EX1.- Propiedades de los campos conservativos.
2.- Dados los vectores
a
3
i
j
2
k y b
i
7
j
2
k
. Hallaaxb y b x a
.Interpreta el resultado obtenido.
EX3.-Responde a las siguientes cuestiones:
a) Definición de momento angular. Unidades en el S.I.
b) Principio de conservación del momento angular: fuerzas centrales.
4.- Demuestre que si la suma y diferencia de dos vectores tienen el mismo módulo, entonces
son perpendiculares.
5.- Dados los siguientes vectores:
3
2
;
3
5 ;
2
4
a
i
j k b i
j
k c
i
j
k
a) Demostrar que forman un triángulo rectángulo indicando qué dos vectores hacen el ángulo
de 90º.
b) Halla el área de dicho triángulo utilizando álgebra vectorial.
6.- Un triángulo tiene sus vértices en los puntos A(2,5,-1); B(1,1,3) y C(-4,3,-2).
a) Halla el área del triángulo utilizando el álgebra vectorial.
b) Halla un vector de módulo 5 y que sea perpendicular al plano del triángulo.
7.- Halla x para que los vectores (5,1,-2) y (2,x,6) sean perpendiculares.
8.- Sea el vector (3,4,1) y el vector (4,-5, 8). ¿Son perpendiculares? Halla los módulos de ambos
vectores y sus cosenos directores.
9.- Para los vectores (3,-2.0) y (5,1,2), se pide: a) Los módulos de ambos vectores. B) El
10.- Halla un vector que sea perpendicular al vector (1,1,1), que cumpla la condición de que su
componente sobre el eje Z sea nula y que sumado con el vector (-3,0,-1) se obtenga de
primera componente el valor cero.
11.- Considera las dos fuerzas siguientes:
F = 20i -10jN y F = 10i + 20j N
1 2 .Calcula:a) La fuerza resultante.
b) El ángulo que hace la resultante con el eje X.
c) El módulo de la fuerza resultante y de las fuerzas
F y F
1 2 .d) Halla la resultante gráficamente.
12.- Dibuja un vector fuerza de 10 N que hace un ángulo de 30º en sentido ascendente con el
eje positivo de las X y calcula sus componentes cartesianas.
13.- Tres remolcadores tiran de una barcaza tal y como se indica en la figura. Halla la fuerza
que hace avanzar realmente a la barca.
14.- Una barca atraviesa un río empujada por un remero que hace una fuerza de 700 N. La
corriente arrastra perpendicularmente a la barca con una fuerza de 200 N. Halla la fuerza que
realmente hace avanzar a la barca. Haz un dibujo con las fuerzas.
11 N
20 N
11N
60º
15.- Se tienen dos fuerzas de módulos 10 y 5N que hacen un ángulo de 60º y 30º
respectivamente con el eje X; y una tercera fuerza de módulo 4 N que hace un ángulo de 45º
con la parte negativa del eje X en sentido ascendente todas ellas. Calcula numéricamente la
fuerza resultante
R
.Nota: Ayúdate de un dibujo de las fuerzas
16.- Sean
u
(1, 2,5)
y v
(2, 1,3).
Halla u x v
17.- Halla el área del triángulo cuyos vértices son: A(2,5,-1); B(1,1,3) y C (-4,3,-2)
18.- Halla un vector
w
de módulo 5 y que sea perpendicular a los vectores3
4
3
8
u
j
k y v
i
j
k
.19.- Halla un vector unitario que sea perpendicular a los vectores
2
3
2
u
i
j
k y v
i
k
20.- El vector (1,-2,3) está aplicado en el punto P(2,1,2). Calcula el momento de dicho vector
respecto al origen de coordenadas y su módulo.
21.- Sea el vector
F
2
i
j
2
k
en unidades del Sistema Internacional. Dicha fuerza se aplicaen
r
i
2
j
k
también en unidades del S.I. Calcula el momento de la fuerza.22.- El origen de un vector es el punto A(3,-1,2) y su extremo es el punto B(1,2,1). Calcula el
momento del vector respecto al punto C(1,1,2).
23.- El vector
v
(6, 3, 4)
se aplica en P(3,-6,2). Calcula el momento del vector respecto alEX 24.- Dados los siguientes vectores:
3
2
;
3
5 ;
2
4
a
i
j k b i
j
k c
i
j
k
a) Demostrar que forman un triángulo rectángulo indicando qué dos vectores hacen el ángulo
de 90º.
b) Halla el área de dicho triángulo utilizando álgebra vectorial.
EX 25.- Un satélite gira alrededor de un planeta describiendo una órbita elíptica. Indica cuál de
las siguientes magnitudes físicas permanecen constantes:
a) Momento angular.
b) Momento lineal.
c) Energía potencial.
26.- Un satélite artificial de 500 kg de masa gira alrededor de la Tierra en una órbita de 8000
km de radio. Halla: A) El momento angular. B) Energía necesaria para colocar el satélite en la
órbita, desde la Tierra. Sol: 2,82.1013kgm2s-2 ; 1,87.1010 J
27.- Explica dónde es mayor la velocidad de la Tierra en su giro alrededor del Sol, en el afelio o
en el perihelio.
28.- Mercurio describe una órbita elíptica alrededor del Sol. En el afelio, su distancia al Sol es
6,99.1010 m y su velocidad orbital es 3,88.104 m/s, siendo la distancia al Sol en el perihelio 4,6.1010m. A) Halla la velocidad orbital de mercurio en el perihelio. B) Calcula las energías cinéticas, potencial y mecánica de Mercurio en el perihelio. C) Calcula el módulo de su
momento lineal y de su momento angular en el perihelio. D) ¿Qué magnitudes de los
apartados anteriores son iguales en el perihelio y en el afelio?
Datos: Mmercurio=3,18.1023kg; MSol=1,99.1030kg;G=6,67.10-11N.m2.kg-2
Sol:5,9.104 m/s; Ep=-9,2.1032J; Ec=5,53.1032J; EM= -3,66.1032J; 1,88.1028kgm/s; 8,63.1038
EX29.- Un satélite artificial describe una órbita elíptica con el centro de la Tierra en uno de sus
focos. A) En el movimiento del satélite, ¿se conserva la energía mecánica?; ¿y el momento
angular? Razona las respuestas. B) Supón que son conocidas las distancias de la Tierra al afelio
y al perihelio. Plantea, de forma razonada y sin resolver, las ecuaciones necesarias para
determinar las velocidades del satélite en esos puntos, afelio y perihelio.
30.- El cometa Halley se mueve en órbita elíptica alrededor del Sol. En el perihelio el cometa
está a 8,75.107 km del Sol y en el Afelio a 5,26.109 km. a) ¿En qué punto tiene más velocidad? ¿En qué punto tiene más aceleración? B) ¿En qué punto tiene mayor energía potencial? ¿Y
mayor energía mecánica?
EX31.- Comprueba que la segunda ley de Kepler es un caso particular del teorema de
conservación del momento angular.
32.- La velocidad angular con que un satélite describe una órbita circular en torno al planeta
Venus es w1=1,45.10-4rad/s y su momento angular respecto al centro de la órbita es L1=2,2.1012
kg.m2.s-1. A) Halla el radio r1 de la órbita del satélite y su masa. B) Energía que será necesario
invertir para cambiar el satélite a otra órbita circular con w2= 10-4 rad/s. Dato: MVenus=4,87.1024
kg. Sol: 24,5 kg y 2,49.107m ; 3,51.107 J.
EX33.- Enuncia las leyes de Kepler del movimiento de rotación de los planetas alrededor del
Sol. A partir de la ley de gravitación de Newton, demuestra la tercera ley de Kepler para una
órbita circular.
34.- Calcula el momento angular de la Tierra respecto al Sol suponiendo que la Tierra no rota
sobre sí misma y que la órbita es circular.
Datos: MTierra=5,98.24 Kg ; distancia Tierra – Sol =1,5.1011 m.
35.- Un cuerpo de 5 kg se mueve en el plano XZ debido a la acción de una fuerza de tal modo
que su vector de posición viene dado por 2
( )
2
5
r t
t i
t k
en unidades del S.I. Halla el36.- Un objeto puntual de masa 150g está atado a una cuerda que pasa por un agujero
practicado en una mesa. El objeto gira sobre la mesa a razón de 3 vueltas por segundo cuando
el radio es 20 cm.
Si mediante la fuerza F aplicada sobre la cuerda acortamos el radio de la trayectoria circular
hasta 5 cm, halla la velocidad angular del objeto en ese momento.
Sol: 48 vueltas/s
37.- Una partícula de masa 3 kg se encuentra en un instante dado en la posición (2,3,1)
animada de una velocidad
v t
( )
3
i
2
j
k
m/s. Halla el momento angular respecto alorigen de coordenadas, Sol: (15, 3, -39) kg.m2.s-1
