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ÁREA DE APOYO ACADÉMICO
MATERIALES DE INSTRUCCIÓN SUPLEMENTARIA
FUNCIONES LOGARÍTMICAS
MATEMÁTICA I
C a r a c as , 2 0 2 1
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Ejercicios Propuestos
Tabla de Contenido
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Ejemplo1
Clasificación3
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Introducción
Las funciones logarítmicas al ser inversas a las funciones exponenciales estas también son usadas para cálculos en el crecimiento de las utilidades que obtiene una empresa, en las de ventas de productos, en el aumento de indicadores económicos e, igualmente, para los intereses compuestos que con frecuencia se utilizan en los créditos bancarios. Se presentan en diversas operaciones que se llevan a cabo en las empresas y en la economía de un país.
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F u n c i ó n L o g a r í t m i c a
Clasificación
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Para hallar el logaritmo de un número se debe “encontrar el exponente de una potencia cuyo valor es el número dado”.
𝒍𝒐𝒈
𝒂𝒙 = 𝒚 ↔ 𝒂
𝒚= 𝒙
De manera que, el logaritmo de base de un número es el exponente al cual debe elevarse para obtener en términos generales:
Recordemos Recordemos
Logaritmos Recordemos
Argumento Exponente
Base del
Logaritmo Logaritmo Base Potencia
Se lee como “logaritmo en base de a de x es igual a y”
Suelen usarse con mayor frecuencia y, en estos casos, se acostumbra a no escribir la base:
𝒍𝒐𝒈
𝟏𝟎𝒙 = 𝒍𝒐𝒈 𝒙 𝒍𝒏
𝒆𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙
Logaritmo natural o neperiano
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Propiedades de los logaritmos
1. 𝒍𝒐𝒈
𝒂𝒂 = 𝟏 2. 𝒍𝒐𝒈
𝒂𝟏 = 𝟎
3. 𝒍𝒐𝒈
𝒂(𝑴. 𝑵) = 𝒍𝒐𝒈
𝒂𝑴 + 𝒍𝒐𝒈
𝒂𝑵 4. 𝒍𝒐𝒈
𝒂(
𝑴𝑵
) = 𝒍𝒐𝒈
𝒂𝑴 − 𝒍𝒐𝒈
𝒂𝑵 5. 𝒍𝒐𝒈
𝒂𝑴
𝑵= 𝑵 ∙ 𝒍𝒐𝒈
𝒂𝑴
6. 𝒍𝒐𝒈
𝒂𝑵√𝑴 =
𝟏𝑵
∙ 𝒍𝒐𝒈
𝒂𝑴 7. 𝒂
𝒍𝒐𝒈𝒂𝑴= 𝑴
Se deducen directamente al ser los inversos de los exponentes. Permitiendo convertir las multiplicaciones en sumas, divisiones en restas y potencias y raíces en multiplicaciones.
Sea 𝑓 una función, 𝑓: 𝐼𝑅 → 𝐼𝑅 tal que:
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈
𝒂𝒙
Función logarítmica
Con 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1
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Características
El dominio son todos los números reales positivos 𝑫𝒐𝒎𝒇
= 𝒙𝝐(𝟎, ∞)
El rango son todos los números reales. 𝑹𝒈𝒇= 𝒚𝝐ℝ
La función corta con el eje de las abscisas en el punto
(𝟏, 𝟎)
Tiene una asíntota vertical en 𝒙 = 𝟎
De acuerdo al valor de 𝒂 la función puede ser creciente o decreciente
La función es decreciente si 0 < 𝒂 < 𝟏 La función es creciente si 𝒂 > 𝟏
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Ejemplo
Dominio = 𝑥 ∈ (2; ∞) desde el término independiente 2, hasta infinito.
Rango = ℝ todos los números reales.
Puntos de intersección con el eje de las abscisas (9
4; 0) Asíntota vertical 𝑥 = 2
𝒇(𝒙) = 𝒍𝒐𝒈(𝟒𝒙 − 𝟖)
𝒙 = 𝟖 𝟒 𝒙 = 𝟐
Función Logarítmica
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1.
2.
Ejercicios Propuestos
Una compañía manufacturera encuentra que el costo de producir 𝑥 unidades por hora está dado por la fórmula:
𝐶(𝑥) = 5 + 10 log (1 + 2𝑥) Calcule:
a) El costo de producir 5 unidades por hora.
b) El costo extra por aumentar la tasa de producción de 5 a 10 unidades por hora.
c) El costo extra por aumentar de 10 a 15 unidades por hora.
Una compañía está ampliando sus instalaciones y tiene opción para elegir entre dos modelos. Las funciones de costos son 𝐶1(𝑥) = 3.5 + log (2𝑥 + 1) y 𝐶2(𝑥) = 2 + log (60𝑥 + 105) donde 𝑥 es la tasa de producción.
Encuentre la tasa 𝑥 a la cual los dos modelos tienen los mismos costos. ¿Para valores grandes de 𝑥, cual modelo es más barato?
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Andrade, J. (s/f). Unidad IV. Función Exponencial y Función Logarítmica.
Guías de Apoyo. Matemática I.
Caracas, Venezuela: UCAB.
Arya, J. y Lardner, R. (2009). Matemáticas Aplicadas a la Administración y a la Economía. Quinta Edición. México:
Editorial Pearson Educación.
Las funciones logarítmicas se
aplican usualmente para operaciones en las que se requiera conocer valores para decidir entre la mejor opción o seleccionando para ello un tiempo en específico, e incluso para encontrar específicamente dicho tiempo en que alguna situación ocurrió o que se espera que ocurra, conociendo su comportamiento (característico de esta clase de funciones).
Cierre
Referencias
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Esto es un aporte de:
En el marco del Programa de Apoyo Personal Académico.
Profesor Asesor:
Jenifer Campos Estudiante IS:
Nardy Zambrano Edición y Montaje:
José Ucha Sofía Sandoval
MATEMÁTICA I
C a r a c as , 2 0 2 1
