OBJETIVOS DEL CURSO
♦
Adquirir conocimientos de los conceptos de Matemática
Financiera y aplicar las técnicas para el cálculo de intereses,
tasas de intereses efectivos y descuentos de documentos de
créditos, anualidades constantes y la tasa interna de retorno,
rentas ciertas y empréstitos.
♦
Aplicar conocimientos adquiridos en el estudio de casos
concretos y en la resolución de problemas matemáticos.
♦
Resolver problemas reales en el campo de las ciencias
OBJETIVOS DEL CURSO
♦
Comprender la importancia de la Matemática como fuente
de conocimiento, que posibilitan una formación profesional
que se ajuste a las exigencias del campo laboral del futuro
administrador.
♦
Adquirir habilidades y destrezas profesionales para aplicar
los principios matemáticos a los procesos administrativos.
OBJETIVOS DEL CURSO
♦
Participar activamente del desarrollo de trabajos
individuales y en equipo, destacando el valor de la
complementación y la interdisciplinariedad de saberes.
CONTENIDO DEL CURSO
UNIDAD I
Interés Simple
1. Generalidades
2. Montos
UNIDAD II
Interés Compuesto
1. Generalidades; 2. Monto
3. Tasa de interés nominal; 4. Tasa de interés proporcional
5. Tasa de interés efectiva; 6. Tasa de interés equivalente
7. Monto con capitalización continua
CONTENIDO DEL CURSO
UNIDAD III
Descuentos
1. Generalidades
2. Descuento comercial
3. Descuento racional o matemático
4. Descuento compuesto
CONTENIDO DEL CURSO
UNIDAD IV
Imposiciones
1. Generalidades
2. Imposiciones a interés compuesto
3. Imposiciones a interés simple
4. Factor de capitalización de una serie
uniforme
CONTENIDO DEL CURSO
UNIDAD V
Amortizaciones
1. Generalidades
2. Amortizaciones a interés compuesto
3. Factor de actualización de una serie uniforme
4. Factor de recuperación del capital
5. Sistemas de amortización: clasificación
CONTENIDO DEL CURSO
UNIDAD VI
Rentas
1. Generalidades
2. Rentas temporarias diferidas y anticipadas
3. Rentas perpetuas inmediatas, diferidas y anticipadas
UNIDAD VII
Empréstitos
PERFIL DE SALIDA
Al término de todos los procesos el alumno podrá:
–
Analizar e interpretar conceptos y principios matemáticos.
–
Aplicar al proceso administrativo operaciones matemáticas.
–
Resolver situaciones problemáticas de la vida cotidiana utilizando los
conocimientos científicos adquiridos.
–
Propiciar espacios para la creatividad y el juicio crítico reflexivo en la
conducción del proceso administrativo.
–
Asumir con responsabilidad las exigencias del trabajo interdisciplinario
en equipos.
–
Aplicar métodos y técnicas apropiados para la interpretación de datos
obtenidos en el análisis de casos concretos
BIBLIOGRAFIA
•
Frank S. Budnick: Matemáticas Aplicadas para Administración,
Economía y Ciencias Sociales - Editorial Mc Graw-Hill.
•
Ernest F. Haussler, Jr. / Richard S. Paul: Grupo Editorial Iberoamérica.
Matemática para Administradores y Economistas.
•
González Gale, José: Intereses y Anualidades Ciertas
•
Frank Ayres, Jr. Matemática Financiera (Colección Schaum)
•
Osvaldo N. Di Vincenzo. Matemáticas Financieras
•
Lincoyán Portus Govinden (3ra. Edición). Matemáticas Financieras
•
Arsenio Ramón Rotela Méndez: Matemática: Manual de Ejercicios y
Problemas.
•
Alfredo Díaz Mata: Matemática Financiera.
•
Lincoyán Portus Govinden: Matemática Financiera.
•
José Luís Villalobos: Matemática Financiera.
La matemática
financiera es el
estudio
analítico de las
operaciones
Su principal objetivo consiste en
encontrar modelos matemáticos
que permitan describir y
comprender los intercambios de
capitales en diferentes
momentos de tiempo
Una operación financiera es el
intercambio de
capitales
equivalentes
en
diferentes
momentos de tiempo
y de
Interés
I = Interés
Pago por el uso del dinero o Precio del dinero
Factores que lo determinan
Inflación o pérdida del poder adquisitivo
Preferencia por la liquidez
Riesgo
Capitales equivalentes
Si al invertir una cantidad de dinero
C, durante un tiempo n, esa
cantidad se incrementa a M,
diremos que es equivalente tener
hoy C a tener dentro de un tiempo n
la cantidad M.
Reglas básicas
1- Entre dos capitales de igual
monto en distintos momentos de
tiempo, se preferirá aquel que sea
mas cercano.
2- Entre dos capitales en el mismo
Según el momento de valoración
:
•
Operaciones de capitalización
Valora en el futuro capitales colocados hoy
•
Operaciones de actualización y de
descuento
Valora en el presente capitales que se
recibirán en el futuro
Según la ley financiera aplicada
:
•
Operaciones a interés simple
Los intereses no producen intereses,
Solo el capital inicial produce intereses
•
Operaciones a interés compuesto
Los intereses se añaden al capital y producen intereses,
se capitalizan
P (o C o VA):
Capital inicial, capital
invertido o cantidad de dinero que
se toma o se da en pr
é
stamo
.
I:
Intereses generados.
F (o M o VF):
Monto o capital final.
Por definici
ó
n los intereses son:
I = M
–
C = F - P
Notación
n (o t):
Tiempo o plazo que
transcurre entre las fechas inicial y
final de una operaci
ó
n financiera.
Se mide en unidades de tiempo
(meses, a
ñ
os, d
í
as, etc.)
i :
Tasa de inter
é
s, es decir, la raz
ó
n
Ejemplo 1
Si se invierte un capital de Gs. 1.380.000
y al cabo de un mes nos entregan Gs.
1.407.600, entonces:
Ejemplo 2
Si se invierte un capital de Gs. 1.380.000
y al cabo de un año nos entregan Gs.
1.711.200 entonces:
Operaciones financieras en
régimen simple
Las operaciones en régimen de simple se
caracterizan porque los intereses a
medida que se van generando se
acumulan pero no generan intereses en
períodos siguientes (no son productivos).
De esta forma los intereses que se
producen en cada período se calculan
Operaciones financieras en
régimen simple
Características
–
Solo el capital -el inicial- devenga
intereses
–
Los intereses no devengan intereses
–
En periodos de tiempo de la misma
amplitud, los intereses son los
mismos
–
Se aplica principalmente en
Descripción de la operación
Partiendo de un capital (C ó P ó VA) del que se
dispone inicialmente -capital inicial-, se trata de
determinar el monto final (M ó F ó VF) que se
recuperará en el futuro sabiendo las condiciones
en las que la operación se contrata (tiempo -n- y
tasa de interés -i-).
Este capital final se irá formando por la
EL INTERES SIMPLE
Gráficamente una operación de 3 periodos
0
1
2
3
INICIO
FIN
PRESENTE
FUTURO
M
C
I
1
= C.i
I
2
= C.i
I
3= C.i
PARTES DE UN DIAGRAMA DE TIEMPO
0
1
2
3
INICIO
FIN
PRESENTE
HOY!!!!
FUTURO
PERIODO 1
PERIODO 2
PERIODO 3
MOMENTOS
PERIODO 1: INICIA EN EL MOMENTO “0” Y FINALIZA EN EL MOMENTO “1”
PERIODO 2: INICIA EN EL MOMENTO “1” Y FINALIZA EN EL MOMENTO “2”
PERIODO 3: INICIA EN EL MOMENTO “2” Y FINALIZA EN EL MOMENTO “3”
EL INTERES SIMPLE
Desarrollo de una operación de 3 periodos
0
1
2
3
C
I
1= C.i
I
2= C.i
I
3= C.i
M = C + I = C + I
1
+ I
2
+ I
3
Momento 0: C
Momento 1: M
1
= C + I
1
= C + C.i = C (1 + i)
Momento 2: M
2= C + I
1+ I
2= C + C.i + C.i = C (1 + 2 i)
Momento 3: M
3= C + I
1+ I
2+ I
3= C + C.i + C.i + C
.i = C (1 + 3 i)
EL INTERES SIMPLE
FORMULA
M = C (1 + n.i)
F = P (1 + n.i)
A
partir
de
la
expresi
ó
n
anterior
(denominada
fórmula
fundamental de la capitalización simple)
no solamente se puede
calcular capital final (monto) sino que, conocidos tres datos
cualesquiera, se podr
í
a despejar el cuarto restante.
La expresión es aplicable cuando la tasa de inter
é
s de la operaci
ó
n se
mantiene constante todos los per
í
odos.
Finalmente, hay que tener en cuenta que
«
n
»
lo que indica es el
EL INTERES SIMPLE
NOTACIONES Y FORMULA
M = C (1 + n.i)
I = C.n.i
M = C + I
i =
Tasa de interés en tanto por uno del periodo
C =
Capital inicial(o
P
o
VP
)
I =
Intereses generados / devengados.
n =
Nº de periodos (duración de la operación). Ojo
debe estar en la misma unidad de tiempo que la tasa
de interés
EL INTERES SIMPLE
CLASIFICACION DE LOS INTERESES
Interés
Simple
Exacto
Año exacto
Ordinario
Año 360 días
Tiempo real
Tiempo
Tiempo real
EL INTERES SIMPLE
EL MONTO (M ó F ó VF) como función del tiempo
M = C (1 + i.n)
C
Monto
Tiempo
1
I
1
= C.i
EL INTERES SIMPLE
EL CAPITAL INICIAL (C ó P ó VA) como el VALOR
PRESENTE del MONTO (M ó F ó VF)
¿Qué suma “C” debo
invertir hoy para obtener
mañana una suma futura “M”?
)
.
1
(
i
n
M
C
Si
invierto hoy una suma “C” ¿
Qué suma futura
EL INTERES SIMPLE
EL CAPITAL INICIAL (C ó P ó VA) como función del tiempo
EL VALOR PRESENTE DE “M”
Tiempo
“C” el valor
presente de
M
)
.
1
(
i
n
M
C
EL INTERES SIMPLE
TASAS DE INTERES EQUIVALENTES en REGIMEN SIMPLE
Las tasas de interés suelen venir expresados en t
é
rminos anuales,
pero no siempre se devengan con esa periodicidad, sino que, en la
mayor
í
a de las ocasiones, la acumulaci
ó
n de los intereses al capital
inicial se hace en per
í
odos m
á
s peque
ñ
os (meses, trimestres,
semestres, ...).
Esta modificación de la periodicidad con que se
devengan los intereses, ¿me beneficiará o me perjudicará?
Dos tasas de interés cualesquiera, expresadas en
distintas unidades de tiempo, se dice que son
tasas equivalentes cuando aplicadas a un mismo
EL INTERES SIMPLE
TASAS DE INTERES EQUIVALENTES en REGIMEN SIMPLE
i = i
k
x k
Las tasas de inter
é
s equivalentes en Régimen Simple son
proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresi
ó
n:
donde k se denomina
frecuencia de capitalizaci
ó
n
y se
define como el n
ú
mero de partes iguales en las que se
divide el per
í
odo de referencia (considerando como tal el
a
ñ
o), pudiendo tomar los siguientes valores:
k = 2 -> semestre i
2
=
tasa de inter
é
s semestral
k = 3 -> cuatrimestre i
3
=
tasa de inter
é
s cuatrimestral
k = 4 -> trimestre i
4
=
tasa de inter
é
s trimestral
EL INTERES SIMPLE
EJEMPLO 3
¿Cuál es la tasa de interés simple anual, si invierto
hoy 500.000 y al cabo de un año recibo 800.000?
EJEMPLO 4
¿Cuál es la tasa de interés simple semestral, si
invierto hoy 500.000 y al cabo de un año recibo
800.000?
EJEMPLO 5
¿Cuál es la tasa de interés simple trimestral, si
invierto hoy 500.000 y al cabo de un año recibo
800.000?
EJEMPLO 6
EL INTERES SIMPLE
EJEMPLO 7
¿Cuál es la tasa de interés mensual, si con 500.000
dentro de seis meses se cancela una deuda
contraída hoy de de 380.000?
EJEMPLO 8
EL INTERES SIMPLE
EJERCICIO N° 1
Calcule los intereses que producirá un capital de
1.000.000 colocados a interés simple durante dos
años, 5 meses y 20 días, si la tasa es 20% anual
durante el primer año y 36% anual durante el resto
de la operación. 1 anho=360 dias
R: 730.000
EL INTERES SIMPLE
SOLUCION EJERCICIO N° 1
000
.
530
530
*
*
000
.
000
.
1
I
2
0
360
,
36
I=C.i.n
Intereses del primer año:
I
1
=1.000.000*0,20 = 200.000
Intereses del resto de la operación:
n = 360+150+20
n=530 días
EL INTERES SIMPLE
EJERCICIO N° 2
Colocamos 3.000.000 al 52% anual de interés
simple. A los 4 meses la tasa baja a 36% anual con
lo cual decidimos retirar 1.000.000 del capital.
Determine el monto final que podremos retirar 14
meses después de haber efectuado la colocación
EL INTERES SIMPLE
SOLUCION EJERCICIO N° 2
1
0,52
I
3.000.000 *
* 4
520.000
12
2
0,36
I
2.000.000 *
* 10
600.000
12
I
520.000 600.000
1.120.000
EL INTERES SIMPLE
EJERCICIO N° 3
Se coloca un capital por dos años. El primer año al
20% anual de interés simple y el segundo año al
30% anual de interés simple. A los nueve meses se
aporta una cantidad de dinero igual a los intereses
ganados hasta esa fecha. Determine el capital
inicial si el monto final a los dos años es de 425.625
EL INTERES SIMPLE
SOLUCION EJERCICIO N° 3
000
.
250
P
P
7025
,
1
)
P
4025
,
0
P
15
,
0
(
)
P
15
,
0
P
(
625
.
425
P
4025
,
0
3
,
0
*
)
P
15
,
0
P
(
3
*
12
2
,
0
*
)
P
15
,
0
P
(
I
P
15
,
0
9
*
12
2
,
0
*
P
I
I
P
625
.
425
2
1
EL INTERES SIMPLE
EJERCICIO N° 4
EL INTERES SIMPLE
SOLUCION EJERCICIO N° 4
VF
100.000.000(1 0,20 * 2)
VF
140.000.000
Valor futuro de la inversión al 20% en dos años:
Esto implica que no invertiría en el galpón porque puedo
obtener mas invirtiendo en el Banco.
126.000.000
VP
(1 0,20 * 2)
VP
90.000.000
Valor presente de la inversión en el galpón
Esto implica que no invertiría en el galpón porque puedo
obtener lo mismo dentro de dos años invirtiendo una
cantidad menor en el Banco.
EL INTERES SIMPLE
EJERCICIO N° 5
Se invierte un capital al 30% anual de interés
simple. Transcurridos dos años y tres meses se retira
la mitad del capital invertido. Ocho meses mas
tarde de esa fecha se retira una cantidad
equivalente a la cuarta parte del capital invertido
inicialmente. Si después de 10 meses, contados a
partir del último retiro, comprobamos que el total
de intereses ganados es de 50.250.000, ¿cuál fue el
capital invertido inicialmente?
EL INTERES SIMPLE
SOLUCION EJERCICIO N° 5
0,32
P 0,30
P *
* 27
P
* 8
12
2
12
P
P
0,30
(
) *
* 10
50.250.000
2
4
12
P
60.000.000
EL INTERES SIMPLE
EJERCICIO N° 6
Se colocó un capital a interés simple durante dos
años. El primer año al 24% anual y el segundo año
al 36% anual. A los 7 meses se aportó una cantidad
de dinero igual a los intereses ganados hasta esa
fecha. El monto al final de los dos años es de Gs.
3.157.700. Calcular el capital inicial.
EL INTERES SIMPLE
SOLUCION EJERCICIO N° 6
0,24
0,36
P
P *
* 12
P *
* 12
12
12
0,24
0,24
0,24
P *
* 7
P *
* 7 *
* 5
12
12
12
0,24
0,36
P *
* 7 *
* 12
3.157.700
Según la ley financiera aplicada
:
•
Operaciones a interés simple
Los intereses no producen intereses,
Solo el capital inicial produce intereses
•
Operaciones a interés compuesto
Los intereses se añaden al capital y producen intereses,
se capitalizan
P (o C o VA):
Capital inicial, capital
invertido o cantidad de dinero que
se toma o se da en pr
é
stamo
.
I:
Intereses generados.
F (o M o VF):
Monto o capital final.
Por definici
ó
n los intereses son:
I = M
–
C = F - P
Operaciones financieras en
régimen compuesto
Las
operaciones
en
régimen
compuesto
se
Operaciones financieras en
régimen compuesto
Características
Los intereses son productivos, lo que
significa que:
- A medida que se generan se acumulan al
capital inicial para producir nuevos
intereses en los períodos siguientes.
- Los intereses de cualquier período
Descripción de la operación
El capital final
“F”
se va formando por la
acumulación al capital inicial
“P”
de los
EL INTERES COMPUESTO
Gráficamente una operación de 3 periodos
0
1
2
3
INICIO
FIN
PRESENTE
FUTURO
F
P
I
1
= P.i
I
2
= F
1
.i
I
3= F
2.i
F = P + I = P + I
1
+ I
2
+ I
3
PARTES DE UN DIAGRAMA DE TIEMPO
0
1
2
3
INICIO
FIN
PRESENTE
HOY!!!!
FUTURO
PERIODO 1
PERIODO 2
PERIODO 3
MOMENTOS
PERIODO 1: INICIA EN EL MOMENTO “0” Y FINALIZA EN EL MOMENTO “1”
PERIODO 2: INICIA EN EL MOMENTO “1” Y FINALIZA EN EL MOMENTO “2”
PERIODO 3: INICIA EN EL MOMENTO “2” Y FINALIZA EN EL MOMENTO “3”
EL INTERES COMPUESTO
Desarrollo de una operación de 3 periodos
0
1
2
3
P
I
1= P.i
I
2= F
1.i
I
3= F
2.i
F = P + I = P + I
1
+ I
2
+ I
3
Momento 0: P
Momento 1: F
1
= P + I
1
= P + P.i = P (1 + i)
Momento 2: F
2= F
1+ I
2= F
1+ F
1.i = P (1 + i)
2Momento 3: F
3= F
2+ I
3= F
2+ F
2.i = P (1 + i)
3EL INTERES COMPUESTO
FORMULA
F = P (1 +i)
n
A partir de la expresi
ó
n anterior
(denominada f
ó
rmula
fundamental
de
la
capitalizaci
ó
n
compuesta)
no
solamente se puede calcular capital final (monto) sino que,
conocidos tres datos cualesquiera, se podr
í
a despejar el cuarto
restante.
La expresión es aplicable cuando la tasa de inter
é
s de la
operaci
ó
n se mantiene constante todos los per
í
odos.
Finalmente, hay que tener en cuenta que
«
n
»
lo que indica es
el n
ú
mero de veces que se han generado (y acumulado)
EL INTERES COMPUESTO
NOTACIONES Y FORMULA
F = P (1 + i)
n
F = P + I
i =
Tasa de interés en tanto por uno del periodo
P =
Capital inicial o Valor Presente(
VP
)
I =
Intereses generados / devengados.
n =
Nº de periodos (duración de la operación). Ojo
debe estar en la misma unidad de tiempo que la tasa
de interés
EL INTERES COMPUESTO
EL INTERES COMPUESTO
EL CAPITAL INICIAL (P) como el VALOR PRESENTE del
CAPITAL FINAL (F)
¿Qué suma “P” debo
invertir hoy para obtener
mañana una suma futura “F”?
n
i
F
P
)
1
(
Si
invierto hoy una suma “P” ¿
Qué suma futura
“F” obtendré mañana?
n
i
P
EL INTERES COMPUESTO
¿Cuál es el valor final de una inversión de
Gs. 1.000.000 colocados durante un año
al 3% mensual?
R:
1.425.760
¿Cuál ha sido la tasa de interés anual
simple ganada?
EL INTERES COMPUESTO
Usted
necesita
5.000
$
para
sus
vacaciones de Diciembre con la familia.
Si puede colocar el capital en un Banco
que paga el 1% mensualmente, ¿cuánto
debe depositar el 1
°
de Febrero si quiere
irse de vacaciones el 1
°
de Diciembre?
R:
$4.526
EL INTERES COMPUESTO
Calcular el monto final obtenido al invertir
$200 al 5% anual durante 10 años en
régimen de capitalización compuesta.
R:
$325,78
EL INTERES COMPUESTO
¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero
disponer dentro de 2 años de $1.500, si me
aseguran una tasa de interés anual de 6%
para ese plazo?
R:
$1.334,99
EL INTERES COMPUESTO
¿Qué intereses producirán $300 invertidos 4
años al 7% anual?
R:
$93,24
EL INTERES COMPUESTO
Determinar la tasa de interés anual a que
deben invertirse Gs. 1.000.000 para que en
12 años se obtenga un capital final de Gs.
1.601.030.
R:
4%
EL INTERES COMPUESTO
Un capital de 2.000 euros colocado a interés
compuesto al 4% anual asciende a 3.202
euros. Determinar el tiempo que estuvo
impuesto.
R:
12 años
EL INTERES COMPUESTO
Compare el interés simple con el interés
compuesto. Grafique
F=f(n)
Datos:
P = C = Gs. 1.000.000
n= 5 años
i= 10% anual
PLAZO
SIMPLE
COMPUESTO
1 año
0
1,000,000
1,000,000
1 mes
1,008,333
1,007,974
2 meses
1,016,667
1,016,012
3 meses
1,025,000
1,024,114
4 meses
1,033,333
1,032,280
5 meses
1,041,667
1,040,512
6 meses
1,050,000
1,048,809
7 meses
1,058,333
1,057,172
8 meses
1,066,667
1,065,602
9 meses
1,075,000
1,074,099
10 meses
1,083,333
1,082,665
11 meses
1,091,667
1,091,298
12 meses
1,100,000
1,100,000
2 años
24 meses
1,200,000
1,210,000
3 años
36 meses
1,300,000
1,331,000
EL INTERES COMPUESTO
La tasa de interés
Frecuencia de capitalización (m):
Número de veces que
se capitalizan los intereses en un año.
Ejemplos:
EL INTERES COMPUESTO
La tasa de interés
Tasa Nominal (J):
tasa de interés convenida en la operación
financiera, referida a un año.
Tasa Proporcional o del Periodo (i):
tasa de interés
vigente en el periodo. Resulta de dividir la Tasa Nominal “J” entre la
frecuencia de capitalización “m”
m
J
tasa
i
cap.
frecuencia
nominal
Tasa Efectiva (i
e
):
es la tasa real de ganancia anual. Se puede
definir como la tasa de interés simple que produce el mismo interés
en un año que la Tasa Nominal “J” capitalizada “m” veces al año
EL INTERES COMPUESTO
La tasa de interés
Tasas Equivalentes:
Dos o más tasas de interés son
equivalentes
cuando capitalizándose periodos distintos, generalmente
menores a un año, el monto final obtenido en igual tiempo (en la práctica
un año
) es el mismo. Dicho de otra manera, dos tasas son
equivalentes
si tienen la misma
tasa de interés efectiva
.
2
1
(
1
)
)
1
(
2
2
1
1
k
k
k
J
k
J
Tasa nominal: J
1
Frecuencia anual: k
1
Tasa nominal: J
2
EL INTERES COMPUESTO
La tasa de interés
Periodos fraccionarios
Convenio
lineal
Los intereses de la
fracción se calculan a
interés compuesto
Convenio
exponencial
Los intereses de la
EL INTERES COMPUESTO
¿Cuál es el valor final de una inversión de
Gs. 1.000.000 colocados durante un año al
36% anual capitalizable mensualmente?
R:
1.425.760
¿Cuál ha sido la tasa anual de ganancia
real?
EL INTERES COMPUESTO
¿Cual es la tasa efectiva de la operación si
colocamos Gs. 1.000.000 al 24% nominal anual
convertible trimestralmente durante dos años?
R:
26,25%anual
Ejercicio Nº10
Ejercicio Nº11
Hallar la tasa nominal anual capitalizable
cuatrimestralmente que es equivalente a 60%
nominal anual capitalizable mensualmente.
EL INTERES COMPUESTO
Hallar la tasa efectiva equivalente a 48% nominal
anual capitalizable mensualmente
R: 60,10%
Ejercicio Nº12
Un inversionista coloca su capital a una tasa de 20%
nominal anual capitalizado trimestralmente, durante
15 años. El total de intereses devengados entre final
del año 6 y finales del primer trimestre del año 9 es
177.808,86. Determine el capital acumulado al final
de los 15 años.
R: 1.867.918
EL INTERES COMPUESTO
Se colocan $. 1.000 a 36% n.a. por un año. Completar la siguiente
tabla:
Ejercicio Nº14
Frecuencia de
capitalización
Tasa del
periodo
efectiva
Tasa
Capital
Final
Tasa equivalente
trimestral
Anual
Semestral
Cuatrimestral
Trimestral
Bimestral
DESCUENTO
El descuento es la disminución que
experimenta un capital cuando se
anticipa su disponibilidad.
Es la deducción que se efectúa sobre
un documento pagado antes de su
vencimiento.
Es una operación financiera que
TIPOS DE DESCUENTO
DESCUENTO
COMPUESTO
SIMPLE
DESCUENTO RACIONAL
O MATEMATICO
DESCUENTO COMERCIAL
O BANCARIO
AMBOS
DESCUENTOS
UTILIZAN LAS LEYES
FINANCIERAS DE
CAPITALIZACION
SIMPLE PARA EL
CALCULO DE LOS
DESCUENTO
En una operación de descuento el punto de partida es un valor futuro conocido
(N) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en
las que se quiere hacer esta anticipación: duración de la operación (tiempo que se
anticipa el valor futuro) y tasa de interés/descuento aplicado.
El capital que resulte de la operación de descuento (Valor Actual o Presente
–
V
–
)
será de cuantía menor, siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses
que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento.
V
DESCUENTO COMERCIAL
Los intereses generados en la operación se calculan sobre el nominal (N) empleando una
tasa de descuento (d).
En este caso resulta más interesante calcular primero el descuento (D) y posteriormente
el valor actual (V).
Como el descuento es la suma de los intereses generados en cada uno de los períodos
descontados (n), y en cada período tanto el capital considerado para calcular los
intereses como la propia tasa de descuento se mantienen constantes, resulta:
D = N x d + N x d + … + N x d = N x n x d
<--->
n veces
El Valor Actual (V) se obtiene por diferencia entre el Valor Nominal (N) y el descuento
(D):
V = N
–
D = N
–
N x n x d = N x (1
–
n x d)
DESCUENTO RACIONAL
Los intereses generados en la operación se calculan sobre el Valor Actual (V) empleando
una tasa de interés (i).
En este caso también resulta más interesante calcular primero el descuento (D) y
posteriormente el valor actual (V).
Como el descuento es la suma de los intereses generados en cada uno de los períodos
descontados (n), y en cada período tanto el capital considerado para calcular los
intereses como la propia tasa de interes se mantienen constantes, resulta:
D = V x i + V x i + … + V x i = V x n x i
<--->
n veces
El Valor Actual (V) se obtiene por diferencia entre el Valor Nominal (N) y el descuento
(D):
RELACION ENTRE DESCUENTO RACIONAL Y COMERCIAL
Descuento Racional, (i es la tasa de interés del periodo)
V x (1 + n x i )= N … (1)
Descuento Comercial, (d es la tasa de descuento del
periodo)
V = N x (1
– n x d) … (2)
Haciendo (1) / (2)
(1 + n x i )= 1 / (1
–
n x d)
Despejando “d” se tiene
Despejando “i” se tiene
DESCUENTO COMPUESTO
Los intereses generados en la operación se calculan sobre el valor ACTUAL (V) empleando
una tasa de interés (i), utilizando el régimen compuesto.
D = N
–
V
DESCUENTO COMPUESTO
Los intereses generados en la operación se calculan sobre el valor ACTUAL (V) empleando
una tasa de interés (i), utilizando el régimen compuesto.
D = N
–
V
PAGARE
Nro.:
01/04
Vencimiento:
30-07-2009.-
Monto:
Gs.3.000.000-Asunción, 26 de MARZO de 2009.
El día
TREINTA DE JULIO DEL AÑO DOS MIL NUEVE PAGARE
(PAGAREMOS) solidariamente, libre de gastos y sin
protesto, a... en su domicilio, de... o a
su orden, la cantidad de
GUARANIES TRES MILLONES
por igual valor recibido a mi (nuestra) entera
satisfacción.-Este pagare a la orden, devengara un interés de 1,5 % mensual, desde la fecha de su vencimiento hasta el día de
su pago en efectivo. En caso de retraso o incumplimiento total o parcial a la fecha de su vencimiento quedara
constituida la mora automáticamente, sin necesidad de interpelación alguna y hará decaer de pleno derecho los
plazos de las cuotas no vencidas en cuyo caso, el acreedor podrá exigir el pago total del saldo adeudado, como
obligación vencida por la vía del juicio ejecutivo. Este documento autoriza en forma irrevocable a la consulta y a
la inclusión a la base de datos de informaciones comerciales conforme a lo establecido en la Ley 1682, como
también para que se pueda proveer la información a terceros interesados. A los efectos Legales y Procesales nos
sometemos a la jurisdicción de los tribunales de la ciudad de Asunción y renunciando a cualquier otra que
pudiera
corresponder.---Nombre (o sello social): NECESITO GUARANIES
C.I Nro.:4.281.868
SUSTITUCION DE DOCUMENTOS
Puede darse la necesidad de sustituir un documento de
crédito por otros varios, o varios documentos de créditos por
otros varios.
La operación de sustitución de documentos puede clasificarse
en: VENCIMIENTO COMUN y VENCIMIENTO MEDIO.
VENCIMIENTO COMUN: cuando el total de los valores
nominales entregados por una parte, es DISTINTO al total de
los valores nominales entregados por otra parte.
VENCIMIENTO MEDIO: cuando el total de los valores
DESCUENTO
Una empresa descuenta hoy en un banco un
pagaré y recibe por eso la suma de Gs. 166.666,67.
Si la tasa de descuento anual es de 60% comercial
y el vencimiento es dentro de cuatro meses, ¿Cuál
es el valor nominal de la deuda?
R: 208.333,34 Gs.
DESCUENTO
Una empresa descuenta hoy un documento a
descuento
comercial
por
el
cual
recibe
Gs. 879.121.
Si la tasa de descuento es de 55% anual y el valor
nominal es de Gs. 1.000.000, ¿Cuánto tiempo falta
para el vencimiento de la obligación?
R: 79 días
DESCUENTO
Una deuda tiene hoy un valor de $10.000 y vence
dentro de seis meses al 10% de interés simple
anual. Un comprador compra la deuda con un
descuento comercial del 12% anual, 3 meses
antes de su vencimiento. a) Cuánto paga por ella ?
R: $10.185
DESCUENTO
Juan le debe hoy 5.000 $ a María y acuerdan firmar
un documento a 90 días. Si María descuenta el
documento en un Banco que aplica descuento
comercial del 50% anual, ¿ cuál debe ser el valor
nominal del documento para que María reciba hoy
5.000 $ del Banco ?
R: $5.714,29
DESCUENTO
En $ 4.200 hoy me descuentan un documento
con valor nominal de $5.000, el cual había sido
firmado hace dos meses por un préstamo de $
4.000.
¿Cuál es la fecha de vencimiento si los intereses
que se cargaron fueron del 30% simple anual?.
¿Cuál es la tasa de descuento comercial?
R: 10 meses,24%anual
SUSTITUCION DE DOCUMENTOS
La SUSTITUCION DE DOCUMENTOS SE REALIZA
INDEPENDIENTEMENTE DEL TIPO DE DESCUENTO, y en TODOS
LOS CASOS se basa en el mismo PRINCIPIO DE EQUIDAD,
IGUALDAD DE LOS VALORES ACTUALES DE LOS DOCUMENTOS
QUE SE SUSTITUYEN.
PRINCIPIO DE EQUIDAD
La suma de los valores actuales de las nuevas
obligaciones debe ser igual a la suma de los
SUSTITUCION DE DOCUMENTOS
Puede darse la necesidad de sustituir un documento de
crédito por otros varios, o varios documentos de crédito por
otros varios.
Las operaciones de sustitución de documentos pueden
clasificarse en
-
VENCIMIENTO COMUN: cuando el total de los valores
nominales entregados por una parte, es DISTINTO al total de
los valores nominales entregados por la otra parte.
-
VENCIMIENTO MEDIO: cuando el total de los valores
SUSTITUCION DE DOCUMENTOS
VENCIMIENTO COMUN: cuando el total de los valores
nominales entregados por una parte, es DISTINTO al total de
los valores nominales entregados por otra parte.
En estos problemas, en general, se reemplazan varios
documentos por uno solo.
Si es así, en el vencimiento común podemos estar frente a:
1- DETERMINAR EL VALOR NOMINAL DEL DOCUMENTO UNICO
2-DETERMINAR LA FECHA DE VENCIMIENTO DEL DOCUMENTO
UNICO.
SUSTITUCION DE DOCUMENTOS
VENCIMIENTO MEDIO: cuando el total de los valores
nominales entregados por una parte, es IGUAL al total de los
valores nominales entregados por otra parte.
En estos problemas, se reemplazan varios documentos por
uno solo, de VALOR NOMINAL CONOCIDO...(¿¿POR QUE??)
En el vencimiento medio podemos estar frente a:
1- DETERMINAR EL VALOR NOMINAL DEL DOCUMENTO UNICO
2-DETERMINAR LA FECHA DE VENCIMIENTO DEL DOCUMENTO
UNICO.
DESCUENTO
Se
tienen
dos
obligaciones
con
valores
nominales de 100.000 y 50.000 y vencimientos a
30 y 60 días respectivamente y se quieren
sustituir por una nueva obligación. ¿Cuál es el
valor nominal de la nueva deuda si el
vencimiento común es a 90 días y en la
operación se utiliza descuento comercial del
30% anual?
R: 156.756
DESCUENTO
Se acepta como parte de pago de una
mercancía tres pagos con los montos y plazos
siguientes: 180.000 a 4 meses, 150.000 a 7 meses
y 175.000 a 10 meses. Transcurridos dos meses
se decide sustituir esta modalidad de pago por
una cancelación única de 490.000.
a) Determine el vencimiento común si se aplica
el 35% anual de descuento comercial.
b) Determine el vencimiento medio.
R: 122 días, 149 días
DESCUENTO
Ejercicio Nº7
Ecuación de Valor:
DESCUENTO
Ejercicio Nº7
Ecuación de Valor:
DESCUENTO
Una persona debe 3 pagarés por 10.000, 15.000 y
20.000 que vencen a los 30, 60 y 90 días
respectivamente. Determine el vencimiento
medio si se aplica la tasa de descuento de 24%
anual.
R:
días
DESCUENTO
Ejercicio Nº8
Ecuación de Valor:
DESCUENTO
Se adquiere un pagaré con vencimiento en 14 meses
descontado a una tasa de descuento racional de 36%
anual. Transcurridos 6 meses se descuenta este pagare a
una tasa de descuento comercial del 32 % anual. El
dinero obtenido se coloca en un Banco a una tasa de
48% nominal anual con capitalización mensual. Seis
meses mas tarde, con el dinero que tiene esa cuenta, se
adquiere otro pagaré con vencimiento en 10 meses,
valor nominal 1.000.000 y descontada a una tasa de
descuento comercial de 54 % anual. Determine el valor
nominal del primer pagaré.
QUE CANTIDAD DE INTERESES GANE EN LA PRIMERA
OPERACIÓN?
R: 552.550,41
DESCUENTO
Ejercicio Nº9
Ecuación de Valor:
)
10
*
12
54
,
0
1
(
000
.
000
.
1
)
12
48
,
0
1
)(
8
*
12
32
,
0
1
(
x
6
Dto. a 32%
6
0
Compro V
n=1 MM
vcto:10 meses
12
RENTAS
Recibe el nombre de RENTA a toda sucesión de pagos o
depósitos realizados con regularidad.
Cada uno de los pagos que constituye dicha sucesión se
denomina término de la renta, y el intervalo que media entre un
pago y otro es el periodo de la renta.
Ejemplos:
-
EL CONJUNTO DE LAS CUOTAS DE IMPOSICIÓN DESTINADAS A
FORMAR UN CAPITAL CONSTITUYEN UNA RENTA.
-
EL CONJUNTO DE LAS ANUALIDADES DE AMORTIZACIÓN
DESTINADAS A REEMBOLSAR UNA DEUDA CONSTITUYEN UNA
RENTA.
Las Rentas se clasifican según estos criterios:
RENTAS
Las Rentas Ciertas, que se estudian en la Matemática
Financiera, pueden ser:
Según el número de términos : Temporarias o Perpetuas.
Ambas pueden clasificarse :
Según la época de iniciación de los pagos: Inmediatas;
Diferidas y Anticipadas. A esta última se les conoce como
Imposiciones.
Según la frecuencia relativa de los pagos y de las
capitalizaciones: Periódicas (Sincrónicas); Fraccionadas
(Asincrónicas) y Continuas.
RENTAS
Época Inicial y Época de la Valuación:
La época inicial es el comienzo del período en el cual se hace
el primer pago.
La época de la valuación es aquella en la que se estima el
valor
que representa todos los términos de la renta.
Ejemplo:
En las
IMPOSICIONES,
la época de la valuación es al cabo del
último periodo
, fecha en la cual se ha formado el monto “F”.
En las
AMORTIZACIONES PROGRESIVAS,
la época de la
valuación es el
principio del primer periodo
, fecha en la que
RENTAS
Época Inicial y Época de la Valuación:
Con respecto a la época inicial y la época de la valuación las
rentas se clasifican en:
1- Inmediatas: Época Inicial = Época de la Valuación
2- Anticipada: Época Inicial es anterior a la Época de
Valuación; por lo tanto habrá algunos términos de la renta
que están situados en épocas anteriores a la de la valuación.
3- Diferida: Época Inicial es posterior a la fecha de la
IMPOSICIONES
La imposición es una operación financiera que consiste
en efectuar depósitos en forma de cuotas periódicas en
bancos o instituciones financieras, en periodos
regulares de tiempo, con el fin de constituir en el
futuro
una suma de dinero en determinado plazo; es
un régimen de
ahorro programado.
Las cuotas que se IMPONEN pueden ser CONSTANTES O
VARIABLES.
IMPOSICION SINCRONICA:
coincide
el periodo de pago
de las cuotas con el periodo de capitalización de los
intereses.
IMPOSICION ASINCRONICA:
no coincide
el periodo de
pago de las cuotas con el periodo de capitalización de
Reglas básicas
Para
poder
comparar
dos
capitales en distintos instantes,
hay que hallar el equivalente de
los
mismos
en
un
mismo
momento,
y
para
ello
CUOTAS VENCIDAS
0
1
2
3
4
5
n-3
n-2
n-1
n
“n” CUOTAS
VENCIDAS
“c” CONSTANTES
“n” PERIODOS, tasa “i”
periodica
CUOTAS ADELANTADAS
0
1
2
3
4
5
n-3
n-2
n-1
n
“n” CUOTAS ADELANTADAS “c” CONSTANTES
IMPOSICIONES
LA IMPOSICION CUOTAS ADELANTADAS
0
1
2
3
4
5
n-3
n-2
n-1
n
MONTO O CAPITAL CONSITUIDO
“n” CUOTAS ADELANTADAS “c” CONSTANTES
IMPOSICIONES
LA IMPOSICION CUOTAS VENCIDAS
0
1
2
3
4
5
n-3
n-2
n-1
n
MONTO O CAPITAL CONSITUIDO
VALOR FUTURO “F”
“n” CUOTAS VENCIDAS “c” CONSTANTES
RENTA
LA RENTA
–
PAGOS ADELANTADOS
0
1
2
3
4
5
n-3
n-2
n-1
n
“n” CUOTAS ADELANTADAS “c” CONSTANTES
“n” PERIODOS, tasa “i”
periodica
MONTO O
CAPITAL
TOMADO EN
RENTA
LA RENTA
–
PAGOS VENCIDOS
0
1
2
3
4
5
n-3
n-2
n-1
n
MONTO O
CAPITAL
TOMADO EN
PRESTAMO
“P”
VALOR PRESENTE
“n” CUOTAS
VENCIDAS
“c” CONSTANTES
i=10%
P=45,32
0
1
2
3
4
5
30
40
P
0
1
2
3
4
5
20
P
20
20
20
0
1
2
3
4
5
A
60
A
A
A
0
1
2
3
4
5
A
50
A
A
A
122 Ing. Luis A. Centurión
DETERMINE “P” DE MANERA QUE LOS INGRESOS Y LOS EGRESOS EVALUADOS EN
i=7%
P=45,844
0
1
2
3
4
5
20
P
20
20
20
0
1
2
3
4
5
A
60
A
A
A
0
1
2
3
4
5
30
F
30
20
20
6
7
20
30
30
F
A+600
3.000
A+400
A+200
A
0
1
2
3
4
5
A
50
A
A
A
123 Ing. Luis A. Centurión
