Página | 1 Repaso de conjuntos numéricos, operaciones y propiedades
Conjuntos numéricos Naturales
(Los números con los que contamos)
En este conjunto, la operación suma cumple la ley interna, es decir, operando dos números naturales cualesquiera, en este caso sumándolos, obtenemos como resultado otro número natural. Es decir que el resultado de operar con dos números de un conjunto, es un número del mismo conjunto. Pero en la operación resta no se cumple esta ley. Por ejemplo, si restamos: 9 – 2, obtenemos 7 que (pertenece a) , pero si restamos estos dos naturales en el siguiente orden: 2 – 9, obtendremos -7, resultado que ya (no pertenece a) .
Pero si consideramos otro conjunto más amplio, podremos lograr que la resta cumpla en él la ley interna.
Enteros
(Los naturales, el cero y los naturales con signo menos “–“, o sea los naturales negativos)
Aquí sí se cumple la ley interna para la resta. El problema se presenta cuando queremos dividir. La división ya no cumple esta ley. Por ejemplo, si dividimos -8 por -2, obtenemos 4, que pertenece a , pero si dividimos estos dos enteros en el siguiente orden: (-2):(-8), obtendremos de resultado 0,25 que no es entero, pues es 1 partido en 4, es decir que . Si consideramos otro conjunto más amplio, podremos lograr que la división cumpla en él la ley interna.
Racionales
(Números que pueden ser expresados como la división de dos enteros)
Ejemplos:
; ; 3 (pues puede ser expresado de la siguiente manera: ); etc.
En consecuencia, este conjunto incluye a los enteros y, por consiguiente, a los naturales.
Pasaje de expresión fraccionaria a expresión decimal
Para efectuar este pasaje, hay que realizar la división entre numerador y denominador:
Pasaje de expresión decimal a expresión fraccionaria Ej. 1:
y simplificando obtenemos . (Es decir, para números con período igual a cero, hay que dividir a todo el número, sin considerar la coma, por una potencia de 10, formándola con tantos ceros como dígitos a la derecha de la coma tenga el número)
Prof. Fabián Nouche
Página | 2 Ej. 2: y simplificando obtenemos . (Es decir, para números con período distinto de cero, hay que dividir a todo el número, sin considerar la coma, por tantos nueves como dígitos formen el período – o sea dígitos debajo del arco –)
Ej. 3: y simplificando obtenemos . (Es decir, para números mixtos, o sea con parte decimal no periódica y parte decimal periódica, hay que dividir a todo el número, sin considerar la coma y restándole previamente el número que queda fuera del período, por tantos nueves como dígitos formen el período – o sea dígitos debajo del arco –, y tantos ceros, a la derecha de los nueves, como dígitos haya entre la coma y el período)
Pero si consideramos la operación radicación, ya no se cumple la ley interna en este conjunto.
Por ejemplo, si aplicamos raíz cuadrada a 4, obtenemos 2, que pertenece a , pero si aplicamos raíz cuadrada a 2, obtenemos 1,414213562… e infinitas cifras decimales más, pero no periódicas; con lo cual no es posible expresar a este número como fracción, es decir como la división entre dos enteros. Luego (que quedará así indicado) no pertenece a . Por lo tanto, no es racional; y si no es racional, entonces es irracional, con lo cual formará parte de un nuevo conjunto.
Irracionales
es el conjunto de los números que no son racionales, es decir que no pueden expresarse como cociente de dos enteros.
Reales
es el conjunto formado por la unión de los números racionales y de los números irracionales.
(la intersección entre Racionales e Irracionales es vacía, pues todo real es o racional o irracional, pero nunca puede ser ambos tipos de número simultáneamente)
Esquema que resume lo analizado
Página | 3 Operaciones con fracciones
Suma / Resta
Una manera de sumar (restar) es armar una nueva fracción, cuyo denominador es el producto de los denominadores de las fracciones que intervienen en la operación y cuyo numerador se obtiene multiplicando cruzado y sumando (restando).
Ej. 1:
Ej. 2:
Otra manera es hallar el denominador común (mínimo común múltiplo) entre los denominadores de las fracciones que intervienen en la operación. Luego dividir este nuevo denominador por el denominador de la primera fracción y multiplicarlo por el numerador de esa misma fracción, para colocar el resultado sobre el numerador de la nueva fracción que estamos formando; y repetir el proceso con todas las fracciones de la suma (resta). Finalmente se sumarán (restarán) los resultados colocados en el numerador de la nueva fracción y, de ese modo, se obtendrá la fracción resultado.
En ambos casos, habrá que ver si es posible realizar simplificación, para obtener una fracción irreducible.
Multiplicación
Se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador.
Ej.:
División
Se invierte la segunda fracción (la que divide) y luego se multiplican las nuevas fracciones. Otra manera que resulta idéntica es no invertir la segunda fracción y multiplicar cruzado.
Prof. Fabián Nouche
Página | 4 Ej.:
Potenciación en Reales
donde es base de la potencia, y es el exponente.
Ej.:
Propiedades
(si )
Como ésta es una propiedad que generalmente se presenta de un modo arbitrario que conduce a su no aceptación o simplemente porque puede resultar difícil convencernos de este resultado, voy a demostrarla muy sencillamente, a partir de una propiedad anterior.
Demo:
Aquí sólo se expresó la división de una potencia por sí misma de dos modos diferentes pero equivalentes.
Aquí se aplicó, en el primer miembro, la tercera propiedad de la lista y en el segundo miembro, se simplificó.
Finalmente, restando los exponentes, en el primer miembro, llegamos al resultado.
( propiedad distributiva de la potenciación respecto del producto )
( propiedad distributiva de la potenciación respecto de la división )
ATENCIÓN
( la potenciación NO es distributiva respecto de la suma )
( la potenciación NO es distributiva respecto de la resta )
( la potenciación NO conmutativa )
Nota: puede ser que se dé el caso en que se cumpla con algunos números, por ejemplo si a=2 y b=4, pues 24=42=16, pero esto no ocurre para todo par de números reales, luego no es propiedad. Para que una generalización sea propiedad, ésta debe verificarse para todos los casos y si existe al menos uno en el que no se verifica el resultado, estaremos frente a un contraejemplo que invalida a la proposición como propiedad.
( la potenciación NO es asociativa )
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Radicación en Reales
y signo(a)=signo(b), con si es par. Donde es el radicando y es el índice de radicación.
Ej. 1:
Ej. 2:
Nota:
Propiedades
( propiedad distributiva de la radicación respecto del producto )
( propiedad distributiva de la radicación respecto de la división )
Notación exponencial de la radicación
Nota: Aquí puede apreciarse que el índice de radicación no puede valer cero, ya que resulta ser el denominador de un exponente fraccionario.
Esta notación de equivalencia entre radicación y potenciación y la aplicación de propiedades previas nos permiten demostrar la última propiedad de la lista.
Demo:
