 3a 2 + 5 =. (ab + x )2. p). =. q). 2. 1  d)  3x +  = 3  2 e) (2 − a ) =. r) s) t). 2. 2  f)  x − 5  = 5 . u). 2. 2  g)  x + 1 = 5  h) 4 x − 5 y 2 ⋅ 4 x + 5 y 2 = i) (3a − 12b ) ⋅ (3a + 12b ) =. (. )(. ( 2 − a) = k) (x + 3 ) = l) ( 5 − b )⋅ ( 5 + b ) = m) (m − 8 )⋅ (m + 8 ) = n) ( 2 x + 5 x ) = j). 2. 2. o). ). v) w). (2 x 4 − 2 x 3 + 3 x 2 − 1) : ( x + 2) =. (3x y − 5 3 y )⋅ (3x y + 5 3 y ) = (2 3x + 3x ) = (5x y − 2 y ) = (2 2 x − 3 2 xy )⋅ (2 2 x + 3 2 xy ) = 2. 2. 3 2. 2. 3 2. 2. 2. 2. (− 2 + 3 y ). 2 2. (− 3x − 5 y ). 2. = =. (9 x y − 3xy )⋅ (9 x y + (− 3x + 5x ) = (− 5 5 x + 9 xy )⋅ (9 xy + 5 2. 2. 2. ). 3 xy 2 =. 2. 2. 2. ). 5x 2 =. 2. 1   x)  3 x 2 y − y 2  = 2   2. 1  2 y)  xy 2 + x  = 2  3 2 2 3  3  z)  x 3 − x 2 y  ⋅  x 3 + x 2 y  = 5 5 2  2 . 2 2. 1.

(2) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. 4. Opera y reduce las expresiones algebraicas siguientes: 2 a) − 4a ⋅ (a + 2 ) − (3a + 4) ⋅ (3a − 4) = b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m). (x − 5)2 − ( x + 5) ⋅ ( x − 5) = ( y + 1)2 − 3 y − (4 y + 5) ⋅ (4 y − 5) = 2 3 x ⋅ ( x + 1) − (2 x − 1) ⋅ (2 x + 1) = 2 2 (1 + 4b 2 ) ⋅ (1 − 4b 2 ) − (2b 2 + 1) − (3b − 1) = (2 + b )2 − (1 − b 2 ) ⋅ (1 + b2 ) − (− b ) ⋅ (b + 3)2 = (1 − y )2 − (4 − 3 y) ⋅ (4 + 3 y) − (− 2 y ) ⋅ ( y − 5)2 = 2 (2 − 3 x 2 ) ⋅ (2 + 3 x 2 ) − (3 x − 1) = 2 ( x 2 + 2) ⋅ ( x 2 − 3) − ( x − 2 ) = 2 − 2 y ⋅ ( y − 3) − ( y + 7 ) ⋅ ( y − 7 ) = 2 2 (2 + 3b 2 ) ⋅ (2 − 3b 2 ) − (2b − 1) − (3b + 2 ) =. (3x + 2) − ( x + 7) ⋅ ( x − 7) − 3x ⋅ (5 x − 3x ) = (1 − b ) − (4 − 5b ) ⋅ (4 + 5b ) − (− 3b) ⋅ (b − 5) = 2. 3. 3. 2 2. 3. 3. 2. 2. 2. 3. n) − 2a ⋅ (a + 3) − (a + 4) ⋅ (a − 4) = 2. o) p). (4 x + 1)2 − (2 − 3x) ⋅ (2 + 3x) − (− 3x ) ⋅ (2 x + 1)2 = (3 x − 1)2 ⋅ (− x ) − (1 − 5 x 2 ) ⋅ (1 + x 2 ) − (3x 2 + 1)2 = 2. 1 3  q)  y −  − y − ( y + 1) ⋅ ( y − 1) = 2 2  2. 1  2 r)  4 x −  − (1 − 3 x) ⋅ (1 + 3 x) − ⋅(2 x + 3) = 2  2. (. ). 1  1   3  s)  x + 2  −  x − 3  ⋅ (3 x + 6 ) −  − x  ⋅ 2 x 2 − 3 = 4  3   4 . 5. Expresa en forma de producto (empleando las identidades notables) cuando sea posible : a) c 2 − 36 = u) 4t 4 + 9 + 12t 2 = l) z 2 + 3 − 2 3 z = 1 b) a 2 + 1 = m) 4a 2 + 20a + 25 = v) − 3a + 9a 2 = 2 2 4 c) t − 25 = n) s − 7 = 2 10 1 d) x − 2 = 1 w) 25m 2 − m + = o) m 2 + − m = 2 3 9 e) a + 2 = 4 2 2 2 x) a − 2b = f) r + 12r + 36 = p) b 2 d 2 + 1 − 2bd = 2 y) 9 z 2 + 25 = 1 g) m − 9m + 81 = 2 q) 16m − = 4 2 4 h) y 2 − y + 1 = 3 z) x + x +1 = 4 2 9 3 r) m − 10m + 100 = i) y 2 − 3 y + 9 = 2 s) t + 5 = j) s 2 − 4 s + 4 = 2 2 t) t 2 − 5 = k) m − 2mt + t =. 2.

(3) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. 6. Extrae factor común: a) 9 x + 18 y − 6 = b) 12m 2 − 6m + 6 = c) 5x + 5 = d) − 10 x 3 + 5 x 2 = e) 3 x 2 − 6 x 3 + 9 x = f) 12a 2 − 6a 3 = g) 12a 7 − 18a 5 − 6a 9 = h) x 9 − x 4 = i) − 10 x 9 + 15 x 3 − 5 x 2 = j) 14c 6 + 7c 4 − 21c 3 = k) a 3 b 2 + a 4 b = l) 9 x 4 y 2 − 6 x 2 y 2 = m) 6ab − 12b = n) a 5 b 3 + a 2 b 2 =. o) − 12a 3 b 6 + 6a 2 b 9 + 3a 2 b 2 = p) 12m 2 − 12m = q) 3 y 5 − 6 y 2 + 9 y =. v) w) x) y). − 2 x 7 + 14 x 6 − 6 x 4 = 1 2 1 x y − xy 2 = 2 6 7 ab 3 + 5ab = 15 x 2 y 3 + 5 x 2 y = − 5 x 2 y 3 + 10 x 2 y = 3abc + 12ab = 4 m 6 + 2m 4 + 2 m 2 = − 30 x 3 y + 10 x 2 − 20 x 4 y 2 =. z). − 5c 3 d 2 + 10c 3 + 5c 2 d =. r) s) t) u). 7. Determina el valor de m para que el polinomio P ( x) = 5 x 4 − 7 x 3 + 2 x 2 + 4 x + m tenga por resto 130 al dividirlo por ( x + 2) . 8. Un polinomio de segundo grado tiene por coeficiente principal 1, se anula para x = 3 y toma el valor 4 para x = 5 . Hállalo. 9. Halla un polinomio de primer grado que dividido por ( x − 1) y por ( x + 3) da de resto 6 y 2, respectivamente. 10. ¿Qué número m se ha de añadir al polinomio ( x 3 + 2 x 2 ) para que sea divisible por ( x + 4) ?. 11. Determina los coeficientes m y n para que el polinomio P ( x) = x 5 + mx 3 + n sea divisible por ( x + 1) y (x − 1) . 12. Determina los valores de m y n en el polinomio P ( x) = 3 x 3 + mx 2 + nx + 4 sabiendo que ( x − 1) es un factor de P (x) y que si se le divide entre ( x + 2) se obtiene de resto 24.. 13. Calcula cuánto tienen que valer a y b en el polinomio P ( x) = ax 4 − 10 x 3 + x 2 + bx − 2 para que sea divisible por ( x + 1) y tenga a 2 como raíz. 14. Determina m y n en el polinomio P ( x) = x 3 + mx 2 + x + n sabiendo que 3 es raíz de P(x) y que al dividirlo entre ( x + 2) se obtiene de resto 5. 15. Calcula el valor que debemos dar a m en el polinomio P ( x) = x 4 − mx 2 + 3mx − 1 para que al dividirlo por (x − 2) se obtenga un resto igual al termino independiente del polinomio.. (. ). (. ). 16. Halla a y b para que al dividir x 3 + ax 2 + 2 x + b entre x 2 + x + 1 se obtenga de resto (− 3 x + 5) .. 3.

(4) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. SOLUCIONES 1. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j). − 2 x 6 + 3x 5 − x 4 − x 3 − 5 x 2 − 9 x 2x 2 + 2x + 2 − x 3 + 6x 2 + 5x − 1 x 6 − 2 x 5 − 5x 4 + 6 x 3 + 4 x 2 − 5x + 1 x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 − 3x + 2 − 2x 3 − 5x 2 − 2x Cociente = x 3 − x 2 + 4 x − 6 Resto = 9 x 2 − 24 x + 5 Cociente = 2 x 3 − 3 x 2 + 5 x − 7 Resto = 18 x 2 − 10 x + 7 Cociente = x 5 − 3 x 4 + 8 x 3 − 19 x 2 + 38 x − 84 Resto = 167 5 4 3 2 Cociente = 3 x − 10 x + 23 x − 48 x + 101x − 201 Resto = 401. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l). Cociente = 2 x 2 − 3 Resto = 4 x 2 + 6 x − 9 Cociente = − x 2 + x − 8 Resto = 5 x 2 − x + 7 Cociente = −2 x 2 + 5 x − 8 Resto = −26 x + 15 3 2 Cociente = − x + 4 x − 2 x + 15 Resto = −10 x 2 + 21x − 46 Cociente = x 4 + 4 x 2 + x + 9 Resto = 3 x + 17 2 Cociente = −2 x − 2 x + 4 Resto = −5 x 2 + 2 x − 5 Cociente = 4 x 4 − 4 x 3 + 3 x 2 − 5 x + 5 Resto = −6 5 4 3 2 Cociente = − x + 2 x + 3 x + 14 x + 28 x + 60 Resto = 120 Cociente = x 5 + 2 x 3 − x 2 − x − 9 Resto = −10 Cociente = 2 x 4 − 4 x 3 + 12 x 2 − 39 x + 109 Resto = −327 3 2 Cociente = 7 x + x + x + 4 Resto = 0 3 2 Cociente = 2 x − 6 x + 15 x − 30 Resto = 59. 2.. 3. a) 4 x 2 − 20 x + 25 b) 9a 4 − 25 c) a 2 b 2 + 2abx + x 2 1 d) 9 x 2 + 2 x + 9 2 e) 4 − 4a + a 4 2 x − 4 x + 25 f) 25 4 2 4 g) x + x +1 25 5 2 h) 16 x − 25 y 4 9 6 4 4 2 z) x − x y 4 25. i) j) k) l) m) n) o). 9a 2 − 144b 2 2 − 2 2a + a 2 x 2 + 2 3x + 3 5 − b2 m2 − 8 2 x 2 + 10 2 x 3 + 25 x 4 9 x 4 y 2 − 75 y 2. p) 12 x 4 + 12 x 5 + 3 x 6 q) 25 x 4 y 2 − 10 2 x 2 y 4 + 2 y 6. s) 4 − 12 y 2 + 9 y 4 t). 9 x 2 + 30 xy + 25 y 2. u) 81x 4 y 2 − 3 x 2 y 4 v) 3 x 4 − 10 3 x 3 + 25 x 2 w) 81x 2 y 2 − 125 x 4 1 x) 9 x 4 y 2 − 3 x 2 y 3 + y 4 4 4 2 4 2 2 2 1 2 y) x y + x y + x 9 3 4. r) 8 x 4 − 18 x 2 y 2. 4.

(5) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. 4. 8 x 6 − 75 x 5 + 90 x 4 − 15 x 3 + 53 25b 6 + b 4 + 3b 3 − 32b 2 + 75b − 15 − 2a 3 − 13a 2 − 18a + 16 12 x 3 + 37 x 2 + 11x − 3 − 4x 4 − 9x3 + 4x 2 − x − 2 5 5 q) − y + 2 4 39 r) 21x 2 − 16 x − 4 3 3 15 2 23 s) x − x + x + 22 2 16 4. a) − 4a 3 − 25a 2 − 16a + 16 b) − 10 x + 50 c) − 15 y 2 − y + 26 d) e) f) g). l) m) n) o) p). 3x 3 + 2 x 2 + 3x + 1 − 20b 4 − 13b 2 + 6b − 1 b 4 + b 3 + 7b 2 + 13b + 3 2 y 3 − 10 y 2 + 48 y − 15. h) − 9 x 4 − 9 x 2 + 6 x + 3 i) x 4 − 2 x 2 + 4 x − 10 j) − 2 y 3 + 11 y 2 − 18 y + 49 k) − 9b 4 − 13b 2 − 8b − 1. 5.. a) (c − 6) ⋅ (c + 6) b) No se puede c) (t − 5) ⋅ (t + 5) d) e) f) g) h) i) j). 6.. m) (2a + 5) 2 n) ( s − 7 )( s + 7 ). (x − 2 )⋅ (x + 2 ). (m − t )2. l). ( z − 3) 2. (. u). e) 3 x ⋅ x − 2 x + 3 f) 6a ⋅ (2 − a ). (. (. (. ). h) x ⋅ x − 1. ( ⋅ (2c. ). 5 x 2 ⋅ − 2 x 7 + 3x − 1. j). 7c 3. +c−3. k) a b ⋅ (b + a ). ). (. l) 3 x y ⋅ 3 x − 2 m) 6b ⋅ (a − 2) 2. 2. (. 2. ). ). ). 2. ). ). ( ) y ⋅ (− y + 2 ). u) 5 x y ⋅ 3 y + 1 2. 3. (. 3. (. ). i). 3. ). r) 2 x ⋅ − x + 7 x − 3 1 1   s) xy ⋅  x − y  2 3   2 t) ab ⋅ 7b + 5. ). g) 6a 5 ⋅ 2a 2 − 3 − a 4 5. 2. ). 4. 2. 4. ). ). 2. q) 3 y ⋅ y 4 − 2 y + 3. 2. 2. +3. 2  z)  x + 1 3 . (. ). d) 5 x ⋅ (− 2 x + 1). (2t. )(. o) 3a 2 b 2 ⋅ − 4ab 4 + 2b 7 + 1 p) 12m ⋅ (m − 1). b) 6 ⋅ 2m − m + 1 c) 5 ⋅ ( x + 1) 2. (. 2. (. )(. 2. 2. 1  w)  5m −  3  x) a − 2b ⋅ a + 2b y) No se puede.  1   1  q)  4m −  ⋅  4m +  3  3  r) No se puede s) No se puede t) t − 5 ⋅ t + 5. a) 3 ⋅ (3x + 6 y − 2 ). (. 2. 1  o)  m −  2  2 p) (bd − 1). No se puede (r + 6)2 No se puede No se puede No se puede (s − 2 ) 2. k). 1  v)  − 3a  2 . 2. 2. 2 v) 5 x w) 3ab ⋅ (c + 4). ( ) 10 x ⋅ (− 3 xy + 1 − 2 x y ) 5c ⋅ (− cd + 2c + d ). x) 2m 2 ⋅ 2m 4 + m 2 + 1 y) z). 2. 2. 2. 2. 2. n) a 2 b 2 ⋅ a 3b + 1. 5.

(6) IES Juan García Valdemora Departamento de Matemáticas. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.. TEMA 3: POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS 4º ESO Matemáticas B. m = −6 P( x) = x 2 − 6 x + 9 P( x) = x + 5 m = 32 m = −1 y n = 0 m = 5 y n = −12 10 37 a= y b= 3 3 m = −9 y n = 51 m = −8 a=5 y b=9. 6.

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