Grafos Conceptos B´asicos

TRABAJO PRACTICO

Grafos

Conceptos B´ asicos

1. Explique por qu´ e ninguna de los grafos de la figura 1 tiene una trayectoria del v´ ertice a al v´ ertice a que pasa por cada arista exactamente una vez.

a

b

d c e

a b c

e d f

h g i

Figura 1

2. Pruebe que cada uno de los grafos de la figura 2 tiene una trayectoria del v´ ertice a al v´ ertice a que pasa por cada arista exactamente una vez, encontrando dicha trayectoria por inspecci´ on.

a

b

d c e

f

a b c

e d f

h g i

Figura 2

3. Para cada uno de los siguientes grafos G de la figura 3:

(a) Especifique los conjuntos V pGq y EpGq.

(b) Encuentre (si hubiera) un par de v´ ertices adyacentes.

(c) Encuentre (si hubiera) todos los grupos de aristas paralelas.

(d) Encuentre (si hubiera) todos los lazos.

(e) Encuentre (si hubiera) todos los v´ ertices aislados.

(f) Determine si G es un grafo simple.

4. Hallar una relaci´ on de recurrencia y una f´ ormula expl´ıcita para el n´ umero de aristas de K

, inspec- cionando dibujos de los grafos correspondientes a valores peque˜ nos de n.

5. En cada ´ıtem de la figura 4, determine si el grafo dibujado es bipartito. En caso de serlo, especifique los conjuntos disjuntos de v´ ertices mencionados en la definici´ on de grafo bipartito.

6. Dibuje K

, K

y K

. Deduzca una f´ ormula expl´ıcita para el n´ umero de aristas en K

.

v1

v2 v3

v4

e

e

e

e

e

e

v1

v2

v3

Figura 3

a b c

d e

a

b c

d e

a b c d

e f g h i

j k

Figura 4

7. El Grafo de Intersecciones de una familia de conjuntos A  tA

, A

, . . . , A

u es el grafo que tiene a A como conjunto de v´ertices y para k, j : tA

, A

u es una arista si A

X A

 ∅. Construir el grafo de intersecciones de las familias

(a) A

 t
k | k P Nu, A

 t2k | k P Zu, A

 t2k 1 | k P Zu, A

 t3k | k P Zu, A

 t
1, 0, 1u.

(b) B

 tx P R | x   0u, B

 tx P R |
1   x   0u, B

 tx P R | 0   x   1u, B

 tx P R |
1   x   1u, B

 tx P R |
1   xu, B

 R.

8. Para el grafo representado en la figura 5:

(a) Encuentre una trayectoria de longitud m´ınima de d a f .

(b) Encuentre una trayectoria de longitud m´ınima de d a f que pase por cada v´ ertice exactamente una vez.

a

b c

d e f

Figura 5

9. Para el grafo ponderado representado en la figura 6:

(a) Encuentre una trayectoria de longitud m´ınima de b a d.

(b) Encuentre una trayectoria de longitud m´ınima de b a d que pase por cada v´ ertice exactamente una vez.

10. Considere el grafo de la figura 7: Para cada uno de los siguientes ´ıtems, determine si la trayectoria que se indica es:

(a) una trayectoria simple (b) un ciclo

(c) un ciclo simple

a

b

c

d e

8 2

4 6

6

12 9

3

5

4 Figura 6

(1) pb, bq.

(2) pa, d, c, d, eq.

(3) pb, c, d, a, b, e, d, c, bq.

(4) pa, d, c, b, eq.

(5) pdq.

a b

c

d e

Figura 7

11. En cada ´ıtem, dibuje un grafo que tenga las propiedades indicadas o explique por qu´ e no existe tal grafo.

(a) Seis v´ ertices, cada uno de grado 3.

(b) Cuatro v´ ertices, cada uno de grado 1.

(c) Cuatro aristas; cuatro v´ ertices de grados 1, 2, 3 y 4.

(d) Grafo simple; seis v´ ertices de grados 1, 2, 3, 4, 5 y 5.

(e) Grafo simple; cinco v´ ertices de grados 2, 2, 4, 4 y 4.

12. En cada grafo de la figura 8, encontrar todos los subgrafos que tienen al menos un v´ ertice del grafo dado, representarlos mediante un dibujo y dar el conjunto de v´ ertices y de aristas .

a

b c

a b

Figura 8

13. Para cada grafo de la figura 9, determinar si tiene un ciclo de Euler. Si lo tiene, mostrar uno.

14. Analizar y responder:

(a) Un grafo completo K

, ¿cu´ ando contiene un ciclo de Euler?

(b) Un grafo bipartito K

, ¿cu´ ando contiene un ciclo de Euler?

a b

c d e

g f

a

b c

d

e f

g

h i

j

a b

c

d e

Figura 9

n v´ertices

m v´ertices

Figura 10

15. ¿Para qu´ e valores de m, n P N, el grafo de la figura 10 tendr´a un ciclo de Euler

16. (a) Demuestre que si G es un grafo conectado con una arista e que se encuentra en un ciclo, el grafo G ˜  pV pGq, EpGq
teuq (que se obtiene eliminando en G la arista e) sigue siendo conectado.

(b) D´ e un ejemplo de un grafo conectado tal que la eliminaci´ on de cualquier arista (sin eliminar los v´ ertices incidentes en ella) produzca un grafo no conectado.

17. Sea n P N y r, s P N

tales que n  r s y s es par. Mostrar que existe un grafo G de orden n con r v´ ertices de grado par y s v´ ertices de grado impar.

18. Sea G un grafo y sea C  tpv, wq P V pGq  V pGq | existe una trayectoria de v a wu. Demostrar que C es una relaci´ on de equivalencia sobre V pGq.

19. Un v´ ertice v en un grafo conectado G es un punto de articulaci´ on si la eliminaci´ on de v y todas las aristas incidentes en v desconecta a G.

(a) D´ e un ejemplo de un grafo conectado con seis v´ ertices que tenga exactamente dos puntos de articulaci´ on.

(b) D´ e un ejemplo de un grafo conectado con seis v´ ertices que no tenga puntos de articulaci´ on.

(c) Demuestre que un v´ ertice v en un grafo conectado G es un punto de articulaci´ on si y s´ olo si existen v´ ertices w, x P V pGq con la propiedad de que toda trayectoria de w a x pasa por v.

20. Si G es un grafo bipartito de orden v y tama˜ no e, entonces e ¤ v

{4. ¿En qu´e condiciones se tiene

e  v

{4?

21. Un grafo no trivial G se llama irregular si ning´ un par de v´ ertices tiene el mismo grado. Probar que no hay grafos irregulares.

22. Sea n P N. Sea G el conjunto de grafos simples G con V pGq un conjunto de cardinalidad n. Se define la funci´ on f : G Ñ N

como f : G ÞÑ cardpEpGqq. Analizar la inyectividad y la suryectividad de f .

23. Sea G un grafo simple cualquiera. Para k  1, 2, . . . , n
1 sea V al

pGq  tv P V pGq | deg

pvq  ku y d

 cardpV al

pGqq. Demostrar que °

k0

k d

 2 cardpEpGqq.

24. Sea G un grafo con r componentes conectadas G

, G

, . . . , G

. Si cada componente tiene orden n

con j P t1, 2, . . . , ru entonces cardpEpGqq ¤ °

j1

C pn

, 2 q.

25. Sea G un grafo simple finito. Probar que G o G son conectados. Dar un ejemplo de un grafo G tal que G y G son conectados

26. Sea G un grafo simple finito tal que para cada v P V pGq: deg

pvq ¥ 2. Probar que G contiene un ciclo.

27. Sea G un grafo finito simple. Sean δ

 minptdeg

pxq | x P V pGquq y ∆

 maxptdeg

pxq | x P V pGquq. Demostrar que

δ

¤ 2 card pEpGqq card pV pGqq ¤ ∆

Definici´ on Un grafo simple se denomina regular si cada v´ ertice del grafo tiene el mismo grado.

28. ¿Para qu´ e valores de n y m los grafos K

, C

, W

, y K

son regulares?