Practica V
Controladores PID
Israel Alvarez Villalobos
ICA - ESIME - IPN
M
é
xico
1.
Introducci´
on
Se analizar´an las caracter´sticas de los controles proporcional, integral y derivativo, y como usarlos para obtener la respuesta deseada considerando un sistema con retroalimentaci´on unitaria.
Planta: Sistema objeto de control.
Controlador: Proporciona la excitaci´on a la planta; se dise˜na para controlar el comportamiento global del sistema.
Figura 1: Diagrama de bloques de un sistema de control.
La siguiente expresi´on muestra la funci´on de transferencia de un controlador
P ID:
KP +
KI
s +KDs=
KDs2+KPs+KI
s
En primer lugar, veamos como funciona un controlador P ID en un sistema en lazo cerrado como el representado en el esquema anterior. La variable (e) representa el error de seguimiento, la diferencia entre el valor de la entrada deseada (R) y la salida efectiva (Y). Esta se˜nal de error (e) se env´ıa al controlador P ID y el controlador eval´ua tanto la integral como la derivada de esta se˜nal de error. La se˜nal (u) a la salida del controlador es igual a la magnitud del error por la ganancia proporcional (KP), m´as la magnitud de
la integral del error por la ganancia integral (KI), m´as la magnitud de la
derivada del error por la ganancia derivativa (KD).
u=KPe+KI t
∫
0
edt+KD
d dte
de error para calcular nuevamente su derivada y su integral. Este proceso se repite una y otra vez.
Caracter´ısticas de los controladores P, I, y D.
Un controlador proporcional (KP) reduce el tiempo de subida pero no
elimina nunca el error en r´egimen Permanente. El control integral (KI)
eli-mina el error en r´egimen permanente pero empeora la respuesta transitoria. Un control derivativo (KD) incremento la estabilidad del sistema, reduce el
sobreimpulso y mejora la respuesta transitoria. En la tabla 1 se resumen los efectos de cada controlador KP, KD y KI sobre un sistema en lazo cerrado.
Respuesta BC t Subida Sobretiro t Establecimiento Error R-P
KP Disminuye Aumenta Poca variaci´on Disminuye
KI Disminuye Aumenta Aumenta Elimina
KD Poca variaci´on Disminuye Disminuye Poca variaci´on
Tenga en cuenta que estas relaciones puede que no sean demasiado precisas porque los efectos de las ganancias KP, KI y KD dependen los unos de los
otros. De hecho, al variar el valor de una de estas variables puede que se modifiquen los efectos producidos por las otras dos. Por esta raz´on, a la hora de determinar los valores de KP, KI y KD s´olo deber usar esta tabla como
2.
Desarrollo
Sea el sistema mostrado en la figura 2, obtener su respuesta en el tiempo en lazo abierto y proponer el controlador mas adecuado.
Figura 2: Sistema Masa-Resorte.
La ecuaci´on que modela de este sistema es
Mx¨+bx˙ +kx=F
Tomando la transformada de Laplace de la ecuaci´on del modelo
M s2X(s) +bsX(s) +kX(s) =F(s)
Lafunci´on de transferencia del desplazamientoX(s) con respecto a la entrada
F(s) ser´a
X(s)
F(s) =
1
M s2+bs+k
Establezcamos
M = 1kg b = 10N s/m k = 20N/m F(s) = 1
Sustituyendo estos valores en la funci´on de transferencia anterior
Respuesta escal´on en lazo abierto
Crear un nuevo archivo M con el siguiente codigo:
num = 1; den=[ 1 10 20]; sys=tf(num,den); step(sys);
Control Proporcional
Como se menciono anteriormente el controlador proporcional reduce el tiempo de subida, incrementa el sobreimpulso y reduce el error en r´egimen permanente. La funci´on de transferencia de lazo cerrado del sistema anterior es:
X(s)
F(s) =
KP
s2+ 10s+ (20 +K
P)
Establezcamos 300 como valor de la ganancia proporcional KP y
modifique-mos el archivo de instrucciones de la siguiente manera:
kp=300; num=[kp];
den=[1 10 20+kp]; sys=tf(num,den); t=0:0.01:2; step(sys,t)
Control Proporcional y Derivativo
Este reduce tanto el sobreimpulso como el tiempo de establecimiento. La funci´on de transferecnia en lazo cerrado del sistema propuesto con un P D
es:
X(s)
F(s) =
KDs+KP
s2+ (10 +K
D)s+ (20 +KP)
Establezcamos en 300 el valor de KP y KD = 10. Haciendo las
kp=300; kd=10;
num=[kd kp];
den =[1 10+kd 20+kp]; sys=tf(num,den); t=0:0.01:2; step(sys,t)
Control Proporcional e Integral
De la tabla 1, vemos que un regulador integral (KI) disminuye el tiempo
de subida, incrementa tanto el sobreimpulso como el tiempo de estableci-miento, y elimina el error de estado estacionario. Para el sistema dado, la funci´on de transferencia de lazo cerrado con un control delP I es:
X(s)
F(s) =
KPs+KI
s3+ 10s2+ (20 +K
P)s+KI
Reduzcamos a 30 el valor de KP y establezcamos en 70 el valor de KI,
mo-difiquemos el archivo de la siguiente forma:
kp=30; ki=70;
num=[kp ki];
den =[1 10 20+kp ki]; sys=tf(num,den); t=0:0.01:2; step(sys,t)
Control Proporcional, Integral y Derivativo
La funci´on de transferencia en lazo cerrado del sistema dado con un re-gulador P ID es:
X(s)
F(s) =
KDs2 +KPs+KI
s3+ (10 +K
D)s2+ (20 +KP)s+KI
ganan-Para confirmar, incorpore los comandos siguientes a un archivo M y ejec´utelo
kp=350; ki=300; kd=50;
num=[kd kp ki];
den=[1 10+kd 20+kp ki]; sys=tf(num,den);
t=0:0.01:2; step(sys,t)
Nota 1 Para ampliar la informaci´on consulte el cap´ıtulo 10 de [1]. Y visite el sitio de internet: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/PID/PID.html de donde se ha extraido la informaci´on de esta practica.
