Un Nuevo Método de Identificación de Procesos Continuos no Oscilatorios de Alto Orden

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(2) INSTITUTO TECNOLÓGICO Y DE ESTUDIOS SUPERIORES DE MONTERREY CAMPUS MONTERREY PROGRAMA DE GRADUADOS DE LA DIVISIÓN DE COMPUTACIÓN, INFORMACIÓN Y COMUNICACIONES. "UN NUEVO MÉTODO DE IDENTIFICACIÓN DE PROCESOS CONTINUOS NO OSCILATORIOS DE ALTO ORDEN". TESIS PRESENTADA COMO REQUISITO PARCIAL PARA OBTENER EL GRADO ACADÉMICO DE:. MAESTRO EN CIENCIAS EN AUTOMATIZACIÓN CON ESPECIALIDAD EN INGENIERÍA DE CONTROL. POR ING. FRANCISCO JAVIER SÁNCHEZ CAREAGA. MAYO DEL 2001.

(3) Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus Monterrey. División de Graduados e Investigación Programa de Graduados en Computación, Información y Comunicaciones. Los miembros del comité de tesis recomendamos que la presente tesis del Ing. Francisco Javier Sánchez Careaga sea aceptada romo requisito parcial para obtener el grado académico de Maestro en Ciencias en Automatización con Especialidad en Ingeniería de Control. Comité de tesis:. Dr. Carlos. Ing. Elvira Niño Juárez, SINODAL. Dr. Ri. Dr. Carlos Scheel Mayenberger, Ph. D. Director del Programa en Computación, Información y Comunicación Mayo del 2001.

(4) ÍNDICE RESUMEN CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. 1.1 Identificación de procesos. 1.2 Aproximación del tiempo muerto. 1.3 Objetivo de la investigación.. ii. 1-1 1-2 1-3. CAPÍTULO 2. IDENTIFICACIÓN DE PROCESOS. 2.1 Obtención del algoritmo de identificación de procesos multiorden. 2.2 Comparación del algoritmo de identificación. 2.3 Análisis de resultados.. 2-1 2-7 2-15. CAPÍTULO 3. APROXIMACIÓN DEL TIEMPO MUERTO. 3.1 Selección de la aproximación del tiempo muerto. 3.2 Evaluación del modelo NS4-2 3.3 Análisis de resultados.. 3-1 3-6 3-12. CAPÍTULO 4. APLICACIONES A CONTROL IMC. 4.1 Características del EMC. 4.2 Diseño de los controladores IMC. 4.3 Evaluación de los controladores 4.4 Análisis de resultados. 4-1 4-4 4-8 4-14. CAPÍTULO 5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 5.1 Conclusiones. 5.2 Recomendaciones.. 5-1 5-1. APÉNDICE A.. A-l. APÉNDICE B.. B-l. APÉNDICE C.. C-l. BIBLIOGRAFÍA.. BIB-1.

(5) Introducción. CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. 1.1 Identificación de procesos. El primer paso en cualquier implementación de control es el de identificar el proceso a controlar. Tradicionalmente se utilizan procesos de primer orden con tiempo muerto para predecir su comportamiento a través del tiempo. Estas modelaciones, en muchos casos, traen un grado significativo de error con respecto al proceso real.. Existen muchas técnicas para identificar los procesos como un sistema de primer orden con tiempo muerto, sin embargo por su sencillez y facilidad de implementación el método gráfico de lectura de dos puntos es el más utilizado. La figura 1.1 muestra la respuesta del proceso ante un escalón en el valor de la manipulación.. KA -. 0.632 KA 06. -. 03. 0.283 KA -. 20. t2. Figura 1.1. Respuesta de un proceso ante un cambio tipo escalón de la manipulación. l-l.

(6) Introducción. La ecuación 1.1 muestra el modelo en Laplace de un sistema de primer orden con tiempo muerto. Ante un escalón de magnitud A, la respuesta en el tiempo es la ecuación 1.2. Si sustituimos los valores de x/3 y de x nos arrojan los valores que Y debería de tener en ese tiempo dado. Para obtener los valores de la constante de tiempo y del tiempo muerto del proceso, se leen los valores del tiempo ti y t2 correspondientes a Y = 0.283 KA y Y = 0.632 KA, respectivamente. *. Y(s) _ Ke~* X(s)~. (1.1). rs + l. = KA(\-e~"z). (1.2) (1.3) (1.4) (1.5). O = t2-T. (1.6). La identificación de primer orden se prefiere debido a su sencillez de obtención y a que los principales controladores que se tienen en el mercado (Ejemplo PID) utilizan las constantes que arroja la identificación de primer orden con tiempo muerto para su sintonía. Existen diversos métodos de identificación de procesos sobreamortiguados de segundo orden.2'3'4'5 Estos métodos requieren de trazos gráficos sobre la tangente del punto de inflexión (el cual muchas veces es difícil de encontrar), de trazos sobre gráficos logarítmicos o bien de lecturas de gráficas de referencias, todo lo cual hace que estos métodos sean de uso limitado.. 1.2 Aproximaciones del tiempo muerto. El tiempo muerto genera cierto grado de dificultad al ser utilizado en el diseño de controladores. Por esta razón existen algunas aproximaciones comúnmente usadas para aproximar el tiempo muerto. Unas de las más usada son las aproximaciones de Padé de 1-2.

(7) Introducción. primer y segundo orden, las cuales se muestran en las ecuaciones 1.12 y 1.13 respectivamente. 6. c^_\-6sl2. (1.7). " 1 + &/2 a, \-es/2 + 02s2/l2 e =. (1-8). El principal problema que tienen estas dos aproximaciones, es que los ceros de la aproximación generan términos inestables y tendrían que ser eliminados en ciertos usos del modelo de la función de transferencia. 1.3 Objetivo de la investigación. El objetivo de este trabajo es el de obtener un modelo más preciso de la función de transferencia utilizando un nuevo algoritmo de identificación gráfica para modelos de segundo orden, así como una mejor modelación del tiempo muerto que las que actualmente existen. El método de identificación deberá de ser de uso fácil, similar al de primer orden con tiempo muerto.. 1-3.

(8) RESUMEN Los procesos continuos con tiempo muerto, generalmente han sido representados utilizando modelos de primer orden con tiempo muerto (FOPDT). Para este modelo, los parámetros pueden ser estimados gráficamente utilizando la gráfica de la respuesta del proceso, al aplicársele un escalón en la manipulación del mismo. Para procesos de alto orden, los modelos FOPDT dan pobres resultados y los modelos de segundo orden con tiempo muerto (SOPDT) son los más indicados para responder a las necesidades de identificación. Sin embargo no existe un método gráfico sencillo para estimar los parámetros del modelo SOPDT.. En esta investigación se presenta un método gráfico sencillo para estimar los parámetros del modelo de segundo orden con tiempo muerto. El método consiste en la lectura de cuatro puntos de la gráfica de respuesta del proceso real al aplicársele un cambio tipo escalón en la manipulación. De esas lecturas se estiman los valores del tiempo muerto, de la ganancia, y de las constantes de tiempo del modelo SOPDT.. Además, en este escrito se sugiere una forma alternativa de aproximar el tiempo muerto de los modelos, para evitar tener ceros inestables en las ecuaciones de los controladores.. Por último se presenta un controlador diseñado con la filosofía del IMC para probar las bondades de la utilización de un modelo más exacto y una mejor aproximación del tiempo muerto en el control de un proceso..

(9) DEDICATORIA A mis padres: Ing. Francisco Javier Sánchez Blackaller. y. Q.F.B María Elisa Careaga de Sánchez. Por darme su ejemplo, y dedicación. Por siempre estar ahí cuando los he necesitado y por los sacrificios que han hecho. Gracias..

(10) Agradecimientos Deseo agradecer al Dr. Marco Antonio Rito Palomares por haberme guiado siempre con gran interés, dedicación y profesionalismo en todo el proceso de elaboración de este documento.. Agradezco a la Dra. Kativshka Arévalo Niño por su apoyo durante una parte importante de este trabajo y por su disposición total a su revisión.. Agradezco al Dr. Francisco José Lozano García, por su importante aportación de conocimientos durante la revisión de este trabajo.. Agradezco a la Dra. Ma. Del Socorro Marcos de Khan, Directora de la División de Graduados en Arquitectura, Computación, Ingeniería y Tecnología, por haberme brindado su apoyo incondicional para la realización de mi tesis y maestría dentro de su división.. IV.

(11) Identificación de procesos. CAPÍTULO 2. IDENTIFICACIÓN DE PROCESOS. En este capítulo se presenta un algoritmo de identificación de procesos que ajusta el proceso a un modelo de primer orden o de segundo orden, según sea el caso. Se utiliza, al igual que en el método de identificación de primer orden, la gráfica de la respuesta de un proceso ante un cambio tipo escalón en la manipulación del mismo.. En las siguientes secciones se muestran las ecuaciones involucradas para la obtención del método de identificación, así como la comparación del mismo con un software comercial de identificación llamado Control Station, el cual obtiene modelos de primero y de segundo orden utilizando métodos de mínimo error.. 2.1 Obtención del algoritmo de identificación de procesos multiorden. La respuesta al escalón de un proceso de segundo orden sobreamortiguado está dado por las ecuaciones 2.1 y 2.2 (en Laplace y en el tiempo respectivamente).. Y(s) = S(TIS+\)(T2S+\). (Tf*. Y(t) = KA(\. V**;). (22). T,-T 2. Debido a que el valor de KA es el valor final de Y(t) cuando el tiempo tiende a infinito, se define Y*, como: YK = F(oo) = KA .. Y(t) = YJ\. 1. —(T¿*>. - Tf**)). (2J). Reacomodando la ecuación 2.3 obtenemos la 2.4 y si se define: F*= t* = t/rl,. a=. T2ITX. obtenemos la ecuación 2.5.. 2-1.

(12) Identificación de procesos. Y{t) = YJ\ Y* = l. \-a. (2.4). 1 l-r 2 /r/. (2.5). -(e"r-ae"t/a). La ecuación 2.8 se encuentra en función de la constante a. Si ésta tiene un valor de cero, la ecuación se reduce a un modelo de primer orden. Se puede decir entonces que la ecuación 2.5 es una expresión general para respuestas al escalón de procesos de primer y segundo orden.. La relación entre valores específicos de t* y a puede ser encontrada. Para ello se define t*o.3 como el valor de t* correspondiente a Y* = 0.3, t*o.6 como el valor para Y* = 0.6 y t*o.8 como el valor para Y* = 0.8, (figura 2.1). Al variar a la curva de respuesta se modifica y los valores de t*o.3, t*o.6 y t*o.3 cambian.. — — 1—. "^. '. 0.9. 08. 0.7. 0.6. Y*. /. 0.5. /. 0.4. 0.3. 0.2. 0.1. 0. j 10 t*03. 20 I 0.6. 30 t*0.8. 50. t*. Figura 2.1. Definición de t*o.3, t*o.6 y t*o.s-. 2-2 ••i. . '. '.

(13) Identificación de procesos. Las figuras 2.2, 2.3 y 2.4 muestran la relación entre t*o.3, t*o.6 y t*o.s con a, respectivamente. 1.20 -r-. 1.00 —. 0.80. 0.60. 0.40. 0.20. 0.00. 0.0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.5. 0.4. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1.0. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1.0. Alfa. Figura 2.2. t*o.3 en función de a, con Y*=0.3.. 2.50. 2.00. 1.50. 5? 1.00. 0.50. 0.00. 0.0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. Alfa. Figura 2.3. t*o.6 en función de a, con Y*=0.6.. 600103. 2-3.

(14) Identificación de procesos. 3.50. 3.00. 2.50. 2.00. 1.50. 1.00. 0.50 4-. 0.00. 0.0. 0.1. 0.2. 0.3. 0.4. 0.5. 0.6. 0.7. 0.8. 0.9. 1.0. Alfa. Figura 2.4. t*o.8 en función de a, con Y*=0.8.. Como se aprecia en estas figuras, los valores de t*o.3, t*o.6 y t*o.g tienen una relación casi lineal con a. Un análisis estadístico de este comportamiento da como resultado las ecuaciones 2.6, 2.7 y 2.8, las cuales representan las relaciones t*o.3, t*o.6 y t*0.8 con a.. t03* = 0.39423 + 0.73313a (Coeficiente de Correlación = 0.9939). (2.6). /0 6 * = 0.92210 + 1.11140a (Coeficiente de Correlación = 0.9997). (2.7). íQS * = 1.57496 +1.39744a (Coeficiente de Correlación =0.9987). (2.8). El coeficiente de correlación representa la exactitud de la regresión realizada. Si el coeficiente de correlación obtenido tiene un valor de 1, significa que la curva se ajusta perfectamente a los datos reales. Si el coeficiente de correlación tiene un valor cercano a 0, la regresión obtenida ajusta pobremente a los datos reales. La ecuación del coeficiente de correlación se presenta en la ecuación 2.9.. 2-4.

(15) Identificación de procesos. (2.9) f. =. donde Sr es el cuadrado de la sumatona de los errores residuales y St es el cuadrado de la sumatona de los errores totales.11. Introduciendo las definiciones de t* y de a en las ecuaciones 2.6 a 2.8 obtenemos las ecuaciones 2.10 a 2.12.. t03 =0.39423r,+ 0.73313r2. (2.10). t06 =0.92210^+1.11140^. (2.11). toi = 1.57496r,+1.39744r2. (2.12). donde t0.3, tO.6 y tO.8 son las lecturas del tiempo correspondientes a Y = 0.3 Y», Y = 0.6 Y- y Y = 0.8 Y«, respectivamente (figura 2.5).. __—=i —. Y. / 1. 0.5. /. •. /. 1 / /. J. 10. to.3. 20. to.6. 30. to.8. 40. 50. 60. 70. 90. 100. t. Figura 2.5. Lecturas de tiempo. 2-5.

(16) Identificación de procesos. Para obtener los valores de Ti y 12 de las ecuaciones anteriores, se definen dos tiempos diferenciales Ai y A2 como:. A, = '0.6 - *03 = 0.52787?-, + 0.37827r2. (2.13). A2 = ¿o.s - 'o* = 0.652867-, + 0.28604r2. (2.14). De las dos ecuaciones anteriores se obtienen Ti y T2 como:. r 2 = 6.802609A, -5.50026A 2. (2.15). 7-, = 3.94157A2 -2.98045A,. (2.16). Si hay tiempo muerto, las ecuaciones 2.10a2.12se modifican a:. t03 =0.394237-, + 0.733 \3T2 +6. (2.17). í06 = 0.922 I O T - , + 1 . 1 1 1 4 0 7 - 2 + 0. (2.18). /„., = 1.57496r, +1.39744r2 +6. (2.19). donde 0 es el tiempo muerto. Nótese que las ecuaciones 2.13 y 2.14 permanecen sin cambios ya que Ai y A2 son valores diferenciales que no se ven afectados por el tiempo muerto. A partir de la ecuación 2.17 se obtiene 0 como:. 0 = t03 - 0.394237-, - 0.733 12T 2. (2.20). La ganancia del proceso se obtiene de la definición Y« como:. 2-6.

(17) Identificación de procesos. Es importante notar que, si el modelo es de primer orden, X2 = 0 y Ai (ecuación 2.16) se reduce a:. ,. o. .. 6. o. .. 3. ,. (2.22). de aquí se obtiene ii, para este caso:. r, =1.894906A,. (2.23). En cuanto a la ecuación del tiempo muerto, ésta se reduce a:. 0 = / OJ -O.39423r 1. (2.24). Al aplicar el modelo, en caso de que X2 (ecuación 2.15) de un valor negativo se tomará X2 = 0 y ii se obtiene de la ecuación 2.22. Similarmente, si las ecuaciones 2.20 o 2.24 para G dan un valor negativo, se toma 6 = 0.. Si X2 > ti (a > 1), se calculará r = ^/r,r 2 y los valores de las dos constantes de tiempo del modelo serán: x¡ = X2 = x (la media geométrica hace que a = 1). De ésta forma se obtiene un método gráfico fácil de usar para el calculo de las constantes de tiempo, así como del tiempo muerto de un modelo de segundo orden sobreamortiguado. El método requiere de 4 lecturas (YM, to.3, to.6 y tos) de la respuesta al escalón para calcular las constantes K, xi, X2 y 6 del modelo. A este método se le denomina en esta tesis NS4 (Narváez-Sánchez-4 puntos de lectura).. 2.2 Comparación del algoritmo de identificación. El método fue comparado con el identificador del programa computacional Control Station. Los modelos fueron obtenidos a partir de la respuesta al escalón del proceso (Apéndice B), siguiendo el método propuesto en esta tesis (NS4), y usando la 2-7.

(18) Identificación ¿le procesos. opción "Design tools" del programa Control Station, con modelos de primer orden con tiempo muerto (CS-FOPDT) y de segundo orden con tiempo muerto (CS-SOPDT). Los modelos así obtenidos fueron. programados en Matlab-Simulink (Apéndice A),. obteniendo la suma de los errores al cuadrado del modelo con respecto al proceso real. La evaluación fue llevada a cabo con procesos de primero, segundo, tercero y cuarto orden.. La tabla 2.1 muestra la evaluación hecha a procesos de primer orden sin y con tiempo muerto. Se observa que la identificación de primer orden de Control Station (CSFOPDT) es muy buena cuando no existe el tiempo muerto, sin embargo la identificación de éste se deteriora considerablemente al haber tiempo muerto y el modelo NS4 es mejor. También se observa que la segunda constante de tiempo del NS4 tiende a cero debido a que el modelo se ajusta a un primer orden.. En las tablas 2.2 y 2.3 se puede observar que el algoritmo de identificación NS4 tiene una sumatoria de los errores al cuadrado menor a los modelos de primer (CSFOPDT) y segundo orden (CS-SOPDT) que Control Station obtiene. En procesos de segundo orden, NS4 produce constantes con valores semejantes a los del proceso real.. En los procesos de tercer orden el modelo NS4 sigue siendo muy competitivo y la suma de los errores al cuadrado es ligeramente mayor que de Control Station, el cual obtiene valores iguales para sus dos constantes de tiempo (tabla 2.4).. La sumatoria de los errores al cuadrado en la comparación de los procesos de cuarto orden es menor en la identificación de segundo orden realizada por Control Station, sin embargo, NS4 sigue siendo mucho mejor que el modelo de primer orden de Control Station. También se observa que las constantes de tiempo obtenidas por Control Station para segundo orden continúan teniendo ambas el mismo valor.. Debido a que la sumatoria de los errores al cuadrado se incrementa por el aumento del tiempo de duración del proceso (entre más constantes de tiempo, mayor es el tiempo. 2-8.

(19) Identification ¿le procesos. de estabilización del proceso), fue necesario utilizar la desviación estándar del error (ecuación 2.25), para obtener una comparación más objetiva.. ~SSÉ G. (2-25). =. donde N es el número de puntos de error.. Para mayor claridad en la lectura de las tablas, a continuación se presentan las estructuras de los modelos:. CS-FOPDT. NS4 y CS-SOPDT. Ke-<*. Ke~*. 2-9.

(20) Proceso 0. CS-FOPDT. NS4 t. ti. 104.4 81.7 60.1 42.9 30.1 20.1 10.4. 0 100 0 80 0 60 0 40 0 30 0 20 0 10 Total. Proceso 6 T. 20 100 20 80 20 60 20 40 50 100 50 80 20 30 80 100 50 60 20 20 80 80 100 100 Total. t2. 0.0 0.0 3.7 0.0 0.0. 1.4 0.0. 0. 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0. NS4 6/t. ti. 0.2 0.3 0.3 0.5 0.5 0.6 0.7 0.8 0.8 1.0 1.0 1.0. 104.4 81.7 60.1 42.9 104.4 81.7 30.1 104.4 60.1 20.1 81.7 104.4. t2. t. 99.7 79.6 60.7 40.2 30.3 20.0 10.0. 0. 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0. CEi-SOPDT. 76.8 57.7 37.5 28.9 18.7 19.6 9.0. 0.0 15.7 0.0 17.1 3.7 15.5 0.0 16.4 0.0 45.7 0.0 47.1 0.0 18.7 0.0 75.7 3.7 45.5 1.4 18.2 0.0 77.1 0.0 95.7. t. 98.9 78.5 58.7 39.6 98.9 78.5 29.5 98.8 58.7 20.0 78.5 98.8. e 14.6 14.8 14.8 17.4 44.6 44.8 17.5 74.7 44.8 19.7 74.7 94.6. 15.0 15.0 15.0 7.5 7.5 0.1 0.1. e 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0. 0.0 0.6. CS-SOPDT. CS-FOPDT 0. t2. ti. ti. 98.2 77.8 58.4 39.2 98.2 77.8 29.3 98.2 58.4 19.9 78.1 98.2. t2. 4.3 4.3 3.0 2.5 4.3 4.3 1.5 4.3 4.3 0.1 3.8 5.0. 0. 11.1 11.0 12.1 15.3 41.1 41.2 16.1 71.1 41.1 19.4 71.5 90.6. NS4 SSE. NS4. CS-FOPDT. CS-FOPDT. CS-SOPDT. o. SSE. o. SSE. CS-SOPC a. 0.0842 0.0230 0.1557 0.0949 0.0060 0.0719 0.0124 0.4481. 1.10% 0.57% 1.77% 1.78% 0.49% 2.20% 1.25%. 0.0003 0.0006 0.0025 0.0002 0.0009 0.0000 0.0000 0.0044. 0.06% 0.09% 0.22% 0.09% 0.18% 0.00% 0.00%. 0.6041 0.6768 0.8525 0.3607 0.4308 0.0016 0.0152 2.9417. 2.94% 3.11% 4.13% 3.47% 4.16% 0.32% 1.39%. NS4 SSE. NS4. CS-FOPDT. CS-FOPDT. CS-SOPDT. o. SSE. a. SSE. a. 0.0456 0.0304 0.0071 0.0763 0.0434 0.0300 0.0278 0.0444 0.0068 0.0044 0.0305 0.0438 0.3905. 0.80% 0.65% 0.37% 1.55% 0.76% 0.63% 1.02% 0.76% 0.35% 0.51% 0.63% 0.74%. 0.1906 0.2485 0.2948 0.1020 0.1791 0.2233 0.1304 0.1739 0.2922 0.0022 0.2394 0.1776 2.2540. 1.63% 1.86% 2.38% 1.79% 1.55% 1.73% 2.20% 1.49% 2.31% 0.36% 1.75% 1.49%. 0.1680 0.2277 0.2904 0.0815 0.1592 0.2043 0.1236 0.1591 0.2515 0.0068 0.2186 0.1480 2.0387. 1.53% 1.78% 2.37% 1.60% 1.46% 1.65% 2.14% 1.43% 2.14% 0.64% 1.68% 1.36%. CS-SOPC. Tabla 2.1. Procesos de primer orden (G: tiempo muerto, T TI T2: constantes de tiempo, PO: primer orden, SO: segundo orden, 6/T: tiempo muerto entre constante de tiempo, SSE: suma de los errores al cuadrado, o: % de la desviación estándar del error, CS. Control Station)..

(21) Proceso 0. Ti. 0 100 0 100 0 100 0 100 0 100 0 100 0 100 Total. NS4 T2. 100 80 60 40 30 20 10. T,. 20 100 20 100 20 100 20 100 20 100 20 100 20 100 Total. T2. ti. T2. 100 80 60 40 30 20 10. 103.6 103.1 104.1 102.9 85.3 105.2 105.3. 103.1 67.6 49.0 20.2 39.6 0.0 0.0. Ti. 50 100 50 100 50 100 50 100 50 100 50 100 50 100 Total. T2. Ti. T2. 100 80 60 40 30 20 10. 103.6 103.1 104.1 102.9 85.3 105.2 105.3. 103,1 67.6 49.0 20.2 39.6 0.0 0.0. T. 164.4 144.6 131.7 114.6 109.5 104.3 100.0. e 39.7 36.6 29.1 23.5 17.2 11.7 4.1. CS-SOPDT. T. 165.0 146.0 130.9 114.7 109.6 104.0 99.9. 9. 59.5 56.2 49.2 43.0 37.0 31.4 24.2. 109.9 101.8 95.5 96.2 93.2 94.2 98.6. 42.7 59.8 60.5 69.6 55.3 67.6 55.6. T. 165.6 145.2 131.2 114.7 109.5 105.5 99.9. 0. 89.4 86.4 79.2 73.0 67.1 59.9 54.1. 84.8 72.5 60.0 39.2 28.8 18.2 5.0. 0. 0.0 0.0 0.0 0.0 1.9 1.5 0.3. CS-SOPDT Ti. Ti. 98.2 94.9 90.8 94.3 95.7 94.3 97.5. CS-FOPDT 0. T¡. T.. CS-FOPDT. e 12.7 29.8 30.5 39.6 25.3 37.6 25.6. NS4. Proceso 6. T¡. NS4. Proceso 9. CS-FOPDT. e 103.6 103.1 0.0 9.8 103.1 67.6 104.1 49.0 10.5 102.9 20.2 19.6 85.3 39.6 5.3 105.2 0.0 17.6 105.3 0.0 5.6 Ti. e. 98.2 17.9 80.5 18.5 65.8 17.0 42.2 17.2 30.0 18.1 18.1 21.5 7.7 18.7. CS-SOPDT Ti. 98.3 93.7 91.0 94.3 95.7 94.3 97.5. T;. 98.3 81.6 65.7 42.2 30.0 18.1 7.7. 0. 47.9 48.4 47.1 47.2 48.0 51.4 48.5. NS4 SSE. NS4. CS-FOPDT SSE. CS-FOPDT. CS-SOPDT SSE. CS-SOPDT. 0.0844 0.0404 0.0759 0.1409 0.1461 0.0695 0.0434 0.6006. 0.97% 0.67% 0.97% 1.33% 1.35% 1.00% 0.79%. 0.4151 0.3522 0.3019 0.1829 0.1641 0.1110 0.1346 1.6618. 2.15% 1.98% 1.94% 1.51% 1.43% 1.26% 1.39%. 0.0619 0.0779 0.0439 0.0545 0.0930 0.0964 0.1477 0.5751. 0.83% 0.93% 0.74% 0.83% 1.08% 1.17% 1.45%. NS4 SSE. NS4 o. CS-FOPDT. CS-FOPDT. CS-SOPDT. CS-SOPDT. SSE. a. SSE. 0.0318 0.0514 0.0738 0.1487 0.1426 0.0449 0.0337 0.5268. o. 0.59% 0.75% 0.95% 1.35% 1.32% 0.79% 0.68%. 0.4278 0.3704 0.3328 0.2336 0.2046 0.1575 0.1548 1.8815. 2.16% 2.01% 2.02% 1.69% 1.58% 1.48% 1.47%. 0.0654 0.0782 0.0876 0.0955 0.1005 0.0976 0.1292 0.6541. 0.84% 0.92% 1.03% 1.08% 1.11% 1.17% 1.34%. NS4 SSE. NS4. CS-FOPDT SSE. CS-FOPDT. CS-SOPDT SSE. CS-SOPDT. 0.0333 0.0513 0.0731 0.1491 0.1425 0.0439 0.0320 0.5252. 0.59% 0.74% 0.93% 1.33% 1.30% 0.77% 0.65%. 0.4302 0.3802 0.3302 0.2325 0.2047 0.1974 0.1624 1.9376. 2.13% 2.00% 1.97% 1.65% 1.55% 1.62% 1.47%. 0.0600 0.0817 0.0789 0.0917 0.1018 0.1017 0.1298 0.6455. 0.79% 0.93% 0.96% 1.04% 1.10% 1.17% 1.32%. a. o. o. o. o. a. Tabla 2.2. Procesos de segundo orden con tiempos muertos moderados (6: tiempo muerto, x ii X2: constantes de tiempo, PO: primer orden, SO: segundo orden, SSE: suma de los errores al cuadrado, o: % de la desviación estándar del error, CS: Control Station).. f •?.

(22) NS4. ProcesoI 0. T,. 60 100 60 100 60 100 60 100 60 100 60 100 60 100 Total. 100 80 60 40 30 20 10. 103.6 103.1 104.1 102.9 85.3 105.2 105.3. T2. Ti. t.. 80 100 80 100 80 100 80 100 80 100 80 100 80 100 Total. 100 80 60 40 30 20 10. 103.6 103.1 104.1 102.9 85.3 105.2 105.3. T2. Ti. TI. 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 Total. 52.7 69.8 70.5 79.6 65.3 77.6 65.6. Ti. 103.1 67.6 49.0 20.2 39.6 0.0 0.0. 100 80 60 40 30 20 10. 103.6 103.1 104.1 102.9 85.3 105.2 105.3. Ti. 103.1 67.6 49.0 20.2 39.6 0.0 0.0. T. 165.1 143.9 130.8 115.1 109.4 103.8 99.9. 9. 99.5 96.7 89.3 82.9 77.0 71.3 64.3. CS-SOPDT Ti. 72.7 89.8 90.5 99.6 85.3 97.6 85.6. T. 9. 165.4 146.0 132.3 114.7 109.5 103.8 99.9. 119.3 116.2 108.9 102.9 97.1 91.3 84.0. T. 9. 92.7 109.8 110.5 119.6 105.3 117.6 105.6. 161.5 145.1 128.2 114.7 109.8 103.9 99.9. 142.3 136.4 131.9 122.9 116.9 111.2 104.0. 98.2 83.8 65.9 42.0 30.0 18.3. 58.0 58.8 57.1 57.2 58.0 61.3 7.7 58.8. CS-SOPDT Ti. 9. T2. 98.3 94.9 91.6 94.3 93.3 94.2 97.6. 98.3 80.5 65.1 42.2 28.7 18.2 7.7. 77.9 78.5 77.1 77.2 81.8 81.4 78.5. es5-SOPDT. CS-FOPDT 9. 9. T2. 98.2 91.5 90.8 94.4 95.7 94.2 97.5. CS-FOPDT 0. NS4. Procesei 0. 103.1 67.6 49.0 20.2 39.6 0.0 0.0. NS4. Procese 9. CS-FOPDT 0. Ti. Ti. 98.2 93.7 90.9 94.3 95.8 94.3 97.6. T2. 98.2 81.7 65.7 42.2 30.0 18.2 7.6. 9. 98.0 98.4 97.2 97.2 98.0 101.2 98.5. NS4 SSE. NS4. CS-FOPDT SSE. CS-FOPDT. CS-SOPDT SSE. CS-SOPDT. 0.0329 0.0513 0.0726 0.1519 0.1427 0.0435 0.0321 0.5270. 0.59% 0.73% 0.92% 1.33% 1.29% 0.76% 0.65%. 0.4288 0.3896 0.3306 0.2219 0.2053 0.1742 0.1502 1.9006. 2.11% 2.02% 1.96% 1.61% 1.55% 1.51% 1.41%. 0.0620 0.0700 0.0796 0.0964 0.1021 0.1017 0.1158 0.6276. 0.80% 0.85% 0.96% 1.06% 1.09% 1.16% 1.24%. NS4 SSE. NS4. CS-FOPDT SSE. CS-FOPDT. CS-SOPDT SSE. CS-SOPDT. 0.0332 0.0514 0.0729 0.1506 0.1407 0.0441 0.0329 0.5258. 0.58% 0.72% 0.91% 1.31% 1.27% 0.75% 0.65%. 0.4328 0.3731 0.3218 0.2302 0.1976 0.1732 0.1658 1.8945. 2.10% 1.95% 1.91% 1.62% 1.50% 1.49% 1.46%. 0.0597 0.0772 0.0796 0.0910 0.0997 0.1014 0.1262 0.6348. 0.78% 0.89% 0.95% 1.02% 1.07% 1.14% 1.27%. NS4 SSE. NS4. CS-FOPDT SSE. CS-FOPDT. CS-SOPDT SSE. CS-SOPDT. 0.0332 0.0516 0.0733 0.1523 0.1421 0.0442 0.0329 0.5295. 0.58% 0.72% 0.90% 1.30% 1.26% 0.74% 0.64%. 0.3901 0.3770 0.2906 0.2286 0.1962 0.1764 0.1686 1.8275. 1.98% 1.94% 1.80% 1.59% 1.48% 1.49% 1.45%. 0.0617 0.0787 0.0786 0.0916 0.0981 0.1046 0.1300 0.6433. 0.79% 0.89% 0.93% 1.01% 1.04% 1.14% 1.28%. o. o. o. o. o. o. o. o. o. Tabla 2.3. Procesos de segundo orden con tiempos muertos altos (9: tiempo muerto, x TI X2: constantes de tiempo, PO: primer orden, SO: segundo orden, SSE: suma de los errores al cuadrado, o: % de la desviación estándar del error, CS: Control Station).. f.

(23) NS4. Proceso. 9. Ti. 0 100 0 100 0 100 0 100 0 100 0 100 Total. T2. Tj. Ti. 100 100 100 80 80 80. 100 60 40 80 60. 128.6 125.7 117.7 131.9 104.9 97.1. Ti. T3. Ti. 100 100 100 80 80 80. 100 60 40 80 60 40. 128.6 125.7 117.7 131.9 104.9 97.1. T¡. T3. T|. 100 100 100 80 80 80. 100 60 40 80 60 40. 128.6 125.7 117.7 131.9 104.9 97.1. 40. Ti. 50 100 50 100 50 100 50 100 50 100 50 100 Total. 51.6 49.6 33.2 62.7 35.5 32.2. Ti. 80 100 80 100 80 100 80 100 80 100 80 100 Total. 128.6 89.0 91.8 70.3 104.9 97.1. n 128.6 89.0 91.8 70.3 104.9 97.1. CS-FOPDT T e. 208.0 180.6 171.3 180.5 166.9 156.0. 104.4 86.6 74.9 88.1 79.1 68.0. CS-SOPDT Ti. T2. 126.6 110.2 104.6 109.6 101.3 94.9. 126.6 110.2 104.6 109.6 101.3 94.9. CS-FOPDT T. 9. Ti. T;. 101.6 99.6 83.2 112.7 85.5 82.2. 205.1 178.5 170.3 180.4 167.9 155.1. 155.0 137.1 125.1 137.9 128.8 118.1. 126.1 109.9 104.4 109.6 101.5 94.8. 126.1 109.9 104.4 109.6 101.5 94.8. CS-FOPDT. e 131.6 129.6 113.2 142.7 115.5 112.2. NS4 SSE. NS4. 46.3 36.9 27.4 39.1 34.8 26.2. 0.1263 0.0769 0.0245 0.1979 0.0874 0.1135 0.6265. e 96.7 87.2 77.5 89.0 84.7 76.2. 9. CS-SOPDT. 0. NS4. Proceso. e. 128.6 89.0 91.8 70.3 104.9 97.1. NS4. Proceso. 6. e. CS-SOPDT. T. 0. Ti. T2. 209.6 183.1 170.9 179.9 168.8 155.7. 184.0 168.0 155.0 168.0 158.6 148.0. 126.8 110.6 104.5 109.5 101.6 94.9. 126.8 110.6 104.5 109.5 101.6 94.9. e 126.0 116.6 107.4 119.0 114.5 106.1. CS-FOPDT SSE. CS-FOPDT. CS-SOPDT SSE. CS-SOPDT. 1.03% 0.88% 0.50% 1.41% 0.94% 1.12%. 0.8207 0.6668 0.5506 0.7206 0.6548 0.5489 3.9624. 2.62% 2.58% 2.35% 2.69% 2.56% 2.47%. 0.0878 0.0772 0.0551 0.0864 0.0786 0.0644 0.4494. 0.86% 0.88% 0.74% 0.93% 0.89% 0.85%. NS4. NS4. SSE. o. CS-FOPDT. CS-FOPDT. CS-SOPDT. CS-SOPDT. SSE. o. SSE. 0.1064 0.0971 0.0255 0.2417 0.0538 0.0720 0.5964. o. 0.92% 0.96% 0.49% 1.52% 0.72% 0.87%. 0.8317 0.6971 0.5736 0.7424 0.6687 0.5772 4.0907. 2.58% 2.58% 2.34% 2.66% 2.52% 2.47%. 0.1048 0.0955 0.0732 0.0984 0.0821 0.0862 0.5402. 0.92% 0.95% 0.84% 0.97% 0.88% 0.95%. CS-FOPDT SSE. CS-FOPDT. CS-SOPDT. CS-SOPDT. <j. SSE. a. 0.8512 0.6648 0.5683 0.7471 0.6672 0.5707 4.0693. 2.58% 2.48% 2.29% 2.63% 2.49% 2.41%. 0.0980 0.0835 0.0713 0.1025 0.0846 0.0834 0.5234. 0.88% 0.88% 0.81% 0.97% 0.89% 0.92%. o. NS4. NS4. SSE. a. 0.1068 0.0961 0.0268 0.2392 0.0550 0.0728 0.5966. 0.91% 0.94% 0.50% 1.49% 0.71% 0.86%. o. o. Tabla 2.4. Procesos de tercer orden (6: tiempo muerto, T T¡ T2 T3. constantes de tiempo, PO: primer orden, SO: segundo orden, SSE: suma de los errores al cuadrado, o: % de la desviación estándar del error, CS: Control Station)..

(24) NS4. Proceso 0. ti. t¡. t3. t4. 0 100 100 100 100 0 100 100 80 80 0 100 100 80 40 Total. Ti. t;. tj. e. X,. 50 100 100 100 100 50 100 100 80 80 50 100 100 80 40 Total. 153.1 153.1 157.4 136.8 136.8 146.5 124.5 124.5 127.4. 9. ti. t2. t,. t,. 80 100 100 100 100 80 100 100 80 80 80 100 100 80 40 Total. ti. t¡. e. 252.7 167.5 215.5 156.7 194.6 132.8. NS4. NS4. SSE. a. 142.7 142.7 116.1 127.8 127.8 103.7 113.5 113.5 89.4. 0.2470 0.2232 0.1188 0.5890. 1.33% 1.36% 1.00%. CSSOPDT. NS4 SSE. Ti. t. e. 258.5 215.1 221.5 204.0 201.0 179.2. ti. 0. 153.1 153.1 187.4 136.8 136.8 176.5 124.5 124.5 157.4. t. 0. 260.4 244.2 235.7 223.0 202.5 208.0. T2. t2. 9. e. CS-FOPDT CS-FOPDT CSSOPDT SSE SSE o 0.2029 1.3950 3.16% 0.2094 3.02% 1.0950 2.75% 0.2116 0.9059 3.3959 0.6239. CSSOPDT. NS4 o 1.31% 1.31% 0.94%. CS-FOPDT SSE. CS-FOPDT. CSSOPDT SSE. CSSOPDT. 1.4850 1.1390 0.9483 3.5723. 3.20% 3.02% 2.76%. 0.2043 0.1910 0.1545 0.5498. 1.19% 1.24% 1.11%. CS-FOPDT. CS-FOPDT. CSSOPDT. CSSOPDT. 149.6 149.6 154.8 133.0 133.0 145.6 121.0 121.0 126.9. 0.2476 0.2128 0.1099 0.5703. CSSOPDT. NS4 SSE. NS4. 0.2466 0.2148 0.1108 0.5722. 1.29% 1.30% 0.93%. CS-FOPDT. NS4. Proceso. i. CS-FOPDT. NS4 T,. CSSOPDT. CS-FOPDT 8. 153.1 153.1 107.4 136.8 136.8 96.5 124.5 124.5 77.4. Proceso 0. ti. ti. t¡. 0. 150.0 150.0 184.3 133.2 133.2 175.2. 121.3 121.3 156.3. O. o. o. 1.20% 1.32% 1.33%. SSE. 1.5250 1.4100 0.9710 3.9060. 3.21% 3.32% 2.76%. 0.2054 0.1915 0.1563 0.5532. 1.18% 1.22% 1.11%. I Kj. Tabla 2.5. Procesos de cuarto orden (9: tiempo muerto, T TI i2 T314 constantes de tiempo, PO: primer orden, SO: segundo orden, SSE: suma de los errores al cuadrado, a: % de la desviación estándar del error, CS: Control Station)..

(25) Identificación de procesos. 2.3 Análisis de resultados. A continuación se muestra un conjunto de gráficas que presentan las frecuencias de incidencia de las desviaciones estándar del error de los modelos NS4, CS-FOPDT y CS-SOPDT del porcentaje de los errores de los modelos NS4, CS-PO y CS-SO.. NS4. CS-FOPDT. CS-SOPDT. Figura 2.6. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de primer orden sin tiempo muerto.. 2-15.

(26) Identificación de procesos. NS4. CS-FOPDT. < 3%. CS-SOPDT. < 4%. Desviación Estándar del Error. Figura 2.7. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de primer orden con tiempo muerto.. NS4. CS-FOPDT. CS-SOPDT. 3 4. < 3%. < 4%. Desviación Estándar del Error. Figura 2.8. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de segundo orden sin tiempo muerto. 2-16.

(27) Identificación de procesos. NS4. CS-FOPDT. CS-SOPDT. Desviación Estándar del Error. Figura 2.9. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de segundo orden con tiempo muerto = 20.. NS4. CS-FOPDT. CS-SOPDT. Desviación Estándar del Error. Figura 2.10. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de segundo orden con tiempo muerto = 50 2-17.

(28) Identificación de procesos. CS-FOPDT. CS-SOPDT. Figura 2.11. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de segundo orden con tiempo muerto = 60.. NS4. CS-FOPDT. CS-SOPDT. Figura 2.12. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de segundo orden con tiempo muerto = 80. 2-18.

(29) Identificación de procesos. CS-FOPDT. CS-SOPDT. 5 4. < 1%. Figura 2.13. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de segundo orden con tiempo muerto =100.. NS4. CS-FOPDT. CS-SOPDT. Desviación Estándar del Error. Figura 2.14. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de tercer orden sin tiempo muerto. 2-19.

(30) Identificación de procesos. NS4. CS-FOPDT. CS-SOPDT. Desviación Estándar del Error. Figura 2.15. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de tercer orden con tiempo muerto = 50.. NS4. CS-FOPDT. CS-SOPDT. < 3% Desviación Estándar del Error. Figura 2.16. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de tercer orden con tiempo muerto = 80. 2-20.

(31) Identificación de procesos. < 1%. <2%. < 3%. < 4%. Desviación Estándar del Error. Figura 2.17. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de cuarto orden sin tiempo muerto.. CS-FOPDT. CS-SOPDT. < 1% Desviación Estándar del Error. Figura 2.18. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de cuarto orden con tiempo muerto = 50. 2-21.

(32) Identificación de procesos. NS4. CS-FOPDT. CS-SOPDT. 5 2. < 1%. < 2%. < 3%. < 4%. Desviación Estándar del Error. Figura 2.19. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de cuarto orden con tiempo muerto = 80. 120.00%. 100.00%. 80.00%. 60.00%. 40 00%. 20.00%. 0.00% < 1% Desviación Estándar del Error. Figura 2.20. Comparación de las desviaciones estándar de todos los procesos (frecuencia de 100% = 88 incidencias). 7.7 ">.

(33) Identificación de procesos. Del análisis de las gráficas anteriores se puede observar que: 1. Con procesos de primer orden sin tiempo muerto (figura 2.6) CS-FOPDT en todos los casos produce resultados con desviaciones estándar del error menores a 1 %. En un 86 % (6 de 7) de los casos NS4 da desviaciones menores a 2 % y en un 28 % (2 de 7) menores a 1 %. En estos casos CS-FOPDT siempre es el mejor modelo, seguido por NS4 y al final CS-SOPDT.. 2. Con procesos de primer orden con tiempo muerto (figura 2.7), en todos los casos NS4 produce desviaciones menores a 2 %. En un 83 % (10 de 12) de los casos las desviaciones son menores a 1 %. En todas las incidencias para este tipo de procesos NS4 es mejor que CS-FOPDT y CS-SOPDT.. 3. Con procesos de segundo orden sin tiempo muerto (figura 2.8), en todos los casos NS4 y CS-SOPDT producen desviaciones estándar del error menores a 2 %. En 57 % (4 de 7) de los casos los dos modelos antes mencionados tienen desviaciones estándar del error menores a 1 %.. 4. Con procesos de segundo orden con tiempo muerto (figuras 2.9 a 2.13), en todos los casos NS4 produce valores de o menores a 2 %. En 71 % (25 de 35) de los casos NS4 produce desviaciones menores a 1 %. En todos estos casos NS4 es mejor que CS-FOPDT y CS-SOPDT.. 5. Con procesos de tercer orden sin tiempo muerto (figura 2.14), en todos los casos NS4 produce valores de desviación menores a 2 %. En 50 % (3 de 6) de los casos NS4 arroja a menores a 1 %. En estos procesos el CS-SOPDT tiene menores desviaciones que NS4 y CS-FOPDT.. 6. Con procesos de tercer orden con tiempo muerto (figuras 2.15 y 2.16) , en todos los casos NS4 produce valores de desviación menores a 2 %. En 83 % (5 de 6) de. 2-23.

(34) Identificación de procesos. los casos NS4 arroja a menores a 1 %. En todas las incidencias CS-SOPDT tiene menores desviaciones que NS4 y CS-FOPDT.. 7. Con procesos de cuarto orden sin y con tiempo muerto (figura 2.17 a 2.19), en todos los casos NS4 produce valores de desviación menores a 2 % y en los procesos que tienen tiempo muerto (figura 2.18 y 2.19) tenemos desviaciones menores a 1 % en 33 % de los casos (1 de 3).. 8. Globalmente (figura 2.20) en todos los casos NS4 produce resultados de desviación estándar del error menores a 3 %. En un 99 % (81 de 88) los valores son menores a 2 % y en un 64 % (56 de 88) las desviación son menores a 1 %. El desempeño de NS4 es globalmente mejor que CS-FOPDT y CS-SOPDT.. 2-24.

(35) Aproximación del tiempo muerto. CAPÍTULO 3. APROXIMACIÓN DEL TIEMPO MUERTO. Una vez obtenido un método sencillo para obtener un buen modelo de segundo orden, es necesario aproximar el tiempo muerto de tal manera que no genere inestabilidades o expresiones impropias al ser usado para control.. 3.1 Selección de la aproximación del tiempo muerto. La figura 3.1 muestra el comportamiento de la aproximación de Padé de primer orden (ecuación 1.7) con respecto al tiempo muerto, utilizando un valor de 20 unidades de tiempo. La sumatoria de los errores al cuadrado (SSE) de esta aproximación es de 5.643.. Figura 3.1. Aproximación de Padé de Primer Orden, con un tiempo muerto de 20.. La figura 3.2 muestra la aproximación de Padé de segundo orden (ecuación 1.8), con el mismo tiempo muerto de 20 unidades de tiempo. La aproximación tiene una SSE de 3.5.. 3-1.

(36) Aproximación del tiempo muerto. 1.2. 0.8. 0.6. 0.4. i. I ; /! i ../...i -. i. i. i. i. i. V. 0.2 -. :. i. ':. 70. 80. 90. -. i. -0.2 -. •0.8. -. I. 10. 20. 30. i. •0.G. i. -0.4 -. i. I. 40. 50. 60. 100. Figura 3.2. Aproximación de Padé de Segundo Orden, con un tiempo muerto de 20.. Como se comentó anteriormente, estas aproximaciones son muy utilizadas al emular el tiempo muerto, sin embargo, los ceros de estas aproximaciones generan inestabilidades al invertirse la expresión. Otra forma de aproximar el tiempo muerto es mediante un retraso de primer orden, como se muestra en la ecuación 3.1.. (3.1). La sumatoria de los errores al cuadrado del retraso de primer orden es de 4.842, ligeramente menor a la de la aproximación de Padé de primer orden pero mayor que la de segundo orden. La figura 3.3 muestra el comportamiento del retraso de primer orden.. 3-2.

(37) Aproximación del tiempo muerto. \: \:. y. 07 -. -. •. /. -. \ ::. :. :. :. i. :. •. 1. i. !. i. \. \. \. ;. ;. 0:5 -. -1. 1. - '•••••/•. •. ". /. \. !. ". '. ; \. i. 7 /. i. 30. Figura 3.3. Retraso de primer orden, con un tiempo muerto de 20.. Si el tiempo muerto se aproxima como dos retrasos seguidos de la mitad del tiempo cada uno, el resultado es la ecuación 3.2, la cual tiene una sumatoria de los errores al cuadrado de 3.341. Esta aproximación mejora todas las anteriores (figura 3.4).. 1. (3.2). 3-3.

(38) Aproximación del tiempo muerto. 1. 0.9 -•. 0.8 -. 06. -f -•. i. 0A. i. 0.5. i. /. 0.7 -. -7 !1I. i. 0.3 -. i. 0.2 -. 0.1 -. 0. 10. 2. i. 0. 3. 0. 4. 0. 5. 0. 6. j. 0. 7. 0. 8. 0. 90. 100. Figura 3.4. Aproximación Segundo Orden, con un tiempo muerto de 20.. Las anteriores dos aproximaciones pueden generalizarse como se indica en la ecuación 3.3, lo cual produce una cada vez mejor aproximación del tiempo muerto. En la figura 3.5 se muestra esta serie de aproximaciones.. (3.3). T n. 3-4.

(39) Aproximación del tiempo muerto. Figura 3.5. Serie de aproximaciones del tiempo muerto.(n=3 SSE=2.684, n=4 SSE=2.243, n=5 SSE=2.033) Como puede observarse, valores de n mayores a 3 no aportan beneficios adicionales significativos, n = 2 es el valor más pequeño que mejora las aproximaciones comúnmente usadas (Padé Segundo Orden) y es el valor que se usa en esta tesis. De esta manera se puede obtener un modelo de fase mínima para procesos con tiempo muerto como se muestra en la ecuación 3.4, donde G representa el modelo de fase mínima del proceso sin tiempo muerto.. < 34 >. <fr = G - i -. Si G se aproxima a un modelo de dos x'sy una K, el modelo se reduce a como se muestra en la ecuación 3.5. _K. (3-5) -s)2 2. 3-5.

(40) Aproximación del tiempo muerto. A este modelo se le denomina en esta tesis como NS4-2 (Narváez-Sánchez-4 puntos de lectura retraso de orden 2) y es el que se utilizará más adelante.. 3.2 Evaluación del modelo NS4-2 Para evaluar la aproximación del tiempo muerto se utilizaron los mismos procesos del capitulo anterior. A continuación se muestran las tablas de comparación entre los algoritmos de identificación NS4, NS4-2, CS-FOPDT y CS-SOPDT. Se puede observar en las tablas 3.1 a 3.5 que los procesos con una relación de 9 lx\ menor a 0.6, tienen buenos resultados en la sumatoria de los errores al cuadrado, por 10 que la aproximación del tiempo muerto puede ser usada por 9 lx\ menor o igual a 0.6.. Para mayor claridad en la lectura de las tablas, a continuación se presentan las estructuras de los modelos:. CS-FOPDT. Ke-<*. rs NS4 y CS-SOPDT (r,5 + NS4-2. K. 3-6.

(41) Proceso. e. CS-FOPDT. NS4 t¡. X. 0 100 0 80 0 60 0 40 0 30 0 20 0 10 Total. 104.4 81.7 60.1 42.9 30.1 20.1 10.4. NS4. Proceso. e X 20 100 20 80 20 60 20 40 50 100 50 80 20 30 80 100 50 60 20 20 80 80 100 100 Total. 0.0 0.0 3.7 0.0 0.0 1.4 0.0. e 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0. 8/1. X|. 0.2 0.3 0.3 0.5 0.5 0.6 0.7 0.8 0.8 1.0 1.0 1.0. 104.4 81.7 60.1 42.9 104.4 81.7 30.1 104.4 60.1 20.1 81.7 104.4. ti. 0.0 0.0 3.7 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 3.7 1.4 0.0 0.0. t. 99.7 79.6 60.7 40.2 30.3 20.0 10.0. e 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0. CS-SOPDT. 76.8 57.7 37.5 28.9 18.7 19.6 9.0. CS-FOPDT. e 15.7 17.1 15.5 16.4 45.7 47.1 18.7 75.7 45.5 18.2 77.1 95.7. X. 98.9 78.5 58.7 39.6 98.9 78.5 29.5 98.8 58.7 20.0 78.5 93.8. e 14.6 14.8 14.8 17.4 44.6 44.8 17.5 74.7 44.8 19.7 74.7 94.6. x¡. ti. 15.0 15.0 15.0. 7.5 7.5 0.1 0.1. e 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.6. CS-SOPDT X]. 98.2 77.8 58.4 39.2 98.2 77.8 29.3 98.2 58.4 19.9 78.1 98.2. t2. 4.3 4.3 3.0 2.5 4.3 4.3 1.5 4.3 4.3 0.1 3.8 5.0. 0. 11.1 11.0 12.1 15.3 41.1 41.2 16.1 71.1 41.1 19.4 71.5 90.6. NS4 SSE. NS4. NS4-2. o. SSE. NS4-2 o. CS-FOPDT. CS-FOPDT. CS-SOPDT. SSE. 0. SSE. 0.0842 0.0230 0.1557 0.0949 0.0060 0.0719 0.0124 0.4481. 1.10% 0.57% 1.77% 1.78% 0.49% 2.20% 1.25%. NS4 SSE. 0.0456 0.0304 0.0071 0.0763 0.0434 0.0300 0.0278 0.0444 0.0068 0.0044 0.0305 0.0438 0.3905. CS-SOPDT. 0.0842 0.0230 0.1557 0.0949 0.0060 0.0719 0.0124 0.4481. 1.10% 0.57% 1.77% 1.78% 0.49% 2.20% 1.25%. 0.0003 0.0006 0.0025 0.0002 0.0009 0.0000 0.0000 0.0044. 0.06% 0.09% 0.22% 0.09% 0.18% 0.00% 0.00%. 0.6041 0.6768 0.8525 0.3607 0.4308 0.0016 0.0152 2.9417. 2.94% 3.11% 4.13% 3.47% 4.16% 0.32% 1.39%. NS4. NS4-2. NS4-2. CS-FOPDT. CS-FOPDT. CS-SOPDT. CS-SOPDT. 0. SSE. 0. SSE. 0. SSE. o. 0.80% 0.65% 0.37% 1.55% 0.76% 0.63% 1.02% 0.76% 0.35% 0.51% 0.63% 0.74%. 0.0680 0.0654 0.0443 0.1840 0.3654 0.4667 0.2063 1.1150 0.5785 0.3046 1.4580 1.8550 6.7112. 0.97% 0.95% 0.92% 2.40% 2.21% 2.50% 2.77% 3.78% 3.25% 4.25% 4.33% 4.82%. 0.1906 0.2485 0.2948 0.1020 0.1791 0.2233 0.1304 0.1739 0.2922 0.0022 0.2394 0.1776 2.2540. 1.63% 1.86% 2.38% 1.79% 1.55% 1.73% 2.20% 1.49% 2.31% 0.36% 1.75% 1.49%. 0.1680 0.2277 0.2904 0.0815 0.1592 0.2043 0.1236 0.1591 0.2515 0.0068 0.2186 0.1480 2.0387. 1.53% 1.78% 2.37% 1.60% 1.46% 1.65% 2.14% 1.43% 2.14% 0.64% 1.68% 1.36%. 0. Tabla 3.1. Procesos de primer orden (9: tiempo muerto, T TI T2: constantes de tiempo, PO: primer orden, SO: segundo orden, 9/T: tiempo muerto entre constante de tiempo, SSE: suma de los errores al cuadrado, o: % de la desviación estándar del error, CS: Control Station)..

(42) Proceso. e. t,. 0 100 0 100 0 100 0 100 0 100 0 100 0 100 Total. NS4 ti. 100 80 60 40 30 20 10. ti. t¡. 103.6 103.1 104.1 102.9 85.3 105.2 105.3. 103.1 67.6 49.0 20.2 39.6 0.0 0.0. NS4. Proceso 9. t,. 20 100 20 100 20 100 20 100 20 100 20 100 20 100 Total. t¡. tj. 100 80 60 40 30 20 10. 103.6 103.1 104.1 102.9 85.3 105.2 106.3. t,. 50 100 50 100 50 100 50 100 50 100 50 100 50 100 Total. 103.1 67.6 49.0 20.2 39.6 0.0 0.0. t2. ti. 100 80 60 40 30 20 10. 103.6 103.1 104.1 102.9 85.3 105.2 105.3. 103.1 67.6 49.0 20.2 39.6 0.0 0.0. CS-FOPDT i 8. 164.4 144.6 131.7 114.6 109.5 104.3 100.0. 39.7 36.6 29.1 23.5 17.2 11.7 4.1. CS-SOPDT. 12.7 29.8 30.5 39.6 25.3 37.6 25.6. 0. 42.7 59.8 60.5 69.6 55.3 67.6 55.6. T. 165.0 146.0 130.9 114.7 109.6 104.0 99.9. e 59.5 56.2 49.2 43.0 37.0 31.4 24.2. CS-FOPDT T 0. 165.6 145.2 131.2 114.7 109.5 105.5 99.9. 89.4 86.4 79.2 73.0 67.1 59.9 54.1. t¡. ti. 109.9 101.8 95.5 96.2 93.2 94.2 98.6. CS-FOPDT 0. NS4. Proceso 0. e 0.0 9.8 10.5 19.6 5.3 17.6 5.6. 84.8 72.5 60.0 39.2 28.8 18.2 5.0. e 0.0 0.0 0.0 0.0 1.9 1.5 0.3. CS-SOPDT ti. t¡. 98.2 94.9 90.8 94.3 95.7 94.3 97.5. 98.2 80.5 65.8 42.2 30.0 18.1 7.7. 0. 17.9 18.5 17.0 17.2 18.1 21.5 18.7. CS-SOPDT t,. 98.3 93.7 91.0 94.3 95.7 94.3 97.5. t¡. 98.3 81.6 65.7 42.2 30.0 18.1 7.7. 0. 47.9 43.4 47.1 47.2 48.0 51.4 43.5. NS4 SSE. NS4. NS4-2. NS4-2. 0. SSE. o. CS-FOPDT SSE. CS-FOPDT. CS-SOPDT. o. SSE. 0.0844 0.0404 0.0759 0.1409 0.1461 0.0695 0.0434 0.6006. 0.97% 0.67% 0.97% 1.33% 1.35% 1.00% 0.79%. 0.1312 0.0448 0.0790 0.1017 0.1440 0.0341 0.0317 0.5665. NS4 SSE. NS4 0. 0.0318 0.0514 0.0738 0.1437 0.1426 0.0449 0.0337 0.5268. o. 1.21% 0.71% 0.99% 1.13% 1.34% 0.70% 0.67%. 0.4151 0.3522 0.3019 0.1829 0.1641 0.1110 0.1346 1.6618. 2.15% 1.98% 1.94% 1.51% 1.43% 1.26% 1.39%. 0.0619 0.0779 0.0439 0.0545 0.0930 0.0964 0.1477 0.5751. 0.83% 0.93% 0.74% 0.83% 1.08% 1.17% 1.45%. NS4-2. NS4-2. CS-FOPDT. CS-FOPDT. CS-SOPDT. CS-SOPDT. SSE. o. SSE. 0. SSE. 0.59% 0.75% 0.95% 1.35% 1.32% 0.79% 0.68%. 0.0355 0.0248 0.0482 0.0303 0.1134 0.0712 0.0848 0.4086. 0.62% 0.52% 0.77% 0.61% 1.18% 0.99% 1.09%. 0.4278 0.3704 0.3328 0.2336 0.2046 0.1575 0.1548 1.8815. 2.16% 2.01% 2.02% 1.69% 1.58% 1.43% 1.47%. 0.0654 0.0782 0.0876 0.0955 0.1005 0.0976 0.1292 0.6541. 0.84% 0.92% 1.03% 1.08% 1.11% 1.17% 1.34%. NS4. NS4. CS-FOPDT SSE. CS-FOPDT. CS-SOPDT. CS-SOPDT. o. NS4-2 SSE. NS4-2. SSE. 0. SSE. a. 0.0333 0.0513 0.0731 0.1491 0.1425 0.0439 0.0320 0.5252. 0.59% 0.74% 0.93% 1.33% 1.30% 0.77% 0.65%. 0.1008 0.0466 0.1154 0.1735 0.1541 0.4999 0.4757 1.5660. 1.03% 0.70% 1.17% 1.43% 1.35% 2.58% 2.52%. 0.4302 0.3802 0.3302 0.2325 0.2047 0.1974 0.1624 1.9376. 2.13% 2.00% 1.97% 1.65% 1.55% 1.62% 1.47%. 0.0600 0.0817 0.0789 0.0917 0.1018 0.1017 0.1293 0.6455. 0.79% 0.93% 0.96% 1.04% 1.10% 1.17% 1.32%. o. CS-SOPDT. 0. Tabla 3.2. Procesos de segundo orden con tiempos muertos moderados (0: tiempo muerto, T TI 12: constantes de tiempo, PO: primer orden, SO: segundo orden, SSE: suma de los errores al cuadrado, o: % de la desviación estándar del error, CS: Control Station)..

(43) Proceso 6. t,. 60 100 60 100 60 100 60 100 60 100 60 100 60 100 Total. NS4 ti. 100 80 60 40 30 20 10. ti. 103.6 103.1 104.1 102.9 85.3 105.2 105.3. t¡. 80 100 100 80 100 80 80 100 60 80 100 40 80 100 30 80 100 20 80 100 10 Total. ti. 103.6 103.1 104.1 102.9 85.3 105.2 105.3. ProcesoI T,. 103.1 67.6 49.0 20.2 39.6 0.0 0.0. CS-FOPDT. e 52.7 69.8 70.5 79.6 65.3 77.6 65.6. NS4. Proceso. e. t2. ti. 103.1 67.6 49.0 20.2 39.6 0.0 0.0. 100 100 100 100 100 80 100 100 60 100 100 40 100 100 30 100 100 20 100 100 10 Total. ti. 103.6 103.1 104.1 102.9 85.3 105.2 105.3. e. 165.1 143.9 130.8 115.1 109.4 103.8 99.9. 99.5 96.7 89.3 82.9 77.0 71.3 64.3. CS-SOPDT ti. 72.7 89.8 90.5 99.6 85.3 97.6 85.6. t. e. 165.4 146.0 132.3 114.7 109.5 103.8 99.9. 119.3 116.2 108.9 102.9 97.1 91.3 84.0. 0. x. 0. 103.1 67.6 49.0 20.2 39.6 0.0 0.0. 92.7 109.8 110.5 119.6 105.3 117.6 105.6. 161.5 145.1 128.2 114.7 109.8 103.9 99.9. 142.3 136.4 131.9 122.9 116.9 111.2 104.0. 98.2 83.8 65.9 42.0 30.0 18.3 7.7. CS-SOPDT ti. 0. ti. 98.3 94.9 91.6 94.3 93.3 94.2 97.6. CS-FOPDT. ti. e 58.0 58.8 57.1 57.2 58.0 61.3 58.8. t2. 98.2 91.5 90.8 94.4 95.7 94.2 97.5. CS-FOPDT 0. NS4 ti. i. 98.3 80.5 65.1 42.2 28.7 18.2 7.7. 77.9 78.5 77.1 77.2 81.8 81.4 78.5. CS-SOPDT ti. 98.2 93.7 90.9 94.3 95.8 94.3 97.6. t¡. 98.2 81.7 65.7 42.2 30.0 18.2 7.6. NS4 SSE. NS4. NS4-2. NS4-2. CS-FOPDT. CS-FOPDT. CS-SOPDT. o. SSE. o. SSE. o. SSE. CS-SOPDT o. 0.0329 0.0513 0.0726 0.1519 0.1427 0.0435 0.0321 0.5270. 0.59% 0.73% 0.92% 1.33% 1.29% 0.76% 0.65%. 0.1163 0.0726 0.1575 0.2628 0.1931 0.6636 0.6329 2.0988. 1.10% 0.87% 1.35% 1.75% 1.50% 2.96% 2.89%. 0.4288 0.3896 0.3306 0.2219 0.2053 0.1742 0.1502 1.9006. 2.11% 2.02% 1.96% 1.61% 1.55% 1.51% 1.41%. 0.0620 0.0700 0.0796 0.0964 0.1021 0.1017 0.1158 0.6276. 0.80% 0.85% 0.96% 1.06% 1.09% 1.16% 1.24%. CS-SOPDT. NS4. NS4. NS4-2. NS4-2. CS-FOPDT. CS-FOPDT. CS-SOPDT. SSE. o. SSE. o. SSE. o. SSE. o. 0.0332 0.0514 0.0729 0.1506 0.1407 0.0441 0.0329 0.5258. 0.58% 0.72% 0.91% 1.31% 1.27% 0.75% 0.65%. 0.3235 0.2908 0.4740 0.7734 0.5414 1.4150 1.3360 5.1541. 1.82% 1.72% 2.32% 2.97% 2.48% 4.26% 4.14%. 0.4328 0.3731 0.3218 0.2302 0.1976 0.1732 0.1658 1.8945. 2.10% 1.95% 1.91% 1.62% 1.50% 1.49% 1.46%. 0.0597 0.0772 0.0796 0.0910 0.0997 0.1014 0.1262 0.6348. 0.78% 0.89% 0.95% 1.02% 1.07% 1.14% 1.27%. CS-SOPDT. NS4. NS4. NS4-2. NS4-2. CS-FOPDT. CS-FOPDT. CS-SOPDT. 0. SSE. o. SSE. a. SSE. o. SSE. o. 98.0 98.4 97.2 97.2 98.0 101.2 98.5. 0.0332 0.0516 0.0733 0.1523 0.1421 0.0442 0.0329 0.5295. 0.58% 0.72% 0.90% 1.30% 1.26% 0.74% 0.64%. 0.5978 0.6304 0.9238 1.4450 1.0540 2.2880 2.1790 9.1180. 2.45% 2.51% 3.21% 4.01% 3.42% 5.35% 5.22%. 0.3901 0.3770 0.2906 0.2286 0.1962 0.1764 0.1686 1.8275. 1.98% 1.94% 1.80% 1.59% 1.48% 1.49% 1.45%. 0.0617 0.0787 0.0786 0.0916 0.0981 0.1046 0.1300 0.6433. 0.79% 0.89% 0.93% 1.01% 1.04% 1.14% 1.28%. Tabla 3.3. Procesos de segundo orden con tiempos muertos altos (0: tiempo muerto, x ti T2: constantes de tiempo, PO: primer orden, SO: segundo orden, SSE: suma de los errores al cuadrado, o: % de la desviación estándar del error, CS: Control Station). Y».

(44) Proceso 9 t,. 0 0 0 0 0 0. 100 100 100 100 100 100. NS4 t¡. 100 100 100 80 80 80. ti. 100 60 40 80 60 40. ti. t¡. 128.6 125.7 117.7 131.9 104.9 97.1. 128.6 89.0 91.8 70.3 104.9 97.1. e 51.6 49.6 33.2 62.7 35.5 32.2. CS-FOPDT x 6. 208.0 180.6 171.3 180.5 166.9 156.0. 104.4 86.6 74.9 88.1 79.1 68.0. CS-SOPDT t,. 6. t¡. 126.6 110.2 104.6 109.6 101.3 94.9. 126.6 110.2 104.6 109.6 101.3 94.9. 46.3 36.9 27.4 39.1 34.8 26.2. Total. Proceso. e. 50 100 50 100 50 100 50 100 50 100 50 100 Total. t¡. 100 100 100 80 80 80. t!. 100 60 40 80 60 40. Z\. 128.6 125.7 117.7 131.9 104.9 97.1. t,. 80 100 80 100 80 100 80 100 80 100 80 100 Total. V". tj. 128.6 89.0 91.8 70.3 104.9 97.1. 8. 101.6 99.6 83.2 112.7 85.5 82.2. NS4. Proceso. e. CS-FOPDT. NS4. t,. ti. 100 100 100 80 80 80. ti. 100 60 40 80 60 40. t. 6. 205.1 155.0 178.5 137.1 170.3 125.1 180.4 137.9 167.9 128.8 155.1 118.1. CS-SOPDT t,. 126.1 109.9 104.4 109.6 101.5 94.8. CS-FOPDT. ti. ti. 6. z. 8. 128.6 125.7 117.7 131.9 104.9 97.1. 128.6 89.0 91.8 70.3 104.9 97.1. 131.6 129.6 113.2 142.7 115.5 112.2. 209.6 183.1 170.9 179.9 168.8 155.7. 184.0 168.0 155.0 168.0 158.6 148.0. e 96.7 87.2 77.5 89.0 84.7 76.2. t¡. 126.1 109.9 104.4 109.6 101.5 94.8. CS-SOPDT ti. 126.8 110.6 104.5 109.5 101.6 94.9. NS4 SSE. NS4. NS4-2 SSE. NS4-2. CS-FOPDT SSE. CS-FOPDT. CS-SOPDT. o. SSE. 0.1263 0.0769 0.0245 0.1979 0.0874 0.1135 0.6265. 1.03% 0.88% 0.50% 1.41% 0.94% 1.12%. 0.0951 0.1902 0.0110 0.0357 0.0562 0.0679 0.4562. o. 0.89% 1.38% 0.33% 0.60% 0.75% 0.87%. 0.8207 0.6668 0.5506 0.7206 0.6548 0.5489 3.9624. 2.62% 2.58% 2.35% 2.69% 2.56% 2.47%. 0.0878 0.0772 0.0551 0.0864 0.0786 0.0644 0.4494. 0.86% 0.88% 0.74% 0.93% 0.89% 0.85%. NS4 SSE. NS4 0. NS4-2. NS4-2. CS-FOPDT. CS-FOPDT. CS-SOPDT. CS-SOPDT. SSE. 0. SSE. 0. SSE. 0.1064 0.0971 0.0255 0.2417 0.0538 0.0720 0.5964. o. 0.92% 0.96% 0.49% 1.52% 0.72% 0.87%. 0.2338 0.1675 0.1557 0.1907 0.2123 0.2000 1.1600. 1.37% 1.26% 1.22% 1.35% 1.42% 1.45%. 0.8317 0.6971 0.5736 0.7424 0.6687 0.5772 4.0907. 2.58% 2.53% 2.34% 2.66% 2.52% 2.47%. 0.1048 0.0955 0.0732 0.0984 0.0821 0.0862 0.5402. 0.92% 0.95% 0.84% 0.97% 0.88% 0.95%. CS-SOPDT. 0. a. CS-SOPDT. NS4. NS4. NS4-2. NS4-2. CS-FOPDT. CS-FOPDT. CS-SOPDT. t¡. 8. SSE. 0. SSE. o. SSE. o. SSE. 0. 126.8 110.6 104.5 109.5 101.6 94.9. 126.0 116.6 107.4 119.0 114.5 106.1. 0.1068 0.0961 0.0268 0.2392 0.0550 0.0728 0.5966. 0.91% 0.94% 0.50% 1.49% 0.71% 0.86%. 0.5641 0.5661 0.5345 0.6600 0.6071 0.6032 3.5350. 2.10% 2.29% 2.23% 2.47% 2.37% 2.48%. 0.8512 0.6648 0.5683 0.7471 0.6672 0.5707 4.0693. 2.58% 2.48% 2.29% 2.63% 2.49% 2.41%. 0.0980 0.0835 0.0713 0.1025 0.0846 0.0834 0.5234. 0.88% 0.88% 0.81% 0.97% 0.89% 0.92%. Tabla 3.4. Procesos de tercer orden (0: tiempo muerto, x ii xi X3: constantes de tiempo, PO: primer orden, SO: segundo orden, SSE: suma de los errores al cuadrado, a: % de la desviación estándar del error, CS: Control Station)..

(45) Proceso G i,. NS4 t). t4. 0 100 100 100 100 0 100 100 80 80 0 100 100 80 40 Total Proceso 6 t,. e 153.1 153.1 107.4 136.8 136.8 96.5 124.5 124.5 77.4 t. t. NS4 tj. 'i. t.. 50 100 100 100 100 50 100 100 80 80 50 100 100 80 40 Total. 0. NS4 i.. t). t<. 80 100 100 100 100 80 100 100 80 80 80 100 100 80 40 Total. ti. 252.7 167.5 215.5 156.7 194.6 132.8. CS-SOPDT t.. t. G. 258.5 215.1 221.5 204.0 201.0 179.2. t,. 153.1 153.1 187.4 136.8 136.8 176.5 124.5 124.5 157.4. x. 0. 260.4 244.2 235.7 223.0 202.5 208.0. e. CS-SOPDT v, 0. 149.6 149.6 154.8 133.0 133.0 145.6 121.0 121.0 126.9. CS-FOPDT 0. tj. 142.7 142.7 116.1 127.8 127.8 103.7 113.5 113.5 89.4. CS-FOPDT. e 153.1 153.1 157.4 136.8 136.8 146.5 124.5 124.5 127.4 t,. Proceso. CS-FOPDT t 0. t,. CS-SOPDT tj 8. 150.0 150.0 184.3 133.2 133.2 175.2 121.3 121.3 156.3. NS4 SSE. NS4 o. NS4-2 SSE. NS4-2 o. CS-FOPDT SSE. CS-FOPDT o. CS-SOPDT SSE. 0.2470 0.2232 0.1188 0.5890. 1.33% 1.36% 1.00%. 0.3817 0.2755 0.1495 0.8067. 1.65% 1.52% 1.12%. 1.3950 1.0950 0.9059 3.3959. 3.16% 3.02% 2.75%. 0.2029 0.2094 0.2116 0.6239. NS4 SSE. NS4. NS4-2. NS4-2. SSE. o. CS-FOPDT SSE. CS-FOPDT. c. CS-SOPDT SSE. 0.2476 0.2128 0.1099 0.5703. 1.31% 1.31% 0.94%. 0.8504 0.7388 0.5293 2.1185. 2.42% 2.43% 2.06%. 1.4850 1.1390 0.9483 3.5723. 3.20% 3,02% 2.76%. 0.2043 0.1910 0.1545 0.5498. NS4 SSE. NS4. NS4-2 SSE. NS4-2. CS-FOPDT SSE. CS-FOPDT o. CS-SOPDT SSE. 0.2466 0.2148 0.1108 0.5722. 1.29% 1.30% 0.93%. 1.4290 1.3510 1.0950 3.8750. 3.11% 3.25% 2.93%. 1.5250 1.4100 0.9710 3.9060. 3.21% 3.32% 2.76%. 0.2054 0.1915 0.1563 0.5532. o. o. a. CS-SOPC o. 1.20% 1.32% 1.33%. CS-SOPC a. 1.19% 1.24% 1.11%. CS-SOPC o. 1.18% 1.22% 1.11%. Tabla 3.5. Procesos de cuarto orden (0: tiempo muerto, T TI i213 T4: constantes de tiempo, PO: primer orden, SO: segundo orden, SSE: suma de los errores al cuadrado, a: % de la desviación estándar del error, CS: Control Station).. I.

(46) Aproximación del tiempo muerto. 3.3 Análisis de resultados. A continuación, como se hizo en el capítulo anterior, se muestran las gráficas que presentan las frecuencias de las desviaciones estándar de los errores de los modelos, NS4, NS4-2, CS-FOPDT y CS-SOPDT.. CS-FOPDT. ^CS-SOPDT. Figura 3.6. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de primer orden sin tiempo muerto.. 3-12.

(47) Aproximación del tiempo muerto. 14 •. NS4-2 HNS4 HCS-FOPDT. ^CS-SOPDT. Desviación Estándar del Error. Figura 3.7. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de primer orden con tiempo muerto.. NS4-2 HNS4 ^CS-FOPDT. ^CS-SOPDT. Desviación Estándar del Error. Figura 3.8. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de segundo orden sin tiempo muerto. 3-13.

(48) Aproximación del tiempo muerto. NS4-2 ÜNS4 ü CS-FOPDT. < 3%. ^CS-SOPDT. < 4%. Desviación Estándar del Error. Figura 3.9. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de segundo orden con tiempo muerto = 20.. NS4-2 DINS4 ü CS-FOPDT. ^CS-SOPDT. Desviación Estándar del Error. Figura 3.10. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de segundo orden con tiempo muerto = 50. 3-14.

(49) Aproximación del tiempo muerto. NS4-2 HNS4 a CS-FOPDT ^CS-SOPDT. Desviación Estándar del Error. Figura 3.11. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de segundo orden con tiempo muerto = 60.. < 1% Desviación Estándar del Error. Figura 3.12. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de segundo orden con tiempo muerto = 80. 3-15.

(50) Aproximación del tiempo muerto. NS4-2 HNS4 ü CS-FOPDT ^CS-SOPDT. 3 4. < 3%. < 4%. Desviación Estándar del Error. Figura 3.13. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de segundo orden con tiempo muerto =100.. NS4-2 HNS4 ^CS-FOPDT. ^CS-SOPDT. Desviación Estándar del Error. Figura 3.14. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de tercer orden sin tiempo muerto. 3-16.

(51) Aproximación del tiempo muerto. NS4-2 HNS4 ^CS-FOPDT. ^CS-SOPDT. Desviación Estándar del Error. Figura 3.15. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de tercer orden con tiempo muerto = 50.. CS-FOPDT ^CS-SOPDT. Desviación Estándar del Error. Figura 3.16. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de tercer orden con tiempo muerto = 80. 3-17.

(52) Aproximación del tiempo muerto. NS4-2 HNS4 üCS-FOPDT. ^CS-SOPDT. Desviación Estándar del Error. Figura 3.17. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de cuarto orden sin tiempo muerto.. NS4-2 HNS4 ^CS-FOPDT. ^CS-SOPDT. •=5%. Figura 3.18. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de cuarto orden con tiempo muerto = 50. 3-18.

(53) Aproximación del tiempo muerto. NS4-2 HNS4 ^CS-FOPDT. ^CS-SOPDT. Desviación Estándar del Error. Figura 3.19. Comparación de las desviaciones estándar de proceso de cuarto orden con tiempo muerto = 80. 120%. NS4-2 IHNS4 M CS-FOPDT ^CS-SOPDT 100%. 80%. 60%. 40%. 20%. Desviación Estándar del Error. Figura 3.20. Comparación de las desviaciones estándar de todos los procesos (frecuencia de 100% = 88 incidencias). 3-19.

(54) Aproximación del tiempo muerto. Del análisis de las gráficas anteriores se puede observar que: 1. Con procesos de primer orden sin tiempo muerto (figura 3.6) CS-FOPDT sigue siendo en todos los casos el que produce como resultado una desviación estándar del error menor a 1 %. En un 86 % (6 de 7) de los casos NS4-2 da desviaciones menores a 2 % y en un 28 % (2 de 7) menores a 1 %. En estos casos CS-FOPDT siempre es el mejor modelo, seguido por los dos NS4 y al final CS-SOPDT.. 2. Con procesos de primer orden con tiempo muerto (figura 3.7) NS4-2 produce desviaciones del error menores a 5 %. En 75 % (9 de 12) produce desviaciones menores a 4 %, en 58 % (7 de 12) de los casos produce a menores a 3 % y en un 25 % (3 de 12) de las incidencias producen desviaciones estándar del error menores a 2 %.. 3. Con procesos de segundo orden sin tiempo muerto (figura 3.8) la desviación estándar del error del modelo NS4-2 tiene el mismo comportamiento que el NS4.. 4. Con procesos de segundo orden con tiempo muerto (figuras 3.9 a 3.13) la desviación estándar del error aumenta conforme aumenta el tiempo muerto. Con tiempo un tiempo muerto de 20 unidades de tiempo NS4-2 sigue teniendo comportamientos iguales que NS4. En 100 % de los casos produce la desviación estándar del error menores a 3 % para los procesos con un tiempo muerto de 50 y 60. El proceso con un tiempo muerto de 80 presenta desviaciones menores a 5 % en todas sus incidencias, mientras que para los procesos con un tiempo muerto de 100 unidades de tiempo el modelo produce desviaciones estándar del error arriba de 5 %.. 5. Con procesos de tercer orden sin tiempo muerto (figura 3.14) el NS4-2 tiene una desviación estándar del error menor al 2 % en todos los casos. En 83 % (5 de 6)de las incidencias la desviación es menor al 1 %, teniendo un mejor desempeño que el NS4. 3-20.

(55) Aproximación del tiempo muerto. 6. Con procesos de tercer orden con tiempo muerto (figuras 3.15 y 3.16) la desviación estándar del error aumenta junto con el tiempo muerto. En procesos con un tiempo muerto de 50, la desviación estándar del error es menor a 2 % en todos los casos, mientras que en procesos con un tiempo muerto de 80 la desviación aumenta a un 3 %.. 7. Con procesos de cuarto orden sin tiempo muerto (figura 3.17) el modelo NS4-2 tiene el mismo comportamiento de desviación que el NS4.. 8. Con procesos de cuarto orden con tiempo muerto (figuras 3.18 y 3.19) la desviación estándar del error aumenta junto con el tiempo muerto. En procesos con un tiempo muerto de 50, la desviación estándar del error es menor a 3 % en todos los casos, mientras que en procesos con un tiempo muerto de 80 la desviación aumenta a un 4 % para todos los casos y menor al 3 % para 33 % de los casos (1 de 3).. 9. Globalmente (figura 3.20) NS4-2 tiene un desempeño con desviaciones debajo de 5 %, sin embargo, los modelos con 9/imax arriba de 0.6 aumentan considerablemente la desviación estándar del error afectando su desempeño.. De este análisis se puede concluir que NS4-2 es un modelo aceptable para representar el comportamiento de procesos sobreamortiguados con tiempo muerto.. 3-21.

(56) Aplicaciones a control IMC. CAPITULO 4. APLICACIONES A CONTROL IMC. En este capítulo se presenta una de las muchas aplicaciones de la utilización del modelo NS4-2. El modelo será utilizado en un controlador con filosofía IMC, y su comportamiento será comparado con otros 3 controladores: un PID, un IMC utilizando un proceso de primer orden con tiempo muerto aproximando el tiempo muerto con dos retrasos de la mitad del tiempo muerto (FOPDT-2), y un IMC utilizando un proceso de segundo orden con tiempo muerto aproximando el tiempo muerto con la ecuación de Padé (SOPDT-Padé).. 4.1 Características del IMC El controlador tipo IMC (Modelo de Control Interno) introducido por García y Morari en el año de 1982, se basa en el conocimiento del un modelo exacto del proceso a controlar, permitiendo un sistema de control estable y robusto.7'8. El diagrama de bloques del sistema de control IMC se muestra en la figura 4.1, donde Gp es la función de transferencia del proceso, G¡ es la ecuación del controlador, Gm es el modelo del proceso y P es la perturbación introducida al sistema. La sección que se encuentra dentro de las líneas punteadas es la parte que representa a todo el controlador.. G;. Gm Controlador IMC Figura 4.1. Estructura Básica del Modelo de Control Interno.. 4-1.

(57) Aplicaciones a control IMC. El diagrama puede simplificarse al mostrado en la figura 4.2, que representa el diagrama tradicional de una estructura de control y donde la ecuación 4.1 muestra la ecuación del controlador.. Gc =. (4.1) 1-G.-G.. Figura 4.2. Estructura final del controlador IMC.. La respuesta Y de la estructura mostrada en la figura 4.1 se muestra en la ecuación 4.2. Si el modelo del proceso es igual a la función de transferencia del mismo (Gm = Gp), el denominador de la ecuación se hace uno, quedando como resultado la ecuación 4.3.. + G,G,-G,G.. = P + GlGm(R-P). (R-P). (4.2). (4.3). En este caso no existe retroalimentación y se tiene un sistema de lazo abierto como se muestra en la figura 4.3 en donde la estabilidad del sistema depende de G¡ y de Gp.. 4-2.

(58) Aplicaciones a control IMC. R. G;. Y. Figura 4.3. Estructura del controlador IMC cuando G m = Gp. Idealmente sería adecuado tener una respuesta Y sin retraso cuando sólo ocurre un cambio de referencia (es decir no hay perturbaciones). Para que lo anterior pueda suceder es necesario que G¡GP = 1 por lo tanto:. (4.4). La ecuación 4.4 establece que la ecuación del controlador EMC debe de ser la inversión de la función de transferencia del proceso.. Para el caso de que se presente solamente una perturbación P se desearía que la salida Y no fuera afectada (Y = 0). Para que esto ocurra debe darse que G,GP = 1; lo anterior conduce al mismo resultado de la ecuación 4.4.. Sin embargo, la aplicación de la ecuación 4.4 frecuentemente genera una función de transferencia que no puede ser implementada por ser impropia o de fase no mínima. Por ejemplo, cuando hay tiempo muerto, al ser invertido el término implica predicción, por lo que no puede ser implementado. Para evitar lo anterior usualmente se separa Gm en dos términos G y e"8*5 y se obtiene la ecuación 4.5.. 4-3.

(59) Aplicaciones a control IMC. (4-5). La principal desventaja de éste controlador radica en el modelo del proceso, ya que para tener un óptimo funcionamiento, se debe de conocer con exactitud el proceso que se desea controlar, y en la mayoría de las aplicaciones industriales cuando mucho se tiene una modelación de primer orden con tiempo muerto. Otra desventaja que tiene este controlador, deriva en que la ecuación de éste es el inverso de la del modelo del proceso, y si los ceros del proceso son inestables, el controlador tendrá polos inestables que deberán de ser eliminados.. En resumen, si no se tiene un modelo exacto del proceso y ceros estables, se tiene que eliminar términos de la ecuación del controlador, lo cual repercutirá en un pobre desempeño y no serán aprovechadas las ventajas que el IMC posee. 4.2 Diseño de los controladores IMC. Para mejorar el desempeño del controlador IMC, se recomienda agregar un filtro en la trayectoria obteniendo la ecuación 4.6. 8 ' 9. r-rr. KJIKJV =. l. o-* e. Ás + l. Las ecuaciones 4.7 y 4.8 presentan la función de transferencia del proceso real y la del modelo NS4-2 para dicho proceso.. Gp = r Gm =. Ke~*. (4.7). ( K. (4-8). (TlS + l)(T2S + l)(-S + l)2. 4-4.

(60) Aplicaciones a control IMC. Al despejar Gi e introducir el valor de Gp en la ecuación 4.6 obtenemos la ecuación 4.9.. (4.9). fc. Al introducir las ecuaciones 4.8 y 4.9 en la ecuación 4.1 y reacomodando los términos de la ecuación, se obtiene un controlador PID con un adelanto / atraso de segundo orden tal, como se muestra en la ecuación 4.10. O2 7 5+ 1. r, + T2 (^r,5 + 1X 2. ). 2. 4. „. trot.. -^52+-. En esta tesis la estructura del controlador mostrada en la figura 4.10, se le denominará CNS4-2.. El segundo controlador a comparar es el que utiliza un modelo de proceso de un segundo orden con una aproximación de Padé tal como se muestra en la ecuación 4.11.. -. Al introducir la ecuación del 4.9 y 4.11 en la ecuación 4.1 y reacomodando los términos de la estructura, se obtiene la ecuación del controlador 4.12, la cual tiene una estructura tipo PID con un adelanto / atraso de primer orden.. 4-5.

(61) Aplicaciones a control IMC. T +T Gc=. i. s. 2. s+ l. T s+]. (h + ty( z. ). (412). 2. A la estructura de control que se presenta en la ecuación 4.12 se le denominará en este trabajo como CNS4-Padé.. La siguiente estructura a comparar es la de un modelo de procesos de primer orden utilizando una aproximación del tiempo de dos retrasos de la mitad del tiempo muerto, tal como se muestra en la ecuación 4.13. Al introducir la ecuación del proceso real (ecuación 4.14) en la ecuación 4.6 obtenemos la estructura de Gi tal como se muestra en la ecuación 4.15.. ~ Gm =. Gp = Gi=. K. (4.13). Ke~&. (4.14). (ra + 1) ( g + 1). (4-15). Para obtener Ge, se introducen las ecuaciones 4.16 y 4.14 en la ecuación 4.6, y reacomodan los términos de la ecuación, obteniendo de ésta manera un controlador PI con un adelanto / atraso de segundo orden como se muestra en la ecuación 4.16.. T Gc =. (CT + 1>. 2 4 2. S+ Á+0. 4-6.

(62) Aplicaciones a control IMC. En esta investigación, a la estructura mostrada en la ecuación 4.16 se le denominara CFOPDT-2.. La última estructura a comparar es la de un controlador PID utilizando la estructura del IMC. Para ello se utilizará un modelo de proceso de primer orden utilizando la ecuación de Padé para aproximar el tiempo muerto tal como se muestra en la ecuación 4.17.. < 417 > Gm =. Al introducir la ecuación 4.17 y 4.15 en la ecuación 4.1, y reacomodando los términos de la ecuación se obtiene la estructura de control Ge mostrada en la ecuación 4.18, la cual tiene una estructura de un PID clásico.. (4.18). 9. zs. >-. , , „ donde Kc =. T. 6 , z - r, xd = — y r =. 2 ^. Esta última ecuación puede reacomodarse en términos de un PID con un filtro de primer orden, tal como se muestra en la ecuación 4.19.. Gc =. (4.19). 0 # 2 , — T— S + ( T ^ 2. -5 + 1 +0 4-7.

(63) Aplicaciones a control IMC. donde. T+—. T—. Q. Kc=. wh-. t¡=(T+. A —. ¿. A las estructuras de las ecuaciones 4.18 y 4.19 se les denominará en este trabajo de investigación como PID.. 4.3 Evaluación de los controladores Para la evaluación de los controladores, se probaron los 65 procesos con tiempo muerto que se identificaron en el Capítulo 2. Para los controladores CNS4-2 y CNS4Padé se utilizaron los valores arrojados por el método NS4, mientras que para los CFOPDT-2 y PID se usaron los del programa computacional Control Station de primer orden con tiempo muerto (CS-FOPDT).. Las ecuaciones 4.20 y 4.21 muestran las fórmulas de la constante de tiempo del filtro X, para los modelos de primero y segundo orden respectivamente.. Á = J3T Á=. (4.20) fi(Tl+T2). (4.21). donde T es la constante de tiempo del modelo de primer orden, Xi y x2 son las constantes de tiempo del modelo de segundo orden y (3 es la variable de suavizado del controlador que permite regular la respuesta del controlador.. Las tablas 4.1, 4.2, 4.3 y 4.4 muestran los resultados obtenidos en la comparación de los 4 controladores antes mencionados utilizando el programa computacional Simulink de Matlab (Apéndice C). Para su evaluación se ajustó el valor de P para que el proceso diera un sobretiro de 5 % cuando se le aplicara una manipulación del tipo escalón unitario y se registraron los tiempos de asentamiento de cada uno de los controladores, así como 4-8.

(64) Aplicaciones a control IMC. el tiempo de asentamiento y el porcentaje de desviación al introducir una perturbación del tipo escalón unitario con una función de transferencia igual a la del proceso real. Los tiempos de asentamiento fueron registrados cuando la variable de proceso entró y no volvió a salir de la banda de ± 2 % de Yx Para ejemplificar el porcentaje de desviación, la figura 4.4 nos muestra el comportamiento de la variable a controlar al aplicar un escalón unitario como perturbación en lazo abierto y en lazo cerrado. La ecuación 4.22 muestra la ecuación del % de desviación.. Figura 4.4. Respuesta del proceso en lazo abierto (Ym) y en lazo cerrado (Y«,) al aplicarle una perturbación del tipo escalón unitario.. %Desv = -=-100 Y.. (4.22). 4-9.

(65) Proceso 8. il. 20 100 20 20 20. 80 60 40. 50 100 50 80 20 30 80 100 50 20 80 100. 60 20 80 100. •a. t3. \4. tps. 0 0. 0 0 0 0. 0 0 0. 411. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0. 0 0. 0 0 0. 0 0 0. 0 0 0. 0 0 0. 0. 0. 333 255 176 441 363 137 472 285 98 394 492. Ref ts 105 102 106 107 253 246 98 396 228 92 388 488. Ref Ir 0.26 0.31 042 0.61 057 068 0.72 0.84 080 0.94 0 98 0 99. CNS4-2 Pert Pert Pert ts Ip %Desv p 326 0.79 24% 0.16 284 0.85 29% 0.18 230 090 31% 0.19 202 1.15 46% 0 37 501 1.14 46% 032 448 123 52% 0 38 170 124 54% 041 403 0 85 59% 0.48 387 1.36 60% 047 142 1.45 66% 057 568 1.44 66% 0.58 716 146 67% 0.58. Ref ts 85 79 64 110 256 240 71 403 160 64 385 697. CNS4-Padé Ref Pert Pert Pert Ir ts Ip %Desv p 021 328 0.80 25% 0.17 0.24 280 0.84 29% 018 0 25 226 089 32% 019 0.63 198 1.13 47% 0.38 058 479 109 46% 0.31 0.66 416 1.15 52% 0.36 052 158 1.15 55% 0.39 0 85 605 1.28 60% 0.45 0.56 356 125 60% 0.44 0.65 133 1.36 66% 0.53 098 548 139 67% 0.54 1.42 496 1.01 67% 0 54. CFOPDT-2 Ref Pert Pert Pert Ir ts Ip % Desv 75 0.18 310 0.75 25% 74 022 272 082 29% 74 0.29 230 0.90 36% 98 0.56 188 1.07 46% 244 055 474 107 46%. Ref ts. 52% 54%. 0.33 0.32. 0.23 96 0.29 97 038 80 045 194 044. PID Pert Pert Pert ts Ip % Desv 316 0.77 26% 274 082 31% 231 091 38% 182 1.03 47% 455 1.03 47%. 195 0.54 80 058 295 063 195 068 94 096 295 0.75. 400 1.10 155 1 13 576 1.22 344 121 135 138 512 1.30. 53% 56% 60% 62% 67% 67%. 0.41 0 46 048 056 0.51 0.60. 359 0 73. 655 133. 68%. 0 57. P 0.17 0.21 028. 243 067 98 072 389 082 244 086 96 098 388 098. 419 1.15 160 1.17 604 128 365 1.28 141 1.44 557 1.41. 59% 62% 67% 66%. 0.40 044 0.49 0.54 0.57 061. 483 0.98. 697 1.42. 67%. 0.59. Ref ts. Ref Ir. 96. P 019 0.23 0.31 035 0.33. Tabla 4.1. Comportamiento de los controladores para procesos de primer orden con tiempo muerto (6: tiempo muerto, x xi X2 X3 X4: constantes de tiempo, tps: tiempo de asentamiento del procesos en lazo abierto, Ref ts: tiempo de asentamiento del proceso al aplicar un cambio en referencia del tipo escalón unitario, Pert ts: tiempo de asentamiento del proceso al aplicar una perturbación del tipo escalón unitario, Pert %Desv.: porcentaje de desviación al aplicar una perturbación del tipo escalón unitario, p: variable de suavizado, Ir: Ref ts / tps, Ip: Pert ts / tps).. § |.