Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesi´on de funciones fn: R → R, donde fn es la funci´on caracter´ıstica del intervalo cerrado [−3n, −n]

An´alisis Matem´atico II, LFM. Tarea 2. Variante α.

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.

Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesi´on de funciones fn: R → R, donde fn es la funci´on caracter´ıstica del intervalo cerrado [−3n, −n].

1. Dibujar las gr´aficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente l´ımite:

g(x) := lim

n→∞f_n(x)

y escribir el razonamiento completo bas´andose en le definici´on del l´ımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funci´on fn− g. Hacer una conclusi´on sobre la convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.

En el conjunto X = (0, 1] con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones f_n: (0, 1]→ [0, +∞) definida mediante la regla

f_n(x) :=





n − nx, 0 < x < _n¹; 0, _n¹ ≤ x ≤ 1.

Demuestre que fn converge puntualmente a la funci´on g = 0. Calcule Z

X



nlim→∞f_n

dµ y lim

n→∞

Z

X

f_ndµ.

Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente funci´on h y muestre que h no es integrable:

h(x) :=sup

n∈N|fn(x)|.

Tarea 2, variante α, p´agina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia de una sucesi´on (f_n)^∞_n=1 de funciones f_n: X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las gr´aficas de f_n para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el l´ımite puntual g(x) := lim

n→∞f_n(x).

c) Para todo n en N calcular sup

x∈X|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (f_n)_n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en los incisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si f_n converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=S_∞

n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=T_∞

k=1B(ε, k).

i) Calcular D :=S

ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergencia uniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla- mada tambi´en convergencia de Eg´orov ).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < η tal que la sucesi´on (fn)_n∈N converja a g uniformemente en X\ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) =e^−n2x2. Ejercicio 4. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) = χ_[0,1/n).

Tarea 2, variante α, p´agina 2 de 2

An´alisis Matem´atico II, LFM. Tarea 2. Variante β.

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.

Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesi´on de funciones fn: R → R, donde fn es la funci´on caracter´ıstica del intervalo (0, 1/n], multiplicada por n.

1. Dibujar las gr´aficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente l´ımite:

g(x) := lim

n→∞f_n(x)

y escribir el razonamiento completo bas´andose en le definici´on del l´ımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funci´on fn− g. Hacer una conclusi´on sobre la convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.

En el conjunto X = (0, 1] con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones f_n: (0, 1]→ [0, +∞) definida mediante la regla

f_n(x) :=





n − nx, 0 < x < _n¹; 0, _n¹ ≤ x ≤ 1.

Demuestre que fn converge puntualmente a la funci´on g = 0. Calcule Z

X



nlim→∞f_n

dµ y lim

n→∞

Z

X

f_ndµ.

Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente funci´on h y muestre que h no es integrable:

h(x) :=sup

n∈N|fn(x)|.

Tarea 2, variante β, p´agina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia de una sucesi´on (f_n)^∞_n=1 de funciones f_n: X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las gr´aficas de f_n para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el l´ımite puntual g(x) := lim

n→∞f_n(x).

c) Para todo n en N calcular sup

x∈X|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (f_n)_n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en los incisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si f_n converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=S_∞

n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=T_∞

k=1B(ε, k).

i) Calcular D :=S

ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergencia uniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla- mada tambi´en convergencia de Eg´orov ).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < η tal que la sucesi´on (fn)_n∈N converja a g uniformemente en X\ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) =e^−n2x2. Ejercicio 4. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) = χ_[0,1/n).

Tarea 2, variante β, p´agina 2 de 2

An´alisis Matem´atico II, LFM. Tarea 2. Variante 1 (ASD, CFS, MZJA).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.

Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesi´on de funciones fn: R → R, donde fn es la funci´on caracter´ıstica del intervalo cerrado [−1/n, 2/n].

1. Dibujar las gr´aficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente l´ımite:

g(x) := lim

n→∞f_n(x),

y escribir el razonamiento completo bas´andose en le definici´on del l´ımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funci´on fn− g. Hacer una conclusi´on sobre la convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.

En el conjunto X = (0, 1] con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones f_n: (0, 1]→ [0, +∞) definida mediante la regla

f_n(x) := n χ_(0,1/n](x) =



n, 0 < x6 _n¹; 0, _n¹ < x6 1.

Demuestre que f_n converge puntualmente a la funci´on g = 0. Calcule Z

X



nlim→∞f_n

dµ y lim

n→∞

Z

X

f_ndµ.

Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente funci´on h y muestre que h no es integrable:

h(x) :=sup

n∈N|fn(x)|.

Tarea 2, variante 1 (ASD, CFS, MZJA), p´agina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia de una sucesi´on (f_n)^∞_n=1 de funciones f_n: X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las gr´aficas de f_n para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el l´ımite puntual g(x) := lim

n→∞f_n(x).

c) Para todo n en N calcular sup

x∈X|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (f_n)_n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en los incisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si f_n converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=S_∞

n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=T_∞

k=1B(ε, k).

i) Calcular D :=S

ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergencia uniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla- mada tambi´en convergencia de Eg´orov ).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < η tal que la sucesi´on (fn)_n∈N converja a g uniformemente en X\ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = [0, 1], µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := 4ⁿxⁿ(1 − x)ⁿ. Ejercicio 4. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := χ_{(−n−1,−n]}.

Tarea 2, variante 1 (ASD, CFS, MZJA), p´agina 2 de 2

An´alisis Matem´atico II, LFM. Tarea 2. Variante 2 (JEA, MDCEA, SBE).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.

Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesi´on de funciones fn: R → R, donde fn es la funci´on caracter´ıstica del intervalo cerrado [n, 2n].

1. Dibujar las gr´aficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente l´ımite:

g(x) := lim

n→∞f_n(x),

y escribir el razonamiento completo bas´andose en le definici´on del l´ımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funci´on fn− g. Hacer una conclusi´on sobre la convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.

En el conjunto X = R con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones fn: R → [0, +∞) definida mediante la regla

f_n(x) := χ_[−2n,−n](x) =



1, x∈ [−2n, −n];

0, x∈ (−∞, −2n) ∪ (−n, +∞).

Demuestre que f_n converge puntualmente a la funci´on g = 0. Calcule Z

X



nlim→∞f_n



dµ y lim

n→∞

Z

X

f_ndµ.

Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente funci´on h y muestre que h no es integrable:

h(x) :=sup

n∈N|fn(x)|.

Tarea 2, variante 2 (JEA, MDCEA, SBE), p´agina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia de una sucesi´on (f_n)^∞_n=1 de funciones f_n: X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las gr´aficas de f_n para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el l´ımite puntual g(x) := lim

n→∞f_n(x).

c) Para todo n en N calcular sup

x∈X|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (f_n)_n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en los incisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si f_n converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=S_∞

n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=T_∞

k=1B(ε, k).

i) Calcular D :=S

ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergencia uniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla- mada tambi´en convergencia de Eg´orov ).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < η tal que la sucesi´on (fn)_n∈N converja a g uniformemente en X\ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := 1 1 + (x − n)². Ejercicio 4. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := n· χ_[1−1/n,1) =

n, x∈ [1 − 1/n, 1), 0, x∈ R \ [1 − 1/n, 1).

Tarea 2, variante 2 (JEA, MDCEA, SBE), p´agina 2 de 2

An´alisis Matem´atico II, LFM. Tarea 2. Variante 3 (JCJC, RELF, ZGSE).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.

Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesi´on de funciones fn: R → R, donde fn es la funci´on caracter´ıstica del intervalo cerrado [−1/n, 0].

1. Dibujar las gr´aficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente l´ımite:

g(x) := lim

n→∞f_n(x),

y escribir el razonamiento completo bas´andose en le definici´on del l´ımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funci´on fn− g. Hacer una conclusi´on sobre la convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.

En el conjunto X = R con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones fn: R → [0, +∞) definida mediante la regla

f_n(x) := 2⁻ⁿ· χ_[2n,2ⁿ⁺¹)(x) =



2⁻ⁿ, x∈ [2ⁿ, 2ⁿ⁺¹];

0, x∈ (−∞, 2ⁿ)∪ (2ⁿ⁺¹, +∞).

Demuestre que f_n converge puntualmente a la funci´on g = 0. Calcule Z

X



nlim→∞f_n



dµ y lim

n→∞

Z

X

f_ndµ.

Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente funci´on h y muestre que h no es integrable:

h(x) :=sup

n∈N|fn(x)|.

Tarea 2, variante 3 (JCJC, RELF, ZGSE), p´agina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia de una sucesi´on (f_n)^∞_n=1 de funciones f_n: X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las gr´aficas de f_n para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el l´ımite puntual g(x) := lim

n→∞f_n(x).

c) Para todo n en N calcular sup

x∈X|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (f_n)_n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en los incisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si f_n converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=S_∞

n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=T_∞

k=1B(ε, k).

i) Calcular D :=S

ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergencia uniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla- mada tambi´en convergencia de Eg´orov ).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < η tal que la sucesi´on (fn)_n∈N converja a g uniformemente en X\ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = [0, 1), µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := xⁿ. Ejercicio 4. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := n· χ_(0,1/n]=



n, x∈ (0, 1/n], 0, x∈ R \ (0, 1/n].

Tarea 2, variante 3 (JCJC, RELF, ZGSE), p´agina 2 de 2

An´alisis Matem´atico II, LFM. Tarea 2. Variante 4 (JEOHN, MMED, VRR).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.

Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesi´on de funciones fn: R → R, donde fn es la funci´on caracter´ıstica del intervalo cerrado [−3n, −n].

1. Dibujar las gr´aficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente l´ımite:

g(x) := lim

n→∞f_n(x),

y escribir el razonamiento completo bas´andose en le definici´on del l´ımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funci´on fn− g. Hacer una conclusi´on sobre la convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.

En el conjunto X = R con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones fn: R → [0, +∞) definida mediante la regla

f_n(x) := 2ⁿ· χ_[2−n−1,2⁻ⁿ](x) =



2ⁿ, x∈ [2⁻ⁿ⁻¹, 2⁻ⁿ];

0, x∈ (−∞, 2⁻ⁿ⁻¹)∪ (2⁻ⁿ, +∞).

Demuestre que f_n converge puntualmente a la funci´on g = 0. Calcule Z

X



nlim→∞f_n



dµ y lim

n→∞

Z

X

f_ndµ.

Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente funci´on h y muestre que h no es integrable:

h(x) :=sup

n∈N|fn(x)|.

Tarea 2, variante 4 (JEOHN, MMED, VRR), p´agina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia de una sucesi´on (f_n)^∞_n=1 de funciones f_n: X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las gr´aficas de f_n para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el l´ımite puntual g(x) := lim

n→∞f_n(x).

c) Para todo n en N calcular sup

x∈X|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (f_n)_n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en los incisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si f_n converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=S_∞

n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=T_∞

k=1B(ε, k).

i) Calcular D :=S

ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergencia uniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla- mada tambi´en convergencia de Eg´orov ).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < η tal que la sucesi´on (fn)_n∈N converja a g uniformemente en X\ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := 1 1 + n²x². Ejercicio 4. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := χ_[3·(−1)n,5·(−1)ⁿ].

Tarea 2, variante 4 (JEOHN, MMED, VRR), p´agina 2 de 2

An´alisis Matem´atico II, LFM. Tarea 2. Variante 5 (AMPAB, LDCJA, PCRD).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.

Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesi´on de funciones fn: R → R, donde fn es la funci´on caracter´ıstica del intervalo cerrado [1/n, 2n].

1. Dibujar las gr´aficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente l´ımite:

g(x) := lim

n→∞f_n(x),

y escribir el razonamiento completo bas´andose en le definici´on del l´ımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funci´on fn− g. Hacer una conclusi´on sobre la convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.

En el conjunto X = R con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones fn: R → [0, +∞) definida mediante la regla

f_n(x) := 1

n · χ_[n,2n](x) =



 1

n, x∈ [n, 2n];

0, x∈ (−∞, n) ∪ (2n, +∞).

Demuestre que f_n converge puntualmente a la funci´on g = 0. Calcule Z

X



nlim→∞f_n

dµ y lim

n→∞

Z

X

f_ndµ.

Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente funci´on h y muestre que h no es integrable:

h(x) :=sup

n∈N|fn(x)|.

Tarea 2, variante 5 (AMPAB, LDCJA, PCRD), p´agina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia de una sucesi´on (f_n)^∞_n=1 de funciones f_n: X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las gr´aficas de f_n para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el l´ımite puntual g(x) := lim

n→∞f_n(x).

c) Para todo n en N calcular sup

x∈X|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (f_n)_n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en los incisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si f_n converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=S_∞

n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=T_∞

k=1B(ε, k).

i) Calcular D :=S

ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergencia uniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla- mada tambi´en convergencia de Eg´orov ).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < η tal que la sucesi´on (fn)_n∈N converja a g uniformemente en X\ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) = nx 1 + n²x². Ejercicio 4. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := χ[−n−1,−n]∪[n,n+1].

Tarea 2, variante 5 (AMPAB, LDCJA, PCRD), p´agina 2 de 2

An´alisis Matem´atico II, LFM. Tarea 2. Variante 6 (DOMLA, HJNX, MSJM).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.

Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesi´on de funciones fn: R → R, donde fn es la funci´on caracter´ıstica del intervalo cerrado [−n, 1/n].

1. Dibujar las gr´aficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente l´ımite:

g(x) := lim

n→∞f_n(x),

y escribir el razonamiento completo bas´andose en le definici´on del l´ımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funci´on fn− g. Hacer una conclusi´on sobre la convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.

En el conjunto X = (0, +∞) con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones f_n: (0, +∞) → [0, +∞) definida mediante la regla

f_n(x) := n· e^−nx.

Demuestre que f_n converge puntualmente a la funci´on g = 0. Calcule Z

X



nlim→∞f_n



dµ y lim

n→∞

Z

X

f_ndµ.

Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente funci´on h y muestre que h no es integrable:

h(x) :=sup

n∈N|fn(x)|.

Tarea 2, variante 6 (DOMLA, HJNX, MSJM), p´agina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia de una sucesi´on (f_n)^∞_n=1 de funciones f_n: X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las gr´aficas de f_n para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el l´ımite puntual g(x) := lim

n→∞f_n(x).

c) Para todo n en N calcular sup

x∈X|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (f_n)_n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en los incisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si f_n converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=S_∞

n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=T_∞

k=1B(ε, k).

i) Calcular D :=S

ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergencia uniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla- mada tambi´en convergencia de Eg´orov ).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < η tal que la sucesi´on (fn)_n∈N converja a g uniformemente en X\ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = (0, +∞), µ es la medida de Lebesgue, fn(x) =e^−nx. Ejercicio 4. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := (−1)ⁿ· χ_[2n,2ⁿ⁺¹].

Tarea 2, variante 6 (DOMLA, HJNX, MSJM), p´agina 2 de 2

An´alisis Matem´atico II, LFM. Tarea 2. Variante 7 (AIAJ, GHE, TELD).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.

Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesi´on de funciones fn: R → R, donde fn es la funci´on caracter´ıstica del intervalo cerrado n, n +_n¹.

1. Dibujar las gr´aficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente l´ımite:

g(x) := lim

n→∞f_n(x),

y escribir el razonamiento completo bas´andose en le definici´on del l´ımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funci´on fn− g. Hacer una conclusi´on sobre la convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.

En el conjunto X = [0, 1) con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones f_n: [0, 1)→ [0, +∞) definida mediante la regla

f_n(x) := (n + 1)xⁿ.

Demuestre que f_n converge puntualmente a la funci´on g = 0. Calcule Z

X



nlim→∞f_n

dµ y lim

n→∞

Z

X

f_ndµ.

Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente funci´on h y muestre que h no es integrable:

h(x) :=sup

n∈N|fn(x)|.

Tarea 2, variante 7 (AIAJ, GHE, TELD), p´agina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia de una sucesi´on (f_n)^∞_n=1 de funciones f_n: X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las gr´aficas de f_n para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el l´ımite puntual g(x) := lim

n→∞f_n(x).

c) Para todo n en N calcular sup

x∈X|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (f_n)_n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en los incisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si f_n converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=S_∞

n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=T_∞

k=1B(ε, k).

i) Calcular D :=S

ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergencia uniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla- mada tambi´en convergencia de Eg´orov ).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < η tal que la sucesi´on (fn)_n∈N converja a g uniformemente en X\ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = (0, +∞), µ es la medida de Lebesgue, fn(x) = x n + x. Ejercicio 4. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := χ[−_n¹,_n¹].

Tarea 2, variante 7 (AIAJ, GHE, TELD), p´agina 2 de 2

An´alisis Matem´atico II, LFM. Tarea 2. Variante 8 (AGJE, SMJG, SGVD).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.

Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesi´on de funciones fn: R → R, donde fn es la funci´on caracter´ıstica del intervalo cerrado [2⁻ⁿ, 2ⁿ].

1. Dibujar las gr´aficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente l´ımite:

g(x) := lim

n→∞f_n(x),

y escribir el razonamiento completo bas´andose en le definici´on del l´ımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funci´on fn− g. Hacer una conclusi´on sobre la convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.

En el conjunto X = R con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones fn: R → [0, +∞) definida mediante la regla

f_n(x) :=



1 −|x − 2n|, x ∈ [2n − 1, 2n + 1];

0, x∈ (−∞, 2n − 1) ∪ (2n + 1, +∞).

Demuestre que f_n converge puntualmente a la funci´on g = 0. Calcule Z

X



nlim→∞f_n



dµ y lim

n→∞

Z

X

f_ndµ.

Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente funci´on h y muestre que h no es integrable:

h(x) :=sup

n∈N|fn(x)|.

Tarea 2, variante 8 (AGJE, SMJG, SGVD), p´agina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia de una sucesi´on (f_n)^∞_n=1 de funciones f_n: X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las gr´aficas de f_n para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el l´ımite puntual g(x) := lim

n→∞f_n(x).

c) Para todo n en N calcular sup

x∈X|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (f_n)_n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en los incisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si f_n converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=S_∞

n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=T_∞

k=1B(ε, k).

i) Calcular D :=S

ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergencia uniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla- mada tambi´en convergencia de Eg´orov ).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < η tal que la sucesi´on (fn)_n∈N converja a g uniformemente en X\ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = (0, +∞), µ es la medida de Lebesgue, fn(x) = n n + x. Ejercicio 4. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := χ[−2+_n¹,3].

Tarea 2, variante 8 (AGJE, SMJG, SGVD), p´agina 2 de 2

An´alisis Matem´atico II, LFM. Tarea 2. Variante 9 (MMD, AVLA).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.

Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesi´on de funciones fn: R → R, donde fn es la funci´on caracter´ıstica del intervalo cerrado [−2ⁿ, 1/n].

1. Dibujar las gr´aficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente l´ımite:

g(x) := lim

n→∞f_n(x),

y escribir el razonamiento completo bas´andose en le definici´on del l´ımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funci´on fn− g. Hacer una conclusi´on sobre la convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.

En el conjunto X = R con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones fn: R → [0, +∞) definida mediante la regla

f_n(x) := χ_[n,2n+1](x) =



1, x∈ [n, 2n + 1];

0, x∈ (−∞, n) ∪ (2n + 1, +∞).

Demuestre que f_n converge puntualmente a la funci´on g = 0. Calcule Z

X



nlim→∞f_n



dµ y lim

n→∞

Z

X

f_ndµ.

Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente funci´on h y muestre que h no es integrable:

h(x) :=sup

n∈N|fn(x)|.

Tarea 2, variante 9 (MMD, AVLA), p´agina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia de una sucesi´on (f_n)^∞_n=1 de funciones f_n: X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las gr´aficas de f_n para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el l´ımite puntual g(x) := lim

n→∞f_n(x).

c) Para todo n en N calcular sup

x∈X|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (f_n)_n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en los incisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si f_n converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=S_∞

n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=T_∞

k=1B(ε, k).

i) Calcular D :=S

ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergencia uniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla- mada tambi´en convergencia de Eg´orov ).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < η tal que la sucesi´on (fn)_n∈N converja a g uniformemente en X\ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X = (0, +∞), µ es la medida de Lebesgue, fn(x) = nx x²+ n². Ejercicio 4. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) := n

n + 1· χ[0,_n+1ⁿ ].

Tarea 2, variante 9 (MMD, AVLA), p´agina 2 de 2

An´alisis Matem´atico II, LFM. Tarea 2. Variante 10 (ARGJ, AAIA).

Medidas, funciones medibles, varios modos de convergencia, convergencia de integrales.

Ejercicio 1. 3 %.

Analizar la convergencia puntual y la convergencia uniforme de la sucesi´on de funciones fn: R → R, donde fn es la funci´on caracter´ıstica del intervalo cerrado −n,_n+1ⁿ .

1. Dibujar las gr´aficas de fn para n = 1, 2, 3.

2. Para cada x en R hallar el siguiente l´ımite:

g(x) := lim

n→∞f_n(x),

y escribir el razonamiento completo bas´andose en le definici´on del l´ımite.

3. Para cada n en N, calcular la norma uniforme de la funci´on fn− g. Hacer una conclusi´on sobre la convergencia uniforme.

Ejercicio 2. 5 %.

En el conjunto X = (0, +∞) con la medida de Lebesgue se considera la sucesi´on de funciones f_n: (0, +∞) → [0, +∞) definida mediante la regla

f_n(x) := n (x + n)².

Demuestre que fn converge puntualmente a la funci´on g = 0. Calcule Z

X



nlim→∞f_n

dµ y lim

n→∞

Z

X

f_ndµ.

Explique por qu´e no se puede aplicar el teorema de la convergencia dominada. Para ello, calcule la siguiente funci´on h y muestre que h no es integrable:

h(x) :=sup

n∈N|fn(x)|.

Tarea 2, variante 10 (ARGJ, AAIA), p´agina 1 de 2

En cada uno de los siguientes dos ejercicios hay que analizar varios modos de convergencia de una sucesi´on (f_n)^∞_n=1 de funciones f_n: X→ R. Se recomienda el siguiente plan.

a) Dibujar las gr´aficas de f_n para n = 1, 2, 3.

b) Para todo punto x en X calcular el l´ımite puntual g(x) := lim

n→∞f_n(x).

c) Para todo n en N calcular sup

x∈X|fn(x) − g(x)|.

d) Determinar si (f_n)_n∈N converge a g uniformemente.

e) Para todos ε > 0 y n ∈ N calcular A(ε, n) := {x ∈ X : |fn(x) − g(x)| > ε}. En este inciso y en los incisos g), h) es suficiente trabajar con valores de ε cercanos a cero.

f) Determinar si f_n converge a g en medida µ.

g) Para todos ε > 0 y k ∈ N calcular B(ε, k) :=S_∞

n=kA(ε, n).

h) Para todo ε > 0 calcular C(ε) :=T_∞

k=1B(ε, k).

i) Calcular D :=S

ε>0C(ε).

j) Utilizando los resultados de los incisos g), i) comprobar las conclusiones sobre la convergencia uniforme y puntual.

k) Utilizando el resultado del inciso g) determinar si tiene caso la convergencia casi uniforme (lla- mada tambi´en convergencia de Eg´orov ).

l) En el caso de respuesta positiva en k), para todo η > 0 construir un conjunto E con µ(E) < η tal que la sucesi´on (fn)_n∈N converja a g uniformemente en X\ E.

Ejercicio 3. 7 %.

X =, µ es la medida de Lebesgue, f_n(x) = 1

|x − n| + 1. Ejercicio 4. 7 %.

X = R, µ es la medida de Lebesgue, fn(x) :=



−1, 1 + 1 n

 .

Tarea 2, variante 10 (ARGJ, AAIA), p´agina 2 de 2