Tema: Factorización utilizando el máximo común divisor mejor conocida como la técnica de factor común. Esta técnica está basada en la Propiedad distributiva: ab+ac=a(b+c)
Ejemplo:
1. Factorice Se busca el máximo común divisor entre los dos términos.
En este caso el 7 es factor de 7 y del 14, la x es factor de x2 y de la x. Siendo el mayor o máximo en ambos casos. Por lo tanto, 7x es el factor común. Utilizando este factor se reescribe la expresión:
=
2. Factorice El máximo común divisor entre los dos términos es 20a 2 ya que el 20 es factor de 40 y el a 2 es factor de a 3. Por lo tanto, 20a 2 es el factor común. Utilizando este factor se reescribe la expresión:
=
Ejercicios: Halla el máximo común divisor y factoriza las siguientes expresiones: 1. 19x3−38x2
=¿
2. 100a4+50a2=¿ Respuestas:
1. 19x2(x−2)
2. 50a2
(
2a2+1)
Ejemplo: Factorice 6x3−9x2y−6x2y2 y verifique su respuesta.
¿Qué factor tienen en común cada término de este trinomio? El 3 y la x2.
Por lo tanto: 6x3−9x2y−6x2y2=3x2
(
2x−3y−2y2)
Verificamos nuestro resultado multiplicando. 3x2
(
2x−3y−2y2)
=6x3Ejemplos: Factoriza y verifique su respuesta. 1. 9a3−12a2b2−15a4=¿ 3a2
(
3a−4b2−5a2)
2.
3.
4. 21x3−18x2y+24x y2=3x(7x2−6xy+8y2)
5. 2x y2−14x2y
Ejemplo: Factorice 2x(x+5)−3(x+5)=¿
Respuesta: 2x(x+5)−3(x+5)=(x+5)(2x−3)
Ejercicios: Factorice 1. 9x2−18xy−15y2=¿
2. 4a3−12a2b2−8a b3+6ab=¿ 3. 21x3−18x2y+24x y2=¿
4. 12x y2−14x2y+20x2y2+36x3y=¿
5. 2x2(2x−3)−3(2x−3)=¿
Respuestas:
1. 3
(
3x2−6xy−5y2)
2. 2a
(
2a2−6a b2−4b3+3b
)
3. 3x(7x2−6xy+8y2)
4. 12x y2−14x2 y+20x2y2+36x3 y=¿ 5. (2x−3)
(
2x2−3)
Factorizando por agrupación.
Ejemplo 1. Factorice: ax + 2ay + 2bx + 4by
ax + 2ay + 2bx +4by ¿a (x + 2y) + 2b (x + 2y) ¿ (a + 2b) (x+ 2y)
Ejemplo 2. Factorice: bx + 5by + 2wx + 10wy
(bx + 5by) + (2wx + 10wy) ¿ b (x + 5y) + 2w (x + 5y) ¿(b + 2w) (x + 5y)
Ejemplo 3. Factorice: 2x2 – 18y – 12x + 3xy En este caso primero, reorganice los términos:
2x2 – 12x + 3xy – 18y
2x (x - 6) + 3y (x - 6)
(2x + 3y) (x – 6)
Practica: 5x2 – 12y + 4xy – 15x
Ejemplo 4. Factorice: xy – 6 + 3x – 2y. xy + 3x – 2y – 6
(x – 2) (y + 3)
Practica: Factorice xy – 12 – 4x + 3y
Ejemplo 5. Factorice: 2x3 + 21 – 7x2 – 6x. Verifique su respuesta.
2x3 + 21 – 7x2 – 6x Reorganice los términos
2x3 – 7x2 – 6x + 21
x2 (2x – 7) – 3 (2x – 7)
(x2 – 3) (2x – 7) Ver. 2x3 – 7x2 – 6x + 21
5.5 (7.6)
Tema: Factorizando Trinomios de la forma x2 + bx + c
Ejemplo x2 + 9x + 20
X2 + 9x + 20 20 = 20 x 1, 4 x 5 y 10 x 2 De estos productos el único que suma 9 es 4 x 5 .
Por lo tanto (x + 4) (x + 5) es nuestra factorización. Factorizando Trinomios de la forma x2 + bx + c.
1. La respuesta tiene la forma (x + m) (x + n), donde m y n son números reales.
2. Los números m y n son escogidos de forma tal, que tienen que cumplir con lo siguiente: 1ro. m x n = c y 2do. m + n = b
3. De manera que: (x + m) (x + n) = x2 + xn + xm +mn
= x2 + x (n + m) + mn
= x2 + x (b) +c
= x2 + bx + c
Ejemplo1. x2 – 13x – 48 ¿ Ejemplo 2. x2 + 11x – 26 ¿
(x – 16) (x + 3) (x – 2) (x + 13)
Ejemplo 3. x4 – 4x2 – 12 ¿ Ejemplo 4. x4 + 2x2 – 15 =
(x2 + 2) (x2 – 6) (x2 – 3) (x2 + 5)
Practica:
1. x2 – 14x + 48 = (x – 6) (x – 8)
2. x2 + 14 + 45 = (x + 5) (x + 9)
3. x6 – 3x3 – 4 = (x3 + 1) (x3 – 4)
4. x4 + 3x2 – 10 = (x2 – 2) (x2 + 5)
Ejemplo 5. x2 – 21xy – 20y2 ¿ Ejemplo 6. x2 + 4xy – 21y2
(x – 20y) (x – y) (x + 7y) (x – 3y)
Practica: Factorice 1. x2 – 16xy + 15y2
2. x2 + xy – 42y2
Ejemplo 7. Factorice: 3x2 – 30x + 48 1ro note, que hay un factor común 3.
= 3 (x2 – 10x + 16)
= 3 (x – 8) (x – 2) Practica: 4x2 – 44x + 72
Método: Para factorizar un trinomio de la forma ax2 + bx + c
1. Obtenga el producto a·c.
2. Encuentra la factorización del producto anterior (a·c), de forma tal, que la suma sea b.
3. Usa esos dos factores para escribir bx como la suma de esos dos términos. Vea pasos 2 y 3 del ejemplo. 4. Factorice por agrupación.
Ejemplo: Factorice 2x2 + 19x + 24
1. (a) (c) = (2) (24) = 48 2. Busque las parejas de 48
48 x 1 12 x 4 24 x 2 8 x 6 16 x 3
Ahora como b = 19 entonces la pareja de factores de 48 cuya suma es 19 son 16 y 3. 3. Por lo tanto, utilizamos los factores 16 y 3, para escribir 19x como la suma de 16x y 3x.
2x2 + 19x + 24 = 2x2 + 16x + 3x + 24
4. Factorizando por agrupación. 2x2 + 16x + 3x + 24
= 2x (x + 8) + 3 (x + 8) = (2x + 3) (x + 8)
Practica: 3x2 + 2x – 8
Ejemplo: 6x2 + 7x – 5
1. (a) (c) = (6) (-5) = -30 2. Busca las parejas de -30
-30 x 1 30 x -1 15 x -2 -15 x 2
5 x -6 -5 x 6 3 x -10 -3 x 10 3. Ya -3 +10 = 7, usaremos -3 y 10 para escribir 6x2 + 7x – 5 = 6x2 – 3x + 10x – 5
4. Factorizamos por agrupación
6x2 – 3x + 10x – 5 = 3x (2x – 1) + 5 (2x – 1)
= (3x + 5) (2x – 1) Practica: 10x2 – 9x + 2
Ejemplo: 6x3 – 26x2 + 24x = 2x (3x2 – 13x + 12)
Ahora, aplique los 4 pasos para factorizar 3x2 – 13x + 12
1. (a) (c) = 3 x 12 = 36
2. Queremos buscar la pareja de 36 cuya suma es -13. Los dos múltiplos son -4 y -9. 3. Entonces usamos -4 y -9 para escribir 3x2 – 13x + 12 para nuestros cuatro términos.
3x2 – 13x + 12 = 3x2 – 4x – 9x + 12
4. Ahora factorizando por agrupación; Recuerda que la primera factorización fue de 2x. Esta multiplicación es parte de la respuesta.
2x (3x2 – 4x – 9x + 12) = 2x [x (3x – 4) – 3 (3x – 4)]
= 2x (3x – 4) (x – 3) Practica: Factorice 9x3 – 15x2 – 6x
5.6 (7.6)
Tema: Factorización para casos especiales Diferencia de cuadrados
a2 - b2 = (a + b) (a – b)
Ejemplo: x2 – 16
En este caso a = x y b = 4 en nuestra fórmula. a2 - b2 = (a + b) (a – b)
x2 - 42 = (x + 4) (x – 4)
Practica: x2 – 9
a2 - b2 = (a + b) (a – b)
x2 - 32 = (x + 3) (x – 3)
Ejemplo: 25x2 – 36
a2 - b2 = (a + b) (a – b)
(5x)2 - 62 = (5x + 6) (5x – 6)
Practica: 64x2 – 121y2
(8x +11y) (8x – 11y) Ejemplo: 100w4 – 9z4
(10w2 + 3z2) (10w2 – 3z2)
Practica: 49x2 – 25y4
(7x + 5y2) (7x – 5y2)
Ejemplo: 75x2 – 3 En este caso, primero obtén el factor común.
3 (25x2 – 1) Ahora podemos aplicar factorización por diferencia de cuadrados.
Practica:
7x2 – 28
7 (x2 – 4)
7 (x + 2) (x – 2)
Factorizando Trinomios Cuadrados Perfectos. Fórmulas a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
Como reconocer estos casos especiales, para así ahorrarnos mucho tiempo a la hora de factorizar. ¿Cómo podemos reconocer un trinomio cuadrado perfecto?
1. El primero y último trinomio son cuadrados perfectos. Los valores numéricos son 1, 4, 9, 16, 25, 36,…, las variables tienen exponentes pares.
2. El término del medio es dos veces el producto de los valores del primer término y el último. Ejemplo: 25x2 – 20x + 4
a. El primer y último término son cuadrados perfectos. 25x2 – 20x + 4 = (5x)2 – 20x + (2)2
b. Ahora el término del medio es dos veces el producto de 5x y 2. En otras palabras, 2 (5x) (2) = 20x
(5x)2 – 2 (5x) (2) + (2)2 Así que a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
25x2 – 20x + 4 = (5x – 2)2
Practica: 9x2 – 30x + 25
1. 9x2 – 30x + 25 = (3x)2 – 30x + (5)2
2. (3x) (5) (2) = 30x
9x2 – 30x + 25 = (3x)2 - (2) (3x) (5) + (5)2. Así que
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Ejemplo. Factoriza: 16x2 – 24x + 9=
1. 16x2 – (4x)2 y 9 = (3)2
2. 2 (4x) (3) = 24x a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
16x2 – 24x + 9 = (4x)2 - 2 (4x) (3) + (3)2
16x2 – 24x + 9 = (4x – 3)2
Práctica: Factoriza: 25x2 – 70x + 49=
(5x – 7)2
Ejemplo: Factoriza: 200x2 + 360x + 162
Primero, obtenemos 2 por ser factor común. 2(100x2 + 180x + 81)=
2(10x + 9)2 = 2[(10x)2 + 2(10x) (9) + (9)2]
Práctica. Factoriza: 242x2 + 88x + 8 =
2(121x2 + 44x + 4)
Ejemplos Factorice:
a. x4 +14x2 +49 = (x2 + 7)2
b. 9x4 + 30x2y2 + 25y4 = (3x2 + 5y2)2
Practica: Factorice
1. 49x4 + 28x2 + 4 (7x2 + 2)2
2. 36x4 + 84x2y2 + 49y4 (6x2 + 7y2)2
Factorizando diferencia de cubos. Fórmulas a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)
Ejemplo: Factorice 125x3 + y3
Note que es de la forma a3 + b3 donde a = 5x yb = y, por lo tanto, aplicando la fórmula
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) se obtiene que:
125x3 + y3 = (5x)3 + (y)3 = (5x + y) (25x2 – 5xy + y2)
Practica: Factorice 8x3 + 125y3
Note que es de la forma a3 + b3 donde a = 2x yb = 5y, por lo tanto, aplicando la fórmula
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) se obtiene que:
Ejemplo: Factorice 64x3 – 27
Note que es de la forma a3 – b3 donde a = 4x yb = 3, por lo tanto, aplicando la fórmula
a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) se obtiene que:
(4x)3 + (3)3 = (4x – 3) (16x2 + 12x +9)
Practica: Factorice 64x 3 – 125 y3 a3 – b3
(4x)3 – (5y)3 = (4x – 5y) (16x2 + 20xy + 25y2)
Ejemplo: Factorice 125w3 – 8z6
(5w)3 – (2z2)3 = (5w – 2z2) (25w2 + 10wz2 + 4z4)
Ejemplo: Factorice 27w3 – 125z6
(3w)3 – (5z2)3 = (3w – 5z2) (9w2 + 15wz2 + 25z4)
Ejemplo: Factorice 250x3 – 2
Primero, obtenemos 2 por ser factor común. 2(125x3 – 1)
Practica: Factorice 54x3 – 16
2(27x3 – 8) = 2[(3x – 2) (9x2 + 6x+ 4)]
Ejemplo: Factorice x6 – y6
(x3)2 – (y3)2 = (x3 + y3) (x3 – y3) = (x + y) (x2 – xy + y2) (x – y) (x2 + xy + y2)
(x3 + y3) = (x + y) (x2 – xy + y2)
(x3 – y3) = (x – y) (x2 + xy + y2)
Practica: Factorice 64a6 – 1
(8a3)2 – 1 = (8a3 + 1) (8a3 – 1)
