Funciones doblemente periódicas con mención a las funciones y curvas elípticas

,R ID D IO

F UL D D RÍ

EL PROFESIO L DE M TE 1 , TI

Fun ion

m nt

P riódicas

·

con M nción a la

Funcion s y Curva Elíptica

por

Jo ' F rnando Zamudi P

LI

para ptar

rof ·ional de

n

Indice

1 Propiedade básicas de las cúbicas de género 1 1.1 Espacios afines. urvas afin s . . .

1.2 Espacios proy ctivos. urvas Proyectivas 1.3 Transformaciones Birracionales

1.4 La Forma anónica de Wei rstrass

2 Las funcion

s:p

d W i rstrass

2.1 Funciones periódicas . . . . . . 2.2 Funciones Elípticas ... . 2.3 Propiedades de las funciones Elípticas . 2.4 Las funciones S+JL de Weierstrass ....

3 La Ley de grupo d las cúbicas lípticas 3.1 Ley de grupo en las cúbicas V_A . . . 3.2 Ley de grupo n una cúbica de Weierstrass

4 Integrales elíptica

4.1 El problenrn de IR lenmiscélta . 4.2 Curva.e; Elípticas reales . . . 4.3 Las funciones sigma y dseta 4.4 Las funciones de Jacobi ...

Indice de Figuras

1.1 Cúbica con un óvalo definido sobre lR por la ecuación de tercer grado J(x, y)

=

O. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1 El producto cartesiano de dos circunferencias es un toro. 21

4.1 La aplicación z r-t (q-J, q-J') . . . . 54

4.2 Función sigma de retículo (1, i)z. 65

Resumen

En el pre nte trabajo s expone principalm nte, y de manera elemental un e tudio de las urva lípti as, cuyo fin superior es la búsqueda de puntos con coord nadas racional ( que no será abordado aquí), es decir soluciones en un cuerpo arbitrario

K

prefijado, no necesariamente Q, cuya existencia depende cru ialmente de su g'nero. e distinguen el caso de curvas de género g

=

l. Para sto e e table . qu la cúbica. d ecuación

¿

ai_ixi_yi con ai_i

O�i+j$3

racionales con un punto ra ·ional será equivalent a una cúbica de ecuación Y2

=

4X3

+

A

+ B

con

A

y

B

racionales, que es la llamada forma canónica de eierstras. na curva elíptica sobre un cuerpo

K

es una curva proyectiva regular de género 1, definida por ecuaciones con coeficientes en

K

y que tiene al meno un punto ra ional.

El Capítulo 2 e centra eu determinar una función elíptica, la función q3 de Weiertrass y describir el conjunto de las funciones elípticas como el cuerpo C(qJ, s_p'). n reticulado

L

en C es un Z-submódulo de C generado por dos números complejos linea�ment independientes sobre lR, y ello de­ termina el toro complejo C/

L.

La función

F

: C/

L

�

IP2(C) definido por

z �

(s.p, qJ', 1) si

z

=/-

O y

F(O)

=

(O, 1, O) determinará que

F(C/ L)

es la cúbica elíptica de ecuación afín y2

=

4x3 -g₂:r -g₃ con 9�

f=

27 9§, definiendo así un isomorfismo analítico de grupos.

En capítulo 3 se define una ley de grupo para las cúbicas V_A : X3

+

Y

3

=

_AZ

3 _{y d bido a la quivalencia entre las cúbicas no ingulares y las} cúbicas en la forma de \i\Tei0rt.ra.ss se oht.ienen la ley de grupo de éstas cúbicas.

Introducción

El presente trabajo xpone un estudio el mental, de los puntos racionales so­ bre variedades alg brai , principalment . obre curvas o variedades abelianas, d las cual � son un caso muy importante las curvas elípticas. A fines del siglo IXX consideraron solam nt asos e peciales. El primer caso general fue descubierto, alr dedor de 1 90, con los trabajos de Hurwitz y Hilbert, donde ellos introdujeron el hoy en día natural punto de vista de la Geometría algebraica: i X ' on do curva alg braicas proyectivas se dice que

el-las son equival nte o birracionalm nt equivalentes sobre (Q, si sus puntos

racionales se corr sponden mediante funcion s racionales. De allí la impor­

tancia de la invarianza birracional, de donde se deriva la noción fundamental

de género de una curva. Ellos estudiaron en esp cial el caso del género cero.

Teorema 0.0.1. Una curua de género cero es isomorfa a una cónica. Si

tiene un punto racional sobre Q, entonces es isomorfa a P₁, y así tiene un número infinito de puntos racionales sobre Q.

Poincaré retomó ste problema( alrededor de 1901), aparentemente sin considerar el trabajo de Hurwitz y Hilbert. El proporcionó un claro tratamiento

del caso g = O. Despu 's en 1 caso d g'n ro 1 (hay equivalencia birracional entre curvas de gén ro 1 y curvas lípticas) el demostró que si un punto

racional sobre una curva es elegido como un origen, los puntos racionales for­

Poincaré a.sumió sin demostración que todos los puntos racionales de una cúbica pueden ser obtenidos a. partir de un número finito de puntos mediante, el método geométrico de cuerdas y tangentes hecho éste que fue posterior­ mente demostrado por Mordell (1922). Seis años después en un fallido intento por demostrar una. célebre conjetura ( cuya famosa demostración se debe al

matemático alemán Faltings) que postulaba la finitud de puntos racionales en toda curva algebraica de género mayor que 1, Weil obtuvo la primera

Capítulo 1

Propiedades básicas de las

cúbicas de género 1

1.1 Espacios afines. Curvas afines

El n-espacio afín A_n(K) sobre el campo arbitrario K es simplemente el

producto cartesiano Kn_{(pero se reserva este último símbolo para el espa­}

cio vectorial Kn _{sobre K y se trata de prescindir o si se quiere olvidar la}

estructura vectorial de Kn _{y considerarlo solo como una colección de pun­}

tos); los elementos x de A_n ( K) se llaman puntos y se pueden denotar como x = (xi, x2, ... , x_n)- Para A₁ (K) y A₂(K) se dice, respectivamente, recta afín

y plano afín.

Cuando n

=

2, V(p) se llama curva afín plana y cuando n

=

3, V(p) se llama superficie afín. Las curvas de grado 1, 2, 3, 4 se llaman rectas, cónicas, cúbicas y cuárticas respectiva.mente.

Más generalmente si {pi}i_EI es una colección cualquiera de polinomios de K[X1 , X2 , . . . , X11], el conjunto

se llama conjunto algebraico afín (sobre

K,

si se quiere destacar el rol del

campo

K).

Es usual decir que

V(

{pi}_iEI) está definido por la colección

{Pih_EI· Un resultado muy notable, el celebre" teorema de la base de Hilbert" [4](cuyo enunciado es el siguiente:"Si

A

es un anillo oetheriano, entonces el

anillo

A

[

X

₁ , ... ,

X

11] de los polinomios en n variables con coeficientes en

A

es también Noetheriano.") tiene como una de sus consecuencias que para definir

V(

{Pi}_iEI) es suficiente considerar un cierto conjunto finito de polinomios, es decir, todo conjunto algebraico es una intesección de un número finito de

hipersuperficies.

Un conjunto algebraico puede ser una unión de varios conjuntos alge­

Hilbert permite a.firmar que todo conjunto algebraico es una unión finita de

conjuntos algebraicos irreducibl s. [4]

Definición 1.1.1. Una variedad afín es un conjunto algebraico afín, irre­ ducible

1.2 Espacios proyectivos. Curvas Proyectivas

Los n-espacios proyectivos IP'11 ( K), donde K es un campo arbitrario, pueden describirse como provenientes de una cierta inmersión

A_n(K) - _A

n+l (K) (x1,X2, ... ,Xn) 1---t (X1,X2, ... X_n, 1)

del espacio afín A_n(K) en A.n₊i(K). Definiremos IP'_n(K) como el conjunto de todas las rectas en A_n+ 1 ( K) que pasan por el "orígen" ( el punto de An+l (

K)

cuyas componentes son todas nulas)1. Todo punto (x1,x2, . . . ,x_n,X_n+i)

dis-tinto del orígen en A11+1 (K) determina un "punto" único { (Ax1, AX2, ... , AXn, AXn+d; A E

K} de IP'_n(K).

Donde es claro que dos puntos P y Q de A_n+ 1 ( K) determina una misma de dichas rectas pasando por el orígen si y sólo si P

=

AQ para A

=/

O. Si

p

=

(x1,X2, ... ,Xn,Xn+I) deci1nos que (x1,X2, ... ,Xn,Xn+1) es un sistema de coordenandas homogéneas para P.

El subconjunto H₀₀ de JP>_n(K) formado por los puntos al infinito (x1, x2, ... , Xn, O)

se llama hiperplano del infinito. os interesa particularmente el plano

proyec-tivo P₂(K) en cuyo caso el H correspondiente se denomina recta del infinito.

Ejemplo: Sea la familia de rectas del plano real de igual pendiente,

{y=

mox

+

_k h_EIR • La inmersión ( x, y) f----t ( x, y, l) de A2

_(JR)

en _A3

_(JR)

produce rectas

{y

= m0.r.

+

k.:: hEIR con z =/= O (planos en A3(1R)). La intersección de

esta familia de rectas en A3(IR) con el hiperplano del infinito H₀₀

=

{(x, y, O)}

dá {(x, m0x, O)}= {(1, mo, O)}, afirmando esto que todas la rectas con igual

pendiente "se cortan" en un mismo punto de la recta (real) del infinito.

Definición 1.2.1. Para todo polinomio homogéneo no nulo F E

C[X,

_{Y, Z]}

el conjunto infinito ( pues esta conf armado por la infinidad de rectas que

pasan por el origen)

Vp

=

{(X, Y, Z) E JP>2(C)/ F(X, Y, Z) = O}

se llama curva proyectiva

(

Curva proyectiva compleja si se desea enfati­

zar que el polinomio F tiene coeficientes en C). Sin embargo sólo nos

interesa que F tenga coeficientes racionales. Vp está bien definida porque

F(>-.X, >-.Y, >-.Z)

=

)..n F(X, Y, Z) _{donde n es el grado de} F; _{como Q}

e

_{C no} hay problema; en cambio limitarnos a Q traería problemas después pues Q

no es algebraicamente cerrado lo que si es C.

Ejemplo:

V=

{(X,

Y, Z)

E JP>₂(IR)/X2 ₊

Y

2 _{+ Z}2 _{= O} no tiene ni un sólo}

punto, pues se tendría x2

+

y2

+

_{1 = O, pero cuando está en P}

2(C), el teorema

Definición 1.2.2. La intersección de VF con el subconjunto

{(X, Y, Z) E JP>2(<C)/Z =/= O}

del plano proyectivo complejo, se llama curva afín correspondiente a VF Esta curva está formada por todos salvo un número finito de puntos de VF. Cuando el polinomio F es irreducible, se dice que la curva VF es irreducible.

Ejemplo: Sea V la curva proyectiva definida por Y2 Z _-X3

+

_6X2 Z -llX Z2

+

6Z3 = O;

V

es una cúbica. Así la curva afín del caso es dada por y2

=

x3 _{- 6x}2

+

llx _-6

=

(x _{- l)(x - 2)(x -3)} (x

=

X/Z) _{y no tiene} asíntota. Pero siempre es posible "deshomogeneizar" con respecto a otra de las coordenadas homegéneas, por ejemplo X lo que daría la curva afín definida por y2z = l

+

6z - llz2

+

6z3 _{que tiene la asíntota} z _{= O. Además}

V

tiene un único punto al infinito (O, 1, O)

Definición 1.2.3. Un punto P(X, Y, Z) de VF se dice singular si, en P, se tiene �;

=

i:

=

��

=

O. Todo punto de VF que no es singular se llama no singular o simple. Una curva cuyos puntos son todos simples recibe el nombre de curva no sing·ular.

Nos interesan las cúbicas no singulares, llamadas tambien de género 1 o

elípticas.

Se dice que el punto singular P E VF tiene multiplicidad m

>

1 cuando

todas las derivadas parciales de F, de orden :'.S: m-1, se anulan en P y alguna

[lO])que esta d finición s independiente de la elección de la ecuación para la

curva y en Geometría Algebraica es usual decir más bien multiplicidad de la

curva en el punto P.

Las definiciones dadas se trasladan de manera natural a las curvas afines.

Definición 1.2.4. Si P es un punto singular de una cúbica plana

r,

diremos que P es un nodo de

r

si

r

tiene dos tangentes distintas en P, mientras que

P es una cúspide sir tiene ·una única tangente(doble} en P.

Ejemplo: Sean a, b, e E R tales que a < _b < c. Veamos los casos posibles

para la cúbica afín y2

= (x

-a)(x - b)(x - e).

l. La curva es no singular cuando a

<

b

<

e ( valores distitos).

2. y2 = (x - a.)(x - b)2_{; P =} (b, _{O) es un punto nodal.}

3. y2

=

(x - a)2(x - b); P = (a, O) es un punto aislado.

4. y2 = (x - a)3 ; P = (a, O) es un punto cuspidal o de retroceso.

Ejemplo: ot.emos que la cúbica no puede tener tres tangentes, porque

entonces sería reducible. La figura ?? siguiente muestra cúbicas con una

cúspide(Y2

=

X3) y un nodo (Y2 +

XY

-

X

3

=

O) en (O, O).

Nótese que las curvas están definidas en el plano afín real A2(R) y no en

A2(<C) en cuyo caso los ejemplos con la misma formulación analítica variarían

de naturaleza. En particular los ejemplos anteriores 1) y 3) no son conexos

lo que no se daría en el plano afín complejo donde toda curva algebraica es

Una d sigualdad import.ant .:, dada por

(n - l)(n - 2) � ¿(si - 1)

donde n s l grado d l polinomio que tiene la curva y la suma se extiende

a todo lo puntos :-;ingular .s siendo si la multiplicidad de cada uno de ellos.

Esta desigualdad no dice que toda cúbica no puede tener sino un punto

singular y que dicho punto es necesariamente de multiplicidad 2 o punto

doble. ótese que n tal caso ambos términos de la desigualdad son iguales

por lo que u dif renc:ia es O.

1.3 Transformaciones Birracionales

Definición 1.3.1. Dos c-u.ruas proyectivas irreducibles

Vi

y

Vi

son dichas

birracionalmente equivalentes si existen S'ubconjuntos finitos W1 y W2 de,

respectivamente,

Vi

y V2 y dos funciones r1 :

Vi\

W1 �

Vi

y r2 : V2 \ W2 �

Vi

tales que las coordenadas de ri(X, Y, Z) : i

=

1, 2

son funciones racionales de X, Y, Z y las funciones r1 o r2 y r2 o r1 on iguales a la identidad en

sus dominios de definición. Cada una de las funciones r₁ y r₂ es dicha

birracional.

(X, Y, Z) � ( n1 (X, Y, Z), n2(X, Y, Z), n3(X, Y, Z) ) d1 (X, Y, Z) d2(X, Y, Z) d3(X, Y, Z)

donde los polinomios n.1, n2, n3, d1, d2 y d3 pueden, si se desea, reducirse

a cuatro y escribir:

( , Z) ( 1 (X, Y, Z) 2(X, Y, Z) N3(X, Y, Z)) ri X, }''

=

D(.v, Y, .'\. Z)' _{D(X Y Z)'} , , D ₍ X, Y,Z ₎

En tal caso es claro que W₁ está formado por los puntos la curva

Vi

que anulan D(X, Y, Z). Que vV_i es entonces necesariamente finito se ve claramente pasando a coordenadas afines ya que la resultante de f(x, y)

=

O

y

D(x, y)

=

O da un polinomio en una variable.

La noción de transformación birracional es fundamental en Geometría

Algebraica en donde suele trabajarse en marcos muy generales con los que

no estamos aquí concernidos directamente. otemos que dos curvas pueden

ser equivalentes sin tener el mismo grado y/ o sin estar definidas sobre un

mismo campo. Cuando se quiere expresamente que las curvas y las transfor­

maciones birracionales se definan sobre el mismo campo K se dice que las

curvas son

K

-birra.cionahnente equivalentes o

K

-equivalentes. Nosotros

estamos mayormente interesados en curvas ([]-equivalentes.

Ejemplo:

Vi

:

_X3

+

Y3

=

AZ3 donde _A es un entero natural sin factor

cúbico es equivalente a ½ : y2z = x3 - 432A2z3 . Se puede, si se desea,

trabajar con curvas afines; en nuestro caso se tiene

Vi :

X3

+

Y3

=

A y

cuya recíproca. es

(X ' Y) 1---7 ( 12A 36A(X -Y)) X+Y' X+Y

( ) 1---7 ( 36A

+

y 36A -y

)

x, y _{6x ' 6x}

y es claro que cuando Y

=

-X en la ecuación X3

+

Y3

=

Z3_(a coorde­

nadas afines x3

+

y3

=

A), se tendrá el polinomio -2x3 - A

=

O que tiene finitas soluciones, siendo

vVi

este conjunto, de igual manera para W2 se tendrá

que es el conjunto de las soluciones de la ecuación: x

=

O, y2

=

x3 - 432A2.

y

Ejemplo: La curvas C1 y C2 definidas por

? ₃

C2 : V� = u - 27 k

son equivalentes vía las transformaciones

x3

+

_{4k y(x}3 _-

_8k)

(x,y) t---? ( x2 , x3 )

u3 _-

_108k

_{v( u}3

+

216k) (x,y) 1---7 ( _{u 2 ' u 3 )}

Ejemplo: La igualdad

(, X , , y ) t---7 (.1:2 -A y(X, 2 ₂

+ A)

)

define una transformación birracional entre las curvas C₁ y C₂ de ecua­ ciones y2

=

_x3 _{-Ax y Y}2

=

_X3

+

_4AX.

Ejemplo: Las curvas definidas por las ecuaciones y2

₌

_x3 _{- Ax y t}2

=

s4

+

4A son equivalentes vía las ecuaciones 2x = s2 -

t

y sx = y.

Ejemplo: Sea una cuártica homogénea definida por F(x, y) - ax4

+

4bx3y

+

6cx2y2

+

4dxy3

+

ey4

=

O.

Los invariantes 92 y 9₃ de esta cuártica se definen por

92

=

ae - 4bd

+

3c2;

a b e

93

=

b e d

e d e

La cuártica y2

₌

_.r4

+

_6c:r2

+

_4dx

+

_{e es equivalente a la cúbica t}2 4s3 _{-g2s - 93 vía la igualdad}

(2x(s

+

e), y)

= (t

- d, 2s - x2 _{- e)}

Definición 1.3.2. La definición más elemental del género de un curva proyec­

tiva( o afín) irreducible es dada por la fórmula clásica

_ (n - l)(n -2) _ � Si(Si - 1)

9- _{2 L 2}

donde n es el grado del polinomio que define la curva y la suma se ex­

tiende a todos los puntos singulares siendo si la multiplicidad correspondiente.

Es claro que una cúbica. no singular tiene género 1 y que las cúbicas

singulares tienen género 02_.

Ejemplo: La curva X4

+

Y4

=

XY tiene género 2, luego no es birracional­

mente equivalente a ninguna curva plana regular.

Ene efecto, es fácil ver que su única singularidd es el punto (O, O), que es

un punto doble ordinario con tangentes

X

=

O e

Y=

O. Podemos aplicar la

definición anterior y concluir que el género es

g= (4-1)(4-2) _ 2(2-1) =₂

2 2

Definición 1.3.3. Se llama curva unicursal o racional toda curva que en co­ ordenadas afines admite una parame tr iza ción de la forma ( x, y)

=

(J ( t), g( t))

con f, g E C(t) donde t es un parámetro complejo.

Las cónicas( curvas irreducibles de segundo grado) son unicursales. Las

cúbicas de género O son unicursales; por ejemplo

2Un conocido teorema de Hilbert y Hurwitz establece que toda curva proyectiva de grado n definida por un polinomio a coeficientes racionales y de género O es equivalente a otra curva de grado n-2 y de género O. Se establece que toda curva a coeficientes racionales de grado impar y de género O es equivalente a una recta racional y consecuentemente tiene una infinidad de puntos racionales. Si el grado de la curva es par y su género es O ésta es equivalente a una cónica.

4t 4t(l + _t) (:-i;,y)

=

((1-t)2' (1-t)3 )

es parametrización de una cúbica nodal y (x, y)

=

(t2

, t3) parametriza una

cúbica cuspidal. U na condición necesaria y suficiente para que tres puntos distintos en cada una de estas dos curvas sean colineales, es decir esten en una misma recta, es , respectivamente, t1 t2t3

=

1 y

,A

+

,A

+

,A

=

O.

Una condición equivalente a la colinealidad de tres puntos de la curva será de interés primordial en el tratamiento de las cúbicas singulares o de género 1 porque tal condición definirá en cada cúbica una estructura de grupo abeliano, el estudio del cual, en sus múltiples instancias es el objeto, inacabable y pleno de enigmas y conjeturas, de la vasta teoría algunos de cuyos aspectos fundamentales seran tratados aqui.

1.4 La Forma Canónica de Weierstrass

Sea una cúbica

r

de ecuación afín f(:-r;, y) =

I:

a_ijxiyi _{= O donde los aij} O�i+j9

son racionales (ha.y 10 n total); vamos a demostrar que si

r

tiene un punto

racional

P

= ( a,

b)

entonces s birraciona.lmente equivalente a una cúbica

r'

cuya ecuación tiene la forma Y2 = 4X3

+

AX

+

B con A y B racionales. Es

frecuente que se e. criba, corno lo haremos después, y2 = 4x3 -g2x- g3 donde

92 y g3 ( es decir

-A

y -

B

respectivamente) resultan ser invariantes de la

forma homogénea

F(X, Y,

Z)

=

Z

3 f( �, � ). Por definición esta última es la

forma canónica de Weierstrass o normal o canónica asociada a la cúbica

r.

otemos primero que la tangente en P a. la curva

r

corta ésta en un

punto racional único Q

=

(a', b')(veremos que no es otro que el punto -2P

cuando veamos a la curva r( de género 1) con una ley de grupo con el cero

en el infinito, en tanto que curva elíptica.

Si el punto Q está a distancia infinita del orígen, mas conviene razonar

con la ecuación homogénea

F(X, Y, Z)

=

Z

3 f( �, �)

=

O de

r

con lo cual

el punto al infinito de

r

resulta un punto corriente que no tiene nada de

particular con respecto a los otros puntos

(X, Y, Z)

de

r

en el plano proyectivo

correspondiente 3. Asumimos que el punto Q está a distancia finita del orígen

lo que prácticamente no hace perder generalidad (hay sólo seis tangentes

posibles trazadas de un punto a la cúbica).

Podemos tomar como nuevo orígen el punto Q y como nuevo eje de las

x la tangente PQ a la curva r lo que se logra mediante una traslación y

rotación adecua.da de ejes. Esto dá como nueva ecuación de r, g( u, v)

=

¿

bijui_vi

=

_{O en la que una elección apropiada de escala permite suponer} 1$i,j$3

que los b_ij son racionales.

Ejemplo: En el plano real se tiene g'(u', v')

=

f(c.p₁(u', v'), c.p₂(u', v'))

=

O

donde

<.p1 (u', v')

=

u' cosa -v' sen a +

a'

<p₂(v'. 111

)

=

n' sf.n r�

+

v' cosa,+ _b'

donde a es el ángulo que hace la tangente PQ con el eje x, es decir, por

hipótesis, tan a es racional; así se puede hacer por ejemplo u'

=

u seca y v' = v seca lo que da g( u, v) como deseado.

Considérese ahora el haz de rectas v

=

tu donde t es un parámetro. Cada

una de ellas cortar en el(nuevo) origen y en dos puntos R y S determinados

por una ecuación

Lu2_+2Mu+

₌₀

donde

L, M

y

N

son polinomios en t de grados, respectivamente, 3, 2, y l.

Se tiene entonces (Lu

+

A1)2 = 1Vl2 - LN lo que produce una cuártica

de ecuación s2

=

M2 - N2 que es birracionalmente equivalente a r porque

s - M t(s - M) v

(u, v)

= (

_L ,

V

Figura 1.1: Cúbica con ·un óvalo definido sobre IR por la ecuación de tercer

grado f(x, y)

=

O.

Cuando

t

=

O. los puntos correspondientes

R

y

S

coinciden con el punto

inicial P, .s decir. L'2_{11 + 2}

/u+

=

O ti n una raíz doble lo que dá

M2 -LN

=

O y

=

O. En consecu ncia 2

=

at

+

bt2

+

ct3

+

dt4 donde los co­

eficientes son racionales. Por último la transformación claramente birracional

definida por

(X, Y)

=

(!¡

+ �'

2_1�3_{) dá la ecuación Y}2

=

_4X3

+AX+

B

_donde

A

y

B

son constant s rn,cionale las qu por otro lado, pueden considerarse como enteros racionales sin factor común a la uarta y sexta potencia respec­

tivamente. Es claro que la quivalencia birracional entre curvas es transitiva

Definición 1.4.1. Un punto ordinario P0 de una curva irreducible I' es todo punto ingular en l cual todas las tangentes a I' son distintas.

Por ejemplo las úbicas nodal s ti n n un punto ordinario y el punto

singular de las úbicas cuspidal s no s ordinario.

Se abe qu el g 'n ro d una curva irreducible C son ordinarios 4• Por lo

tanto la forma de s asociada a una cúbica

r

no singular es tal que la ecuación 4X3 + A + B

=

O ti n us tr raíces distintas ( de las que, por

supu sto, pued haber dos no real s). Tenemos así el fundamental resultado

siguiente:

Teorema 1.4.1. Sea

¿

O.ij.1.iyj

=

_o 0'.S·i+j9

donde los aiJ son números racionales la ecuación de una cúbica I' de género l. Entonces I' es birracionalmente equivalente a una cúbica I'' de ecuación

Y

2

=

_4X3 _{+AX+ B con A y B enteros racionales. Las raíces de Y= O son} todas distinta ..

OTA: Las raíces de 4X3

+

AX

+

B

=

O son todas distintas si y sólo si

A3 _{- 27 B}2

-/=

_{O, es decir, 1 discriminant de la ecuación es no nulo. Esto}

equivale a qu la curva en cuestión es de género 1 ó no singular.

El teorema anterior es crucial en la teoría de las cúbicas

r

de género 1

ya que conduce al utilísimo instrumento analítico de la función elíptica de

Weierstrass.

Finalmente mencionaremos la sorprendente cantidad de cúbicas definidas

sobre lR que existen. Es bien sabido que las cónicas sólo pueden ser circun­

ferencias, elipses, hipérbolas y parábolas(y dos rectas si se considera el caso

reducible para el polinomio de segundo grado que las define). Con el tercer

grado se presentan muchas más )) especies,, de cúbicas; por ejemplo la cúbica

nodal y2

=

x2 ( x + 1) no tiene asíntota y es conexa mientras que las cúbicas

z(l - x2)

=

x3 y

z(y

2 - 1)

=

1 tienen respectivamente tres y dos asíntotas

poseyendo ambas curvas tres componentes conexas. Esto describe tres es­

pecies distintas ele cúbicas cuyos grá.ficoi:. son muy disímiles según se puede

fácilmente verificar. o obstante, estas tres cúbicas dan lugar a la misma

curva proyectiva y2_z -_x2_(x + _z)

=

O en JP>₂(JR). Hay bastantes más especies

pero en verdad esta profusión <le cúbicas no debería sorprender porque hemos

visto que la ecuación general _.f(:1:, y)

=

O de las cúbicas definidas sobre lR re­

quiere de nueve parámetros reales arbitrarios para determinar una cúbica

Capítulo 2

Las funciones Sl} de Weierstrass

2.1 Funciones periódicas

Sea la función f : <C - <C, no constante y periódica con período w, es decir

satisface

J(z

+

w) =

f(z).

Se tendrá los siguientes resultados:

• -w y nw n E Z son períodos de f. Además si w_1, w_{2, ...} , Wr son períodos de f también lo son los números complejos

• Si f es meromorfa., el conjunto de todos los períodos de f no puede

tener punto de acumulación w0 tal que Jwol < oo.

• Si f es meromorfa y tiene un período w -::/- O, entonces en la recta

períodos de f son de la forma nw_0, f se dice simplemente periódica.

Ejemplo claro es f(z)

=

ez_{, con} w₀

=

_±21ri.

• Si fes meromorfa y tiene dos períodos no nulos w� y w;, no colineales, es

decir linealmente independientes sobre IR, entonces existen dos períodos

w₁ y w₂ tales que todo período de f tiene la forma n₁w₁ + _n2w₂ con

n_1, n₂ E Z. En ta.l caso w₁ y w2 constituyen un par de períodos fun­

damentales para la función f, y f se dice doblemente periódica. Por

consiguiente si f es meromorfa y periódica entonces f es simplemente

periódica o doblemente periódica.

• Si f tiene dos períodos fundamentales w₁ y _w2, entonces mediante la

transformación(llamada transformación Unimodular)

con a, b, e, d E Z y ad - be

=

±l se obtienen dos nuevos períodos fun­

damentales u₁ y u_2, por lo tanto se obtienen una infinidad de períodos

fundamentales para f pues la ecuación tiene una infinidad de soluciones

enteras racionales y por otra parte a que el sistema dado equivale a

(

W1

)

(

d -b

) (

U¡

)

w2 -e a u2

2.2

Funciones Elípticas

Definición 2. 2 .1. Se define un retículo L en el plano complejo C como el subgrupo aditivo discreto de rango 2 de <C. Es decir L es generado como Z-módulo por dos vectores w₁ y w2 linealmente independiente sobre JR. Por definición entonces L

=

Zw1 EB Zw2•

Definición 2.2.2. Una función L-elíptica (o elíptica cuando L está tácitamente

fijado y no hay lugar a confución) es una función f: C � C, meromorfa y

que es L-periódica, es decir, f(z

+

w) = f(z) para todo z E C y todo w E L.

Evidentemente una función L-elíptica es doblemente periódica.

Definición 2.2.3. El paralelogramo semiabierto P = { aw1

+

a2w2; ak E

[O, 1)}

se llama paralelogramo fundamental para L.

Nótese que hay una infinidad de paralelogramos fundamentales pues hemos

visto que los períodos fundamentales w₁ y w2 generan mediante la transfor­

mación unimodular una infinidad de pares u₁ y _1.1.2 para cualquier función L­

elíptica. Cada par constituye una base del Z-módulo L _{que por definición es}

libre y de rango 2. Veremos mas adelante que hay una infinidad de funciones

L-elípticas el conjunto total de las cuales es el campo C(s.p, q:J') donde

s.p

es

la función de Weierstrass correspondiente al retículo L _{y q:l' es su derivada.}

Sea P _{un paralelogramo fundamental para el retículo} L. _{Es claro que}

todo punto

z

del plano es congruente módulo L _{a un punto único}

z'

_de P,

es decir, la clase lateral z

+

L en el grupo aditivo <C no contiene sino un sólo

X

Figura 2.1: El prod1tcto cartesiano de dos circunferencias es un toro.

Sea

rr

el grupo multiplicativo

{z

E

e

:1

z

I=

1}, llamado también grupo cir­

cular, el grupo C/ L es isomorfo al grupo producto

IT

2, conocido como toro

bidimensional, porque Les el núcleo del homomorfismo sobreyectivo de C en

rr

2

definido por ª1 W1 + a₂W2 f----t ( e2º1 _{7r-i, e}2021ri_{) lo que puede verificarse con}

facilidad. Así una función elíptica puede ser vista como una función mero­

morfa sobre el toro

IT

2

� C/ L. (Geométricamente

IT

2

se obtiene pegando

los lados opuestos de la adherencia en IR2 del paralelogramo fundamental

P).

2.3

Propiedades de las funciones Elípticas

l. Nótese en primer lugar que si

f1

,

h, ...

,

f_n son L-elípticas, también lo es

todo elemento del campo C(J1,

h, ...

,

f_n) y que éste campo es estable

el conjunto de todas las funciones elípticas es

C(s:+!L, s:+!í,)

donde

s:+!L

es

la función de Weierstrass asociada al retículo

L

y

s:p�

su derivada. En

lo que sigue,

P

es un paralelogramo fundamental para el retículo

L

y

f una función L-elíptica no constante; es claro que f por ser periódica

está completamente definida en (['. si se conocen todos sus valores en

P.

2. f no puede ser holomorfa; porque si lo fuera sería acotada en el com­

pacto

P,

es decir acotada en (['. lo que contradice el Principio del

Máximo.

3. El número de polos de f en

P

es finito; porque si hubiera una infinidad

de polos en

P

que es acotado en C, el conjunto de éstos debería tener un

punto de acumulación a distancia finita del orígen lo que no es posible

por ser f meromorfa.

4. Se llama orden de f el número de polos de f en

P,

cada uno contado

tantas veces como su orden.

La propiedad 3 garantiza la existencia. de un trasladado conveniente

z

₊

P

que contenga en su interior (topológico) todos los polos de f debido a la imposible acumulación de sus polos, o lo que es lo mismo,

cuya frontera no contenga ningún polo de f. Así, es posible, con pro­

cedimientos elementales de la teoría de Variable Compleja, en especial

de la integración curvilínea de Cauchy, establecer otras propiedades

igual que P, para definir completamente la función f debido a la doble

periodicidad de ésta, pero z

+

P no es en general un paralelogramo

fundamental para.

.f.

5. La suma de todos los residuos de

.f

en P es nula; en efecto, sea P₁

=

z0

+

P tal que los m polos z1, z2, ... , Zm de f contenidos en la adherencia

de _P sean puntos interiores de P₁; se tiene

L

Res(J; zk)

=

f

r J(z)dz 1:Sk:Sm 7í1, ÍaP1

donde 8P₁ e el borde de P₁ orientado según el orden de vértices z0, z0+

w1, zo

+ w1 +

w2, zo

+

w2, z_0. El cálculo da

l

1

zo+w1

¡zo+w1 +w2

J(z)dz

=

J(z)dz+ f(z)dz

• 8P1 zo zo+w1

+

(º+w2 f(z)dz

+

{

zº f(z)dz

}

zo +w1 +w2 } zo+w2

donde los arcos de integración son segmentos rectilíneos. El primer y

tercer sumando dan respectivamente

j

•zo+wi

¡l

f(z)dz

=

W1 f(zo

+

wit)dt

zo o

¡zo+w2 J(z)dz

=

-w1

¡l

J(zo

+

w2

+

wit)dt

por lo que su suma es cero; igualmente sucede con el segundo y cuarto sumando.

6. El orden de.fes a lo menos igual a 2; porque si f tuviera un polo simple

z

0, la parte principal de la serie de Laurent correspondiente seria de la

forma

-ª-

_z-zo de donde a = O por la propiedad 5, pero sabemos ya que f

no puede ser holomorfa.

7. Sea a arbitrario en C y considérese

¡-

1_{(a)nP, es decir, las preimágenes}

de a por f que están en P; sea n(a) el número de éstas cada una de ellas contada tantas veces como su orden. La propiedad 3 tiene como corolario inmediato que n(a) es finito porque si no lo fuera, la función L-elíptica y tendría una infinidad de polos; así pues f tiene un número finito de ceros contados de acuerdo con su multiplicidad y más precisamente tiene tantos como el orden de f; por otro lado

n( oo) resulta ser prácticamente la definición misma del orden de f de manera n(O)

=

n( ) =orden de f. Así esta propiedad es válida para todo número complejo.

8. n(a) es igual al orden de .f para. todo a complejo; en particular n(a)

>

2; en efecto, sea P1 = z0

+

P como en la demostración de la propiedad 5;

n(a) - n( ) = _1 { f' ( z) dz

21ri } 8Pi J(z) -a

Como ésta integral es igual a la suma de los residuos en P₁ de la función

L-elíptica

¡{)(

�

a, con la propiedad 6 terminamos.

9. Veamos el siguiente teorema de la teoría elemental de Variable compleja

Teorema 2.3.1. Sea R una región abierta y conexa cuyo borde 8R es

una curva cerrada rectificable de J ardan y considérese una constante

compleja arbitraria a; supóngase que

( a) g es una función holomorfa sobre R.

{b} f es una función meromorf a sobre R cuyos n polos b1, ... , bn y

cuyas m preimágenes a1, ... , am de a están en R { es decir , ninguno

de los n polos de f y ninguno de los m elementos de

¡-

1_{(a) está} en 8R). Entonces se tiene

donde O'.k y f3k son respectivamente, los órdenes de ak y bk.

Del teorema. anterior hacemos que g sea la identidad y tomamos como

R el interior del trasladado conveniente P₁

=

z₀

+

P que hemos visto;

la orientación de la curva 8R, es el perímetro del cuadrilátero que de­

Cada elemento de

¡-

1( {a,}) será llamado a -punto de f.

La suma s(a) _{de los a-puntos de} f situados en P

m m

será por definición no

¿

ak sino

¿

O'.kak, es decir cada ak contado

k=l k=l

tantas veces como su orden. Podemos escribir entonces

s(a) - s( ) = _1

_21ri

_J

{

_a

_Pi

_{J(z) - a}

zf'(z) dz

así que si demostramos que el segundo miembro de esta igualdad es un elemento de L, habremos demostrado que para todo número complejo

a se tiene la propiedad:

10. La suma de los a-puntos de f en P es igual , módulo L, a la suma de los polos de f en P.

1

zf'(z)

Tenemos que calcular la integral J =

J( )

dz.

8P1 Z -

a

J = _{ ¡zo+w1

_1/J(z)dz

+

/'z11+w1+w2

_'!j;(z)dz

+

¡zo+w2

'1/J(z)dz

+

¡zo

_'1/J(z)dz}

Jzo }zn+w1 Jzo+w1 +w2 Jzo+w2

zf'(-:-)

siendo

'1/J(z)

=

_{f (z) �}

_a

Luego

1zo+w2

'1/J(z)dz

= -

1zo+w1 +w2

'1/J(z)dz

=

_

[1

(zo

+

w2

+ w1t)f'(zo + w2 +

_{w1t) d(wit)}

₌

Jo f (zo

+

w2

+

w1t) - a

_ ¡1

(zo

+

w2

+

w1t)f'(zo

+

w1t) d(wit)

lo f (zo

+

w1t) - a Se vé que éstas dos integrales suman

-W2 rol f'(zo

+

W1t) d(wit)

l

o

f(zo

+

w1t) - a

en donde se tiene la forma diferencial exacta� para

u=

f

(z

0

+w

₁

t)-a

que corresponde al logaritmo natural y en consecuencia se obtiene

1 f (zo

+

w1) -a

-w2[ln(f (zo

+

w1t) - a)]0 = w2 ln( _f

( )

_{zo - a}

)

= -w2 ln 1

Similarmente las dos integrales restantes suman w1 ln 1 y en consecuen­ cia

I

=

w1 1111 -w2 ln l. Como la determinaciones de ln 1 son todas múltiplos de 21ri se tiene en fin

f

f�f/z) dz = 21ri(mw1

+

nw2)

laP1 .::: - a

de donde s(a) _- s( _{) E} L.

2.4 Las funciones

�L

_{de Weierstrass}

Dado un retículo L se demuestra fácilmente(lo haremos más adelante) que la función f definida por f(z)

=

�

_(z � _w)3 es L-elíptica, impar y de orden 3.

Esto muestra qu xisten mu has funciones L-elípticas porque el campo

C(f)

está formado por una infinidad de ellas. Habiendo visto que el orden de toda

función elíptica es mayor o igual que 2, estamos interesados en determinar

una, suponiendo que exista, cuyo orden sea éste mínimo de 2. Notemos que

una tal función podría entonces o bien tener un sólo polo de orden 2, o bien

tener dos polos simples, es decir, la función podría ser de dos especies dis­

tintas. Se demuestra que existen funciones de las dos especies: las primeras

son las funciones

s,p

L de eierstras las segundas las funciones elípticas de

Jacobi. Ambas especies on importantes y de variada aplicación. Nos ocu­

paremo en det rmina.r una de las

s,p

L. Hay diversas maneras de hacerlo,

maneras que se revelan análogas a las usadas para definir por ejemplo la

función seno;

. (-1)11z2n+l

sm

z

=

¿

( 2n+ 1. ) 1 Como sene.

n=O

l

sin z dt

C . . , d . t 1

z

=

orno mvers1on e una m egra .

o

✓

1 - t2

sin

z

=

z

IT

(1 - (

z

)211) Como producto infinito n1r

n=l

Definimos las funciones

s,p

L d Wieer trass por medio de una serie. Pero

ahora por la doble periodicidad buscada, la serie será más complicada que

aquella que define la función seno, que es simplemente periódica. Para cada

1 1

�(z)

=

₂

₊

L

₍

)2

.,, _z-w

~ _wE(L\{O}) w2 1

es decir, si L

=

Zw₁ EB Zw, se tiene por definición

1 +

�(z) = 2 _z

+

I:

m= -oo

m # O

+oo

I:

n=

-n#O

[

_(z

_{- mw}1 _{1 -nw2)2}

1

]

La función � responde al problema de construir una función L-elíptica

que tome exactamente el mínimo posible de 2 veces todo valor complejo u

en cualquier paralelogramo fundamental P para L; sea éste el de vértices

O, w_{1 ,} w_2, w₁

+

w_2. Los valores �(z₀₎ con z₀ =O,"%:-,

T,

wi1w2 se dan una sola

vez porque z₀ es, en cada caso, un punto de orden 2 en

P(O

es un polo

doble con residuo nulo y los tres otros valores son puntos dobles porque �'

se anula en ellos pero �" no). Todos los otros puntos z de � son simples

y para todo valor complejo u

#

�(z₀₎ se tiene �(z₁₎

=

�(z₂₎

=

u para

ciertos únicos

z

₁ y .:₂ en

P

(los únicos v.-puntos de � en

P)

que o bien son

simétricos con respecto a wi

1

w2 _{en cuyo caso z}

1 y z2 son puntos interiores

de

P,

o bien son simétricos con respecto a �;

k

=

l ó 2, en cuyo caso z₁ y

z₂ están en la frontera de P, en los lados asignados a P. Estas L-elípticas

�' que tienen una derivada �' de orden 3 e impar son de una importancia

excepcional. Enumeremos dos razones para ello la segunda de las cuales es

crucial y decisiva en el estudio de las cúbicas de género l.

l. Se demuestra que toda función L-elíptica es una expresión racional a

con-junto de todas las funcion s L-elípticas. Este campo es una extensión

cuadrática del campo <C(�) formado por todas las funciones L-elípticas

pares.

2. Las funciones � y �' son ambas trascendentes, pero no son algebraica­

mente independient s estando ligadas por la relación cúbica �'2

=

4�3 _{- 92� - 9}

3 donde los números complejos 92 y 93, llamados los

invariantes d � son definidos por

1 1

92

=

60

I:

₄ y 9₃

=

140 � ₆

w L..J w

wEL\{O} wEL\{O}

Por otro lado � satisface un "teorema de adición" que se expresa por

la igualdad

La relación polinomial vista entre � y �' y el teorema de adición, son

hechos que algebrizan un ente analítico como � y es en este pasaje de lo

analítico a lo algebraico donde se encuentra el nexo que une las funciones

elípticas y las cúbicas de género l. Así, dado un ret'1culo

L,

se construye

�L lo que produce una cúbica de ecuación y2

=

4x3 - g₂x - 93(la forma

de Weierstrass), parametrizada uniformemente por x

=

�(t), y

=

s.p'(t).

Además se debe tener 9� - 27 g;

=/

O. Recíprocamente, hemos visto que toda

cúbica de ecuación y2

=

4:r3 +Ax+ B con A3 - 27 B2

=/-

O. Entonces el nexo

de que hablamos tendrá. plena. validez si dados A y B tal que A3 -27B2

=/-

O,

se puede construir un retículo L tal que -92

=

A y -93

=

B; esto es

preguntarse: ¿existen retículos L tales que s.+J_L tenga invariantes 9₂ y 9_{3 con}

la sola restricción de 92

=/-

27 9f?. La respuesta, afirmativa, a ésta pregunta

la dá el notable teorem a de unif ormización.

Hemos reseñado las más importantes propiedades de las funciones s.+J_L

de Weierstrass, notadas

s.:µ

para un retículo fijado L y de las cuales debe

bien entenderse que gozan además de las propiedades generales vistas en

la sección anterior para una función L-elíptica arbitraria. Vamos ahora a

demostrar algunos hechos de rigor de los que el principal es naturalmente la

convergencia absoluta y uniforme sobre todo compacto en (['. \ L de la serie

que define

s.:µ.

Asumimos que L

=

Zw1

+

Zw2.

1

Lema 2.4.1. Sea L un retículo bidimensional. La serie

¿

I

w

Iº

con-wEL\{o}

verge para a

>

2 y diverge para a

<

2.

Nos remitimos a bien conocida. serie harmónica; se sabe que

1 � (n)I+e

converge para todo E > O y diverge para todo E

<

O. Sea P1 el paralelo­

gramo de vértices w 1

+

w2, -w1

+ w

2, -w1 -w2, w1 -w2 y sea

r

1 su frontera;

sea m

=

minzEr_i

I

z

I

y M

=

maxzEr_i

I

z

1-

Considerando ahora una dilat­

ación P_k de k veces P1, la frontera rk tendrá 8k puntos de L y además

1 1 8 00 1

- """""' - < """""' - < -"""""' -A1ª L.,¡ 1,.:a-1 - _{L.,¡ 1 w Iª - mª L.,¡ ka-1}

k=l wEL\{O} k=l

con lo que se termina.

. 1

"""""'

Teorema 2.4.2. La serie q-J(z)

=

₂

+

_L.,¡

z _wEL\{O}

1 1

[ ( z - w )2 - 2] converge ab-w

solutamente y uniformemente sobre todo compacto de C \ L. (Esto significa

que q-3 es holomorfa sobre C \ L).

Demostración. Podemos limitar nuestra atención sólo a

I

w

1

> 2

1

z

I

para z

fijado; se tiene

1

1

( 2w -

z) z

1 O

I

z

1

w)2 - w2

l

=

I

w2(z - w)2

I<

_{1 w 13}

de donde el teorema se sigue del lema 2.4.1 anterior.

o

Teorema 2.4.3. La funC'ión q-3 es una función L- elíptica par, de orden 2. La función derivada q-3' es L-elíptica impar de orden 3.

Demostración. q-3 es par porque q-3(-z) y q-J(z) difieren sólo en el orden de sumación lo que no altera la suma total ya que la serie es absolutamente

convergente y es claro que q3 tiene un polo doble( con residuo O) en cada

punto de

L.

Por la convergencia uniforme sobre todo compacto de C \

L

podemos derivar

término a término la serie lo que da la función holomorfa sobre C \

L

q-J'(z)

=

-2

¿

_(z

!

wEL

De donde

s;p' (z

+

wi)

=

-2 "°' ( 1 )₃

=

-2 "°' ( \-1₎₃

L.J Z

+

W· -W L.J Z

+

wEL i _nEL (2.4.2)

porque w 1--➔ n

=

w -wi es una biyección de L, es decir, s;J}'(z

+

wi)

=

s;J}'(z)

con i

=

1, 2; por lo tanto s;J}' es L-periódica.

Pero entonces ¡

z+w

s;p'(z)dz

=

s;J}(z

+

w) - s;J}(z) tiene una derivada nula por lo que es constante. Como s;p es par, haciendo z

=

-r

se tiene que

s;p

es periódica.

s;J}' es impar por el lema 2.4.1 y es claro que su orden es 3.

□

Como el orden de s;J}' es 3, para cada a complejo, s;J}' debe tener 3 a-puntos en todo paralelogramo fundamental de L. Cuando a= O, se tiene por ser s;J}' impar y L-periódica que s;J}'(T)

=

_s;J3'(7)

=

s;J}'(w'!w2)

=

O.

Cuando a

=

oo se tiene el polo ele orden 3 en el origen. Similarmente, como

el orden de s;p es 2, los a-puntos correspondientes a los valores s;J3(�1)

=

e1, s;J}( T) = e2 y s;p ( wi !w2)

=

e₃ son también de orden 2 porque s;J}' se anula como

se ha visto, pero s;J}" no. Para a,

(J.

{e1, e_2, e_3, }, los a,-puntos son simples porque s;J}' no puede anularse sino tres veces.

Dependencia algebraica de s;p y s;J}': Vamos a determinar una ecuación

diferencial de primer orden para s;J}. ótese que, por construcción, s;J}(z)

=

se puede sustituir

1 1 1

z

-2 00

n

+ 1

-- - - = -[(1 - - ) - 1] = "'_-zn

(z

- w)2 w2 w2 w

2i

wn+2

en la expresión de s,p (

z)

- z12 lo que da

00

S,lJ(z) - � ₌ "' ["'

n+

lzn] 22 L...t L...t wn+2

wEL\{O} n=l

(2.4.3)

(2.4.4)

válido para lzl suficientemente pequeño. Como s,p es par todos los coeficientes de índice par se anulan y entonces

de donde

Entonces

por lo cual

5-P'(z)

=

_2_

₊

g2

_z

₊

g3

_z

3

₊

_O(z5₎

z

3 ₁₀ 7

3 ( ) 1 3 g2 3 _{( 2)}

s,p

z = z6

+

20 z2

+

28 g3

+

O z

,2 4 2 g2 4 ₂₎

s,p (z) = _{z6 -}

5

_{z2 - 7g3} + O(z

(2.4.5)

(2.4.6)

(2.4. 7)

(2.4.8)

(2.4.9)

(2.4.10)

y es por lo tanto una función constante. Haciendo tender z a O se ve que esta

constante es nula. Es fácil ver que 92 y g3 se formulan como se ha descrito

en un principio.

La fórmula integral para q](z): Haciendo q](z) = X se tiene [�-;]2 =

4X3 - g2X - g3 y por (?) se puede hacer 4X3 - g2X - 93 = 4(X - e1)(X

-e₂)(X - e_3). Como los tre ei son distintos, el discriminante de este polinomio

cúbico debe ser no nulo lo que da

(Se demuestra que si 8 > O entonces e1, e2, e3 son reales y si 8

<

O entonces

hay dos raíces complejas conjugadas y una real).

ota: Es bueno advertir que q}' es una función en el sentido habitual del

término y no una función multivaluada por lo cual al hacer

q]'(z) = J4q]3(z) - g2q](z) - g_3, hay que tener cuidado con el signo elegido

para un valor dado de q3 (

z).

Por integración se obtiene, tomando un camino rectificable de z₀ a z que no

pase por los polos de q3,

1

dq](z) _{x

-;==dt = ==

z

-zo = ,., J4q]3(z) - g2q](z) -93 = Jxo J4t3 - 92t -93

(2.4.11)

La segunda integración haciéndose a lo largo del camino q}(--y) de extremos

q](z0) y q](z). Esto define una función multivaluada de X que depende de las

nw2)

=

X para valores arbitrarios de m y nen Z y, además que S,13 tiene en

general dos X-puntos en el paralelogramo fundamental correspondiente. Así

pues, con las condiciones ante dichas para , uniendo z0 a uno cualquiera de

la infinidad de z expuest.08 se tiene

z- Zo

=

r _' dt donde

r

es el camino S,13('). Ahora se obtiene

l

r

J4t3 - g2t - g3

para z0, una integral impropia convergente en que,

X

=

S,l}(z) y el signo del

radical debe estar acorde con S,13' (

z),

{X dt

z

=

)

00

✓

4t3 - g2t - g3

(2.4.12)

Esta última ecuación es equivalente a S,lJ(z)

=

X y se podría haber definido

s,p

de esta manera en cuyo caso debería más bien escribirse S,l}(z) en lugar de

X

en la integral.

Los períodos de L: Tenemos entonces

¡

ei _dt

w₁

=

2

---;===== ;

i

=

1, 2. (se vió que el orden de S,13 es 2)

00 J4t3 - g2t - g3

(2.4.13)

donde el camino de integración es la imágen S,13 (,) de cualquier camino

rectificable , uniendo z

=

O a z

=

T.

Ahora, el signo radical no es importante

porque afecta sólo al signo de wi. Es obvio que esto determina

T

módulo

L.

Teorema 2.4.4. {Teorema de adición para S,13:j Sean u y v dos números

complejos arbitrarios y f ármese el sistema

S,13' (

u)

=

AS,13(

u.)

+

B

A y B están v:nívocamente determinados si v.+ L-=/- v

+

L, es decir si u y v son distintos en C/ L. Consiérese la función F(t)

=

s.:JJ'(t) - As.:JJ(t) - B.

Demostración. Es claro que Fes L-elíptica y que tiene un polo triple en t

=

O

por lo que tiene exactamente 3 ceros (multiplicidad eventual incluída) módulo

L. Hay dos ceros evidentes 11, y v de F por lo cual el tercero debe ser -(u+v).

En consecuencia s.:J3'2(t)

=

A2s.:J32

+

2ABs.:JJ(t)

+

B2 para todo valor de t

igual, módulo L, a u, v ó -(u+ v). Por la dependencia algebraica de s.:J3 y s.:JJ'

se tiene entonces

para dichos valores de

t.

Finalmente se debe tener

1 s.:JJ' (U) - s.:JJ' (V) 2

s.:JJ(u)

+

s.:JJ(v)

+

s.:JJ(u

+

v)

=

_4[

_{s.:JJ(u) _ s.:JJ(v) ]}

que es la relación buscada.

(2.4.14)

(2.4.15)

La fórmula de duplicación para s.:J3(2u) sale por un proceso sencillo de límite;

cuando 2u

tJ.

L

se tiene

o

Teorema 2.4.5. Toda función L-elíptica está en C(s,p-, s.:JJ')

2f(z)

=

[f(z)

+

f(-z)]

+

�'(z)[f(z��!;) z)

]

basta demostrar el enunciado para funciones g que sean L-elípticas pares.

Sea

P

el paralelogramo fundamental de vértices O, w1 y w2; para cada ai

cero de g en

P,

hay un ,, simétrico" a;, como visto en la figura ?? , que es también un cero de g porque ai

+

_{a; E {w1,w2,w1}

+

w2}(omitimos O) y g

es par. Se ve con facilidad que ambos ceros tienen igual multiplicidad y que

si un semiperíodo es un cero entonces tienen multiplicidad par. Las mismas

observaciones valen para los polos de g. Tomamos entonces sólo la mitad de

los ceros ai y de los polos bi (multiplicidad incluida) y formamos la función

(2.4.16)

ótese que habiendo omit.ido los eventuales valores nulos para ai o b_i, en­

tonces las multiplicidades de polo o cero de _g(z) en _z

=

O son iguales a las

del producto. Por lo demás esta función es claramente L-elíptica y no tiene

polos. Entonces se debe tener, para una cierta constante

A,

Para terminar hay que aplicar esto último a los casos en que

f(z) - J(-z) g(z)

=

f (z)

+

J(-z) Y g(z)

=

�'(-z) ·

(2.4.17)

Se tiene así (

=

C(�, �') donde ( es el conjunto de todas las funciones