Apuntes: Matem´aticas Empresariales I
1.
Lecci´
on 1 - Espacio Vectorial
Definiremos espacio vectorial como la estructura algebraica consistente en: 1. Grupo abeliano{V,+,} cuyos elementos se denominanvectores.
Para que los elementos de V conjunto con la operaci´on + formen un grupo abeliano deben cumplir las siguientes propiedades:
a) Propiedad asociativa. Dados tres vectores deV, se debe cumplir quev⃗i+ (v⃗j+v⃗k) = (v⃗i+v⃗j) +v⃗k. Es decir, que debe dar el mismo resultado si se realiza la operaci´on agrup´andolos de formas distintas.
b) Elemento Neutro. Debe existir un elemento, que llamamos⃗0, que cumpla quev⃗i+⃗0 =v⃗i. Es decir, que al aplicar la operaci´on a cualquier elemento junto con el neutro, el resultado sea el propio elemento.
c) Elemento Sim´etrico. Debe existir un elemento, que llamamos (−⃗vi), que cumpla quev⃗i+(−⃗vi) =⃗0. Es decir, que al aplicar la operaci´on a cualquier elemento junto con el sim´etrico, el resultado sea el neutro.
d) Propiedad conmutativa. Dados dos vectores de V, se debe cumplir que
⃗
vi+v⃗j = v⃗j +v⃗i. Es decir, el orden de los elementos en la operaci´on no altera el resultado.
2. Un cuerpo conmutativo {R,+,·}, cuyos elementos se denominan escalares
3. Una ley de composici´on externa, tal que el producto escalar por un vector (k·⃗v) de como resultado un vector (k·⃗vϵV) y que cumpla los siguientes axiomas:
a) Que sea distributiva o respecto a la suma de vectores:
k·(v⃗i+v⃗j) = k·v⃗i+k·v⃗j, b) Que sea distributivo respecto a la suma de escalares:
(ki·kj)·⃗v =ki·(kj·⃗v)
d) Que el neutro del producto del cuerpo (1) sea neutro del producto externo:
1·⃗v =⃗v
Ejemplo
Sea el conjunto de elementos deR2 (son todos aquellos que tienen dos coorde-nadas y que cada coordenada es un numero real). Sea la operaci´on suma de vectores definida de la forma siguiente: dados dos vectores deR2 x¯= (x
1, x2) e ¯y= (y1, y2) se define el vector suma como otro vector ¯s∈R2 que cumple que ¯s= (x1+y1, x2+y2). Sea la operaci´on externa producto escalar definida de la forma siguiente: dado un vector deR2 (¯x= (x1, x2)) y dado un escalar k perteneciente al espacio R se define el producto escalar a otro vector ¯p∈R2 que cumple que ¯p= (kx
1, kx2). Demostrar que los tres elementos forman un espacio vectorial.
Para que los tres elementos formen un espacio vectorial deben cumplir las propiedades del espacio vectorial. En primer lugar, el conjunto de elementosR2 y la operaci´on suma deben formar un grupo abeliano. Para ello deben cumplir las cuatro propiedades del grupo abeliano:
1. Propiedad asociativa. Sean tres elementos cualquiera de R2, ¯x= (x
1, x2), ¯y = (y1, y2) y ¯z = (z1, z2) deben cumplir que ¯x+ (¯y+ ¯z) = (¯x+ ¯y) + ¯z. Y operando lo que se obtiene es que (x1, x2) + [(y1, y2) + (z1, z2)] tiene que ser igual que [(x1, x2)+(y1, y2)]+(z1, z2) y operando se obtiene que (x1, x2)+(y1+z1, y2+z2) tiene que ser igual a (x1+y1, x2+y2) + (z1, z2) donde ya se han realizado la primera operaci´on suma. Ahora, se realiza la segunda operaci´on y entonces [x1+(y1+z1), x2+(y2+z2)] debe ser igual a [(x1+y1)+z1,(x2+y2)+z2]. Dichas expresiones ser´an iguales six1+ (y1+z1) = (x1+y1) +z1 y si x2+ (y2+z2) =
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(x2+y2) +z2. Dichas expresiones se cumplen ya que los elementosxi, yi, zi son n´umeros reales y los numeros reales tienen la propiedad asociativa.
2. Elemento Neutro. Debe existir un elemento, que llamamos ¯0 = (0,0), que cumpla que ¯x+ ¯0 = ¯x. En este caso, dado el elemento neutro, debe cumplir que (x1, x2) + (0,0) = (x1, x2) y operando se obtiene que x1 + 0 = x1 y que
x2 + 0 =x2. Como los xi son n´umeros reales y el 0 es el neutro de los reales, dicha propiedad se cumple.
3. Elemento Sim´etrico. Debe existir un elemento, que llamamos ( ¯−x) = (−x1,−x2), que cumpla que ¯x+(−¯x) = ¯0. En este caso, dado el elemento sim´etrico, se debe cumplir que (x1, x2) + (−x1,−x2) = (0,0) y operando se obtiene que
x1 + (−x1) = 0 y que x2 + (−x2) = 0. Como los xi son n´umeros reales, se cumple que la suma de un n´umero con su opuesto da el 0.
4. Propiedad conmutativa. Sean dos elementos cualquiera de R2, ¯x = (x
1, x2) y ¯
y = (y1, y2), deben cumplir que ¯x+ ¯y = ¯y+ ¯x. En este caso, se debe cumplir que (x1, x2) + (y1, y2) = (y1, y2) + (x1, x2) y operando, se debe cumplir que (x1+y1, x2+y2) = (y1+x1, y2+x2) e igualando ambos lados se debe cumplir quex1+y1 =y1+x1 y quex2+y2 =y2+x2. Como los xi y losyi son n´umeros reales, dicha propiedad se cumple.
Ahora, una vez que sabemos que R2 y la operaci´on suma forman un grupo abeliano, debemos comprobar que junto con la operaci´on producto escalar, forman un espacio vectorial. Para ello debemos comprobar que se cumplen las propiedades siguientes:
1. Que sea distributiva o respecto a la suma de vectores. En este caso lo que debe cumplir es que dados dos vectores de R2, ¯x = (x1, x2) y ¯y = (y1, y2) y dado un escalar k se debe cumplir que k·(¯x+ ¯y) = k·x¯+k·y¯. Desarrollando la expresi´on, se debe cumplir que:
(k·x1+k·y1, k·x2+k·y2) y por ´ultimo, esto se cumple sik·(x1+y1) =k·x1+k·y1 y si k·(x2+y2) =k·x2+k·y2. Y debido a que tantok como los xi como los
yi son n´umeros reales, dicha propiedad se cumple.
2. Que sea distributivo respecto a la suma de escalares. En este caso lo que debe cumplir es que dado un vector de R2, ¯x = (x1, x2) y dados dos escalares k1 y
k2 se debe cumplir que (k1+k2)·x¯=k1·x¯+k2·x¯. Desarrollando la expresi´on, se debe cumplir que:
(k1+k2)·(x1, x2) = k1·(x1, x2) +k2·(x1, x2)
Operando a ambos lados se obtiene que [(k1+k2)·x1,(k1+k2)·x2] tiene que se igual a [(k1·x1, k1·x2) + (k2·x1, k2·x2)] e igualando ambos vectores se debe cumplir que (k1+k2)·x1 =k1·x1+k1·x2 y que (k1+k2)·x2 =k1·x2+k2·x2. Y debido a que tantok1 comok2 como losxison n´umeros reales, dicha propiedad se cumple.
3. Que sea pseudoasociativa. En este caso lo que debe cumplir es que dados un vector de R2, ¯x = (x1, x2) y dados dos escalares k1 y k2 se debe cumplir que (k1·k2)·x¯=k1·(k2·x¯). Desarrollando la expresi´on, se debe cumplir que:
(k1·k2)·(x1, x2) =k1·k2(·(x1, x2))
Operando a ambos lados se obtiene que (k1·k2)·x1 debe ser igual ak1·k2(·x1) y que (k1 ·k2)·x2 debe ser igual ak1·k2(·x2). Y debido a que tanto k1 como
k2 como los xi son n´umeros reales, dicha propiedad se cumple.
4. Que el neutro del producto del cuerpo (1) sea neutro del producto externo. En este caso lo que debe cumplir es que dado un vector de R2 y dado el elemento neutro del cuerpo, se debe cumplir que 1·x¯= ¯x. Desarrollando la expresi´on, se debe cumplir que:
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Operando a ambos lados se obtiene que 1·x1 sea igual ax1 y que 1·x2 sea igual a x2. Y debido a que los xi son n´umeros reales dicha propiedad se cumple.
