Unidad III Y IV

ESTADÍS

TICA

Prof. Lic.

Stella M.

MEDIDAS DE POSICIÓN

MEDIDAS DE RESUMEN

Entre las medidas que permiten

resumir información proveniente de

una población, podemos considerar las

medidas de posición, medidas de

dispersión y medidas de forma.

Medidas de Posición

Tienen por objeto, obtener un valor que resuma en sí todas las mediciones. La mayoría de ellas trata de ubicar el centro de la distribución, razón por la cual, se llaman MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL; estas son: Media, Mediana, Moda, Media Geométrica, Media Armónica.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Media aritmética o promedio: Es una de las

medidas de tendencia central de mayor uso. La media muestral se simboliza por y la media poblacional de denota por .

X

MEDIA PARA DATOS NO TABULADOS

Sea X una variable cuantitativa y x₁, x₂,…, x_n una muestra de tamaño "n" de valores de la variable, se define la media aritmética de X como: n x ... x x x X 1  2  3   n n x X n 1 i i



PROMEDIO PARA DATOS TABULADOS

Sea X una variable estadística que toma los valores x_i, con

frecuencias absolutas f_i, respectivamente. La media está dada

por: _{ }





Ejemplo: Consideremos la edad en años de ocho personas

11 18 25 32 12 7 7 8

En este ejemplo el promedio , media o media aritmética de la edad de estas personas está dada por:

15 8 8 7 7 12 32 25 18 11 x         

Es decir la media para las edades de estas personas es de 15 años.

Media Geométrica:

• Se define como la raíz n-ésima del producto de todos los valores numéricos, es decir,

n i n 1 i n n 2 1 G x .x ....x (x ) X     La media armónica:

• Se define como el número de observaciones de la muestra dividido por la suma del inverso de cada una de las observaciones, es decir,



Mediana (med)

Sea X una variable por lo menos ordinal y sea x₁, x₂,…x_n una muestra de tamaño n de observaciones de la variable, se define como mediana “med" un valor tal que supera a no más del 50% de las observaciones y es superado por no más del 50% de las observaciones, cuando estas han sido ordenadas según

magnitud.

MEDIANA PARA DATOS NO TABULADOS

Ejemplo: Consideremos la edad en años de ocho personas 10 18 25 32 12 5 7 7

Para calcular la mediana , previamente se deben ordenar las observaciones. En este caso lo haremos en forma creciente:

5 7 7 10 12 18 25 32

Como la cantidad de datos es par, entonces la mediana

corresponde al promedio de los datos centrales, por lo tanto la mediana es 11.

MEDIANA PARA DATOS TABULADOS

En casos de datos agrupados es un poco más complejo y requiere de la utilización de la siguiente fórmula

L_i: límite inferior de la clase mediana

c: amplitud del intervalo de la clase mediana N: número total de datos

f_i: suma de frecuencias hasta la clase anterior a la mediana f_med: frecuencia de la clase mediana

c f f 2 N L med med i i     

Moda (mo) para datos no tabulados

La moda se identifica al observar el valor que se presenta con más frecuencia en la distribución.

Si consideramos el ejemplo del peso de una muestra de

personas: 65 76 48 48 68 78 90 87 67 72 78 mo = 48 kilos ; mo = 78 kilos. Esta distribución es

bimodal.

Moda (mo) para datos tabulados

Ahora bien, en el caso de datos agrupados en intervalos, es fácil determinar la clase modal (clase con mayor frecuencia), pero el valor dentro del intervalo que se presume tenga mayor frecuencia se obtiene a partir de la siguiente expresión:

c L mo 2 1 1 i       

Cuantiles

La mediana divide a la distribución en dos partes iguales, los

cuantiles son parámetros que dividen los datos de la distribución en partes iguales.

Los más usados son:

Cuartiles:

Se llaman cuartiles a tres valores que dividen a la serie de datos en cuatro partes iguales.

Q₁: primer cuartil; Q₂: segundo cuartil; Q₃: tercer cuartil.

Deciles:

Nueve valores que dividen la distribución en 10 partes iguales. D₁: primer decil; D₂: segundo decil; …; D₉: noveno decil.

Percentiles:

Noventa y nueve valores que dividen la serie en 100 partes iguales. P₁: primer percentil; …; P₉₉: noveno percentil.

ESTADÍS

TICA

Unidad IV

MEDIDAS DE DISPERSIÓN: miden la

dispersión de los datos respecto de una medida de tendencia central.

• Las medidas descriptivas más comunes de

dispersión son: el rango, la varianza, la desviación estándar y el rango intercuartílico.

• El rango de la muestra es la medida de variabilidad más sencilla entre todas las mencionadas; y se define como la diferencia entre la observación más grande y la más pequeña :

n ) x x ( s n 1 i 2 i 2



• La varianza para una serie de datos x₁; x₂; x₃; …; x_n se define como: n ) x x ( s n 1 i 2 i



• La desviación típica es la raíz cuadrad de la varianza:

• rango intercuartílico: RQ = Q₃ – Q_1, donde Q₃ es el tercer cuartil y Q₁ es el primer cuartil.

Asimetría

• Si los valores de la serie de datos presenta la misma forma a izquierda y derecha de un

valor central (media aritmética) se dice que es simétrica de lo contrario será asimétrica.

• Para medir el nivel de asimetría se utiliza el llamado Coeficiente de Asimetría de Fisher, que viene definido:

3 1 3 1

)

(

)(

/

1

(

s

x

x

n

g







Los resultados pueden ser los siguientes:

• g₁ = 0 (distribución simétrica; existe la misma

concentración de valores a la derecha y a la izquierda de la media)

• g₁ > 0 (distribución asimétrica positiva; existe

mayor concentración de valores a la derecha de la media que a su izquierda)

• g₁ < 0 (distribución asimétrica negativa; existe

mayor concentración de valores a la izquierda de la media que a su derecha)

Curtosis

• El Coeficiente de Curtosis analiza el grado de concentración que presentan los valores

alrededor de la zona central de la distribución. • El Coeficiente de Curtosis viene definido

por la siguiente fórmula:

3 ) ( )( / 1 ( 4 1 4 2   



Se definen 3 tipos de distribuciones según su grado de curtosis:

• g₂ = 0: Distribución mesocúrtica; presenta un

grado de concentración medio alrededor de los valores centrales de la variable (el mismo que presenta una distribución normal).

• g₂ > 0: Distribución leptocúrtica; presenta un

elevado grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

• g₂ < 0: Distribución platicúrtica; presenta un

reducido grado de concentración alrededor de los valores centrales de la variable.

MEDIDAS DE DISPERSION

Si comparamos dos grupos de variables o valores, a través de su valor representativo, considerado la MEDIA (  )

SI ESTOS GRUPOS TIENEN LA MISMA MEDIA

¿ PODRIAMOS DECIR QUE AMBOS GRUPOS SON IGUALES ?

X f Xf 1 2 2 6 4 24 11 5 55 16 4 64 21 2 42 Y f Yf 7 2 14 9 4 36 11 5 55 13 4 52 15 2 30 ₁  ₁₁ ₂  ₁₁

Aparentemente como tienen MEDIAS IGUALES podríamos responder que los grupos SON IGUALES

PERO SI OBSEBAMOS EL SIGUIENTE GRAFICO TALVEZ TENDREMOS OTRA REPUESTA

Según este gráfico parecería que los grupos de valores no son iguales

Aun si los grupos tienen la misma MEDIA esta unidad de medida no es suficiente para decidir, y responder que los grupos son iguales

Necesitamos otra UNIDAD DE MEDIDA QUE MIDA LA DISPERSIÓN DE

LOS DATOS CON RESPETO A SU VALOR MEDIO (  ) Esta unidad de medida se llama VARIANZA

 

n -X 2

2 _  

 Donde X son los valores de la variable_{ es la media y n el número de datos}

Es la sumatoria de las desviaciones de cada uno de los valores de

la variable X con respecto a su valor medio (  ) al cuadrado, dividido

por la cantidad de datos ( n )

MEDIDAS DE DISPERSION para DATOS no AGRUPADOS

VARIANZA: Es la sumatoria de las desviaciones de cada uno de los valores de la variable X con respecto a su valor medio (  ) al cuadrado, dividido

por la cantidad de datos ( n ) Ejemplos

Distribución de la variable X, 1, 3 y 5 con = 3 y n = 3

      67 , 2 3 3 -5 3 -3 3 -1 2 2 2 2 _



Distribución de la variable Y, 2, 3 y 4 con = 3 y n = 3

      67 , 0 3 3 -4 3 -3 3 -2 2 2 2 2 _



Debido a que la VARIANZA un valor muy grande, para conseguir un valor mas pequeño, hallamos la raiz cuadrada, esta medida de dispersión se llama

DESVIACIÓN TIPICA

2





En los ejemplos anteriores

633 , 1 67 , 2   x  8165 , 0 67 , 0   y 