mecanica conceptos basicos

(1)

Sistema Internacional. Conversión

de Unidades. Magnitudes

vectoriales y vectores. Fundamentos

de cinemática. Movimiento en una

dimensión.

Sistema Internacional. Magnitudes

escalares y vectoriales. Movimiento en

una dimensión.

(2)

25/01/2012 2

Magnitud f

í

sica

Sistema Internacional

Sistema Inglés

Magnitudes fundamentales

Magnitudes derivadas

Reglas del SI

Conversión de unidades

Análisis dimensional

Cifras significativas

(3)

25/01/2012 MgSc. José Luis Tarazona 3

Magnitudes Físicas

Magnitud Física



Se denomina

magnitud física

a la

propiedad del cuerpo que es

susceptible a ser medida.

5 kg

masa

palmo

codo

(4)

25/01/2012 4

Magnitudes Físicas

Magnitud Física

 Se denominan magnitudes físicas a las

propiedades de los cuerpos que son susceptibles a ser medidas. Por ejemplo, la longitud, la masa y el volumen son magnitudes físicas ya que siempre se pueden medir y expresar a través de números: 5,0 metros, 2,0 kilogramos, 6,0 metros cúbicos.

El Sistema Internacional de Unidades (SI)

 El SI toma como magnitudes

fundamentales la longitud, la masa, el tiempo, la intensidad de corriente eléctrica, la temperatura absoluta, la intensidad luminosa y la cantidad de sustancia, y fija las correspondientes unidades para cada una de ellas.

 Además de las magnitudes fundamentales,

hay magnitudes que pueden construirse a partir de estas y se denominan magnitudes derivadas, entre estas se puede citar: la velocidad, la aceleración, la fuerza, etc.

5 kg

masa

(5)

25/01/2012 5

Sistema Internacional de unidades

Magnitud Unidad Símbolo Longitud metro m

Masa kilogram

o kg Tiempo segundo s Intensidad de

corriente eléctrica ampere A Temperatura kelvin K Cantidad de

sustancia mol mol Intensidad lumínica candela cd

Magnitud Unidad Símbolo Área metro cuadrado m2

Volumen metro cúbico m3

velocidad, rapidez

metro por

segundo m/s

velocidad angular

radián por

segundo rad/s

Aceleración segundo al metro por

cuadrado m/s

2

Torque newton metro m2_·kg·s-2

Momento de inercia

kilogramo metro

cuadrado kg/m2

Magnitudes fundamentales

Magnitudes derivadas

(6)

25/01/2012 6

El sistema métrico

(7)

25/01/2012 7

21 newton, 100 pascales, 40

joules, 35 watts

21 N, 100 Pa, 40 J, 35 W

1 ohm = 1

Ω

20 m, 18 lx, 12 lm, 40 s

1 l = 1 L

Reglas elementales del S.I.

(8)

25/01/2012 8

Operación algebraica destinada a

verificar que la ecuación física es

homogénea; es decir, que posee

las mismas dimensiones en cada

uno de los lados de la ecuación.

Las dimensiones se representan

con letras mayúsculas.

Las dimensiones de números y

funciones matemáticas valen 1

(son adimensionales).

Análisis dimensional

k

1 m

M

t

T

l

L

1

v

LT

2

a

LT

(9)

25/01/2012 9

Ecuaciones dimensionalmente consistentes

2

1 x v t

a t

2

(10)

25/01/2012 10

Ejercicio



Si la siguiente ecuación es

dimensionalmente

homogénea,

hallar los valores de “a” y “b”.

Siendo:



m = masa



v = velocidad



k = número



g = aceleración de la gravedad



D = densidad

1/3 2 2 a 2a b 3b

M

L T

L T M L

1/3 2 a b

m

v

kg D

2 a b

1/3 1 2 3

M

LT

ML

1/3 2 2 a 3b 2a b

M

L T

L

T M

a 3b 2

2a

2 1/ 3 b

(11)

25/01/2012 11

Ejercicio



Si la siguiente ecuación es

dimensionalmente

homogénea,

determinar

la

ecuación

dimensional de “x” e “y”



Donde:



P = Densidad



R = longitud



Q = presión



A y a = área

2

2 2

Q R Py

x

P( A

a )

2

1 2 3

3 4

ML T

L

X

ML

M

L

Y

2 1 4 3

M L T

ML Y

2 4

ML T

Y

1/2 1 2

M L T

X

En el numerador

Operando con dimensiones del cociente

del numerador y denominador

(12)

25/01/2012 12

Conversión de unidades

 ¿Cómo proceder para convertir

exitosamente unidades de un sistema otro?

 En primer lugar, debe tener a mano

las equivalencias entre los diferentes sistemas de unidades.

 Luego, debe escribir correctamente

los factores de conversión.

 Por ejemplo, para convertir 20 mi/h a

km/h, lo que debes hacer es realizar la siguiente operación:

Sistema Inglés de unidades

 El Sistema Inglés de Unidades es

aún usado ampliamente en los Estados Unidos de América y, cada vez en menor medida, en algunos países de la comunidad británica.

 Debido a la intensa relación comercial

que se tiene con los EUA, existen muchos productos fabricados con especificaciones en este sistema.

 Ejemplos de ello son los productos de

madera, peletería, metalmecánica, motores, electrodomésticos cables conductores y perfiles metálicos.

1,609 km

mi

km

20

20 32,18

h

1mi

h

(13)

25/01/2012 13

Equivalencias del Sistema Inglés al SI



1 in = 25,4 mm = 2,54 cm =

0,025 4 m



1 ft = 12 in



1 ft = 0,304 8 m



1 yd = 3 ft = 36 in



1 yd = 0,914 4 m



1 mi = 5 280 ft = 1 760 yd



1 mi = 1,609 km



1 lb = 4,45 N



1 slug = 14,60 kg



1 J = 0,738 ft lb



1 Btu = 778 ft lb = 1 054 J



1 hp = 550 ft lb/s = 746 W



1 atm = 14,7 lb/in

2

(14)

25/01/2012 14

El proceso de medición

cm

¿Cuál es la longitud de la varilla de color azul?

Medición y cifras significativas

14,35 cm

14,3 cm

14,350 cm

0,1 cm

Sensibilidad

14,35

cm

0,05

cm

(15)

25/01/2012 15



¿Cuál es la longitud de la varilla de color celeste?

El proceso de medición

14

15 cm

La longitud está entre 14,5 cm y 14,6 cm

14,55

cm

0,05

cm

Incertidumbre = sensibilidad/2

Valor de la medida

4 cifras significativas

(16)

25/01/2012 16

¿Cuál es la temperatura del ambiente?

(17)

25/01/2012 17

Unidad: kN

¿Cuál es el valor de la fuerza?

(18)

25/01/2012 18

¿Cuál es el valor de la masa?

(19)

25/01/2012 MgSc. José Luis Tarazona

¿Cuánto mide la resistencia?

(20)

25/01/2012 20

Operaciones con cifras significativas



Adición y Sustracción

2 459,5 m +

0,064 8 m

12,345 m

125,35 m

2 597,3 m

El resultado se expresa con el

menor

número de decimales

y se aplica

el redondeo.



Multiplicación y división

11,2 cm x 6,7 cm = 75 cm

2

11,2 cm

2

_{/ 6,7 cm = 1,7 cm}



El resultado se expresa con el

menor número de cifras

significativas

y se aplica el

redondeo.



Operaciones complejas



El resultado se expresa con el

menor número de cifras

significativas.

(21)

Conversión de unidades



Para convertir unidades de un

sistema a otro se utiliza la

operación

denominada

“multiplicación por un factor de

conversión”.

Ejercicio

.



Convierta 12,5 millas a kilómetros

Solución



Se sabe que 1 mi = 1,609 344 km

1,609344 km

1 mi

(22)

Magnitudes directamente proporcionales



Un

ejemplo

de

relación

directamente proporcional entre

magnitudes físicas es la que existe

entre el volumen y la masa de una

determinada sustancia.

Volumen (cm

3

₎

_{Masa (g)}

1

8

2

16

3

24

4

32 ₁

₂

₃

₄

8

16

24

32 V (cm

3

₎

M (g)

3

16

2

(23)

¿Cuál es la diferencia en las gráficas de los

siguientes pares de magnitudes DP?

Tiempo (s)

Posición (m)

0

1 -5

2 -10

3 -15

Intensidad (A)

Voltaje (V)

10

100

20

200

30

300

40

400

5

(24)

Variación lineal de magnitudes



Se da cuando el cambio de una

magnitud respecto a otra es

directamente proporcional.



Por ejemplo,



Observando el siguiente gráfico,

¿por qué podemos afirmar que L

no es directamente proporcional a

M?

0 .

x

v t

0 .

x

v t

.

x

v t

(25)

Si

x=x

₀

+v.t

es la ecuación de

movimiento de tres móviles, ¿cuál de las

gráficas representa al más rápido?

t (s)

x (m)

A

B

(26)

Ejercicio



Para la relación lineal de las

magnitudes

x

y

t

, ¿cuál es su

ecuación y cómo se determina

cada una de las constantes?

tiempo (s)

posición (m)

0

20

1

15

2

10

3

5

5 x

t

1

2

3

4

5

10

15

20

(27)

Variación cuadrática



Se da cuando el cambio de una

magnitud

es

directamente

proporcional al cuadrado de una

segunda magnitud.



Por ejemplo,

2

A

L

L = 1 m

A = 1 m

2

1 L (m)

A (m

2

₎

2

1

(28)

¿Qué relación guardan el tiempo y la velocidad

en v = x/t?



Un móvil recorre una pista de 100

m tiempos distintos de acuerdo

con la velocidad que se le haya

impreso. ¿Qué se puede afirmar

de su velocidad en cada uno de

los casos mostrados en la tabla?



Construya su gráfica

distancia (m)

tiempo (t)

100

2

100

5

100

10

(29)

Magnitudes escalares y

vectoriales

(30)

Magnitudes escalares

 Son aquellas magnitudes físicas que

quedan totalmente descritas mediante un número y una unidad.

 Las operaciones con magnitudes

escalares se realizan siguiendo las reglas de las operaciones con números reales.

 Por ejemplo, si se tiene en la mesa un

bloque de masa de 200 g y este se pega a otro bloque de masa de 300 g, como resultado se tendrá un bloque de masa de 500 g

200 g

300 g

(31)

Magnitudes vectoriales

 Existen magnitudes físicas como la

velocidad y la fuerza que para quedar definidas requiere conocerse el valor, la unidad y la dirección. A las magnitudes que poseen dirección se les denomina vectoriales.

 Por ejemplo, no es suficiente decir

que “sobre un carrito se está aplicando una fuerza de 100 N” porque no se sabe cuál es la dirección de la fuerza, que es la información que se requiere para saber hacia donde acelerará el coche.

La fuerza F produce un movimiento hacia adelante

La fuerza F produce un movimiento hacia atrás

F

(32)

Definiciones

 Las magnitudes vectoriales se

representan mediante vectores, los cuales geométricamente se ilustran como segmentos orientados (flechas).

 La longitud de la flecha indica el valor

o módulo de la magnitud física y el ángulo que forma con respecto a la horizontal es su dirección.

60 Origen

F

Dirección

F 30 N

Módulo

Dirección

(33)

Vectores paralelos, iguales y opuestos

Vectores paralelos

Vectores iguales

Vectores opuestos

(34)

Suma de vectores. Método gráfico

 Para sumar vectores con el método

gráfico, se unen de manera consecutiva la punta de un vector con la cola del siguiente. La resultante se obtiene uniendo la cola del primer vector con la punta del último.

 Esta operación es conmutativa; es

decir, puede cambiarse el orden de los vectores que se están sumando y la resultante será la misma.

A

B

R

A B R

R

(35)

Preguntas

 ¿Puede encontrar dos vectores de

diferente longitud que sumados cero? ¿Qué restricciones de longitud son necesarias para que tres vectores tengan resultante cero?

 (a) ¿Tiene sentido decir que un vector

es “negativo” ¿Por qué? b) ¿Tiene sentido decir que un vector es el negativo de otro? ¿Por qué?

 Si C es la suma vectorial de A y B,

(36)

Método de componentes vectoriales

 El vector A puede representarse

como la suma de dos vectores que se encuentran sobre los ejes x y y respectivamente. Estos vectores reciben el nombre de componentes del vector A.

 Las componentes del vector A: A_x y

A_y, se pueden calcular mediante la siguiente relación:

x y

A A

A

x

A Acos

y

(37)

Cálculo de vectores usando componentes

 Si se conocen las componentes del

vector A, entonces es posible saber cuál es magnitud y dirección. Para ello, basta aplicar el teorema de

Pitágoras y la función trigonométrica arco tangente.

y

A

6 N

2 2

x y

A

y 1

x

A

tan (

)

A

x

A

5 N

x

B

6 N

y

B

7 N

(38)

Vectores unitarios cartesianos

 Un vector unitario es un vector con

magnitud 1, no tiene unidades y su único fin es especificar una dirección.

 En un sistema de coordenadas x-y el

vector unitario i tiene la dirección del eje +x y el vector j la dirección +y.

 Escriba en función de los vectores

unitarios cada uno de los desplazamientos realizados por un cartero en el recorrido de la ruta mostrada en la figura.

j

A

x

A

y

A

i

x y

(39)

Cálculo de resultante

 Para sumar dos o más vectores

mediante el método de las componentes, debe escribir cada uno de los vectores a través de sus componentes y luego sumar independientemente las componentes x y las componentes y de dichos vectores.

 Calcule el desplazamiento total de

cartero del ejercicio anterior utilizando el método de las componentes.

x y

A

A i

A j

x y

B

B i

B

j

x y

C

C i

C j

(

_x _x _x

)

(

_y _y _y

)

(40)

Ejercicio

 El vector A tiene componentes A_x

= 1,30 cm, A_y = 2,55 cm; el vector

B tiene componentes B_x = 4,10 cm,

B_y= - 3,75 cm . Calcule:

 a) Las componentes de la resultante

A+B

 b) La magnitud y dirección de B-A

 Solución

ˆ

A (1,30cm )i ( 2,55 cm ) j

ˆ

B ( 4,10 cm )i ( 3,75 cm ) j

ˆ

A B ( 5,40 cm )i (1,20 cm ) j

2 2

A B

( 5,40cm )

( 1,20cm )

A B

5,53cm

ˆ

B A ( 2,80 cm )i ( 6,30 cm ) j

2 2

B A

( 2,80cm )

( 6,30cm )

1

1,20cm

tan

12,5º

5,40cm

(41)

Movimiento en una dimensión

(42)

El punto material como abstracción

 En cinemática los objetos materiales son representados como puntos materiales; es

decir, entes abstractos que carecen de medidas, pero que ocupan una posición en el espacio y poseen masa. Esto con el fin de poder relacionar a un objeto con una coordenada específica.

(43)

El movimiento

Posición 1

Posición 2

(44)

Movimiento de una partícula en una

dimensión

Se denomina movimiento rectilíneo a aquel movimiento cuya trayectoria es una línea recta.

El desplazamiento x en este movimiento está dado por el cambio en la coordenada x

en un intervalo de tiempo transcurrido t.

(45)

La posición como función del tiempo

x(t)

_x(t

1

)

x(t

2

)

x(t

3

)

(46)

Velocidad media

 La velocidad media es una

magnitud vectorial que se define como la razón del desplazamiento por unidad de tiempo

2 1 med

2 1

x

m

v

t

s

0

5

7

10 x

2m

med

2 m

m

v

0, 2

10s

s

(47)

 La velocidad instantánea permite calcular la

velocidad que posee el móvil en un instante determinado, por lo que se define como el límite de la velocidad media.

 Que a su vez, matemáticamente, es la

derivada de la posición respecto del tiempo.

 Ejercicio. Si la posición del móvil se

expresa en función del tiempo de la siguiente manera:

Determine la expresión de la velocidad instantánea.

Velocidad instantánea

 Ejercicio. A partir del gráfico x-t (a)

determine la velocidad media entre t = 0 s y

t = 2,0 s. (b) Determine la velocidad instantánea en el t = 0,75 s. (c) ¿En qué instante la velocidad es cero?

Solución

(a)

(b)

(c) t = 1,50 s

t 0

x

v

lim

t

dx

v

dt

2

35 x

t

i s m v_m (2,25 / )ˆ

0 00 , 2 0 50 , 4  i s m v (0,60 / ) ˆ

00 , 5 00 , 3 

(48)

Velocidad instantánea

 Ejercicio. Con ayuda del gráfico x-t

(a) determine la velocidad media entre

0 s y 2 s. (b) Determine la velocidad instantánea en el t = 0 s. (c) ¿En qué instante la velocidad es cero?

t 0

x

v lim

t

dx

v

(49)

 Ejercicio. Considere el grafico de la figura.

Suponiendo que x = 0 cuando t = 0, escriba las ecuaciones algebraicas correctas para x(t), v(t) y a (t) con los valores apropiados de todas las constantes.

Solución

Del gráfico v vs t se determina la aceleración

La velocidad y posición

Ejercicio. La velocidad de una partícula viene por:

 (a) Hacer una gráfica de v en función del t y

hallar el área limitada por la curva en el intervalo de t = 0 s a t = 5,00 s. (b) Hallar la función de posición x(t), Utilizarla para calcular el desplazamiento durante el intervalo de tiempo t = 0 s a t = 5,00 s

Solución (a) (b) (c) ) / 00 , 3 ( ) / 00 , 6 ( )

(t m s2 t m s

v t s m t s m t

x( ) (3,00 / 2) 2 (3,00 / )

m x

x

x(5) (0) 90,0

t(s

)

v(m

/s)

A (5 0) 90,0m

2 ) 33 3 ( 2 / 0 , 10 0 10 50 50 s m a t s m s m t

v( ) (50,0 / ) ( 10 / 2)

2 2 ) / 5 ( ) / 50 ( )

(t m s t m s t

x

(50)

Ejercicio

 Un Honda Civic viaja en línea recta

en carretera. Su distancia x de un letrero de alto está dada en función de t por:

 Donde =1,50 m/s2 y =0,0500

m/s3_.

 Calcule la velocidad media del auto

para los intervalos a) 0 a 2,00 s; b) 0 a 4,00 s; c) 2,00 s a 4,00 s.

 Una profesora sale de casa y camina al

campus, pero llueve y regresa a su casa. La posición en función del tiempo está dada por la gráfica. ¿En cuál punto rotulado su velocidad es a) cero? b) constante y positiva? c) constante y negativa? d) de magnitud creciente? e) de magnitud decreciente?

2 3

(51)

Aceleración media

 La aceleración media es la tasa media

de cambio de la velocidad en un intervalo de tiempo t.

v₂– velocidad final v₁ – velocidad inicial

t – intervalo de tiempo

 Se halla su valor calculando de la

pendiente de la gráfica velocidad-tiempo del móvil.

2 x 1x

med x

2 1

v

a

(52)

Solución

(a)

(b)

 Ejercicio. En el instante t = 5 s, un objeto

en x = 3 m se mueve a +5 m/s. Para t = 8 s, se encuentra en x = 9 m y su velocidad es de -1 m/s. Determinar la aceleración media para este intervalo :

 Solución

 Ejercicio. Determine la aceleración media

del móvil cuya gráfica v-t es la que se muestra en la figura en los siguientes intervalos de tiempo:

 a)  b)

0 t 2 s

0 t 4 s

2 / 2 5 8 ) / 5 ( ) / 1 ( s m s s s m s m a_m 2 / 1 0 2 ) / 0 ( ) / 2 ( s m s s s m s m a_m 2 / 2 0 2 ) / 0 ( ) / 8 ( s m s s s m s m a_m

(53)

Preguntas

 En un intervalo de tiempo dado, un

auto acelera de 15 m/s a 20 m/s mientras que un camión acelera de 36 m/s a 40 m/s. ¿Cuál vehículo tiene mayor aceleración media?

 ¿Es posible tener velocidad

instantánea cero y aceleración media distinta de cero? ¿velocidad instantánea cero y aceleración instantánea distinta de cero? Explique sobre una gráfica v_x-t y dé un ejemplo de dicho movimiento.

(54)

Aceleración instantánea



Es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo se acerca

a cero.

x x

x

t 0

v

dv

a

lim

(55)

 Gráficamente, la aceleración instantánea es

la pendiente de la tangente en el punto P₁.

Aceleración instantánea

 La aceleración instantánea se obtiene

tomando el límite de la aceleración media.

 Ejercicio. La velocidad de un cuerpo está

dada por v_x(t) = + t2_{, donde} _{= 3,0}

m/s y = 0,10 m/s3 _{. Calcule la aceleración}

instantánea en t = 6,0 s .

 Solución 2 1 0

lim

t

v

a

t

dv

a

dt

2 / 2 , 1 ) 0 , 6 ( 20 , 0 2 s m a t t dt dv a x x

(56)

 Ejercicio. De los gráficos v en función de t

representados en la figura ¿Cuál describe mejor el movimiento de una partícula con velocidad positiva y aceleración negativa?.

 Solución  Clave e

 Ejercicio. En las gráficas mostradas, indique en

qué casos la aceleración es positiva, en qué caso es negativa y en qué caso es nula.

 Solución

 a > 0 cuando la recta tangente a la curva se

de pendiente positiva o forme un ángulo agudo

 a < 0 cuando la recta tangente a la curva se

de pendiente negativa o forme un ángulo obtuso con la horizontal

 a = 0 cuando la recta tangente es

horizontal

(57)

Preguntas

 Si se conocen la posición y la

velocidad iniciales de un vehículo y se registran la aceleración a cada instante, ¿puede calcularse la posición después de cierto tiempo con estos datos? Si se puede, explique cómo.

 La figura muestra la velocidad de un

(58)

 Solución:

 a) A partir de la gráfica se tiene:  La figura muestra la velocidad de un auto

solar en función del tiempo. El conductor acelera desde una señal de alto, viaja 20 s con una velocidad constante y frena para detenerse 40 s después de partir del letrero. a) Calcule la aceleración media para los siguientes intervalos: de t = 0 s a t = 10 s, de t = 30 s a t = 40 s, de t = 10 s a t = 30 s y de t = 0 s a t = 40 s. b) calcule la aceleración instantánea en los instantes t =

20 s y t = 35 s 2

50 / 3 0

1, 7 10 0 m x m a s

0 ;10s s

30 ; 40s s

10 ;30s s

t (s) 0 10 30 40 v (km/h) 0 60 60 0

0 ; 40s s

60 km v h 1000 1 m km

1h ₅₀

3600 3

m

s s

2 0 50 / 3

1, 7 40 30 m x m a s 2 50 / 3 50 / 3

0 30 10 m x m a s 2 0 0 0 40 0 m x m a s 2 0 x m a s 2 1, 7 x m a s

Ejercicio

(59)

Problemas

 La aceleración de un camión está dada

por a_x(t)= t, donde =1,2 m/s3_{. a)}

(60)

Movimiento con aceleración constante

En el movimiento con aceleración constante se cumple que

Integrando la aceleración se obtiene la expresión de la velocidad.

Integrando la velocidad resultante en el paso anterior se obtiene la expresión de la posición instantánea del móvil.

Relación velocidad-aceleración

0

v v at

f i v v a t 0 0 0 ( ) x t x

dx v at dt

2

0 0

1

2 x

x

v t

at

v > 0

a > 0

v > 0

a < 0

velocidad disminuye rapidez disminuye velocidad aumenta rapidez aumenta (A)

(61)

2º ecuación del mruv (alternativo)

El área de la gráfica velocidad-tiempo tiene significado de desplazamiento. Por eso, si calculamos el área de la gráfica velocidad-tiempo del mruv, tendremos el desplazamiento del móvil.

En nuestro caso, el desplazamiento es igual a:

Pero, si, reemplazamos la diferencia de velocidades por el producto de la aceleración por el tiempo (1º ecuación), tendremos finalmente:

1

-2

o f o

x v t v v t

t (s)

v (m/s)

“área” =

desplazamiento

0 t

v

_o

v

_f

2

1

2

o

x

v t

at

(62)

Ejercicio. Escriba una ecuación de movimiento para cada caso mostrado en la figura.

v > 0

a > 0

_{v > 0}

_{a < 0}

v < 0

a < 0

_{v < 0}

_{a > 0}

Ecuación velocidad-tiempo

(A)

(B)

(C)

(D)

(63)

3º ecuación del mruv

Se obtiene despejando el tiempo de la primera ecuación del mruv y reemplazando lo que resulta en la segunda ecuación del mruv.

Es una ecuación escalar y se debe tener cuidado al utilizarla en el cálculo de las velocidades, por cuanto resultarán dos valores siempre que exista solución; por lo que deberá seleccionar el signo de acuerdo con el movimiento que se describe en el problema.

Nota:

A partir de estas ecuaciones (y algunas veces con ayuda de los gráficos) se resuelven todos los ejercicios del MRUV.

f o

v

a t

2

1

2

f o o

x

v t

a t

2 2

2 (

)

f o f i

v

a x

x

(64)

Ejercicio

La figura es una gráfica de la aceleración de una locomotora de juguete que se mueve en el eje x. Dibuje la gráfica de su velocidad en función del tiempo si v_x = 0 cuando t = 0 s.

Solución

Ejercicios

Ejercicio

Un avión recorre 280 m en una pista antes de despegar; parte del reposo, se mueve con aceleración constante y está en el aire en 8,00 s . ¿Qué rapidez tiene cuando despega?

Solución

v

_x

v

_o

= 0

x = 0

x = 280 m

x ox o

v v x( t ) x t

2 70, 0 x m v s

t

(s)

v

_x

(m/s

2

)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

(65)

Caída libre

En el caso de la caída libre (caída de un cuerpo cerca de la superficie terrestre), se aplican las mismas ecuaciones del MRUV, considerando que

g = 9,81 m/s2

Eso significa que TODOS los cuerpos, cerca de la superficie terrestre, caen con la misma aceleración.

Como es un movimiento con aceleración constante, debe regirse por las mismas ecuaciones del MRUV.

0

v v

at

2 0

1 x x

vt

at

2

0

v v

9,81t

2 0

1 y

y

vt

( 9,81)t

2

9,81m

g j

s

(66)

Ejercicios

Ejercicio

Se deja caer un tabique (rapidez inicial cero) desde la azotea de un edificio. El tabique choca con el piso 2,50 s después. Se puede despreciar la resistencia del aire, así que el tabique está en caída libre. a) ¿Qué altura tiene el edificio? b) ¿Qué magnitud tiene la velocidad del tabique justo antes de tocar el suelo? c) dibuje las gráficas a_y-t, v_y-t

y y-t para el movimiento.

Solución

2

( 9,81)

0 0(2,50) (2,50) 2 H 2 ( ) 2 y o oy a y t y v t t

30, 7

H m

Ejercicio

Un rifle dispara una bala verticalmente hacia arriba con una velocidad en la boca del arma de 300 m/s. despreciando el rozamiento del aire, ¿cuál es la altura máxima alcanzada por la bola?

Solución

v₀=+300 m/s v_f = 0 m/s

2 2

i f i

v v 2 9,81 ( y y )

2 2

i f i

v 300 ( y y )

2 9,81 2 9,81

f i

( y y ) 4 587 m

(67)

Ejercicios

Ejercicio

Con una rapidez inicial de 15 m/s se lanza hacia arriba una pelota desde la azotea de un edificio de 30 m de altura. Determine: a) la velocidad y posición de la pelota 1,00 s y 4,00 s después de ser lanzada. b) El instante en que la pelota se encuentra 5,00 m por debajo de la azotea.

Solución a)

b)

Ejercicio

Una maceta cae del borde de una azotea y pasa frente a una ventana. Se puede despreciar la resistencia del aire. La maceta tarda 0,420 s en pasar por la ventana, cuya altura es 1,90 m. Desde qué altura sobre el marco superior de la ventana cayó la maceta.

Solución

Datos

y(1,00 s ) 40,1 m j v(1,00 s ) 5,19 m / s j

y(4,00 s) 11,5 m j

v( 4,00 s ) 24,2 m / s j

2

9,81

y( t ) 30,0 15t t 25 2

t 3,36 s

h

1,90

m

t

₁

t

₂ 2 1 2 1 1

2 y (v v ) t v v 9,81 t

2 y ( 2v 9,81 t ) t

2 2 2

y 1 0

2a y v v 2( 9,81)( h ) ( 2,46 ) h 0,309 m

m/s ,46 v₁ 2

m -1,90 y , s 0,420 Δt

(68)

Ejercicios

Una grúa levanta una carga de ladrillos a velocidad constante de 5,30 m/s , cuando a 6,00 m del suelo se desprende un ladrillo de la carga. a) ¿Cuál es la altura máxima respecto al suelo que alcanza el ladrillo? b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar al suelo? c) ¿cuál es su velocidad justo antes de tocar el suelo? d) En un mismo sistema coordenado dibuje las gráficas y-t para el movimiento del ladrillo y para la carga.

Altura máxima:

Tiempo en llegar al suelo

Velocidad antes de chocar al suelo

Un objeto cae de una altura de 120 m. Determinar la altura que recorre durante su último segundo en el aire.

Solución

Tiempo en llegar al suelo

La altura que recorre en el último segundo es igual a la altura que tiene un segundo antes de llegar al suelo.

0 y

2

máxima

v( t ) v a t : 0,00 5,30 9,81t t 0,540 s 9,81( 0,540 ) y( 0,540 ) 6,00 5,30( 0,540 )

2 H 7,43 m

2

9,81t

y( t ) 6,00 5,30t 0,00 2

t 1,77 s

v (1,77 s ) 5,30 9,81(1,77 s ) v (1,77 s ) -12,1 m / s j

2

9,81t

y( t ) 120 0,00

2 t 4,95 s

2

9,81( 3,95 ) y( 3,95 s ) 120

2 y( 3,95 s) 43,5 m