ADICIÓN DE
VECTORES POR
MÉTODOS
ACTIVIDAD: 17
En binas, contesta el siguiente cuestionario, posteriormente comenta con tu grupo.
1. ¿Qué se necesita para sumar vectores por métodos gráficos?
2. ¿Qué se necesita para sumar vectores por métodos analíticos?
3. ¿Cómo se le llama al resultado de la suma de varios vectores?
En este procedimiento hay que utilizar un juego geométrico. Los vectores se dibujan a escala, por ejemplo si tenemos un vector desplazamiento cuya magnitud sea de 100 km, podemos elegir una escala 1cm : 10km, en cuyo caso dibujaremos una flecha con una longitud de 10cm. Si elegimos una escala 1cm : 20km, entonces la flecha que dibujaremos deberá tener
una longitud de 5cm, para este ejemplo. Obviamente, la escala que utilicemos tendrá que ser elegida de tal manera que los vectores que dibujemos, queden de un tamaño manejable en el papel. Los ángulos correspondientes a las direcciones de los vectores, se medirán con el transportador.
Hay tres métodos gráficos comunes para encontrar la suma geométrica de vectores. El método del triángulo y el del paralelogramo son útiles para la suma de dos vectores a la vez pero para sumar mas de dos vectores usaremos el método del polígono vectorial.
MÉTODO DEL
Este método es válido sólo para vectores Coplanares y Concurrentes, para hallar la resultante se une a los
vectores por el origen
(deslizándolos) para luego formar un paralelogramo, el vector resultante se encontrará en la diagonal que parte del punto de del origen común de los dos vectores.
Para que puedas calcular el vector resultante de dos fuerzas concurrentes mediante este método gráfico, debes seguir las siguientes indicaciones:
1ro. Se escoge arbitrariamente, una
escala de trazo dependiendo de las dimensiones del papel donde trabajes.
2do. Se define un punto de partida y se
trazan los dos vectores fuerza originales sin alterar el valor de cada uno de ellos (módulo), dirección y sentido de ellos.
3ro. En las puntas de flecha de los
vectores originales se trazan las correspondientes proyecciones paralelas empleando líneas punteadas o discontinuas.
4to. El vector resultante se obtiene
uniendo, mediante un
segmento de recta, el punto de partida y la intersección de las proyecciones o líneas punteadas.
5to. Para definir el módulo del vector
resultante, se mide
cuidadosamente con un
el segmento antes trazado y, en función de la escala empleada, se tendrá la magnitud del vector resultante.
6to. La dirección del vector resultante
se obtiene midiendo con un transportador, el ángulo que forma dicha resultante con el plano horizontal de referencia.
7°. El sentido del vector resultante se indicará con una punta de flecha situada en el punto de intersección de las proyecciones o líneas punteadas.
EJEMPLO:
En un poste telefónico se atan dos cuerdas, formando un ángulo de 120° entre sí. Si se tira de una cuerda con una fuerza de 60 lb, y de la otra con una fuerza de 20 lb (Recuerda: la libra es la unidad con que se miden las fuerzas en el sistema inglés) ¿cuál es la fuerza resultante sobre el poste telefónico?
Primero, escogemos la escala que deseamos utilizar:
1 cm = 10 lb
Segundo, trazamos los vectores sin alterar sus valores desde un punto arbitrario que hayamos elegido.
Cuarto a Séptimo paso
19°
Por último convertiremos los centímetros medidos del vector resultante a la unidad original de la que partimos para realizar los trazos del método gráfico del paralelogramo.
lb
la fuerza resultante sobre el poste telefónico es aproximadamente de 52lb
MÉTODO DEL
TRIÁNGULO
Este método gráfico sólo es válido para los vectores concurrentes y Coplanares. El método es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a continuación del otro para luego formar un triángulo, el vector resultante se encontrará en la línea que forma el triángulo y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector.
Para obtener el vector resultante de dos fuerzas a través del método gráfico del triángulo vectorial, deberán seguirse los siguientes pasos:
1ro. Se escoge una escala adecuada de
trazo.
2do. Se elige un punto de partida y
desde allí se traza el primer vector, respetando su módulo; dirección y sentido.
3ro. Donde termina el primer vector
se traza el segundo, también respetando su módulo, dirección y sentido.
4to. El vector resultante se obtiene
uniendo el punto de partida con la punta de flecha del segundo vector trazado.
5to. El módulo se determina midiendo
cuidadosamente, con un escalímetro o regla graduada, la longitud del segmento antes trazado y, en función de la escala empleada, se tendrá la magnitud del vector resultante.
6to. La dirección del vector resultante se
obtiene midiendo con un transportador el ángulo formado por dicha resultante y el plano horizontal.
7mo. EI sentido del vector resultante se
indica con una punta de flecha situada junto a la punta de flecha del segundo vector trazado.
En resumen, el método del triangulo vectorial consiste en trazar “uno tras otro” los dos vectores que intervienen en el sistema de fuerzas.
Dando un segundo vistazo al paralelogramo del ejemplo anterior, podemos observar que se obtendría la misma respuesta aplicando el método del triángulo vectorial y agregando el vector de 20 lb en la punta del vector de 60 Ib.
Primero, escogemos la escala que deseamos utilizar:
1 cm = 10 lb
Segundo paso, se elige un punto de partida y desde allí se traza el primer vector, respetando su módulo; dirección y sentido.
Tercer paso, donde termina el primer vector se traza el segundo, también respetando su módulo, dirección y sentido.
120°
Quinto paso, el módulo se determina midiendo cuidadosamente, con un escalímetro o regla graduada, la longitud del segmento antes trazado y, en función de la escala empleada, se tendrá la magnitud del vector resultante.
Sexto y Séptimo paso, la dirección del vector resultante se obtiene midiendo con un transportador el ángulo formado por dicha resultante y el plano horizontal. EI sentido del vector resultante se indica con una punta de flecha junto a la punta de flecha del segundo vector trazado.
120° 19°
Por último convertiremos los centímetros medidos del vector resultante a la unidad original de la que partimos para realizar los trazos del método gráfico del paralelogramo.
MÉTODO DEL
POLÍGONO
Este método gráfico es válido sólo para dos o más vectores concurrentes y Coplanares. El método es el siguiente. Se unen los vectores uno a continuación del otro para luego formar un polígono (a esto se le llama juntar cola con punta). El vector resultante se encontrará en la línea que forma el polígono y su punto de aplicación coincidirá con el origen del primer vector.
⃗
�
⃗
�
⃗
�
⃗
�
⃗
En el caso de que el origen del primer vector coincida con el extremo del último, el vector resultante es nulo; y al sistema se le llama “polígono cerrado”.
CÁLCULO DE LA RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS POR EL MÉTODO DEL POLÍGONO VECTORIAL.
Para que puedas calcular el vector resultante de un sistema de fuerzas coplanarias, constituido por más de dos fuerzas, por el método gráfico del polígono vectorial, deben seguirse los siguientes pasos:
1ro Se escoge una escala adecuada de
trazo en función de las dimensiones del papel en donde se va a trabajar.
2do Se elige un punto de partida y
desde él se traza el primer vector, respetando su módulo, dirección y sentido.
3ro Donde termina el primero se traza
el segundo vector, sin alterar su módulo, dirección y sentido.
4to Donde termina el segundo se traza
el tercer vector y así sucesivamente hasta que consigas trazar todos los vectores que forman parte del sistema de fuerzas.
5to El vector resultante se obtiene
uniendo el punto de partida con la punta de flecha del último vector trazado.
6to El módulo del vector resultante lo
determinas midiendo con una regla graduada, la longitud del segmento de recta antes trazada.
7mo La dirección del vector resultante
se obtiene midiendo con un transportador el ángulo formado por dicha resultante con el plano horizontal de referencia.
8vo EI sentido del vector resultante
se indica con una punta de flecha situada junto a la punta de flecha del último vector trazado.
En resumen, el método del polígono vectorial consiste en trazar “uno tras otro” todos los vectores que intervienen en el sistema de fuerzas.
EJEMPLO:
Un barco recorre 100 km hacia el Norte durante el primer día de viaje, 60 km 45° al noreste el segundo día y 120 km hacia el Este el tercer día. Encuentre el desplazamiento resultante con el método del polígono vectorial.
Primer paso:
Segundo al Cuarto paso:
45°
5
c
m
3 cm
45°
5
c
m
3 cm
6 cm Quinto paso:
Sexto paso:
45°
5
c
m
3 cm
6 cm
10.8
45°
5
c
m
3 cm
6 cm
10.8
cm Séptimo y Octavo paso:
Por último convertiremos los
centímetros medidos del vector
resultante a la unidad original de la que partimos.
1
0
0
k
m
60 k
m
120 km
216 k
m
Calcular el vector resultante del siguiente sistema de fuerzas. La escala que es conveniente usar es:
R = 30 N 32° 38° 25° 40N 42N 73° 38N 35N
ACTIVIDAD: 18
En binas resuelve los siguientes problemas por el método gráfico.
1. Una persona parte de su casa, se desplaza 5 km hacia el Este, después se dirige a Noreste recorriendo 6 km.
a) Determinar la magnitud y dirección del desplazamiento resultante D por el método gráfico del triángulo vectorial.
2. Lee el siguiente problema. Observa el dibujo donde se aplica el método del polígono y posteriormente contesta las preguntas.
a) Un barco recorre 50 Km al Norte durante el primer día de viaje, 30 Km al Noreste el segundo día y 60 Km hacia el Este el tercer día. Encontrar la magnitud del desplazamiento y la dirección.
1. ¿Cómo hay que acomodar los vectores?
2. ¿Cómo se obtiene la resultante?
3. Resuelve este problema aplicando una escala de 1:10
4. ¿Crees que el resultado cambie si se invierte el orden en que se acomodan los vectores?
3. En binas resuelve los siguientes sistemas, empleando métodos gráficos.
a) Hallar el valor de la fuerza resultante de dos vectores que forman entre sí 90°, uno vale 38Kp y el otro 45Kp.
b) Encontrar el valor de la fuerza resultante de dos vectores, uno de 32Kp y el otro de 33Kp, los cuales forman entre sí un ángulo de 58°.
c) Hallar el valor de la fuerza resultante de dos vectores uno de 180Kp y el otro de 195Kp, los cuales forman entre sí un ángulo de 142°.
4. En binas calcula el vector resultante del siguiente sistema de fuerzas, utilizando el método gráfico del polígono vectorial.
5. En binas calcula el vector resultante del siguiente sistema de fuerzas, utilizando el método gráfico del polígono vectorial.
6. Encuentra la fuerza resultante sobre el burro de la figura siguiente, si el ángulo entre las dos cuerdas es de 120°. En un extremo se jala con una fuerza de 60 lb y, en el otro, con una fuerza de 20 lb. Use el método del paralelogramo para sumar los vectores.
