Efectúa las integrales Calcula el valor de tal que se verifique la siguiente igualdad. Obtén la serie de Maclaurin de la función. 1221

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

SEGUNDO EXAMEN FINAL COLEGIADO

14 de diciembre de 2017

1221

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 6 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es 2 horas.

1. Obtén la serie de Maclaurin de la función.

( ) ^{= ln}

^{1 +}

f x x

20 Puntos

2. Calcula el valor de

a  1

1

2

1

1

− =



x dx

x

10 Puntos

3. Efectúa las integrales:

2 2

4 1

− 1−



 ^x 

a ) dx b ) dx c ) ln x dx

x x x

30 Puntos

2EF18-1AB

4. Calcula la longitud de la gráfica de la función

( ) ⁴

= 3

g x x

intervalo

 

10 Puntos

5. Representa gráficamente el dominio de la función

( )

( )

, 1

ln

= −

f x y

y x

determina su recorrido.

15 Puntos

6. Obtén la ecuación del plano tangente a la gráfica de la función

( ^, ) ^{= x}

h x y

y

^{P 4, 2} ( )

15 Puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL

1221

Solución del Segundo Examen Final Semestre 2018 – 1

1.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1 1

Si se reescribe la función como 1 1 3

1 1

3 1 1

0 1 1 al sustituir en la serie queda 3

1 1 1

3

3

 + 

+

= =

= +

 = − −

+

 = − −

− − −

 = 

n n

n

n n

n n

n n

n n

f x ln x

n !

f x

x

n !

f ,

n !

x x

n! n

2. Si

( ) ^{( )}

1 1

2 12 2

2 1

2 2

1 1 2 1

1 2

1 1

0 1 1

1 1

0

a a

a

x dx x xdx

x x

a a

a

= − −

− =

−

 − −  =

 

 

− + − =

− =

 =

 

10 Puntos 20 Puntos

S2EF18-1 3.

Solución

( )

( )

( )

4

a) Por descomposición en fracciones parciales Sea la fracción 4

1 1

0 4

4 1

1 4

4 4

2 1 1

= +

− −

 =  = −

= − +  

=  =



 

 = − + − 

= − + − +

 − 

 =   +



A B

x x x x ;

si x A

A x Bx

si x B

I dx

x x

I ln x ln x C

I ln x C

x

( )

2

2 2

2

b) Por sustitución trigonométrica

1

1

1

=

− =

=

= = = −

= − + = − − +

  

x sec

x tan

dx sec tan d

I tan sec tan d tan d sec d

sec

I tan C x ang sec x C





  

       



 

( )

( )

( )

c) Por partes

1 1

2

1 1 1

1 1

2 1

1 1

2

= −

= − =

−  =

= −

 

 

= − +

−

 

 

= − − − − +





I ln x dx

u ln x

dv dx v x

du dx

x

I x ln x x dx

x

I x ln x x ln x C 30 Puntos

S2EF18-1 4.

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2

1

2

0 1

0

1 32

0 1 3

0

Si

g' 4 3 g' 2

3 2 Al sustituir

1 g'

1 2

1 1 2 2 3

2 1 1 2 3

1 1

3 27 3 1 3 3 1 3

 

=     =

 

= +  

= +

 

 + 

=  

 

 

 

=   +  

= −

= +





x x x x

L x dx

xdx

x

x

u

10 Puntos

S2EF18-1 5.

( ) ( )

 

( )

 

Si el dominio es

0

0

= − 

=  

f

f

D x, y | ln y x

R z | z ,

6.

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0 0 0

3 2 4

La ecuación del plano se obtiene con

0

2 1

1

1 1

4 2 2 0

4 2 2 0

0

 − +  − +  − =

  

 =   =

 

 = −   = −

 

 

= −  = −

 

− − − − − =

− − + − + =

− − =

p p p

p

p

p

F F F

x x y y z z

x y z

F x F

x y x

F x F

y y y

F F

z z

x y z

x y z

x y z

20 Puntos 15 Puntos