9-automatas

(1)

Estructuras Discretas II

Lenguajes

y

Autómatas

Dra. Norka Bedregal Alpaca

(2)

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

S

(3)

 Lenguaje Natural:

o Aquel que ha evolucionado con el tiempo para fines de la

comunicación humana

o Continúan su evolución sin tomar en cuenta reglas

gramaticales formales

o Cualquier regla es posterior y trata de explicar la

estructura del lenguaje

 Lenguaje Formal:

o Está definido por reglas preestablecidas y se ajusta

rigurosamente a ellas

o Por ejemplo: lenguajes de programación de computadoras,

lenguajes matemáticos (álgebra, lógica proposicional..)

3

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(4)

 Se sabe que una cadena de un conjunto X es una secuencia finita de elementos de X.

 Las cadenas son objetos fundamentales usados en la definición

de lenguajes.

 El conjunto de elementos de donde las cadenas son producidas

se llama alfabeto del lenguaje.

 Un alfabeto consiste de un conjunto finito de objetos no

divisibles.

Ejemplo:

Sea ={a,b,c}, las siguientes son cadenas de ese alfabeto:

abc cb cab aaaabbbccc

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(5)

Definiciones.

Alfabeto

Palabra, cadena o frase

Palabra vacía

Longitud de una palabra

0 si x = 

| x | =

| y | + 1 si x = ya (con a  , y palabra sobre ∑ )

Ej. ∑ = {a, b}



Ej. x = abbab

∑n_{: conjunto de todas las palabras de longitud}_n_{sobre ∑}



0 *



 



i

5

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(6)

Concatenación de cadenas:

Sean x = a₁a₂...a_m e y = b₁b₂...b_n se define

xy = a₁a₂...a_mb₁b₂...b_n

Ejemplo:

Sean u=ab v=ca w=bb

Entonces

uv=abca vw=cabb

(uv)w=abcabb u(vw)=abcabb

Propiedades. 1. Asociativa

2. Elemento neutro ()

Lenguaje: cualquier subconjunto de ∑* _.

Concatenación de Cadenas

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(7)

Longitud de una cadena

También llamada tamaño de una cadena w es el número de

elementos que contiene la cadena.

Ejemplo:

La cadena abcdef tiene una longitud de 6.

Subcadena

Dada la cadena v, si existen las cadenas x y y de tal forma que

v = xuy.

entonces se dice que u es una subcadena de v

Esto quiere decir Que u “ocurre dentro de” v.

Un prefijo de v es una subcadena u en donde x es la cadena vacía

en la descomposición de v. Eso quiere decir que v=uy.

Similarmente, u es un sufijo de v si v=xu.

7

Cadenas o Palabras

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(8)

Ejemplo:

ab es un prefijo de la cadena abcdef y ef es un sufijo de la misma

cadena.

Representación finita del lenguaje

Un lenguaje consiste de un grupo de cadenas de un alfabeto. Usualmente ciertas restricciones se aplican a las cadenas del lenguaje.

Ejemplo:

El lenguaje Español consiste de todas las cadenas de palabras con sentido, también llamadas oraciones.

No todas las combinaciones de palabras forman oraciones.

De allí que un lenguaje consiste de un subconjunto de el conjunto de todas las posibles cadenas que se pueden formar de el alfabeto.

Lenguajes

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(9)

Ejemplo:

Sea A = {Juan, Luis, come, fruta, camina, y, queso, rápidamente} Luego A* contiene

 Oraciones o cadenas con sentido

o Juan Luis come fruta y queso

o Luis camina y come

o Juan come rápidamente

 Oraciones o cadenas sin sentido

o fruta camina y queso

o y come camina

o Juan queso

Ejemplo:

Sea el lenguaje L de cadenas de el alfabeto {a,b} en donde cada

cadena comienza con una a y tiene longitud par.

Las cadenas aa, ab, aaaa, abbb, abab, abbbaaba forman parte

de ese lenguaje. 9

Lenguajes

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(10)

El lenguaje anterior se puede definir recursivamente como:

i) Base: aa, ab son miembros de L.

ii) Paso recursivo: Si u es miembro de L, entonces

uaa, uab, uba, ubb

son miembros de L.

iii) Cierre (Closure): Una cadena u es miembro de L solo si

puede obtenerse de los elementos base por un número finito de aplicaciones del paso recursivo.

Lenguajes

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(11)

M

A

Q

U

IN

A

S

D

E

S

T

A

D

O

F

IN

IT

O

Ejemplo:

El lenguaje L consiste de cadenas del alfabeto {a,b} en donde cada ocurrencia de b es inmediatamente precedida por una a.

Por ejemplo, , a, abaab están en L y bb, bab, abb no están en L.

i) Base:  es miembro de L.

ii) Paso recursivo: Si u es miembro de L, Entonces

ua, uab son miembros de L.

iii) Cierre (Closure): Una cadena u es miembro de L solo si puede

obtenerse de los elementos base por un número finito de aplicaciones del paso recursivo.

Definiciones recursivas como la anterior son una herramienta para definir las cadenas de un lenguaje.

Lenguajes

(12)

M

A

Q

U

IN

A

S

D

E

S

T

A

D

O

F

IN

IT

O

Otra técnica para construir lenguajes es usar operaciones de conjuntos (sets) para construir, desde conjuntos mas simples hasta conjuntos complejos de cadenas.

Por ejemplo, la concatenación de los lenguajes X y Y, denotada XY, es el lenguaje

XY = {uv | u es miembro de X y v es miembro de Y}

La concatenación de X consigo mismo n veces se denota como Xn_.

X0 se define como {}.

Lenguajes

(13)

M

A

Q

U

IN

A

S

D

E

S

T

A

D

O

F

IN

IT

O

Ejemplo:

Sea X = {a,b,c} y Y = {abb, ba}. Entonces

XY = {aabb,babb,cabb,aba,bba,cba} X0_{= {}}

X1_{= X = {a,b,c}}

X2_{= XX = {aa,ab,ac,ba,bb,bc,ca,cb,cc}}

X3_{= X}2_{X = {aaa,aab,aac,aba,abb,abc,aca,acb,acc,}

baa,bab,bac,bba,bbb,bbc,bca,bcb,bcc, caa,cab,cac,cba,cbb,cbc,cca,ccb,ccc}

Lenguajes

(14)

M

A

Q

U

IN

A

S

D

E

S

T

A

D

O

F

IN

IT

O

Ejemplo:

El lenguaje L = {a,b}*{bb}{a,b}* consiste de las cadenas del alfabeto

{a,b} que contiene la subcadena bb.

La concatenación de el conjunto {bb} asegura la presencia de

bb en cualquier cadena en L.

Los conjuntos {a,b}* permiten cualquier número de a’s y b’s, en cualquier orden, y que preceden y siguen la ocurrencia de bb.

Las cadenas bb, abba, ababbbabab, bbaaaa, aaaabb son ejemplos de cadenas de el lenguaje L.

Lenguajes

(15)

Operaciones con lenguajes

M

A

Q

U

IN

A

S

D

E

S

T

A

D

O

F

IN

IT

O

-Booleanas.

Unión

L₁L₂={x  ∑ * _:_x _L

1  x  L2}

Intersección

L₁L₂={x  ∑ * _:_x _L

1  x  L2}

Complementación

Lc_{= {}_x_∑* _:_x _L_}

Diferencia

L₁- L₂= L₁ Lc

2

Diferencia simétrica

(16)

M

A

Q

U

IN

A

S

D

E

S

T

A

D

O

F

IN

IT

O

Concatenación de lenguajes.

L₁L₂= {x  y  ∑ * _:_x _L

1  y  L2}

-No conmutativa L₁L₂ L₂L₁

-Asociativa L₁(L₂ L₃)= (L₁ L₂)L₃

-Anulador L₁ = 

-Distributiva respecto de la unión

L₁(L₂ L₃)= L₁L₂L₁L₃

-No distributiva respecto de la intersección

L (L  L ) L L L L

Propiedades.

Operaciones con lenguajes

(17)

17

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

S

(18)

 Los autómatas de estado finito son un tipo especial de Máquinas de Estados Finitos.

 _{Los Autómatas se caracterizan por:}

o tener un estado inicial

o recibir una cadena de símbolos

o cambiar de estado por cada elemento leído o poder

permanecer en el mismo estado

o tener un conjunto de Estados Finales o Aceptables que

indican si una cadena o palabra pertenece al lenguaje al final de una lectura.

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(19)

Definición:

Un autómata de estado finito, A = (I, O, S, f, g, σ)

es una máquina de estado finito en la que el conjunto de símbolos de salida es

O = {0, 1}

y donde el estado actual determina la última salida.

Aquellos estados para los cuales la última salida es 1, reciben el nombre de estados de aceptación.

Los Autómatas se clasifican en 2 tipos:

 Autómata Finito Determinista.

 Autómata Finito no Determinista.

19

Definición

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(20)

Ejemplo:

Dibuje el diagrama de transición de la máquina de estado finito definida por la tabla

S f g

a b a b

σ₀ σ₁ σ₀ 1 0 σ₁ σ₂ σ₀ 1 0 σ₂ σ₂ σ₀ 1 0

σ₀ σ₁ σ2

b/0

b/0 a/1

a/1

A

U

T

O

M

A

T

A

S

(21)

Determine si la máquina graficada es o no un autómata de estado finito

σ₀ σ₁ σ2

b/0

b/0 a/1

a/1

Se debe cumplir:

 el conjunto de símbolos de salida debe ser {0, 1}

 para cada estado σ todos los arcos que llegan a σ tienen la

misma etiqueta de salida

 los estados σ que tienen como única etiqueta de salida el 1, son

los estados de aceptación

Luego, la máquina propuesta es un autómata de estado finito. 21

Ejemplo

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(22)

Diagrama de Transición de un Autómata

• En un diagrama de transición existe un vértice por cada estado

de S.

• Los estados finales están encerrados en un círculo doble.

• El estado inicial es apuntado por una flecha que no proviene de

ningún otro estado.

• Para cada estado σ_i y un símbolo de entrada a_k , hay

exactamente una y solo una flecha que inicia en σ_i y termina en

σ_v, la flecha se etiqueta como a_k.

En el ejemplo anterior:

σ₀ σ₁ σ2

b

b a

a

Autómatas de Estado Finito

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(23)

Existe una definición alternativa para un autómata de estado finito

Definición:

Una autómata de estado es una estructura descrita por la quíntupla

A = (I, S, f, A, σ) donde:

 I, alfabeto de entrada, es un conjunto finito de símbolos.

 S, conjunto de estados, es un conjunto finito

 f: S x I  S Función de estado siguiente

 A: subconjunto de S, integrado por los estados de

aceptación

 σ: estado inicial, pertenece a S 23

Otra Definición

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(24)

Para describir por completo una función de transición o función de estado siguiente, se utiliza una Tabla de Transición.

Las columnas se etiquetan con los símbolos de entrada, la filas son etiquetadas con los estados y en las intersecciones se colocan los nuevos estados.

Ejemplo:

Dibujar el diagrama de transición del autómata definido por A = (I, S, f, A, σ)

Donde: I = {a,b} S = {σ_0,σ_1, σ₂} A ={σ₂} σ = {σ₀} y f está definida

por

S f

a b

σ₀ σ₀ σ₁ σ σ σ

Tabla de Transición

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(25)

El diagrama pedido es:

σ₀ σ₁ σ2

a

a b

b

25

Tabla de Transición

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(26)

Sea A = (I, S, f, A, σ) un autómata de estado finito Dada una cadena de entrada sobre I

k

k I

x x

x  ₁, ₂, ₃,.., 

Si existe una secuencia de estados:

n







₁

,

₂

,

₃

,..,

tales que:

 σ₀ = σ

 f(σ_i-1, x_i) = σ_i

 el estado final σ_nes un estado de aceptación

Entonces, se dice que la cadena es aceptada por A

x



Cadenas Aceptadas por un Autómata

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(27)

Se denota por Ac(A) al conjunto de cadenas aceptadas por el autómata A y se dice que A acepta Ac(A)

Ejemplo:

Diseñar un autómata que acepte exactamente aquellas cadenas sobre {a, b} que no tengan letras “a”

σ₀ σ₁

b

a b a

donde :

σ₀: no se encontró “a”

σ₁: se encontró “a”

27

Cadenas Aceptadas por un Autómata

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(28)

donde :

P: se encontró un número par de letras “a”

I: se encontró un número impar de letras “a”

Ejemplo:

Diseñar un autómata que acepte exactamente aquellas cadenas sobre {a, b} que contengan un número impar de letras “a”

P I

b

a a

b

Observación:

Un autómata de estado finito es la representación de un algoritmo que sirve para decidir si una cadena es aceptada o no

Cadenas Aceptadas por un Autómata

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(29)

Ejemplo:

Construir un autómata de estado finito que no acepte cadenas que contengan la subcadena “aa” y donde I={a,b}.

q₀ q₁ q₂

a,b

a b

a

b

29

Cadenas Aceptadas por un Autómata

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(30)

Ejemplo:

Diseñar un AFD que reconozca cadenas que contienen la

subcadena 001

Por ejemplo debe reconocer cadenas como 0010, 1001,

11111110011111, pero no como 11, 0000, 1100, 10101.

q q₀ q₀₀ q₀₀₁

1

0 0

1

Cadenas Aceptadas por un Autómata

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(31)

Autómatas y Lenguajes

Lenguaje aceptado por autómata

Se define el lenguaje aceptado por un Autómata finito determinista como:

L(M) = {w  *_|_w_{es aceptada por}_M_}

Por tanto, L(M) es el conjunto de las cadenas que hacen que M pase del estado inicial a un estado de aceptación.

31

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(32)

Ejemplo:

Sea el AFD, A = (I, S, f, A, σ) donde

S = {q₀, q₁, q₂, q₃}

I = {a, b} σ = q₀

A = {q₀, q₁, q₂}

f definida por la tabla

a b

q₀ q₀ q₁ q₁ q₀ q₂ q₂ q₀ q₃ q₃ q₃ q₃

Dibuje su diagrama de transición y determine que lenguaje acepta

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(33)

acepta el lenguaje

L(M) = {w  {a, b}* | w no contiene tres b consecutivas}

σ0 σ1 σ2 _σ3

a

b b

a

b

b a

33

L

E

N

G

U

A

JE

S

Y

A

U

T

Ó

M

A

T

A

(34)

Se puede aplicar recursivamente una serie de caracteres de una cadena dada al AFD.

Por ejemplo, la aplicación de la cadena bbab en el caso anterior dará f( f( f( f(σ ₀,b),b),a),b) = σ₁.