ELABORADO POR ING. JOVANNY DUQUE 1
SISTEMAS DE PRIMER ORDEN (CIRCUITO ELÉCTRICO RC)
La figura muestra un circuito eléctrico RC del cual se desprende un modelo matemático de primer orden descrito por la ecuación diferencial (ED) que relaciona el Voltaje en el capacitor V(t) respecto a un voltaje de alimentación Vi(t)
Según la ley de Kirchhoff el voltaje de alimentación Vi equivale a la suma de los voltajes en la resistencia y en el capacitor 𝑉𝑖 = 𝑉𝑟 + 𝑉 donde 𝑉𝑖 es el voltaje de entrada de la fuente ; 𝑉𝑟 es el voltaje en la resistencia y 𝑉 es el voltaje en el capacitor
𝑉𝑟 = 𝑖 ∗ 𝑅 donde 𝑖 = 𝐶 ∗𝑑𝑉
𝑑𝑡 por lo tanto 𝑉𝑟 = 𝑅 ∗ 𝐶 ∗𝑑𝑉
𝑑𝑡
𝑉𝑖 = 𝑅 ∗ 𝐶 ∗𝑑𝑉
𝑑𝑡+ 𝑉 Se reescribe para que se ajuste a la forma estándar 𝑅 ∗ 𝐶 ∗𝑑𝑉
𝑑𝑡+ 𝑉 = 𝑉𝑖 Sigue el modelo estándar de una ecuación de primer orden
𝜏 ∗
𝑑𝑦𝑑𝑡
+ 𝑦 = 𝐾 ∗ 𝑓(𝑡)
Donde𝜏
= la constante de tiempo del proceso = R*C = (en este caso)K
= La ganancia del proceso en estado estable = 1 (en este caso)𝑓(𝑡)= 𝑉𝑖 La función de forzamiento o entrada al sistema (V de la fuente) Cabe anotar que este tipo de sistemas o ecuaciones diferenciales tienen soluciones de la forma
𝑦 = 𝐾 ∗ 𝑓(𝑡)(1 − 𝑒
𝑡𝜏)
Cuando se considera que la respuesta 𝑦 = 0 cuando 𝑡 = 0 es decir y(t) en t=0 es prácticamente 0.Y una función de transferencia
Gss = 𝑌𝑠
𝐹𝑠 = 𝐾
𝜏∗𝑠+1 = 𝐾/𝜏
𝑠+1/𝜏
que representa la transformada de Laplace de la salida sobre la transformada de Laplace de la entradaMÉTODO DE SOLUCIÓN EXPLICITA # 1
(OBTENCIÓN DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL EN EL WORKSPACE DE MATLAB + GRAFICACIÓN)
Se reescribe la Ecuación Diferencial de la forma
𝑑𝑉
𝑑𝑡 = (𝑉𝑖)
𝑅∗𝐶 − (𝑉)
𝑅∗𝐶
EN EL WORKSPACE DE MATLAB
>> sys_equ='DV=(Vi/(R*C))-(V/(R*C))' >> % Definir la Ecuación diferencial y darle el nombre de sys_equ
ELABORADO POR ING. JOVANNY DUQUE 2
>> V=dsolve(sys_equ,'V(0)=0','t') % Resolver E D con dsolve, para la condición del voltaje del Capacitor V(0) en t=0 V = Vi - Vi*exp(-t/(C*R)) % la solución
>> Vi=10; R=5000; C=1e-3; % Asignar el valor de las constantes
>> V=subs(V) %Substituir los valores en la ED V = 10 - 10*exp(-t/5) % esta es la solución de la ED
>> t=linspace(0,40,200); % Crear un vector de tiempo de 0 a 40 seg - 200 puntos
>> V_plot=eval(vectorize(V)) % Crear un vector de datos del mismo tamaño que t
% Graficar la solución
>> figure
>> hold on
>> plot(t,V_plot)
>> grid on
>> xlabel('tiempo- s')
>> ylabel('Voltaje-Condensador')
Ver en el enlace de Youtube : https://youtu.be/571un3uphz0
ELABORADO POR ING. JOVANNY DUQUE 3 MÉTODO DE SOLUCIÓN # 2 - GRÁFICA IMPLICITA A TRAVEZ DE LOS DIAGRAMAS DE BLOQUES DE SIMULINK
La figura muestra un circuito eléctrico RC del cual se desprende un modelo matemático de primer orden descrito por la ecuación diferencial (ED) que relaciona el Voltaje en el capacitor respecto a un voltaje de alimentación Vi(t)
Considere que el voltaje del capacitor V(t) en t=0 es prácticamente 0.
Según la ley de Kirchhoff el voltaje de alimentación Vi equivale a la suma de los voltajes en la resistencia y en el capacitor Vr+Vc
𝑉𝑖 = 𝑉𝑟 + 𝑉𝑜
𝑉𝑟 = 𝑖 ∗ 𝑅 donde 𝑖 = 𝐶 ∗
𝑑𝑉𝑐𝑑𝑡por lo tanto 𝑉𝑟 = 𝑅 ∗ 𝐶 ∗
𝑑𝑉𝑜𝑑𝑡
𝑉𝑖 = 𝑅 ∗ 𝐶 ∗
𝑑𝑉𝑜𝑑𝑡
+ 𝑉𝑜
se reescribe para que se ajuste a la forma en la que se hará la representación gráfica𝑑𝑉
𝑑𝑡 = (𝑉𝑖−𝑉)
𝑅∗𝐶
Abrir el entorno de Simulink de Matlab
>> Simulink % Escribir simulink en el workspace
ELABORADO POR ING. JOVANNY DUQUE 4
Ejecutar la simulación y darle 60 s de tiempoVer en el enlace de Youtube : https://youtu.be/E_9zu5fWGzo
MÉTODO DE SOLUCIÓN # 3 - DETERMINAR LA FUNCION DE TRANSFERENCIA USANDO LA TRANSFORMADA DE LAPLACE
La figura muestra un circuito eléctrico RC del cual se desprende un modelo matemático de primer orden descrito por la ecuación diferencial (ED) que relaciona el Voltaje en el capacitor respecto a un voltaje de alimentación Vi(t)
Considere que el voltaje del capacitor V(t) en t=0 es prácticamente 0.
Según la ley de Kirchhoff el voltaje de alimentación Vi equivale a la suma de los voltajes en la resistencia y en el capacitor Vr+Vc
𝑉𝑖 = 𝑉𝑟 + 𝑉𝑜
ELABORADO POR ING. JOVANNY DUQUE 5 𝑉𝑟 = 𝑖 ∗ 𝑅 donde 𝑖 = 𝐶 ∗
𝑑𝑉𝑐𝑑𝑡por lo tanto 𝑉𝑟 = 𝑅 ∗ 𝐶 ∗
𝑑𝑉𝑜𝑑𝑡𝑉𝑖 = 𝑅 ∗ 𝐶 ∗ 𝑑𝑉𝑜
𝑑𝑡 + 𝑉𝑜 se reescribe para que se ajuste a la forma en la que se hará la representación gráfica
𝑅 ∗ 𝐶 ∗ 𝑑𝑉
𝑑𝑡 + 𝑉 = 𝐾 ∗ 𝑉𝑖 condición inicial 𝑉(0) = 0 el voltaje del capacitor es cero en t=0
𝜏 ∗ 𝑑𝑉
𝑑𝑡 + 𝑉 = 𝐾 ∗ 𝑉𝑖 𝜏 = 𝑅 ∗ 𝐶 = 5 y 𝐾 = 1 Si aplicamos la Transformada de Laplace ( Ɫ ) a la Ecuación diferencial 𝑅 ∗ 𝐶 ∗ Ɫ {
𝑑𝑉𝑑𝑡} + Ɫ{𝑉} = K* Ɫ {𝑉𝑖}
𝑅 ∗ 𝐶 ∗{s*V(s)+V(0)} +V(s) = K* Vi(s) para 𝑉(0) = 0 𝑅 ∗ 𝐶 ∗s*V(s) + V(s) = K*Vi(s)
Vs{ 𝑅 ∗ 𝐶 ∗ s + V(s) } = K* Vi(s)
La función de transferencia Gss =
𝑉𝑖(𝑠)𝑉𝑠=
𝐾𝑅∗𝐶∗𝑠+1
= 𝐾
𝜏 ∗𝑠+1 = 𝐾/𝜏
𝑠+1/𝜏 = 1
5 ∗𝑠+1 = 0,2
𝑠+0,2
A partir de la función de transferencia del sistema RC es posible encontrar la solución de la Ecuación diferencial
Para ello se evaluará el comportamiento de Vs cuando es alimentado el circuito con una entrada escalón vi(t) = 10 Voltios es decir que la transformada de Laplace de vi(t) = 𝑉𝑖(𝑠)= 10/s por ser una constante, al reemplazar 𝑉𝑖(𝑠) en la Gss
Vi(t)=10 𝑉𝑖(𝑠) = 10
𝑠 reemplazando en Gss
Vs= 1
5∗𝑠+1 * 𝑉𝑖(𝑠) = 1
5∗𝑠+1 * 10
𝑠 Que representa la transformada de Laplace de la solución v(t)
>> syms s t
>> Vs=(10/((5*s+1)*s))
Vs = 10/(s*(5*s + 1)) % Vs es la transformada de la solución V(t)
>> V=ilaplace(Vs) % Aplicando la transformada inversa se obtendrá la función de respuesta V(t)
ELABORADO POR ING. JOVANNY DUQUE 6 V =10 - 10*exp(-t/5) % esta es la misma solución obtenida en el método #1
Se puede graficar en Simulink
Ejecutar la simulación y darle 60 s de tiempo Visualizar respuesta en el Scope
Ver en el enlace de Youtube :
