Secuencia didáctica para el abordaje del concepto de derivada.
Introducción.
El paso de la noción de límite al concepto de derivada comunmente se hace
abruptamente, es decir, el cálculo de límites y el tema de derivada se divorcian en su
forma de abordaje. {*RTA: sustentar con investigación}
Esta secuencia didáctica plantea 5 actividades para, partiendo de un problema
geométrico con bajo grado de complejidad, introducir el concepto de derivada de la
mano del cálculo de límites.
Competencias
Competencias previas
Según el programa oficial del Sistema Nacional de Educación Superior Tecnológica (SNEST) para la materia de cálculo diferencial, las competencias con que debe contar el alumno de este curso son las siguientes:
• Manejar operaciones algebraicas.
• Resolver ecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita.
• Resolver ecuaciones simultaneas con dos incógnitas.
• Manejar razones trigonométricas e identidades trigonométricas.
• Identificar los lugares geométricos que representan rectas ó cónicas.
Competencias a desarrollar
Según el programa oficial del Sistema Nacional de Educación Superior Tecnológica (SNEST) para la materia de cálculo diferencial, la competencia específica a desarrollar en la unidad correspondiente al tema de límites es:
Comprender el concepto de límite de funciones y aplicarlo para determinar analíticamente la continuidad de una función en un punto o en un intervalo y mostrar gráficamente los diferentes tipos de discontinuidad.
Para la unidad que aborda el tema de derivada, la competencia específica a desarrollar es:
Comprender el concepto de derivada para aplicarlo como la herramienta que estudia y analiza la variación de una variable con respecto a otra.
Material necesario
Descripción de actividades
Actividad 1
Movimiento circular y lanzamiento de un proyectil.
Objetivo:
Se plantea el lanzamiento de un proyectil con una honda. El alumno deberá construir un modelo que le permita analizar la trayectoria del proyectil antes y después del lanzamiento. Se espera que el estudiante plantee la ecuación de la circunferencia con centro en el origen y radio 5.
La honda es una de las armas más antiguas de la Humanidad. Consiste en dos cuerdas o correas en cuyos extremos se sujeta un receptáculo flexible desde el que se dispara un proyectil. Tomándola por los otros dos extremos opuestos, se voltea de manera que el proyectil adquiera velocidad y después se suelta una de las cuerdas para liberarlo, alcanzando éste gran distancia y poder de impacto.
Como arma de guerra, la honda se utilizaría todavía durante toda la Edad Media, llegando a convivir incluso con los primitivos cañones. *
Situación problema: Se tiene una honda de 1m de largo (50cm al doblarla) y el lanzador la hace girar. Después de varios giros, suelta un extremo de la honda y lanza la piedra.
Preguntas para el alumno Objetivo de las preguntas 1. ¿Cómo te imaginas que será el movimiento del
proyectil antes del lanzamiento?
1. El estudiante deberá identificar la trayectoria del proyectil en forma de circunferencia.
2. Una vez que es lanzada la piedra, ¿Cómo será su trayectoria?
2. Identificar la trayectoria en línea recta del proyectil.
3. Haciendo un esquema de la situación, ¿Cómo describirías el fenómeno gráficamente?
3. El estudiante deberá realizar un dibujo en el que se pueda identificar una circunferencia y una recta tangente a ésta en un punto arbitrario.
Evaluación:
Representación gráfica de la situación (esquema de la pregunta 3)
Actividad 2
Matematizar la situación real.
Objetivo:
El estudiante deberá ser capaz de expresar una situación real en lenguaje matemático.
Retomando el producto de la actividad 1, el estudiante deberá expresar este esquema como un modelo matemático.
Preguntas para el Alumno Objetivo de las preguntas
dados su centro y radio. 5 ¿Es esta ecuación una función? ¿Por qué o por
qué no lo es?
5 Identificar que la ecuación de la circunferencia no está escrita de forma que se pueda obtener un valor de la variable dependiente respecto de la variable independiente. Notar que esta relación no está escrita de forma explícita.
6 ¿Cómo podríamos expresar la relación entre la variable dependiente y la independiente de forma explícita?
6. Obtener la función y=±
√
25−x2Evaluación:
Una vez que haya construido la ecuación de la circunferencia, el alumno deberá graficar en GeoGebra introduciendo la ecuación que dedujo.
Después de haber respondido la pregunta 6, deberá introducir estas reglas de correspondencia para verificar sus conclusiones.
El punto Q(x,y) sobre la circunferencia
Graficar en GeoGebra la circunferencia con centro en el origen y radio 5. Trazar el punto P(3,4) y el punto Q(x,y) en el primer cuadrante.
Actividad 3
Análisis del problema abstracto.
Objetivo:
Tomando como referencia el modelo construido en la actividad 2, el alumno analizará la trayectoria del proyectil haciendo uso de sus conocimientos de geometría analítica.
Situación problema: ¿Cómo sería la ecuación de la recta tangente a la circunferencia si el punto de lanzamiento es P(3,4) ?
Preguntas para el alumno Objetivo de las preguntas
7. ¿Qué elementos necesitamos para la construcción de una recta?
7. El alumno identificará los elementos necesarios para la construcción de una recta: dos puntos, o un punto y su pendiente.
8. ¿Con qué elementos se cuenta si lo único que se sabe es que la circunferencia tiene centro en el origen, radio 5 y que la recta tangente la toca en el punto P(3,4)?
8 y 9. El alumno identificará la perpendicularidad de la recta tangente y el radio de la circunferencia y utilizará esa condición para la identificación de las características de la pendiente de la recta tangente.
9. ¿Cómo son entre sí la recta tangente y el segmento de recta que va desde el origen al punto P(3,4) y que representa el radio de la circunferencia?
incrementos m=y1– y2
x1−x2 11. ¿Qué significan los valores y1,y2,x1 y x2
en esa ecuación?
Identificar los parámetros y1,y2,x1 y x2 como las ordenadas y las abscisas, respectivamente de dos puntos P y O por donde pasa la recta.
12. ¿Cuál es la pendiente del radio de la circunferencia?
12. El alumno deberá obtener la pendiente m=4
3
13. ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente? 13. El alumno deberá ser capaz de deducir que la pendiente de la recta tangente es –3
4 14. ¿Esta información es suficiente para construir
la ecuación de la recta tangente? Si es así, constrúyala, si no, ¿qué hace falta?
14. El alumno deberá obtener la respuesta y=−3x+25
4
Evaluación:
El alumno deberá construir la ecuación de la recta tangente al responder la pregunta 14. Posteriormente, deberá graficarla usando GeoGebra.
Actividad 4
Otra forma de construir la recta tangente.
Objetivo:
El alumno trazará una recta secante a la circunferencia que pase por el punto P(3,4) y un punto arbitrario Q(x,y) en el primer cuadrante utilizando GeoGebra. Para esto, hará uso del producto obtenido en la actividad 3.
Posteriormente, deberá acercar el Q(x,y) al punto P y observar que la recta secante se convierte poco a poco en la recta tangente.
Preguntas para el alumno Objetivo de las preguntas 15. ¿Podemos conocer las coordenadas del punto
Q sabiendo únicamente el valor de su abscisa?
15. Identifica que cada punto puede expresarse como Q(x , f (x))
16. ¿Cómo podemos expresar esa pendiente de la recta secante para cualquier posición del punto Q
en el primer cuadrante?
16. Obtener la expresión mx=4−f (x)
3−x y
deducir mx=4−
√
25– x2
3−x 17. ¿De quién depende la pendiente de la recta
secante? 17. Identificar que la pendiente, según la expresión obtenida en la actividad 1, depende de la abscisa del punto Q.
18. Gráficamente, ¿qué observas cuando acercas el punto Q al punto P?
19. ¿Qué pasa con la pendiente de la recta secante cuando desplazas el punto Q hacia el punto P?
19. El alumno debe identificar que la pendiente de la recta secante se tiende a la pendiente de la recta tangente.
20. ¿Cómo puedes expresar esta situación gráfica
de forma [matemática][aritmética][analítica]? 20. El alumno deberá deducir que lo que se está haciendo es calcular lim
x→3mx 21. Según lo concluído en la pregunta anterior,
¿De forma [matemática] [aritmética] [analítica], cómo calculas la pendiente de la recta tangente?
21. El alumno deberá calcular el límite que planteó en la pregunta 20 y verificar que tiende a la pendiente de la recta tangente que calculó en la pregunta 13.
Evaluación:
El alumno deberá construir la función mx para posteriormente, calcular el límite que se pide en la pregunta 21.
Actividad 5
Extensión de noción de recta tangente.
Objetivo:
El profesor inicia preguntando las características de una recta tangente a una circunferencia. El profesor señalará la relativa facilidad que implica el cálculo de la ecuación de una recta tangente a una circunferencia e indagará sobre curvas más generales.
Preguntas para el alumno Objetivo de las preguntas 22. ¿Qué características tiene la recta tangente a
una circunferencia? ¿cómo sabemos que es tangente?
22. El alumno deberá reconocer la característica de la recta tangente a una circunferencia, a saber, que sólo la toca en un punto.
23. Cuando se dé esta respuesta, se indagará sobre la curva x² + 1.
Entonces, ¿qué características debe presentar una recta tangente a una curva diferente a una circunferencia, por ejemplo, la curva x² +1?
23. El alumno intentará extender la noción de recta tangente expresado en su respuesta a la pregunta 22 respondiendo que debe tocar la curva en un solo punto.
[Nota: Obtuve respuestas como “debe tocarla 'por fuera'”, no debe atravesarla].
24. Si el alumno grupo responde a la pregunta 23 conforme a lo previsto, el profesor seleccionará un punto P(x,y) cualquiera y trazará una recta vertical que pase por él.
¿Es éste una recta tangente? ¿por qué? Si no lo es, entonces qué características debe tener una recta tangente?
24. El profesor deberá indicar que la característica principal de la recta tangente es que ésta sigue la misma dirección de la curva en el punto de tangencia.
Citando a Smith – Minton: “si nos situamos en el punto de tangencia y damos un paso intentando permanecer sobre la curva, lo daremos en la dirección de la recta tangente.
Conclusión:
saber:
Secuencia didáctica para el concepto de derivada como límite.
El tema central del curso de cálculo diferencial. Esta secuencia didáctica puede servir para introducir el concepto de derivada según su concepción geométrica.
Secuencia didáctica para la introducción del concepto de diferencial.
