Derivada de una funci´on en un punto.
Derivada de una funci´on en un punto
Sea f : D ⊂R −→R una funci´on real de variable real y a ∈ D definimos la derivada de f en el
punto a ∈ D como
f′(a) = l´ım
h→0
f(a+h)−f(a)
h
a a+h
f(a+h)−f(a)
h f′
(a) = l´ım h→0
f(a+h)−f(a)
h
b
A
b
B
b
Derivada de una funci´on en un punto.
Ejemplo. Dada la funci´on f(x) = x2 calcular f′(a) para cualquier valor de a.
f′(a) = l´ım
h→0
f(a+h)−f(a)
h = l´ımh→0
(a+h)2 −a2
h = l´ımh→0
a2 + 2ah+h2 −a2 h
l´ım
h→0
✓✓
h(2a+h)
✓h✓ = 2a
Ejemplo Dada la funci´on f(x) = lnx calcular f′(a) para cualquier valor de a.
f′(a) = l´ım
h→0
f(a+h)−f(a)
h = l´ımh→0
ln(a+h)−lna
h = l´ımh→0
ln
a+h a
h = l´ımh→0
ln
1 + h
a
h
l´ım
h→0
ln
1 +
1
a h
h = l´ımh→0
1
h ln
1 +
1
a h
= l´ım
h→0
1
a a hln
1 +
1 a h = 1
ahl´ım→0ln
1 +
1 a h a h 1 a ln l´ım
h→0
1 +
1 a a h = 1
alne=
1
Derivada de una funci´on en un punto. Funci´on derivada
Derivada de una funci´on en un punto
Sea f : D ⊂ R −→R una funci´on real de variable real y a ∈ D definimos la la funci´on derivada de f
como la funci´on que a cada valor de x ∈ D le asigna f′(x)
f′(x) = l´ım
h→0
f(x+h)−f(x)
h
Ejemplo
Derivada de una funci´on en un punto. Interpretaci´on geom´etrica.
Derivada de una funci´on en un punto. Interpretaci´on geom´etrica.
Sea f : D ⊂ R −→R una funci´on real de variable real y a ∈ D la derivada de la funci´on f es igual a
la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (a, f(a)). La ecuaci´on de dicha
recta
y −f(a) = f′(a)(x−a)
a a+h
f(a+h)−f(a)
h y−f(a) =f′
(a)(x−a)
b
A
b
B
b
Derivadas de funciones elementales
Funci´on Derivada
f(x) = K f′(x) = 0
f(x) = x f′(x) = 1
f(x) = xn f′(x) = nxn−1 f(x) = 1
x f
′(x) = − 1 x2
f(x) = g(x)
x f
′(x) = −g′(x) x2
f(x) = 1
xn f′(x) = −
n xn+1
f(x) = g(x)
xn f′(x) = −
ng′(x)
xn+1
f(x) = (g(x))n f′(x) = ng(x)n−1 ·g′(x)
f(x) = √x f′(x) = 1
2√x
f(x) = pg(x) f′(x) = g
′(x)
2pg(x)
f(x) = √n
x f′(x) = 1
n√n
xn−1
f(x) = pn
g(x) f′(x) = g′(x)
npn
Derivadas de funciones elementales
Funci´on Derivada
f(x) = ex f′(x) = ex
f(x) = eg(x) f′(x) = eg(x)·g′(x)
f(x) = ax f′(x) = ax·lna
f(x) = ag(x) f′(x) = ag(x) ·lna·g′(x)
f(x) = lnx f′(x) = 1
x
f(x) = lng(x) f′(x) = g′(x)
g(x)
f(x) = logax f′(x) =
1
x ·
1 lna f(x) = logag(x) f′(x) = g′(x)
Derivadas de funciones elementales
Funci´on Derivada
f(x) = senx f′(x) = cosx
f(x) = seng(x) f′(x) = cosg(x)·g′(x)
f(x) = cosx f′(x) = −senx
f(x) = cosg(x) f′(x) = −seng(x)·g′(x)
f(x) = tgx f′(x) = tg2x+ 1 = 1
cos2x = sec
2x
f(x) = tgg(x) f′(x) = (tg2g(x) + 1)·g′(x)
f(x) = arc senx f′(x) = √ 1
1−x2
f(x) = arc seng(x) f′(x) = p g′(x)
1−g(x)2
f(x) = arc cosx f′(x) = √ −1
1−x2
f(x) = arc cosg(x) f′(x) = −g
′(x)
p
1−g(x)2
f(x) = arc tgx f′(x) = g
′(x)
1 +x2
f(x) = arc tgg(x) f′(x) = g
′(x)
Reglas de derivaci´on
Reglas de derivaci´on
1 (c·f)(x) = (c·f)′(x) = c·f′(x) 2 (f +g)′(x) = f′(x) +g′(x)
3 (f ·g)′(x) = f′(x)·g(x) +f(x)·g′(x)
4
f g
′
(x) = f′(x)·g(x)−f(x)·g′(x)
g2(x)
Ejemplos
f(x) = 5x3 f′(x) = 15x2
f(x) = 3x2 + 5
x f
′(x) = 6x− 5 x2
f(x) = 3x4senx f′(x) = 12x3senx+ 3x4cosx = 3x3(4 senx+xcosx)
f(x) = lnx
x f
′(x) =
1
x ·x−lnx·1
x2 =
1−lnx
Regla de la cadena
Regla de la cadena
f : D ⊂ R−→ R y g : D′ ⊂ R −→R entonces
(f ◦g)′(x) = f′(g(x))·g′(x)
Ejemplo
f(x) = x2 + 3x3 f′(x) = 3 x2 + 3x2(2x+ 3)
f(x) = √lnx f′(x) = 1 2√lnx ·
1
x =
1 2x√lnx
f(x) = earc tgx f′(x) = earc tgx· 1
1 +x2 =
earc tgx
Derivada de una funci´on en un punto. Interpretaci´on geom´etrica.
Ejemplo. Calcular la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y = lnx en el punto x = 1.
1 2 3
−1
−2
1 2 3 4
−1
−2
−3
b
f′(x) = 1
x f
′(1) = 1
1 = 1
Derivada de una funci´on en un punto. Interpretaci´on geom´etrica.
Ejemplo calcula la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y = x
x+ 1 en x = 1
1 2 3 4
−1
−2
1 2 3 4
−1
−2
−3
b
P(1, f(1))
Hallamos la derivada de la funci´on
f′(x) = 1·(x+ 1)−x·1
(x+ 1)2 =
1 (x+ 1)2
Calculamos la pendiente de la recta tangente
m = f′(1) = 1
Derivada de una funci´on en un punto. Interpretaci´on geom´etrica.
Ejemplo Hallar el punto de la curva f(x) =−1
x cuya tangente sea paralela a la bisectriz del primer cuadrante.
bisectriz del primer cuadrante =⇒y=x
Por tanto como ambas rectas deben ser paralelas la recta tangente debe tener como pendiente
m = 1⇒m =f′
(x)⇒f′
(x) = 1
f′
(x) = 1
x2 ⇒1 =
1
x2
x2 = 1 ⇒x=±√1⇒x= 1 x=−1
1 2 3 4 5
−1
1 2 3 4
−1 −2 −3
b
A
b
Derivada de una funci´on en un punto. Derivadas laterales
Derivadas laterales. Funci´on derivable en un punto x=a
Dada una funci´on f : D ⊂ R−→ R una funci´on real de variable real y a ∈ D definimos las
derivadas laterales de la funci´on f en el punto x = a
Derivada por la derecha
f′(a+) = l´ım
h→0+
f(a+h)−f(a)
h
Derivada por la izquierda
f′(a−) l´ım
h→0−
f(a+h)−f(a)
h
Diremos que la funci´on f es derivable en el punto x = a si las derivadas laterales coinciden
Derivada de una funci´on en un punto. Derivadas laterales
Estudiar la derivabilidad y la continuidad de la funci´on
f(x) =
x2 si x ≤0
x si x > 0
1 2 3 4 5
−1
−2
1 2 3 4
−1
−2
Derivada de una funci´on en un punto. Derivadas laterales
Estudiar la derivabilidad y la continuidad de la funci´on
f(x) =
x2 si x ≤0
x si x > 0
Las funciones que definen la funci´on son polinomios por tanto continuas y derivables en R por tanto
estudiaremos la continuidad y derivabilidad en x = 0 Para estudiar la continuidad hallaremos los
l´ımites laterales
l´ım
x→0
x <0
f(x) = 0 l´ım
x→ 0
x >0
f(x) = 0 = f(0)
La funci´on es continua en x = 0
Hallamos la funci´on derivada
f′(x) =
2x si x ≤ 0
1 si x > 0 Hallamos las derivadas laterales
f′(0−) = 0 f′(0+) = 1
Las derivadas laterales no coinciden por tanto la funci´on no es derivable en x = 0.
En resumen
Es continua en todo R.
Derivada de una funci´on en un punto. Derivadas laterales
Se considera la funci´on real de variable real
f(x) =
2x2 −3x+ 1 si x ≤1
lnx si x > 1
Estudiar la continuidad en x = 1
Esbozar su gr´afica.
Calcular la ecuaci´on de la recta tangente a dicha gr´afica en x = 1
Para estudiar x = 1 estudiamos los l´ımites laterales
l´ım
x→1
x <1
f(x) = l´ım
x→1
x <1
2x2−3x+ 1 = 2−3 + 1 = 0
l´ım
x→1
x >1
f(x) = l´ım
x→1
x >1
ln = ln 1 = 0
Por tanto
l´ım
x→1f(x) = 0 = f(1) = 2−3 + 1 = 0
Derivada de una funci´on en un punto. Derivadas laterales
Gr´afica
1 2 3 4
−1
−2
−3
1 2 3 4 5 6 7
−1
Derivada de una funci´on en un punto. Derivadas laterales
f(x) =
2x2 −3x+ 1 si x ≤1
lnx si x > 1
Vamos a calcular f′(1). Para ello debemos calcular las derivadas laterales
f′(x) =
(
4x−3 si x ≤ 1
1
x si x > 1
f′(1+) = 4·1−3 = 1 f′(1−) = 1
1 = 1 ⇒ Las derivadas laterales coinciden
la funci´on es derivable en x = 1
f′(1) = 1
Calculamos
f(1) = 2−3 + 1 = 0
Por tanto la ecuaci´on de la recta tangente ser´a
y−f(1) = f′(1)(x−1)⇒ y −0 = x−1
