TEMA 6

(1)

TEMA 6

Heterocedasticidad y

autocorrelación serial del error

Econometría y predicción Matilla, M., Pérez, P. y Sanz, B. McGraw Hill

(2)

Heterocedasticidad y autocorrelación

Econometría y predicción. Matilla, M., Pérez, P. y Sanz, B. McGraw Hill

• Los supuestos 6 y 7 postulan que los errores son

– Homocedásticos

– No autocorrelacionados

• Veremos en este capítulo las consecuencias de su

incumplimiento, cómo detectarlo y cómo arreglar

el problema, caso de que exista

(3)

Significado de los supuestos

matriz ’

 

2

1 1 1 2 1

2

2 2 1 2 2

1 2

2 1

( ')

n

n n

n n n

     

  

   

 

   

   

       

 

   

   

εε

(4)

Significado de los supuestos

’ con homocedasticidad y no autocorrelación

2 2

1 1 2 1 2

2

2 1 2 2 2 2

2

1 2

0 0 0

0 0

( ') 0 0

0

n

n n

E E

     

 

  



 

   

   

      

   

 

   

 

εε I

(5)

Significado de los supuestos

’ con heterocedasticidad y no autocorrelación

2 2 1

1 1 2 1 2

2 2

2 1 2 2 2 2

3 2

1 2

0 0 0

0 0

( ') 0 0

0

n

n n

n

E E

     

 

  



 

   

   

      

   

 

     

εε I

(6)

Significado de los supuestos

’ con homocedasticidad y autocorrelación

2

1 2 1

2

1 1 2 1 2

1 1

2

2 1 2 2 2 2

2 1

2

1 2

1

( ')

n n

n

n n

n

E E

   

    

  

    

    

  

 



 

   

   

      

   

 

     

I

(7)

Incumplimiento: consecuencias

• Respecto a la insesgadez, de ^𝛃 ^{= (𝐗} ^′ ^𝐗) ^−𝟏 ^𝐗 ^′ ^𝐘

• Y lo único que necesitamos para probar que

• Es el supuesto de exogeneidad

ˆ   ( )

^1

 β β X'X X'

( | ˆ )

E β X  β

(8)

Incumplimiento: consecuencias

• Lo mismo cabe decir de la consistencia:

• Para que ^{𝑝lim 𝑥} _𝑖 ^𝜀 _𝑖 ^{= 0} solo necesitamos el supuesto de exogeneidad

1 1 2

ˆ

ˆ lim

lim lim

i i i

x x

p x

p p x

  

 

 

(9)

Incumplimiento: consecuencias

• Con los supuestos de homocedasticidad y no autocorrelación, establecimos que

• Y según el teorema de Gauss Markov, no hay ningún estimador lineal e insesgado con una varianza menor que 𝜎 _𝜀 ² (𝐗 ^′ 𝐗) ⁻¹ (estimador óptimo)

• Pero sin los supuestos 6 y 7, la varianza ya no responde a esa expresión y el estimador no es óptimo

2 1

var( ) β ˆ   _ ( X'X )

^

(10)

Incumplimiento: consecuencias

La varianza del estimador 𝛃 viene dada por:

𝐸(𝛃 − 𝛃) ² = 𝐸 (𝐗 ^′ 𝐗) ⁻¹ 𝐗 ^′ 𝜀𝜀 ^′ 𝐗(𝐗 ^′ 𝐗) ⁻¹ Con los supuestos 6 y 7,

𝐸 (𝐗 ^′ 𝐗) ⁻¹ 𝐗 ^′ 𝜀𝜀 ^′ 𝐗(𝐗 ^′ 𝐗) ⁻¹ = 𝐗 ^′ 𝐗 ⁻¹ 𝐗 ^′ 𝐸 𝜀𝜀 ^′ 𝐗 𝐗 ^′ 𝐗 ⁻¹ = = 𝐸 𝜀𝜀 ^′ 𝐗 ^′ 𝐗 ⁻¹ 𝐗 ^′ 𝐗 𝐗 ^′ 𝐗 ⁻¹ = 𝜎 _𝜀 ² 𝐗 ^′ 𝐗 ⁻¹ Pero sin los supuestos 6 y 7, 𝐸 𝜀𝜀 ^′ ≠ 𝜎 _𝜀 ² y

𝑣𝑎𝑟(𝛽 ) ≠ 𝜎 _𝜀 ² (𝐗 ^′ 𝐗) ⁻¹

ya no es posible garantizar que el estimador sea óptimo ni hacer

inferencia válida a partir de esa expresión

(11)

Detección de heterocedasticidad

Hay métodos gráficos [I+D=f(ventas, beneficios)]

-8,000 -6,000 -4,000 -2,000 0 2,000 4,000 6,000 8,000

0 4,000 8,000 12,000 16,000 20,000 24,000 beneficios

resid

(12)

Detección de heterocedasticidad

Hay métodos gráficos [I+D=f(ventas, beneficios)]

-8,000 -6,000 -4,000 -2,000 0 2,000 4,000 6,000 8,000

0 4,000 8,000 12,000 16,000 20,000 24,000 beneficios

resid

(13)

Detección de heterocedasticidad

Breusch-Pagan : ^𝜀 _𝑖 ² ^{= 𝛽} ₀ ^{+ 𝛽} ₁ ^𝑋 _1𝑖 ^{+ ⋯ + 𝛽} _𝑘 ^𝑋 _𝑘𝑖 ^{+ 𝑢} _𝑖

H ₀ :  ₁ =  ₂ =…=  _k =0, se contrasta con el estadístico nR ²   ² (k)

White: igual, pero añade cuadrados y productos cruzados de todas las X

Para el ejemplo anterior, I+D=f(ventas, beneficios)

• B-P:  ² ₍₂₎ =9.42, p-valor=0.009

• White:  ² ₍₅₎ =16.02, p-valor=0.007

(14)

Corrección heterocedasticidad

• Si la ^var( ^ _i ^) ^ ² pero conocemos su movimiento, por ejemplo ^var( ^ _i ⁾ ^{ h(X} _i ^), MCG es la solución

• Consiste en transformar el modelo de forma que en el nuevo el error sea homocedástico

• Si en ^Y _i ^  ₀ +  ₁ X _i +  _i , ^var(  _i ) = X _i ² ,

0 1

1 1 1

y var var( ) 1

i i i

i i i i

i

i i

i

Y X

X X X X

X cte

X X

X

  

   

  

 



  

 

   

 

 

(15)

Corrección heterocedasticidad,

En la práctica la varianza del error no se conoce, lo que invalida MCG.

En su lugar, se estima dicha varianza y dando por válida esa estimación, se aplica MCG. Este

procedimiento se conoce como MCGF

Una forma muy utilizada es estimar ^h(X) a partir de,

2

0 1 1 2 2

2

ln( ˆ ) ... , y

ˆ ( ) exp ln( ˆ )

i i i k ki i

i

X X X e

h X

    



     

 

  

(16)

Corrección de la heterocedasticidad

• Otra opción es usar un estimador robusto a la heterocedasticidad

• Hemos visto que en regresión simple,

• Con no autocorrelación y heterocedasticidad el estimador robusto sería

  ^ˆ

¹

¹ _ ^var( _ ⁾

²

_

²₂

_

²² ²²

var (no aut) (homo)

var( )

i i

i i i

x x

n x x x



 

    

 

  ^ˆ

¹

¹ _

²₂

^ˆ _

²²

var

ⁱ ⁱ

i

x

n x

   



(17)

Detección de autocorrelación

Test de Durbin Watson

Cuando no hay autocorrelación 𝜌 = 0 y DW=2

1 1

2 2 2

1 1 1

1 1

2 2

1 1

1 2

1

1 1

2 2

1 1

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

( ) ( 2 )

ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

2 2

2(1 ˆ )

ˆ ˆ

n n

t t t t t t

t t

n n

t t

n n

t t t

t t

n n

t t

DW

     

 

  



 

 

  

 



  

 

  

 

   

 

(18)

Detección de autocorrelación

Test Durbin Watson

Dado el tamaño muestral y el número de regresores, las tablas proporcionan dos valores críticos, d _L y d _U

Aut. serial + d

_U

2 Aut. serial -

0 d

_L

4d

_U

4d

_L

4 No autocorrelacion

In d et ermi n ac ió n Ind et ermin ac ió n

(19)

Detección autocorrelación

Inconvenientes del test DW

• X no estocásticas

• Regiones de indeterminación

• Sesgo cuando entre los regresores figura la endógena retardada

• Diseñado para autocorrelación de primer orden

(20)

Detección de autocorrelación

Test LM (Breusch Godfrey)

Para contrastar autocorrelación de orden q, estimamos

El estadístico

nos permite llevar a cabo el test para cualquier orden de autocorrelación

0 1 1 1 1

ˆ

_t

X

_t

...

_k

X

_kt

ˆ

_t

...

_q

ˆ

_{t q}

u

_t

          

_

   

_



2 2

( n q R  )  

_q

(21)

MCG para corregir la autocorrelación

Si  _t =  _t-1 +u _t ,    <1 en Y _t =  ₀ +  ₁ X _t +  _t

(22)

MCG para corregir la autocorrelación

Si  _t =  _t-1 +u _t ,    <1 en Y _t =  ₀ +  ₁ X _t +  _t

Retardamos: ^Y _t-1 ⁼  ₀ +  ₁ X _t-1 +  _t-1

(23)

MCG para corregir la autocorrelación

Si  _t =  _t-1 +u _t ,    <1 en Y _t =  ₀ +  ₁ X _t +  _t

Retardamos: ^Y _t-1 ⁼  ₀ +  ₁ X _t-1 +  _t-1 Multiplicamos por :  Y _t-1 =   ₀ +   ₁ X _t-1 +   _t-1

(24)

MCG para corregir la autocorrelación

Si  _t =  _t-1 +u _t ,    <1 en Y _t =  ₀ +  ₁ X _t +  _t

Retardamos: ^Y _t-1 ⁼  ₀ +  ₁ X _t-1 +  _t-1 Multiplicamos por :  Y _t-1 =   ₀ +   ₁ X _t-1 +   _t-1 Restamos: Y _t =  ₀ +  ₁ X _t +  _t

 Y _t-1 =  ₀ +  ₁ X _t-1 +  _t-1

Y _t  Y _t-1 = (  ₀   ₀ )+  ₁ (X _t  X _t-1 )+(  _t  _t-1 )

* * *

0 1

con *

1

, *

1

t t t t t t t t t

Y     X  u Y   Y  Y

_

X  X   X

_

donde no hay autocorrelación ya que u _t =(  _t ^  _t-1 )

(25)

MCG para corregir la autocorrelación

Transformación de Prais-Winsten

Mínimos Cuadrados Generalizados Factibles (MCGF)

Normalmente  no se conoce, pero podría estimarse a partir de

y usar esta estimación en lugar de  . Si usamos 𝜌 en lugar de  estamos empleando el método de MCGF

* 2 * 2

1 1

1 y

1 1

1 Y  Y   X  X  

ˆ

_t

ˆ

_t 1

u

_t

  

_



(26)

MCG para corregir la autocorrelación

• Con autocorrelación AR(2), es decir si  _t =  ₁  _t-1 +  ₂  _t-2 +u _t , se sigue una técnica similar

• Retardando 1 y 2 periodos y multiplicando por  ₁ _y  ₂

• y restando de la ecuación original

1 1 1 0 1 1 1 1 1

2 2 2 0 2 1 2 2 2

t t t

Y X

      

  

  

* * *

0 1

*

1 1 2 2

*

1 1 2 2

, con

t t t

t t t t

Y X u

Y Y Y Y

X X X X

u

 

 

    

 

  

  

(27)

Estimadores robustos

• Se ha generalizado el empleo de estimadores robustos

• En general consiste en emplear los errores estimados, de cuya varianza dependen las varianzas de los estimadores, para calcular después dichas varianzas

• Por ejemplo, con heterocedasticidad en el modelo simple

• El estimador robusto HAC es válido tanto para la heterocedasticidad como para la autocorrelación