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Autor Ángel Luna Caja Pitagórica 4° de Primaria Base de datos
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• LOS NATURALES • FRACCIONES • OPERACIONES BÁSICAS
PITÁGORAS DE LO ABSTRACTO A LO CONCRETO
Ángel Luna
PRIMARIA 4
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Índice
Lista de materiales de la Caja Pitagórica Introducción
• Justificación
• Objetivos generales
Actividades con números naturales Actividad 1
• Valor posicional en el sistema decimal de numeración
Actividad 2
• Símetria
Actividad 3
• Contorno
Actividad 4
• Medidas y superficies
Actividad 5
• Triángulos
Actividad 6
• Perímetro y Área
Actividad 7
• Conocer los triángulos por sus lados y ángulos
Actividad 8
• Cálculo de perímetros y áreas
Actividad 9
• Representación de puntos y desplazamientos en el plano
El cuadrado mágico Antecedentes
• Nivel
Cuadrado mágico, el juego clásico
• Aplicaciones
Actividad 10
• Ejercicios
El cuadrado mágico de 4×4 Actividad 11
• Ejercicios
El cuadrado perfecto El cuadrado del caballo
... 7
... 11
... 15
... 18
... 19
... 20
... 21
... 23
... 25
... 27
... 29
... 31
... 33
... 37
... 49
... 51
... 54
... 55
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Pitágoras sin palabras Actividad 12
• Asociar establece una relación entre dos conjuntos
Actividad 13
• Medición
Actividad 14
• Se parece a Pitágoras
Actividad 15
• Del tangram a Pitágoras
Actividad 16
• Demostrando a Pitágoras
Actividad 17
• Corta y construye a Pitágoras
Actividad 18
• Pitágoras duplica áreas
Actividad 19
• Áreas y Pitágoras
Actividad 20
• El recíproco de Pitágoras
Actividad 21
• No cortar siempre para Pitágoras
Actividad 22
• Construyendo teselas a partir de Pitágoras
Actividad 23
• Simetrías
Actividad 24
• Ejercicios libres
... 57
... 58
... 60
... 61
... 63
... 65
... 67
... 68
... 71
... 72
... 73
... 73
... 75
... 77
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Lista de materiales de la
Caja Pitagórica
1 Tablero de 8×8 casillas 1 Tablero de 10×10
casillas
1 Triángulo pitagórico
100 Cubos de 1×1×1 20 Tabletas de 2×2×1 10 Tabletas de 5×5×1 1 Tablero de 6casillas ×6 3 Acetatos de 18×18
(compás) 3 Acetatos de 18×18
(ruleta)
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8
4 Tangramas 2 Tangramas gigantes 10 Regletas de 10×1×1 10 Regletas de 5×1×1
14 Tabletas de 10×10×1
10 Regletas de 2×1×1
25 Fichas azules 25 Fichas blancas
64 Fichas rosas 50 Fichas amarillas 36 Fichas verdes
122 Fichas numéricas
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9
75 Tarjetas comodines 3 Compáses
36 Cuadriláteros
(3 colecciones de 12) 12 Triángulos rectángulos de 30º y 60º
3 Ruletas pitagóricas 3 Adaptadores
1 Abanico pitagórico
1 Dado dodecaedro
* El color real del contenido de la Caja Pitagórica puede variar respecto al mostrado en esta guía didáctica
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Los alumnos de cuarto grado han desarrollado habilidades matemáticas más concretas.
Esto facilita la construcción de nuevos conocimientos matemáticos y el uso de un len- guaje más formal. Los alumnos de este nivel están inmersos en una etapa evolutiva, que se caracteriza por la capacidad de entender las operaciones lógico-concretas.
El pensamiento matemático ha consolidado las conquistas iniciadas hacia los seis años, y que referían a operaciones muy concretas. Ahora, la lógica del alumno le permite afrontar las más variadas situaciones escolares. Adquiere nuevos conceptos, aún más complejos, y comienza a preparar el camino hacia la inteligencia lógico-formal, reflexiva y adulta.
Nuestra experiencia nos muestra que parte del éxito en el aprendizaje de las matemá- ticas a este nivel, está íntimamente relacionado con el diseño de actividades que facilitan y fortalecen los conocimientos previamente adquiridos, además de requerir la construc- ción de otros conceptos, algunos generados a partir de experiencias concretas. En estas actividades las matemáticas1 deben ser funcionales y flexibles, de forma tal que le permi- tan resolver los problemas que se les planteen.
Por ejemplo el agregar, unir, igualar, quitar, buscar un faltante, sumar repetidamente, repartir, medir y otras son acciones que ya realiza el alumno para solucionar ciertos pro- blemas. Sin embargo, requiere nuevos conocimientos que le faciliten o permitan abordar y resolver problemas más complejos. El conocimiento se fortalece al utilizar diversas es- trategias para su aplicación. La práctica es un instrumento indispensable en este proceso de formación, además de permitirle comprender las aplicaciones de la matemática2 en su vida diaria.
En este escenario, el material didáctico es muy útil y su aplicación muy vasta, pues estimula diversos aprendizajes, los cuales propician la reflexión, el análisis, los cuestiona- mientos, etc. Esto permite al alumno asumir un papel activo en su aprendizaje.
La Caja Pitagórica nos permite abordar el Teorema de Pitágoras, cuyo estudio comienza a nivel secundaria. La importancia del mismo radica en el sinfín de aplicaciones que de él se desprenden. Mencionamos, por ejemplo, el estudio de la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano, funciones trigonométricas, razón de cambio, etc. Por eso, su estudio se extiende a los niveles de enseñanza medio superior y superior.
1 El contar con las habilidades, los conocimientos y las formas de expresión que la escuela proporciona permite la comu- nicación y comprensión de la información matemática presentada a través de medios de distinta índole.2
El alumno debe concluir, a partir de estas experiencias de aprendizaje, que las matemáticas le permiten resolver proble- mas diversos de naturaleza científica, técnica, artística y de la vida cotidiana.
Introducción
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Justificación
El material didáctico de la Caja Pitagórica nos facilita el abordar temas del programa de estudios vigentes para este nivel. No se considera únicamente el manejo de contenidos, sino también el desarrollo de habilidades que permitan al alumno hacer uso de los cono- cimientos construidos de manera racional y eficiente.
La versatilidad del material permite considerar los siguientes tres ejes fundamentales a lo largo de la educación primaria y que requieren de una atención especial. Describimos brevemente los mismos, a continuación:
La naturaleza del número. Se trata de comprender que los números pueden repre- sentar tanto cantidades que se obtienen de procesos de conteo o de medición, como relaciones entre cantidades. Esto permite a los alumnos entender para qué sirven los números y qué representan.
El desarrollo de la intuición geométrica y de la imaginación espacial, a través del estudio de la geometría, en particular de los contenidos que se relacionan con las formas ( las figuras geométricas ), sus propiedades y algunas transformaciones de sus caracterís- ticas.
Por último la resolución de problemas. Se intenta que el alumno desarrolle habilida- des al respecto.
Además estudiamos el Teorema de Pitágoras. Aunque esto se realiza de manera implícita, permitirá al alumno facilitar su trabajo con él en sus siguientes cursos.
Objetivos generales
En la escuela primaria, los alumnos deberán adquirir conocimientos básicos de las mate- máticas, y desarrollar:
• La capacidad de utilizar las matemáticas como un instrumento para reconocer, plantear y resolver problemas.
• La capacidad de anticipar y verificar resultados
• La capacidad de comunicar e interpretar información matemática.
• La imaginación espacial.
• La habilidad para estimar resultados de cálculos y mediciones.
• La destreza en el uso de ciertos instrumentos de medición, dibujo y cálculo.
• El pensamiento abstracto por medio de distintas formas de razonamiento, entre otras, la sistematización y generalización de procedimientos y estrategias.
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• La construcción de estrategias para resolución de problemas, utilizando diversos recursos como el conteo, el cálculo mental, la estimación y las analogías, entre otros.
• El reconocimiento de que un problema puede resolverse de distintas formas.
• La habilidad para desarrollar procesos que le permitan ubicar objetos en el plano y en el espacio, imaginar los efectos que se producen en las formas geométricas al someterlas a transformaciones, estimar longitudes y áreas.
• El logro de mecanismos de cálculo operatorio elemental.
• La comprensión del uso de distintas unidades de medida.
• El descubrimiento y análisis de los elementos angulares.
• La creatividad.
Las actividades diseñadas por el maestro deberán estar enfocadas en la compren- sión y asimilación de los conceptos de la matemática. Deberán asimismo partir de la manipulación que el alumno haga de los materiales o recursos didácticos.
En este sentido, el juego dirigido es una fuente de actividades interesantes para el alumno; a través de él pueden crearse situaciones que le permitan descubrir relaciones o favorezcan la construcción de conocimientos.
La implementación de las actividades puede modificarse a criterio del maestro, según lo considere conveniente.
Observación:
Observación:
Es conveniente fomentar el trabajo en equipo, de manera que permita el intercambio de puntos de vista y la confrontación de ideas. Esto propiciará actitudes de análisis e investigación que gradualmente se irán reforzando, a medida que se formalicen los con- ceptos y los métodos.
Para aprender, los alumnos necesitan “hacer matemáticas”, es decir, enfrentar numero- sas situaciones que les representen un problema, un reto, y generar sus propios recursos para resolverlos, utilizando los conocimientos que ya poseen. Sus recursos serán informa- les al principio pero, poco a poco, con la experiencia, la interacción con sus compañeros y la ayuda del maestro, evolucionarán hacia la formalización del conocimiento.
En consecuencia, los conocimientos matemáticos y los problemas no pueden sepa- rarse. No se trata de aprender matemáticas para después aplicarlas en la resolución de problemas, sino de aprender matemáticas al resolver problemas.
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Valor posicional en el sistema decimal de numeración
Al reverso del Triángulo Pitagórico, muestre la utilización del material con fichas de colo- res, con el cual el alumno refuerza sus conocimientos al interactuar y aprender sobre uno de los conceptos fundamentales de la matemática, a saber: el de número y el del sistema de numeración decimal que utilizamos, resultado de muchos siglos de desarrollo de la humanidad. Esto nos permitirá estudiar, más adelante, otros sistemas de numeración, aunque no se analizarán aquí tales sistemas3; lo que interesa son las características del siste- ma de numeración de base utilizando la notación posicional.
Lo que en esta actividad de aprendizaje se pretende es que el alumno comprenda la característica de los sistemas de numeración de base de notación posicional. La base de nuestro sistema de numeración es diez, porque necesitamos 10 unidades simples para formar una unidad del segundo orden o decena; 10 decenas para formar una unidad del tercer orden o centena, y así sucesivamente, cada diez unidades de cualquier orden for- man una unidad del orden inmediato superior.
Los sistemas de base posicional resultan más eficaces que otros que les precedieron históricamente, ya que mediante ellos es posible: representar a los números de manera no ambigua, efectuar técnicas operativas con cierta facilidad y representar a los números, de una manera que sea fácil manejarlos y memorizarlos. En el juego de esta actividad de aprendizaje se mencionan los aspectos que se deben tomar en cuenta para propiciar el aprendizaje del sistema de numeración decimal.
El Triángulo Pitagórico nos permite trabajar con el sistema de numeración decimal y cubrir temas de los programas de educación primaria y secundaria, en cada uno de los aspectos siguientes:
• Estructura del sistema de numeración: por agrupamiento, desagrupamiento;
comparación; antecesor y sucesor.
• Representación: valor posicional; codificación, decodificación.
• Nombre de los números.
• Operaciones: suma y resta.
El material permite realizar:
Actividades con
números naturales
Actividad 1
3 Utilice el material didáctico del sistema numérico.
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• Actividades de agrupamiento y desagrupamiento, que constituyen uno de los ejes centrales para trabajar ya que, a través de ellas, los alumnos pueden practicar una de las características del sistema: la base.
• Actividades de comparación de cantidades, que incluyen los siguientes puntos: deter- minar entre dos cantidades distintas cuál es la mayor o menor de ellas, ordenar una serie de cantidades de mayor a menor y viceversa, determinar cantidades mayores y menores a una dada y determinar una cantidad entre dos dadas, encontrar cantidades equivalentes a una dada como, por ejemplo, 5 decenas y 2 unidades son equivalentes a 2 decenas y 32 unidades, o a 52 unidades, etcétera.
• Actividades de sucesor y antecesor. El alumno amplía su conocimiento sobre el sistema (agrupar y desagrupar) y además continúa trabajando sobre la serie numérica (para conocer el sucesor de una cantidad dada se agrega una unidad, para conocer el antecesor se resta una).
Las actividades de representación están diseñadas para que los alumnos primero re- gistren cantidades como ellos crean conveniente: dibujos, marcas, letras o números, de manera que su registro pueda ser entendido por otros. Así se busca la evolución hacia la representación convencional, es decir, el registro de cantidades. En el caso del nombre de los números, solamente es necesario introducir el nombre de los primeros números conforme los alumnos lo demanden.
En el caso del juego, con unos dados vamos a jugar para resolver operaciones de suma o de resta. Es necesario que los alumnos hayan comprendido previamente algunas de las propiedades del sistema de numeración decimal, tales como la ley de agrupamiento y desagrupamiento y el valor posicional de las cifras.
Ejercicios:
1.- Diga a los alumnos cómo está formado el siguiente número:
1 3 8
centenas 1 decenas 3 unidades 8
No olvide colocar las fichas en el tablero y que cada lugar en el sistema posicional tiene un valor diferente.
• Para alumnos a partir de cuarto grado en adelante, además de formar con las fichas la cifra, considerando el lugar que ocupe; deben escribir en un cuaderno la notación desa- rrollada de los siguientes números:
3 9 3 8 = 3000 + 900 + 30 + 8
Recuerde que utilizamos el valor de posición cuando escribimos símbolos para repre- sentar número naturales. El valor aumenta en potencias de 10.
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De esta manera, pueden realizarse varios ejercicios de práctica, quedando a la creativi- dad del maestro otras variantes.
2.- Una sugerencia para jugar con el sistema numérico del tablero del Triángulo Pitagórico es utilizar cuatro dados (proporcionados por el maestro): uno representa la unidad; otro, la decena; uno más, la centena y por último, otro el
millar de unidades. Primero, tirar con dos dados;
después, con tres, y por último, con cuatro.
Explique a los alumnos que la actividad consistirá en que cuando se tiran los dados, deberán escribirse los nú- meros en el pizarrón. Cada equi- po o alumno, según se decida, repre- sentará con las fichas dicho número en el tablero del material del Triángulo Pitagórico. Gana el equipo o el alumno que logre representar la mayor cantidad de números en forma correcta. Con las fichas de colores pueden asignarse valores de acuerdo con el criterio del maestro o de los alumnos. Por ejemplo:
3.- Otro juego consiste en formar tres equipos
de cuatro alumnos. Cada equipo escoge un tablero para jugar. Un alumno de cada equipo lanza dos dados; suma o resta los puntos y coloca en la casilla el número que sale después de realizar la operación y el cual representa las unidades; el siguiente alumno tira los dos dados, suma o resta los puntos, coloca en la casilla el número que repre-
senta las decenas, y así sucesivamente hasta las unidades de millar.
Considere el grado escolar de los alumnos, desde el primer año de primaria, con las unidades y decenas, y así sucesivamente con los demás grados de estudio.
3.- En el tablero muestre las siguientes cantidades:
1) 8792 2) 537 3) 5810
Amarillo = 1000 Verde = 100 Rojo = 10 Azul = 1
En los números, cada cifra tiene un valor de acuerdo con el lugar que ocupa. Siem- pre debe considerarse que un número se escribe y se lee de izquierda a derecha.
Observación:
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Simetría
1.- Realice con los cubos 1×1×1 de la Caja Pitagórica la siguiente figura con dos ejes de simetría:
2.- Recorten varias figuras de revistas y periódicos. Busquen los ejes de simetría de cada figura y trácenlo. Cuidado, porque no todas las figuras son simétricas.
Preguntas:
• ¿Cuál es la figura que tiene más ejes de simetría?
• ¿Cuántos ejes tiene esa figura?
• ¿Qué hacer para que las figuras que no tienen ejes de simetría los tengan?
Ejercicios:
Actividad 2
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El contorno
Con los cubos de 1×1×1 del material didáctico de la Caja Pitagórica, realicen varias figuras como se muestra:
Los alumnos deben contar, anotar y dibujar en su cuaderno las medidas de cada figura.
Preguntas:
• ¿Cuánto mide el contorno de cada figura?
• ¿Cuántos centímetros cuadrados hay en cada una de las figuras?
Ejercicio:
Recuerde: hay figuras que tienen igual perímetro y diferente área.
Observación:
Actividad 3
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Medidas y superficies
1.- Realice con los cubos de 1×1×1 las siguientes figuras. Pueden utilizar la regla o una cuadrícula para medirlas:
• Un rectángulo de 8 cm de largo y 2 cm de alto.
• Un rectángulo de 7 cm de largo y 4 cm de alto.
• Un rectángulo de 10 cm de largo y 3 cm de ancho.
2.- Construyan con los cubos de 1×1×1 los rectángulos de las siguientes medidas:
a) 6 cm de largo y 5 cm de ancho.
b) 8 cm de largo y 2 cm de alto.
c) 7 cm de largo y 3 cm de alto.
Ejercicios:
Preguntas:
• ¿Cuánto mide el lado de cada cubo?
• ¿Cuál es el área del rectángulo?
• ¿Cuál fue el procedimiento utilizado para calcular el área del rectángulo?
Actividad 4
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Triángulos
Explique a los alumnos el concepto del triángulo, que es un polígono de tres lados y tres ángulos.
Tomando en cuenta sus lados, se llaman:
Tomando en cuenta sus ángulos, se llaman:
Todas las actividades y explicaciones pueden apoyarse utilizando el material di- dáctico de la Caja Pitagórica.
Observación:
Escalenos si sus tres lados son
desiguales
Obtusángulos si tienen un ángulo ob-
tuso (>90°) Isósceles
si tienen dos lados iguales
Rectángulos si tienen un ángulo
recto (=90°) Equiláteros
si tienen sus tres lados iguales
Acutángulos si sus tres ángulos son agudos (<90°)
Actividad 5
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La altura en un triángulo es la perpendicular del vértice a la base.
Muestre a los alumnos los siguientes triángulos construidos con el material didáctico:
• Solicite que los dibujen en sus cuadernos e indiquen qué tipo de triángulos son, de acuerdo con sus lados y ángulos. Tracen la altura en cada caso.
• En el triángulo rectángulo, los lados adyacentes al ángulo recto reciben el nombre de catetos, mientras el lado opuesto al ángulo recto recibe el nombre de hipotenusa.
Ejercicio:
h h
h
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Perímetro y área
Explique a los alumnos qué significa la figura del triángulo, cuántos lados y ángulos tiene, y dibújelo. También explique cómo se obtiene, por medio de una fórmula, su perímetro y área. Realicen ejercicios de cálculos.
Vértices: A, B, C
Segmentos: AB, BC y CA Lados: c, a, y b, respectivamente
Ángulos:
A, B, C
Notación: ΔABC
Los puntos de intersección son los vértices del triángulo A, B y C. Cada uno de los segmentos AB, BC y CA son los lados del triángulo, que normalmente se designan por una letra minúscula e igual a la del vértice opuesto; así, el lado AB se de-
nomina c, ya que el vértice C es el opuesto a dicho lado. . Los lados forman los ángulos interiores que se designan por las letras de los vértices. Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos, 3 lados y 3 vértices.
Actividad 6
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Fórmulas de perímetro y área del triángulo Perímetro:
Es la medida del contorno de una figura geométrica, se representa con la letra P. Para el triángulo y utilizando las notaciones anteriores, obtenemos:
P = a + b + c
Área:
Es la medida de una superficie. Se representa con la letra A. Tomando en cuenta que b es la medida de la base y h es la altura, la fórmula sería
A = (b) (h)
2
1.- Hallen el perímetro y el área de un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm, respectivamente, utilice el triángulo pitagórico.
Ejercicios:
• Apliquen las siguientes fórmulas para perímetro y área:
P = a +b +c A = (b) (h) 2 Los resultados de este ejercicio son:
P= 12 cm, A= 6 cm²
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2.- Calculen el perímetro y área de los siguientes triángulos:
Ejercicios:
Los siguientes ejercicios pueden realizarse con el material de la Caja Pitagórica
1.- Hagan con cartulina los triángulos equilátero y escaleno. Coloquen en el tablero del Triángulo Pitagórico los triángulos respectivos.
• Después, con la participación de los alumnos, dibuje en el pizarrón las figuras de los triángulos.
• Dentro de las figuras escriban si son equiláteros, isósceles o escálenos:
• Pida a los alumnos que comprueben con su regla o su compás.
2.- Coloquen en el tablero del Triángulo Pitagórico, los triángulos y dibujen en sus cuadernos las figuras. En la raya que está debajo de cada figura, escriban la palabra acutángulo, rectángulo o obtusángulo, según corresponda (compruébenlo con el transportador).
Esta sección aporta algunas sugerencias de ejercicios, quedando a la creatividad del maestro otras variantes. Para ello, debe comprender las necesidades específi- cas del grupo en general., tomando en cuenta las características de los alumnos y el grado escolar en que será utilizado el material.
Observación:
a) b) c)
Conocer los triángulos por sus lados y ángulos
Actividad 7
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a) b) c)
3.- Anoten la medida (cm) de cada lado y escriban el nombre de los triángulos.
Nombre Número de
lados iguales Número de ejes de simetría Triángulo
• Anoten el nombre de los triángulos y sus alturas correspondientes.
• Completen el siguiente cuadro:
a)
a)
b)
b)
c)
c) d)
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Ejercicios:
Los siguientes ejercicios pueden realizarse en el tablero del Triángulo Pitagórico.
1.- Calculen las áreas y perímetros de cada triángulo y anoten los resultados en una tabla en su cuaderno.
• Calculen el perímetro de los triángulos, de acuerdo con la fórmula P =a + b + c.
a) b) c)
d) e)
Cálculo de perímetros y áreas
Actividad 8
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2.- Calculen el área de los triángulos, de acuerdo con la fórmula A= (b) (h)
2
a) b)
c) d)
e)
Las figuras son de carácter ilustrativo utilizando piezas de la Caja Pitagórica.
Observación:
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Representación de puntos y desplazamientos en el plano
Para llegar a un punto de referencia, José, Francisco, Gustavo y Beatriz deben recorrer diferentes caminos, contando los cubos que hay en un plano.
Con los cubos de 1×1×1 del material didáctico del Triángulo Pitagórico, dibujen una figura en forma de elipse en una cartulina y colóquen los trayectos con los cubos, tal como se muestra:
Ejercicio:
Preguntas:
• ¿Cuántos cubos hay en el trayecto de José?
• ¿Cuántos cubos hay en el trayecto de Gustavo?
• ¿Cuántos cubos hay en el trayecto de Francisco?
• ¿Cuántos cubos hay en el trayecto de Beatriz?
• ¿Cuántos cubos hay en total?
Actividad 9
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Efectuar las sumas:
José ________ Gustavo ________
Francisco ________ Beatriz _________
Preguntas:
• ¿Cuántos cubos hay entre José y Francisco?
• ¿Cuántos cubos hay entre Gustavo y Beatriz?
• ¿Cuál camino es el más largo y cuál el más corto?
• ¿Quién caminó más?
• ¿Quién caminó menos?
Respuestas
Actividad 7
1.-a) (1) acutángulo b) (2) rectángulo c) (3) obtusángulo 2.- a) isósceles b) escaleno c) equilátero
3.-a) 4 cm 4 cm 4 cm - equilátero b) 3 cm 4 cm 4 cm - isósceles
c) 4 cm 3 cm 5 cm - escaleno 4.- a) equilátero
b) isósceles c) escaleno d) equilátero
Actividad 8
1.-a) P = 15 cm b) P= 19 dm c) P= 17 mm d) P= 21 hm e) P = 9.5 cm 2.-a) A = 40 cm² b) A = 42 m² c) A = 42 mm² d) A = 300 dm² e) A = 63 mm2
núm. de ejes de simetría 3 núm. de ejes de simetría 1 núm. de ejes de simetría 0 núm. de ejes de simetría 3 3 lados iguales
2 lados iguales 0 lados iguales 3 lados iguales
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El cuadrado
mágico
Antecedentes
Una de las actividades más recreativas y de gran importancia en el proceso de aprendizaje para los alumnos de cuarto grado, corresponde al ya conocido por ellos cuadrado mágico.
El alumno podría considerar este pasatiempo como ya muy visto. Sin embargo, él mismo podrá concluir, después de desarrollar las actividades que se describen a continuación, que sigue siendo muy flexible, al involucrar en su solución, no sólo números naturales sino también números racionales expresados como cocientes de enteros o en forma de- cimal. De esta manera, reforzará las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división, así como los conceptos de múltiplos, series numéricas, etcétera.
En el famoso cuadro Melancolía, del pintor alemán Albrecht Dürer, aparece un cuadrado mágico. Un cuadrado mágico está constituido por números dispuestos de tal forma que, al ser sumados en renglones, columnas o diagonales, dan el mismo resultado. En la siguiente figura se ilustra el grabado donde aparece el cuadrado mágico plasmado por el artista alemán.
Melancolía del pintor alemán Albrecht Dürer.
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Este cuadrado satisface, además, que la suma de las cantidades localizadas en las casillas centrales es 34, Dürer logró, asimismo, introducir en las columnas centrales del renglón localizado en la parte inferior el año 1514 (año en que se realizó la obra).
Grandes matemáticos, como Euler y Cayley, descubrieron que dichos cuadrados eran entretenidos e interesantes para ser estudiados. El propio Benjamin Franklin creó uno, conocido como el cuadrado mágico perfecto (más adelante se ilustra). Por cierto, Euler construyó un cuadrado mágico para un caballo (ilustrado más adelante).
Estudiar el cuadrado mágico permite al alumno reforzar los métodos de conteo. Invo- lucra, además, aspectos que conciernen a la manipulación de objetos de cierta naturaleza (nociones de conjuntos), siendo en este caso números y la combinación de los mismos, de tal forma que se obtenga lo deseado.
Este es uno de los juegos matemáticos más utilizados por los maestros para involucrar a los alumnos en la operación básica de la suma. Pero, a lo largo de la discusión, podre- mos concluir que pueden utilizarse también en su solución las operaciones de resta, mul- tiplicación y división. Uno puede encontrar en la literatura un sinfín de información de este interesante juego que tiene como objetivo familiarizar al lector con algunas técnicas para la resolución de ciertos tipos de cuadrados mágicos. Estamos interesados en inducir algunos procedimientos que permitan al maestro darle un mayor alcance a la utilidad del cuadrado mágico.
Nivel
Las actividades implementadas para el cuarto grado, permiten reforzar significativamente las operaciones de suma y resta con números naturales de hasta cinco cifras, es decir, utili- zaremos unidades, decenas, centenas, unidades de millar y decenas de millar. Además se involucran las operaciones de multiplicación con números terminados en ceros, cons- trucción de series numéricas y la operación de división. Pondrán en práctica métodos de razonamiento que implican combinaciones de operaciones (que permiten obtener una solución), utilizando números naturales, racionales y decimales (estos últimos, asociados en algunos casos con números racionales, se están considerando números decimales con expansiones decimales finitas; en el caso de infinitas éstas son periódicas).
Utilizaremos al cuadrado mágico para obtener las suma de cierto tipo de series de números. Abordaremos la generalización del cuadrado mágico de 3×3, el cual nos permitirá discutir un procedimiento aplicable (pero muy laborioso) para el caso del cuadrado mágico de 4×4. En el caso del cuadrado de 3×3, el método permite hallar la generalización de este cuadrado con las restricciones que involucran al mismo. A su vez, aplicando este método, podemos concluir por qué no existe un cuadrado mágico de tamaño 2×2, cuya solución no sea la trivial. Podremos responder a preguntas como, por ejemplo, si utilizamos a los primeros nueve números naturales entonces, ¿porqué en el cuadrado mágico de 3×3 la suma debe ser 15? Justificaremos además ¿por qué en el de cuadrado mágico de tamaño 4×4, la suma debe ser 34, si utilizamos los primeros 16 números naturales en su solución? o ¿por qué el en cuadrado mágico de tamaño 8×8, si utilizamos a los primeros 64 números naturales, la suma debe ser 260? Más aún, podremos garantizar que cualquier cuadrado mágico admite siempre una solución (conclusión obtenida a partir de un método algebraico elemental, aquí hacemos referencia a la conclusión y no al procedimiento, el cuál es realmente laborioso).
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La implementación del cuadrado mágico, en está forma, tiene la intención de servir al maestro como una herramienta auxiliar en el proceso de enseñanza-aprendizaje de algunos temas durante el cuarto grado.
Cuadrado mágico, el juego clásico
Describamos el problema más clásico del cuadrado mágico, el cual corresponde a la si- guiente situación: considere los números del 1 al 9, utilizando la matriz cuadrada de tama- ño 3×3, como se muestra en la figura. La intención es colocar los números de tal forma que, al realizar la suma en las direcciones horizontal (renglones), perpendicular (colum- nas) y en ambas diagonales sea 15. Se puede verificar que una solución es:
La pregunta natural que surge es ¿cuántos cuadrados mágicos hay? En caso de con- siderar que los valores utilizados sean números reales, la respuesta es: una infinidad. El siguiente método permite hallar a tales cuadrados mágicos.
A continuación, discutimos un método de solución general para el cuadrado mágico de tamaño 3×3, pero hacemos hincapié en que esta discusión es exclusiva para el maestro, con la intención de que él pueda construir cualquier cuadrado mágico de dicho tamaño. El método que utilizaremos hace uso de la aplicación de sistemas de ecua-
ciones lineales (tema que se aborda en secundaria, inicialmente en un sistema de una ecuación en una incógnita, para finalmente estudiar un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas, además se abordan algu- nos métodos de solución) y del método de eliminación que se aplica en la solución de un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas. El método de eliminación puede generalizarse para la resolución de sistemas de n ecuaciones lineales en m incógnitas.
Más adelante, podemos garantizar que esta solución es única, salvo rotaciones y reflexiones.
Observación:
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Este método generalizado recibe el nombre de método de eliminación gaussia- na (puede consultarse en cualquier libro de álgebra lineal). Es sin duda el más podero- sos método para resolver sistemas de ecuaciones lineales, además su implementación computacional es la más eficiente.
Consideremos el cuadrado mágico de 3×3, pero supongamos que deseamos encontrar una colección de nueve números consecutivos, de tal forma que cumpla la condición esti- pulada para el cuadrado mágico (la diferencia o distancia entre dos consecutivos siempre es 1), y se satisfaga además que su suma sea n, tenemos la siguiente situación:
Sean a, b, c, d, e, f, g, h, i los números reales (no se especifica su orden) distribuidos como lo muestra la siguiente figura:
Más aún, tales números hacen del cuadrado anterior un cuadrado mágico para el valor n.
La situación planteada se describe matemáticamente por el siguiente sistema de ecuaciones lineales (este planteamiento es un modelo matemático lineal)
Obtenemos así un sistema de 8 ecuaciones en 9 incógnitas. La teoría referida a este tipo particular de sistema de ecuaciones, es decir con estas características, garantiza que el sistema admite una infinidad de soluciones. De esto concluimos entonces que hay una infinidad de cuadrados mágicos; aplicando el método de eliminación gaussiana a la matriz que describe el sistema y llevando la solución a la forma escalonada reducida, obtenemos que la solución del mismo queda descrita por el siguiente sistema de ecuaciones:
a + b + c = n d + e + f = n g + h + i = n a + d + g = n b + e + h = n c + f + i = n a + e + i = n c + e + g = n Sistema de ecuaciones 1
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Observamos que la solución general involucra, salvo la solución de la variable e, dos valores independientes, a saber h e i. Si asignamos a n el valor de 15 y tomamos h=7 e i=2, hallamos la solución descrita para el cuadrado mágico, que se muestra al inicio de la discusión de esta sección. Podemos además tomar los valores de h=1 e i=6 y mantenemos n=15. Obtenemos una segunda solución, la cual resulta ser equivalente a la obtenida con los valores anteriormente asignados a h e i. Éstas dos sustituciones nos permiten tener como espacio de solución para el cuadrado mágico los números del 1 al 9, además las sustituciones h=9, i=4; h=3, i=8; h=2, i=2; h=7, i=6; h=1, i=8; h=3, i=4; y mantenemos n=15, el espacio de solución son los números del 1 al 9, es decir, si nosotros asignamos valores distintos a h e i de éstos y mantenemos el valor de n=15, obtendremos otras solu- ciones, pero con la diferencia de que ya no se tiene como espacio de solución de éste los números del 1 al 9.
Estamos ahora en posibilidad de justificar la siguiente pregunta: ¿Por qué la suma debe ser 15? Sumemos las tres primeras ecuaciones del sistema anterior de ecuaciones. Obte- nemos:
a + b + c + d + e + f + g + h + i = 3n Sistema de ecuaciones 3
Si los valores a tomar por las variables a, b, c, d, e, f, g, h, i deben ser uno y sólo uno de los elementos del conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, entonces el lado izquierdo de la igualdad nos pide hallar la suma (no están ordenados, pero recordemos que la suma es conmutati- va) de los primeros nueve números naturales. Un simple cálculo muestra que la suma obtenida es 45. Luego de la ecuación anterior obtenemos que n=15.
La solución del sistema permite implementar el siguiente procedimien- to (que aplicaremos en los ejercicios):
• Ordene la sucesión de los nueve números consecutivos en forma as- cendente, es decir
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Sistema de ecuaciones 2
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• Subdivida los números en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada bloque sea 15. Obtenemos así lo siguientes dos casos:
1 + 5 + 9 = 15 3 + 5 + 7 = 15 a) 2 + 6 + 7 = 15 b) 2 + 9 + 4 = 15 3 + 4 + 8 = 15 1 + 6 + 8 = 15
Podemos además señalar que no es posible hallar otras combinaciones diferentes de las dos anteriores que satisfagan las condiciones pedidas. Estas combinaciones indican todo el espacio de soluciones para este caso. Tenemos que la quinta ecuación del sistema 2 nos indica que la combinación 1 + 5 + 9 ó 3 + 5 + 7 debe colocarse en la segunda fila del cuadrado mágico. A partir de esto, obtenemos la solución y podemos observar que ambas son la misma (es única salvo rotaciones y reflexiones) y coinciden con la presen- tada al inicio de esta sección.
Podemos concluir además que, si consideramos a n=15 en el sistema de ecuaciones y a las variables h e i les asignamos cualesquiera otros valores, obtenemos diferentes solucio- nes para cada pareja de números que se den. Por ejemplo, si h=8 e i=6 puede verificarse que el cuadrado correspondiente es:
Este ejemplo nos muestra que el espacio de soluciones de un cuadrado mágico no se restringe al conjunto de los números naturales. Este último cuadrado nos muestra el nú- mero 0 (cero), que más adelante conoceremos como la identidad aditiva.
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Aplicaciones
A continuación, analizaremos casos particulares que nos permitan trabajar con números naturales o enteros positivos. Sin embargo, con lo anteriormente discutido, el espacio de ejemplos es infinito.
Un sencillo planteamiento, basado en el análisis anterior, nos permite concluir por qué no es posible obtener un cuadrado mágico de tamaño 2×2 (se excluye en este y en todos los casos de cuadrados mágicos la solución llamada solución trivial, y se concluye que en el caso del cuadrado 2×2, la única solución es la trivial y por eso no existe interés en estudiarlo; por ejemplo, para el caso del cuadrado mágico de 3×3, la solución trivial para n=15 corresponde a que todas las variables sean iguales a 5).
Ejercicio 1
En este caso, el ejemplo puede aplicarse a los alumnos de todos los niveles. Considere las siguientes fichas:
Solicite al alumno que tome los primeros nueve números naturales del cuadro. Una vez realizado esto, pídale que los ordene en forma as- cendente o descendente. En este punto, aprende a diferenciar los nú- meros entre sí y a establecer la relación de orden entre ellos, como lo muestra la siguiente figura:
Los ejercicios enlistados a continuación se exponen en forma gradual, con la in- tención de que los alumnos se familiaricen con el cuadrado mágico.
Observación:
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Solicítele que obtenga, de ser posible, la suma de los números; si no, basta con que los separe en grupos de 3 fichas, de tal manera que al sumar cada bloque de éstos la suma sea 15 (aplicación de cálculo mental). Después indíquele que coloque las fichas del bloque de izquierda a derecha o de derecha a izquierda (utilizamos las dos soluciones del cuadrado mágico). Luego, pídale que coloque los bloques de arriba hacia abajo o viceversa (debemos indicarle un número en el bloque, para que lo tome como referencia y pueda efectuar lo que se le indica). Debe colocarlos en el cuadrado, respetando el orden considerado previamente, considerando todas las combinaciones de sumas que determinan al cuadrado mágico. En este punto, aplique cálculo mental. La siguiente figu- ra ilustra una solución equivalente a la mostrada al inicio de la sección:
El alumno de cuarto grado observa el uso del orden en una serie numérica, los con- ceptos de antecesor y sucesor, valor posicional y la construcción de una serie numérica (sucesión de los naturales).
Además se utiliza de forma natural la multiplicación de cantidades con números ter- minados en ceros.
Puede considerarse la siguiente modificación: los dígitos asociados describen dece- nas, centenas, unidades de millar o decenas de millar, lo cual permite obtener un cua- drado mágico para decenas, centenas, unidades de millar o decenas de millar. En el primer caso obtendríamos un cuadrado mágico cuya suma debe ser igual a 15 decenas, equivalentemente 150 unidades; para el caso de centenas obtendríamos 15 centenas, equivalentemente 1500 unidades; en el caso de unidades de millar, tenemos 15 unidades de millar o 15 000 unidades, y finalmente, para decenas de millar se tiene 15 decenas de millar, o 150 unidades de millar o 150 000 unidades.
Observación:
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Ejercicio 2
Solicite al alumno que le proporcione un número múltiplo de tres (o divisible entre tres) mayor que 15 y menor o igual a 39. Una vez proporcionado el número, en caso de ser posible, que obtenga el resultado de dividir al mismo entre 3 para obtener n (o indique el número a considerar). Obtenido el número, solicite que extraiga del grupo de las 25 fichas los cuatros números consecutivos anteriores a él (el antecesor de él, el antecesor del antecesor de él, y así sucesivamente) y los cuatro siguientes consecutivos a él (el sucesor del número, el sucesor de su sucesor, y así sucesivamente).
Ahora, separen los números en bloques de tres, de tal forma que la suma de cada uno de ellos dé como resultado el valor previamente hallado. Solicite finalmente el cuadrado mágico correspondiente.
En este ejercicio seguimos trabajando con enteros positivos y aplicando el concepto de serie numérica. Más aún, podemos iniciar el estudio de una serie aritmética.
Puede considerar como ejercicio adicional lo siguiente, utilizando las fichas del 1 al 17:
pregunte a los alumnos por qué, bajo la condición de ser el número solicitado múltiplo de tres y tomando en cuenta las 17 fichas (bajo las restricciones de nuestro cuadrado mágico), el espacio de solución únicamente nos permiten obtener 9 cuadrados mágicos diferentes con estas fichas que satisfagan la condición solicitada (restricción).
Por ejemplo, para n=21, obtenemos el valor de 7, luego las fichas requeridas son:
Puede aplicarse la implementación discutida en el ejercicio 1 de esta actividad, utili- zando decenas, centenas o unidades de millar, asociadas a los números naturales obtenidos. En este caso, estaremos aplicando el concepto de serie aritmética (que se incrementa en términos de decenas, centenas o unidades de millar, según sea el caso). Se involucra además el concepto de múltiplo de 10, 100 y 1000 y equivalen- temente la multiplicación por cantidades terminadas en ceros.
Observación:
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Ejercicio 3
• Obtenga el cuadrado mágico cuya suma es 27 unidades (decenas, centenas o unidades de millar) y los números que lo conforman sean 9 números naturales consecutivos. Aho- ra, obtenga un cuadrado mágico con la misma condición, pero sin la restricción de que los números sean nueve enteros consecutivos, por ejemplo, proporcione los números considerados en el cuadrado mágico. Solicite que construyan el cuadrado mágico corres- pondiente. Puede verificar que, si en el sistema de ecuaciones anterior reemplazamos h e i, para 5 y 7 respectivamente, obtendríamos los restantes valores que involucran la solución que mostramos a continuación:
El cuadrado mágico correspondiente es:
3 9 13
15 5 7 11
1 17
3 9 13 15 5 7 11
1 17
3 9 13
15 5 7 11
1 17
3 9 13 15 5 7 11
1 17
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Para los casos siguientes, analice los valores asignados a h e i. Obtenemos los cuadrados mágicos de 48 y 51, como se muestran a continuación:
De nuevo, si sustituimos los valores de h e i correspondientes en la solución descrita por el sistema de ecuaciones 2, obtenemos las soluciones descritas previamente, además de que estas soluciones describen series aritméticas.
• Realicemos, por último, sobre el cuadrado mágico clásico las siguientes modificaciones, motivadas por lo anteriormente discutido. Nuestro cuadrado mágico a considerar es:
Solicite al alumno que sume a cada ficha el número 5, sustituyendo posteriormente por la ficha correspondiente el resultado de esta operación y respetando la ubicación de ésta en la anterior disposición. Obtenemos así lo siguiente:
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Claramente observamos que este es, de nuevo, un cuadrado mágico. Esto a su vez nos sugiere la implementación con respecto a multiplicaciones y sumas.
En esta actividad, el maestro debe tener en consideración que las soluciones a los cua- drados mágicos deben involucrar únicamente números naturales.. Para que esto ocurra y además facilitar los números utilizados en cada una de estas actividades, se recomienda al maestro que realice los cálculos correspondientes.
Las operaciones que realizamos con los cuadrados mágicos, es decir sumas, res- tas, multiplicaciones, son aplicables a un ente matemático llamado matriz (re- cuerde que un cuadrado mágico puede verse como un arreglo matricial de n renglones y n columnas).
Observación:
Ejercicio 4
Estudiaremos ejemplos diversos que utilizan números fraccionarios en la construcción del cuadrado mágico. En el caso de este material didáctico se incluyen fichas con denomi- nadores 2, 3 y 4. Sin embargo, el maestro puede anexar fichas con distintos denominado- res, según convenga, para presentar algún tema en particular. Recordemos que estamos introduciendo una restricción en la construcción de los cuadros, y es que entre los ele- mentos de la sucesión numérica la diferencia (o distancia) entre dos números consecuti- vos es 1 (serie aritmética). Sin embargo, en los ejercicios que se proponen más adelante ya no hay restricciones. En esta aplicación consideraremos cantidades fraccionarias (propias e impropias) con el mismo denominador común para operar sumas y restas. En el caso de fracciones con diferente denominador, haremos uso del mínimo común múltiplo. Por esa razón, este ejemplo puede aplicarse a los alumnos, desde tercer grado, considerando obviamente las respectivas restricciones en la aplicación para el nivel correspondiente.
Tome el grupo de fichas que corresponden a fracciones. Pida que extraigan todas las fichas con denominador 2 y mayores o iguales a 1/2 y menores o iguales a 17/2 y que las ordenen en forma ascendente o descendente. Así por ejemplo, la disposición ascendente es:
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Solicite, por ejemplo, que determinen la distancia o diferencia del primer y último término, entre términos consecutivos. Posteriormente solicite que realicen la suma de todos estos términos. El alumno, al observar que todas las cantidades poseen el mismo denominador, puede concluir que para hallar tal suma, el problema se reduce a obtener la suma de los numeradores, obteniendo así:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81 equivalentemente:
1/2 + 3/2 + 5/2 + 7/2 + 9/2 + 11/2 + 13/2 + 15/2 + 17/2 = 81/2
Se observa que en la expresión anterior estamos obteniendo la suma de los primeros nueve números impares (obtenemos así un ejemplo de serie aritmética, en donde la dife- rencia entre dos términos consecutivos es 2. Solicite que escriban el término general de la serie numérica). Indique que obtengan un cuadrado mágico cuya suma sea 27/2, y pida que justifiquen esto.
Compare este cuadrado mágico con el cuadrado mágico del ejercicio 3 para n=27. Para ello considere la tabla del dos. ¿Existe alguna simili- tud entre los cuadrados mágicos? Justifique su respuesta.
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Ejercicio 5
Podemos aplicar ahora el procedimiento anterior para las fichas con denominador 3.
Solicite las fichas
Una de las cuestiones a considerar es la multifuncionalidad de las fichas para los alum- nos del cuarto grado, ya que una de las actividades a implementar es agrupar todas las fichas, separar cantidades enteras (denominador 1) y fraccionaria. Estas últimas pueden separarlas en bloques con denominador común, ordenarlas de forma ascendente y des- cendente. Posteriormente pueden tomar dos grupos de fichas y colocarlas en orden, apli- car lo anterior a tres y finalmente a los cuatro grupos, o también separarlas, por ejemplo, en fracciones propias o impropias, o combinar algunas fichas de tal forma que en suma o resta se obtenga otra del grupo de ellas, y en este punto, solicitar una operación entre fi- chas que incluyan suma o resta (multiplicaciones, divisiones) de tal forma que el resultado no se encuentre en ninguna de las fichas del juego.
Regresando al ejercicio, solicite que obtengan el correspondiente cuadrado mágico, el cual debe ser:
Podemos relacionar la serie numérica 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, con el cuadrado mágico anterior. Justifique su respuesta.
