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a)
b)
0 2 2 0 2 2
1 1
( x x) x x 2 1
A e e dx e e e e u
a) Dibuja el recinto limitado por las curvas: yex2; yex; x0 b) Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior. MATEMÁTICAS II. 2000. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.
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1 2
3 2
1 2
2
0 1
0 1
2 2
( 1) 1 2 ln
3 2
1 1 5
1 2 ln 2 2 2 2 ln1 1 2 ln 2
3 2 6
x x
Área x dx x dx x x x
x
u
a) Dibuja el recinto limitado por los semiejes positivos de coordenadas y las curvas:
2 2
1 ; ; 1
y x y y x
x
b) Halla el área del recinto considerado en el apartado anterior.
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a) Calculamos la ecuación de la recta tangente enx1.
- 1 9 1 2
4 x y
- ' 2 '( 1) 1
4 2 2
x x
y m y x
Luego, la ecuación de la recta tangente es: 2 1( 1) 5
2 2
x y x y .
b)
5 3
2 2 3
5 3
1 1
1 1
2
5 9 5 9
2 4 4 2 4 12
25 25 1 5 27 27 9 1 5 4 2 4 2 4 12 4 12 3
x x x x x x
Área dx dx
u
a) Dibuja el recinto limitado por la curva
2
9 4
x
y , la recta tangente a esta curva en el punto de
abscisa x1 y el eje de abscisas.
b) Calcula el área del recinto considerado en el apartado anterior. MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
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Calculamos el área encerrada por la parábola yx2 y la recta y1. 2
2 3 2 3
2 2 8 9 7
(2 ) 2 4 2 2 ; 1
2 3 3 2 3 2 2
x x x x dx x
Como 2, el valor pedido es 1.
Considera la función f : definida por f x( ) 2 x x2. Calcula, 2, de forma que:
2 9
( ) 2 f x dx
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Calculamos los puntos de corte con el eje de abscisas. 2
0 0 ;
x x x x
2 3 3
2 0
0
( ) 36 6
2 3 6
x x x x dx
Calcule el valor de positivo, para que el área encerrada entre la curva y x x2 y el eje de abscisas sea 36. Representa la curva que se obtiene para dicho valor de .
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Vamos a calcular la integralI
(x2 5) ex dx, que es una integral por partes.
2 2 2 2
( 5) x ( 5) x 2 x ( 5) x 2 x x x 2 7
I
x e dx x e
x e dx x e x e
e dx e x x
43 3
2 2
3 1
1
6 22 (x 5) e x dx e x x 2x 7 e
e
Calcula el valor de la integral 3 2
1 ( 5)
x
x e dx
MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.
2
5; 2 ;
x x
u x du x dx
dv e dx v e
; ;
x x
u x du dx dv e dx v e
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a)
b) -
2
3 2
2
2 2
0
0
16 44
2 (6 ) 2 6 24 4
3 2 3 3
x x
A x x dx x u
Considera las funciones f g, : definidas por: f x( ) 6 x2 ; g x( ) x x . a) Dibuja el recinto limitado por las gráficas de f y g.
b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.
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a)
3 2
2 2 5
( ) (1)
3 3
x
F x x F
b) 0
0 0 0 0
0 1
5 5 9 4
( ) ( ) '( ) ( ) 3 ( 1)
3 3 3
'( ) 2 3
x
x
F x y F x F x x x y x y
F x x x
Sea F : la función definida por:
0
( ) x (2 )
F x
t t dta) Determina F(1).
b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de F en el punto de abscisa x1. MATEMÁTICAS II. 2000. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.
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a)
b)
2 2
0 (2 2 ) ( 2 2 ) 4 4 8
A sen x sen x dx sen x senx dx u
Considera las funciones f g, : 0, 2
; f x( )2sen x y g x( )sen x2 a) Dibuja la región del plano limitada por las gráficas de f y de g.b) Calcula el área de la región descrita en el apartado anterior.
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a) Vamos a calcular la integralI
(1 x e dx) x , que es una integral por partes.(1 ) x (1 ) x x (1 ) x x x
I
x e dx x e
e dx x e e x e C b) Calculamos una primitiva que pase por el punto (0, 3).3 0 C C 3 Luego, la primitiva que nos piden es: x 3
I x e
Considera la función f : definida por f x( ) (1 x e) x a) Calcula
f x dx( )b) Calcula una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto(0, 3).
MATEMÁTICAS II. 2000. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
1 ; ;
x x
u x du dx
dv e dx v e
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Calculamos las raíces del denominador: x24x 3 0 x 1 ; x 3 Descomponemos en fracciones simples:
2
1 ( 3) ( 1)
4 3 1 3 ( 1)( 3)
A B A x B x
x x x x x x
Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B
sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores. 1
1 1 2
2 x A A
1 3 1 2
2 x B B
Con lo cual:
2
1 1
1 2 2 1 1
ln( 1) ln( 3)
4 3dx 1dx 3dx 2 x 2 x C
x x x x
2 2
2
0 0
9 ln
1 1 1 5
ln( 1) ln( 3)
4 3dx 2 x 2 x 2
x x
Calcula la siguiente integral definida 2 2
0 4 3
dx
x x
. ¿Qué representa geométricamente? MATEMÁTICAS II. 2000. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.www.emestrada.net R E S O L U C I Ó N
a) Vamos a calcular la integralI
x lnx dx , que es una integral por partes.2 2 2
2
1 1
2 2 2 4
x x x
I x ln x dx ln x dx ln x x C
x
b) Calculamos una primitiva que pase por el punto (1,0). 2
2
1 1 1
0 1 1
2 ln 4 C C 4
Luego, la primitiva que nos piden es: 2
2
1 1
2 4 4
x
I ln x x
Siendo ln x el logaritmo neperiano de x, considera la función f : (0, ) definida por ( ) ln
f x x x. Calcula:
a)
f x dx( ) .b) Una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (1, 0). MATEMÁTICAS II. 2001. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
2 1 ln ;
; 2
u x du dx
x x dv x dx v
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0 0 0
1 1 1 1
2 2 4
2 2 4 ln(1 ) 4 ln 2 2
1 1
x
A dx dx x x
x x
2 2
2 2
0
0
( 2) 2 2
2
x
A x dx x
3 2
3 3
2
2 1
0 ( 2) 2
2 2
x
A x dx x
El área pedida es:
1 2 3
1 1
4 ln 2 2 2 4 ln 2
2 2
AA A A
Halla el área del recinto rayado que aparece en la figura adjunta sabiendo que la parte curva
tiene como ecuación 2 2 1
x y
x
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Calculamos el área encerrada por la parábola yx2 y la recta y1. 1
3 1
2 2
0
0
1 4
2 (1 ) 2 2 1
3 3 3
x
Área x dx x u
Calculamos los puntos de corte de la parábola yx2 y la recta ya. 2
x a x a 3
2 3
0
0
2 4 1
2 ( ) 2 2
3 3 3 3 4
a
a x a a
a x dx ax a a a a a
Se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola y x2 y la recta y1 en dos regiones de igual área mediante una recta ya. Hallar el valor de a.
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a)
b)
1 3
2 3
1 3 2 2 2
2 1
2 1
5 5 28 71
(5 10) ( 2 2) 10 2
2 3 2 3 6
x x
Área x dx x x dx x x x u
Sea f : la función definida por: ( ) 25 10 1
2 2 1
x si x
f x
x x si x
a) Esboza la gráfica de f.
b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta x3. MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
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a) Para que sea derivable primero tiene que ser continua, luego:
1
1 1
1
lim ( 1) 0
lim lim 0 lim ln 0
x
x x
x
a x
x x
Continua
Calculamos la función derivada: '( ) 1 1
ln 1 1
a si x
f x
x si x
'(1 )
1 '(1 ) 1
f a
a f
b)
2
1 2 2
2 1 2
0 0 1
0 1
ln 1 1 5
( ) ( 1) ln 1 2 ln 2 1 2 ln 2
2 2 4 2 4 4
x x x x
f x dx x dx x x dx x
Considera la función f : ( 1, ) definida por: ( ) ( 1) 1 1
ln 1
a x si x
f x
x x si x
a) Determina el valor de a sabiendo que f es derivable.
b) Calcula 2
0 f x dx( )
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a)
b) Abrimos la función:
2 2 2
1 1
( ) 1 1 1
1 1
x si x
f x x si x
x si x
, la función es continua en .
Calculamos la función derivada:
2 1
'( ) 2 1 1
2 1
x si x
f x x si x
x si x
'( 1 ) 2
'( 1 ) '( 1 ) '( 1 ) 2
f f f f ;
'(1 ) 2
'(1 ) '(1 ) '(1 ) 2
f f f f
Luego, la función es derivable en
1,1 . c)1 2
3 3
2 1 2 2 2
0 0 1
0 1
1 8 1
( ) ( 1) ( 1) 1 2 1 2
3 3 3 3 3
x x
f x dx x dx x dx x x
Sea f : la función dada por : 2
( ) 1
f x x
a) Esboza la gráfica de f.
b) Estudia la derivabilidad de f.
c) Calcula 2
0 f x dx( )
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a) Calculamos la derivada y la igualamos a cero. 2
'( ) 6 18 12 0 2 ; 1
f x x x x x
, 2
2, 1
1,
Signo y ' ― + ―
Función D C D
Máximo en ( 1, 5) ; mínimo en ( 2, 4) b)
1
4 3 2
1
3 2
2
2
2 9 12 1 9
( 2 9 12 ) 3 6 8 24 24
4 3 2 2 2
x x x
x x x dx
Sea f : la función definida por: f x( ) 2x39x212x. a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
b) Determina los extremos relativos y de f con y calcula f x dx( )
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a) Para que sea derivable primero tiene que ser continua, luego:
0 0 0 2 0 1 lim 1
1 lim lim 1
lim 1 1
x x x x x mx x Continua
Calculamos la función derivada: 2 1 0 (1 ) '( ) 2 0 si x x f x
m x si x
'( 0 ) 1
1 '( 0 )
f m f m b)
2 3 11 0 1 0
2
1
1 1 0
0
1 1 1 7
( ) (1 ) ln(1 ) ln 2 1 ln 2
1 2 3 2 3 6
x x
f x dx dx x x dx x x
x
Sea f : la función definida por:
2
1
0 ( ) 1
1 0
si x
f x x
mx x si x
a) Determina m sabiendo que f es derivable.
b) Calcula 1
1 f x dx( )
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a)
b)
4
3 2
1 3 4 2 1 2
2 0
0 1 3
1 3
16 16 1 13
4 (4 ) 2 4 2 4
( 1) ( 1) 2 2 2
x
Área x dx dx x dx x x u
x x
Considera la función f : 0, 4
definida por: 24 0 1
16
( ) 1 3
( 1)
4 3 4
x si x
f x si x
x
x si x
a) Esboza la gráfica de f.
b) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
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Vamos a calcular los puntos de corte de la función yx34x y el eje de abscisas y0 3
4 0 0 ; 2 ; 2
x x x x x Por lo tanto, el área pedida será:
0 2
4 4
0 2
3 3 2 2
2 0
2 0
2
4 4 2 2
4 4
4 8 4 8 8
x x
A x x dx x x dx x x
u
Calcula el área encerrada entre la curva y x 4x y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II. 2001. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
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a)
b) Vamos a calcular los puntos de corte de la función 1 cos 2
y x y el eje de abscisas y0
1 1 2
cos 0 cos
2 x x 2 x 3
Por lo tanto, el área pedida será:
2 2
3 3
2
0 2
3 0
3 2
1 1
cos cos
2 2 2 2
2 3 2 3
0 3
6 2 2 6 2 6
x x
A x dx x dx sen x sen x
u
a) Dibuja el recinto limitado por la curva 1 cos 2
y x, los ejes de coordenadas y la recta x .
b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.
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El polinomio que queremos hallar será de la forma: P x( )ax2bxc - P(0) 1 c 1
- P(2) 1 4a2b 1 1 4a2b0
-
2
3 2
2 2
0
0
8 1
( 1) 2 2
3 2 3 3
ax bx a
ax bx dx x b
Resolviendo el sistema sale que: ( ) 5 2 5 1
4 2
P x x x
Determina un polinomio P x( )de segundo grado sabiendo que P(0)P(2)1 y
2 0
1 ( )
3
P x dx
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0 0 2
1
1 1
x x x
A xe dx x e e u
Sea f : la función definida por: f x( ) x ex. Esboza el recinto limitado por la curva ( )
y f x , los ejes coordenados y la recta x 1. Calcula su área. MATEMÁTICAS II. 2002. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
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a) Ln x( )sólo existe parax0, por tanto, el dominio de ( ) 1 2 ( ( )) f x
x Ln x
puesto que es un cociente, aparte de considerar los números x0 hemos de quitar aquellos que anulan el denominador que en nuestro caso es x1, ya que Ln(1)0. Luego el dominio pedido es
(0,1) (1, ).
b) Hacemos el cambio t Ln x( ) dt 1dx dx x dt x
2
2 2
1 1 1
( ( )) ( )
x dt
dx t dt C
x Ln x x t t Ln x
Sea Ln x( ) el logaritmo neperiano de x y sea f :D la función definida por
2
1 ( )
( ( ))
f x
x Ln x
a) Determina el conjunto D sabiendo que está formado por todos los puntos x para los que existe f x( ).
b) Usa el cambio de variable t Ln x( ) para calcular una primitiva de f. MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.
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Dividimos los dos polinomios, con lo cual la integral se descompone en:
3 2 2
2 2 2
2 2 3 5 5
( 2) 2
1 1 2 1
x x x x x x
dx x dx dx x dx
x x x
Calculamos las raíces del denominador: x2 1 0 x 1 ; x1 Descomponemos en fracciones simples:
2
5 ( 1) ( 1)
1 1 1 ( 1)( 1)
x A B A x B x
x x x x x
Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B
sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores.
1 4 2 2
x A A
1 6 2 3
x B B Con lo cual:
3 2 2 2
2
2 2 3 2 3
2 2 2 ln( 1) 3ln( 1)
1 2 1 1 2
x x x x x
dx x dx dx x x x C
x x x
Calcula
3 2
2
2 2 3 1
x x x
dx x
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a) Los posibles máximos o mínimos son las soluciones de la ecuación:
3 2
'( ) 2 6 0 0 ; 3
f x x x x x El mínimo está en x3, ya que f ''(3) 6 32 12 3 54 36 18 0
4
3 2 3
( ) (2 6 ) 2
2
x
f x
x x dx x CComo
4
3
3 3
(3) 12 2 3 12
2 2
f C C
Luego, la función es:
4
3 3
( ) 2
2 2
x
f x x
b) Calculamos los puntos de inflexión igualando la segunda derivada a cero. 2
'' ( ) 6 12 0 0 ; 2 f x x x x x
0
0 0 0 0
0 0
3 3
( ) ( ) '( ) ( )
2 2
'( ) 0 x
f x y f x f x x x y
f x
0
0 0 0 0
0 2
13 13 16 19
( ) ( ) '( ) ( ) 8( 2)
2 2 2
'( ) 8 x
x
f x y f x f x x x y x y
f x
a) Determina la función f : sabiendo que f'( )x 2x36x2 y que su valor mínimo es 12
.
b) Calcula la ecuación de las rectas tangentes a la gráfica de f en los puntos de inflexión de su gráfica.
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a) La gráfica de ( )f x x x4 es:
b) Abrimos la función:
2 2
4 4
( ) 4
4 4
x x si x f x x x
x x si x
Como la función es continua enx4, estudiamos la derivabilidad en x4.
2 4 4
'( )
2 4 4
x si x
f x
x si x
'(4 ) 4
'(4 ) '(4 ) '(4 ) 4
f
f f
f
No derivable
c)
4
4 3
2 2 2
0 0
64 32
( 4 ) 2 32
3 3 3
x
A x x dx x u
Sea f : la función definida por f x( )x x4 . a) Esboza la gráfica de f.
b) Estudia su derivabilidad en x4.
c) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 2. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
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a) El recinto es:
b) Calculamos el área.
21 1
1 (1 ln ) 1 2 ln 1
e
e
A
x dx xx x e uSea Ln x( ) el logaritmo neperiano de x. Esboza el recinto limitado por los ejes coordenados y las gráficas de las funciones y1 eyLn x( ). Calcula su área.
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Vamos a calcular la recta tangente a la parábolay (x 2)2 2 x2 4x6. La ecuación de la recta tangente será: y f x( 0) f x'( 0) ( x x0)
0 0
0 3
( ) 3 3 2 ( 3) 2 3
'( ) 2
x
f x y x y x
f x
Calculamos el área.
3
3 3
3 3 3
2 2
2 2 2 2 2
3 3
0 0
2 2
27
( 4 6) ( 2 3 4 6) 2 6 3 9
3 3 4
x x
A x x dx x x x dx x x x x u
Esboza el recinto limitado por la gráfica de la parábolay (x2)22, la recta tangente a la gráfica de la parábola en el punto de abscisa x3, el semieje positivo de abscisas y el semieje negativo de ordenadas. Calcula su área.
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Dividimos los dos polinomios, con lo cual la integral se descompone en: 2
2 2 2
2 10 6 6 6 6
2 2
2 3 2 3 2 3
x x x x
dx dx dx x dx
x x x x x x
Calculamos las raíces del denominador: x22x 3 0 x 1 ; x 3 Descomponemos en fracciones simples:
2
6 6 ( 3) ( 1)
2 3 1 3 ( 1)( 3)
x A B A x B x
x x x x x x
Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B
sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores.
1 12 4 3
x A A
3 12 4 3
x B B Con lo cual:
2 2
2 10 3 3
2 2 3ln( 1) 3ln( 3)
2 3 1 3
x x
dx x dx dx x x x C
x x x x
Calcula una primitiva de la función f definida por
2 2
2 10 ( )
2 3
x x
f x
x x
para x1 y x 3. MATEMÁTICAS II. 2002. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.
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a) i)
0
( ) ( ) 0
F
f t dt porque nos daría el área encerrada por la función f x( ), el eje OX entre x0 y x .ii)
' 0
'( ) ( ) ( )
F x f t dt f x
, según el teorema fundamental del calculo integral, luego '( ) ( )F f y según la gráfica se observa que f( ) 0.
iii) F es creciente en (0, ) si y solo si F'( )x 0 en (0, ) , pero F'( )x f x( ) que es mayor que cero en (0, ) , luego F x( ) es creciente en dicho intervalo.
b) Si hacemos el cambio 2
1 2
t x dt x dx
1 2
2 2 2 1
1
x dx
dt dx x t
x
t
1
1 0 0
1
(1) 2 1 2 2 2
1
F dt t
t
Consideremos
0
( ) x ( )
F x
f t dt.a) Si f fuese la función cuya gráfica aparece en el dibujo, indica si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones, razonando la respuesta:
i) F( ) 0 ii) F'( ) 0
iii) F es creciente en (0, ) (0,) b) Calcula F(1) siendo ( ) 1
1
f t t
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Dividimos los dos polinomios, con lo cual la integral se descompone en:
3 2
2 2 2
3 1 9 7 3 9 7
(3 3) 3
2 2 2 2
x x x x
dx x dx dx x dx
x x x x x x
Calculamos las raíces del denominador: x2 x 2 0 x 1 ; x2 Descomponemos en fracciones simples:
2
9 7 ( 2) ( 1)
2 1 2 ( 1)( 2)
x A B A x B x
x x x x x x
Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B
sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores. 2
1 2 3
3 x A A
25 2 25 3
3 x B B Con lo cual:
3 2
2 2 2
2 2
3 1 9 7 3 9 7
(3 3) 3
2 2 2 2
2 25
3 3 3 3 2 25
3 3 ln( 1) ln( 2)
2 1 2 2 3 3
x x x x
dx x dx dx x dx
x x x x x x
x x
x dx dx x x x
x x
Por lo tanto, la integral que nos piden valdrá:
1
1 3 2
2
0 0
3 1 3 2 25
3 ln( 1) ln( 2)
2 2 3 3
3 2 25 2 25 9 23
3 ln(2) ln( 1) ln(1) ln( 2) ln 2
2 3 3 3 3 2 3
x x
dx x x x
x x
Calcula 1 3 2 0 3 1 2 x dx x x
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Calculamos la integral, que es una integral por partes.
2
2 2 2
2 2
2
2 2
ln (1 ) ln(1 ) ln(1 ) 2
1 1
ln(1 ) 2 ln( 1) ln( 1)
x
x dx x x dx x x dx dx
x x
x x x x x C
Calculamos una primitiva que pase por el punto (0,1).
1 0 ln1 0 ln1 ln( 1) C C 1
Luego, la primitiva que nos piden es: F x( )xln(1x2) 2 xln(x 1) ln(x 1) 1
Sea Ln(1x2) el logaritmo neperiano de 1x2 y sea f : ( 1,1) la función definida por
2
( ) (1 )
f x Ln x . Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,1). MATEMÁTICAS II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN A.
2
2 2 ln (1 );
1 ;
x
u x du dx
x dv dx v x
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a) Calculamos los puntos de corte de las dos funciones. 2
2 1
0 0 ; 1
1
y x
x x x x
y x
El área que nos piden es:
1
2 3
1 1
2 2 2
0 0
0
1 1 1
(1 ) (1 )
2 3 2 3 6
x x
A x x dx xx dx u
b) La pendiente de la recta que nos dan es 1, luego:
1 1 5
' 2 1 1
2 4 4
y x x y
Calculamos la recta tangente que pasa por el punto 1 5, 2 4
y tiene de pendiente 1.
5 1 4 3
1
4 2 4
x y x y
Dadas la parábola de ecuación y 1 x2 y la recta de ecuación y 1 x, se pide: a) Área de la región limitada por la recta y la parábola.
b) Ecuación de la recta paralela a la dada que es tangente a la parábola. MATEMÁTICAS II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
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Calculamos la primera y segunda derivada de la función. 2
'( ) 3 2 ; ''( ) 6 2 f x x ax b f x x a Vamos aplicando las condiciones del problema.
- Extremo relativo en x 0 f '(0) 0 b 0
- Punto de inflexión en x 1 f ''( 1) 0 6 2a 0 a 3
-
1
4 3
1 1
3 2
0 0
0
3 1 19
( ) 6 ( 3 ) 1 6
4 3 4 4
x x
f x dx x x c dx cx c c
Luego, 3 ; 0 ; 19 4 a b c
Se sabe que la función f : definida por f x( ) x3ax2bxc tiene un extremo relativo en el punto de abscisa x0 y que su gráfica tiene un punto de inflexión en el punto de
abscisa x 1. Conociendo además que 1
0 f x dx( ) 6
, halla a, b y c. MATEMÁTICAS II. 2003. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.www.emestrada.net R E S O L U C I Ó N
Calculamos las coordenadas del máximo de la función. 2
'( ) 6 6 0 1 ; ''(1) 12 0 ; ''( 1) 12 0
f x x x f mínimo f Máximo
Luego, el máximo está en el punto P( 1,8) . La pendiente valdrá f '( 1) 6( 1)2 6 0 m 0. Por lo tanto, la recta tangente tiene de ecuación: y 8 0 (x 1) y 8
Calculamos el área que nos piden.
2
4 2
2
3 2
1
1
2 6 32 24 2 6 27
(8 2 6 4) 4 8 4
4 2 4 2 4 2 2
x x
A x x dx x u
Sea la función f : definida por f x( )2x36x4. Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y su recta tangente en el punto de abscisa correspondiente al máximo relativo de la función.
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a)
b) -
2
3 2
2
2 2
0
0
16 44
2 (6 ) 2 6 24 4
3 2 3 3
x x
A x x dx x u
Considera las funciones f g, : definidas por: f x( ) 6 x2 ; g x( ) x x . a) Dibuja el recinto limitado por las gráficas de f y g.
b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.
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Integramos para calcular la expresión de f x( ), que será:
2 2
0 2
2 ( )
3 2 3
2 x
x C si x
f x
x
x D si x
.
A continuación aplicamos las condiciones del problema para calcular C y D.
1 1
(1) 0 1 0
2 2
f C C
La función tiene que ser continua, luego: 2 2 2 2 1 1 lim 1 7
2 2 2
4
2 2
lim 3 4
2 x x x x D D x
x D D
Por lo tanto, la expresión de f es:
2 2 1 0 2 2 2 ( ) 7
3 2 3
2 2
x
x si x
f x
x
x si x
.
Se sabe que la función f : (0, 3) es derivable en todo punto de su dominio, siendo
1 0 2
'( )
3 2 3
x si x
f x
x si x
y que f(1)0. Halla la expresión analítica de f. MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 2. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
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a) El punto tiene de coordenadas P(3, 5). La pendiente valdrá f '(3) 2 3 2 4 m 4. Por lo tanto, la recta tangente tiene de ecuación: y 5 4 (x 3) y 4x7
b) Calculamos el área que nos piden.
3 2 33 2 3 2 2
0 0
0
6 27 54
2 2 4 7 6 9 9 27 9
3 2 3 2
x x
A x x x dx x x dx x u
Sea f : la función definida por f x( ) x22x2.
a) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x3.
b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida y el eje OY. MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 2. EJERCICIO 2. OPCIÓN A.
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Calculamos la primera y segunda derivada de la función. '( ) 2 ; ''( ) 2 f x ax b f x a Vamos aplicando las condiciones del problema.
- Máximo en x 1 f '(1) 0 2a b 0 - Pasa por (1, 4) f (1) 4 a b c 4
-
3
3 2
3 2
1
1
32 28 32
( ) 4 4
3 3 2 3 3
ax bx a
ax bx c dx cx b c
Se sabe que la función f : definida por f x( )ax2bxc tiene un máximo absoluto en el punto de abscisax1, que su gráfica pasa por el punto (1, 4) y que 3
1
32 ( )
3 f x dx
. Halla a,b y c.
www.emestrada.net Resolviendo el sistema sale: a 1 ;b2 ;c3
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-
2
2 2 3 3 3 3
2 1
1
1 4 17
1
4 4 12 12 12 12 3 12
m m
m
m
x x x x m m
dx dx x m m
En la figura adjunta puedes ver representada en el intervalo
0, 2 la gráfica de la parábola deecuación
2
4
x
y . Halla el valor de m para el que las áreas de las superficies rayadas son iguales.
MATEMÁTICAS II. 2003. RESERVA 3. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
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a) La recta tangente pasa por el punto P(1,1) y su pendiente vale
3 2
1 1
'(1)
3 3
y m
x
. Luego, la
recta tangente es: 1 1( 1) 2
3 3
x y x y
b)
c)
1 4
1 2
3
2 3
8
8
2 2 1 2 3 64 16 27
12 4
3 6 3 6 3 4 6 3 4
3
x x x x
A x dx u
Sea f : la función definida por f x( ) 3 x.
a) Calcula la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x1. b) Esboza el recinto limitado por la gráfica de f y la recta tangente obtenida. c) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior.
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Calculamos los puntos de corte entre las dos funciones. 2
2
0 0 ;
y x
x x x x
y x
2 3 3
2 3
0 0
( ) 1 6
2 3 6
x x
A x x dx
Determina el valor positivo de para el que el área del recinto limitado por la parábola yx2
y la recta y x es 1.
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Vamos a calcular la integral, que es una integral por partes.
2 2 2
2
1 1
( 1)
2 2 2 4
x x x
I x ln x dx x ln x x dx x ln x x x C
x
Calculamos una primitiva que pase por el punto 1, 3 2
. 2
2
1 3 1 1 9
( ) 1 1 1
2 4 2 2 4 4
x
F x xln x x x C ln C C
Luego, la primitiva que nos piden es:
2
2
1 9
( )
2 4 4
x
F x xln x x x
Sea f : (0, ) la función definida por f x( )(x 1) Ln x. Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto 1, 3
2
.
MATEMÁTICAS II. 2003. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B.
2 1 ln ;
( 1) ; 2
u x du dx
x x
dv x dx v x
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a) El punto será , 3 a P a e
y la pendiente valdrá:
3 3
'
3 3
x a
e e
y m .
La ecuación de la recta tangente será:
3
3 ( )
3 a a
e
ye xa . Como queremos que pase por el origen de coordenadas, se debe cumplir que:
3
3 3 3
0 (0 ) 3 3
3 a
a a a
e
e a e ae a
Luego, el punto será: P
3,e y la recta tangente: ( 3)3 3
e ex
y e x y .
b) Vamos a calcular los puntos de corte de la función 1 cos 2
y x y el eje de abscisas
1 1 2
cos 0 cos
2 x x 2 x 3
Por lo tanto, el área pedida será:
3 2
3 2
3 3
0
0
9 3
3 3 3 3
3 6 6 2
x x
ex ex e e
A e dx e e u
Sea f : la función definida por ( ) 3 x
f x e
a) ¿En qué punto de la gráfica de f la recta tangente a ésta pasa por el origen de coordenadas?. Halla la ecuación de dicha tangente.
b) Calcula el área del recinto acotado que está limitado por la gráfica de f, la recta tangente obtenida y el eje de ordenadas.
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a) Calculamos f x( ).
1 2
2
3 ( 1) 3
( ) 3 ( 1) 3
( 1) 1 1
x
f x dx x dx C
x x
Como queremos que pase por el punto (2, 0), tenemos: 3
(2) 0 0 1
3
f C C
Por lo tanto, la primitiva que nos piden será: ( ) 3 1 1 f x
x
b) Calculamos una primitiva de f x( ). 3
( ) 1 3ln( 1)
1
F x dx x x C
x
Como queremos que pase por el punto (0,1), tenemos:
(0) 1 3ln(0 1) 0 1 1
F C C
Por lo tanto, la primitiva que nos piden será: F x( ) 3ln(x 1) x 1 De la función f : ( 1, ) se sabe que '( ) 3 2
( 1)
f x
x
y que f(2)0. a) Determina f.
b) Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por (0,1).
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Calculamos los puntos de corte entre las dos funciones. 2
2
0 0 ;
y x
x bx x x b
y bx
2 3 3
2
0 0
9
( ) 3
2 3 6 2
b b
bx x b
A bxx dx b
Determina b sabiendo que b0 y que el área de la región limitada por la curva y x2 y la recta
ybx es igual a 9 2.
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Calculamos las raíces del denominador: x22x 3 0 x 1 ; x 3 Descomponemos en fracciones simples:
2
1 ( 3) ( 1)
2 3 1 3 ( 1)( 3)
A B A x B x
x x x x x x
Como los denominadores son iguales, los numeradores también tienen que serlo. Para calcular A y B
sustituimos los valores de las raíces en los dos numeradores. 1
1 1 4
4 x A A
1 3 1 4
4 x B B Con lo cual:
0 0 0
0 0
2 2 2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 ln 3
ln ( 1) ln ( 3)
2 3dx 4 1dx 4 3dx 4 x 4 x 2
x x x x
Calcula
0 2 2
1
2 3dx
x x
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Calculamos la integral, que es una integral por partes.
2 1 2 1 2 1 2 1 2
( 1) ( 1) ( 1)
2 2 2 4
x x x x x
x e dx x e e dx x e e C
Calculamos una primitiva que pase por el punto 2 (1,e ).
2 1 2 1 2 5 2
(1 1)
2 4 4
e e e C C e
Luego, la primitiva que nos piden es: ( ) 1( 1) 2 1 2 5 2
2 4 4
x x
F x x e e e
Sea f : la función definida por f x( )(x 1) e2x. Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto(1,e2).
MATEMÁTICAS II. 2004. RESERVA 1. EJERCICIO 2. OPCIÓN B.
2 2
1; ;
2 x x
u x du dx
e dv e dx v
