Estrategia de control para el seguimiento de camino de un vehículo autónomo subacuático

Texto completo

(1)Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingenierı́a Eléctrica Departamento de Automática y Sistemas Computacionales. TRABAJO DE DIPLOMA. Estrategia de control para el seguimiento de camino de un vehı́culo autónomo subacuático.. Tesis presentada en opción al grado de Ingeniero en Automática. Autor: Anailys Hernández Julián Tutor: Msc. Yunier Valeriano Medina Dr.C. Luis Hernández Santana. Santa Clara 2014 “Año 56 de la Revolución”.

(2) Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingenierı́a Eléctrica Departamento de Automática y Sistemas Computacionales. TRABAJO DE DIPLOMA Estrategia de control para el seguimiento de camino de un vehı́culo autónomo subacuático. Tesis presentada en opción al grado de Ingeniero en Automática Autor: Anailys Hernández Julián [email protected]. Tutor: Msc. Yunier Valeriano Medina Prof. Asistente Dpto. de Automática, Facultad de Ing. Eléctrica, UCLV email: [email protected]. Dr.C. Luis Hernández Santana Prof. Titular Dpto. de Automática, Facultad de Ing. Eléctrica, UCLV [email protected]. Santa Clara 2014 “Año 56 de la Revolución”.

(3) Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de Ingenierı́a en Automática, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.. Anailys Hernández Julián Autor. Fecha. Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. Anailys Hernández Julián Autor. Fecha. Boris Luis Martı́nez Jiménez, Dr.C Jefe del Departamento. Fecha. Responsable ICT o J’ de Carrera, (Dr.C., M.Sc. o Ing.) Responsable de Información Cientı́fico-Técnica. Fecha.

(4) PENSAMIENTO. “Nadie sabe de lo que es capaz de hacer, hasta que trata de hacerlo.” Marden. i.

(5) DEDICATORIA. A mis padres, por influir más con sus acciones que con sus palabras. A mi hermana, por estar siempre ahı́. A toda mi familia y amistades, por apoyarme en todo momento. A todos los profesores que han sabido guiarme y que de una forma u otra han contribuido a mi formación como profesional.. ii.

(6) AGRADECIMIENTOS. Especialmente quisiera agradecer a mis padres y a mi abuela Pululu, quienes me han apoyado y alentado en todo momento, y que además me han inculcado la necesidad de estudiar y de superarme. A mi hermana por acompañarme y servir de consuelo y estar siempre en las buenas y en las malas. A mis abuelos por transmitirme su sabidurı́a y conducirme por el camino correcto. A mis tı́os y a mis primas que cuando estamos juntas a pesar de las diferencias hacemos una combinación perfecta. Quisiera agradecer al resto de la familia por su confianza y el cariño por el apoyo y la calidez que siempre me han hecho sentir. Agradezco a Yunier Valeriano, mi tutor, mi amigo desde siempre, por la confianza y la responsabilidad que depositó en mi apenas nos conocimos, por creer en mi capacidad y obligarme a probarme a mı́ misma. A Luis Hernández, mi tutor, le agradezco por poner su intelecto en función de esta tesis de grado y por sus acertadas recomendaciones. A mis amigos, a los que están cerca y a los que a veces no veo tan seguido, pero que se que están ahı́. Linet, Mayvelı́n, Dalia, Clara, Dailén, Samy, Carreño, Homero, El Piti, Charlie, Sergio, Daniel, a todos mi compañeros de aula durante estos cinco años. A los muchachos del 117: Oscar, Urquijo, Pablo, Diamir, Delvis, Yidier, Carlitos, Rubén, Mariano, Richard y Jimmy. A Boris, a Alain, a Rubio, por su ayuda en este trabajo de diploma. A todo aquel que de una manera u otra contribuyó en mi formación, muchas gracias. Santa Clara, Cuba, 2014. iii.

(7) RESUMEN. Los vehı́culos autónomos subacuáticos representan un tema de gran interés para la comunidad cientı́fica a nivel mundial. El sistema de guiado es de vital importancia para el cumplimiento de misiones sin intervención humana. En esta investigación se diseña un controlador tipo PI para el seguimiento de caminos en lı́nea recta por parte del HRC − AUV , que reduce el error de seguimiento perpendicular al camino a pesar del efecto de las perturbaciones marinas. El ajuste de las ganancias del controlador se realiza en función de la geometrı́a del camino a seguir y de las caracterı́sticas del vehı́culo. La validez de la propuesta se constata mediante simulación, con lo cual se corrobora que el desempeño del controlador I − LOS es superior que el de la estrategia que se encuentra implementada en la actualidad en el vehı́culo.. iv.

(8) TABLA DE CONTENIDO Página PENSAMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. i. DEDICATORIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ii. AGRADECIMIENTOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iii. RESUMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. iv. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.. 2.. ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS DE GUIADO APLICADAS EN VEHÍCULOS MARINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.1.. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.2.. Evolución y desarrollo de los AUV. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 1.3.. Descripción general del HRC − AUV . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 1.4.. Leyes de guiado para el seguimiento de camino . . . . . . . . . . . .. 13. 1.5.. Estrategias de control aplicadas en el guiado de vehı́culos marinos .. 17. 1.6.. Consideraciones finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS EN LÍNEA RECTA . . . . . . . .. 21. 2.1.. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 2.2.. Sistemas de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 2.3.. Modelo dinámico de un vehı́culo autónomo subacuático . . . . . . .. 23. 2.3.1. Representación lineal del subsistema lateral . . . . . . . . . .. 24. 2.3.2. Modelo simplificado para el oleaje y las corrientes marinas. .. 25. 2.4.. Algoritmo de guiado basado en la distancia lookahead . . . . . . . .. 27. 2.5.. Controlador para el seguimiento de trayectoria . . . . . . . . . . . .. 30. 2.6.. Consideraciones finales del capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. v.

(9) 3.. CONTROLADOR I − LOS PARA EL SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS RECTAS POR PARTE DEL HRC − AUV . . . . . . . . . . . . .. 34. 3.1.. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 3.2.. Controlador de rumbo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 3.3.. Controlador I-LOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 3.4.. Evaluación del controlador I-LOS ante cambios en la velocidad de las corrientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. Evaluación del controlador I − LOS durante el seguimiento de distintas trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38. 3.5.1. Experimento realizado en el año 2010 . . . . . . . . . . . . .. 39. 3.5.2. Experimento realizado en el año 2014 . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.6.. Análisis económico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43. 3.7.. Consideraciones finales del capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. RECOMENDACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 3.5.. A.. CÓDIGOS PARA LA IMPLEMENTACIÓN DEL CONTROLADOR I-LOS. 52. vi.

(10) INTRODUCCIÓN. Un vehı́culo autónomo es aquel que posee la capacidad de manejarse asimismo, con lo cual puede comportarse de manera independiente durante el cumplimiento de misiones sin intervención humana. Esta caracterı́stica está asociada a vehı́culos o sistemas que tienen acceso a la información relacionada con su posición y el medio que los rodea, ası́ como la capacidad de manejar sus actuadores para poder llevar a cabo las diferentes tareas que le son orientadas (Lekkas, 2014). Para la ejecución de las misiones de manera autónoma, se requiere: planificación de la misión, un sistema de guiado, un sistema de navegación y otro de control. En el marco de esta investigación se aborda el diseño de un sistema de guiado para un vehı́culo autónomo subacuático (AUV , Autonomous Underwater Vehicle). Los AUV pertenecen a la familia de vehı́culos no tripulados (UUV Unmanned Underwater Vehicle) y se definen como submarinos que portan consigo una fuente de energı́a y unidades de cómputo, donde se ejecutan softwares y soluciones de control que le permiten al vehı́culo cumplir misiones sin intervención humana (Fjellstad, 1994; Antonelli, 2008). Es por ello que entre las principales aplicaciones de estos vehı́culos se encuentran (Cruz, 2012): el estudio de la diversidad microbial marina y de los ecosistemas, la exploración, explotación y conservación del océano y sus recursos, el monitoreo, mantenimiento y protección de las comunicaciones, el transporte de energı́a que discurren bajo las aguas, la arqueologı́a marina, la navegación marı́tima y portuaria, la protección de costas, infraestructuras y ecosistemas marinos, entre otras muchas. Varias universidades del mundo se han propuesto desarrollar diferentes prototipos de AUV con fines investigativos, ejemplo de ellos son: la Universidad de Oporto en Portugal (Ramos, 2008), la Universidad del Sur en Argentina (Jordán, 2008), la Universidad de Newcastle en Australia (Fossen, 2008), la Universidad Noruega de Ciencia y Tecnologı́a (Fossen, 1994, 2002, 2006, 2008; Lekkas, 2014), entre otras. En Cuba, el Grupo de Automatización Robótica y Percepción (GARP ) de la Universidad Central Marta Abreu y el Centro de Investigación y Desarrollo Naval (CIDNAV ) trabajan de manera conjunta en el dasarrollo de un prototipo de AUV , el cual se dio a conocer con el nombre de HRC − AUV (Garcia-Garcia, 2012; Valeriano-Medina, 2013b; Martı́nez, 2013). 1.

(11) INTRODUCCIÓN. 2. Este proyecto se desarrolla con fines cientı́ficos para su posterior aplicación en la exploración del ambiente marino, ası́ como en el reconocimiento de las costas cubanas. Esta investigación tiene diferentes lı́neas de trabajo, entre las cuales destacan, el desarrollo de los sistemas de navegación, control y guiado. El guiado de vehı́culos marinos se define como la acción o el sistema que continuamente calcula la posición, velocidad y aceleración deseada de la embarcación, las cuales son utilizadas en el sistema de navegación. Estos datos provienen usualmente de un operador humano y del sistema de navegación. Los componentes básicos que presentan los sistemas de guiado son: los sensores de movimiento, los datos referentes al medio externo donde se desarrolla la misión (velocidad y dirección del viento, altura de las olas, velocidad y dirección de las corrientes) y una computadora. La computadora es la encargada de captar y procesar, los datos para luego realimentar, los resultados hacia el sistema de control de movimiento. En muchos casos se utilizan técnicas avanzadas de optimización, para obtener la trayectoria más óptima que debe ser seguida por el vehı́culo, en ello se pueden considerar diferentes aspectos tales como el ahorro de combustible, la evasión de colisiones, la sincronización, etc (Lekkas, 2014). En el HRC − AUV existe actualmente un sistema de guiado para el seguimiento de caminos en lı́nea recta, el cual establece un valor de rumbo deseado al autopiloto sin tener en cuenta los valores de la posición instantánea del vehı́culo. Este algoritmo depende solamente de los puntos del camino por los que la embarcación debe atravesar. En la práctica, este diseño logra cumplir con las misiones asignadas, sin embargo presenta errores considerables en aquellos tramos de la trayectoria donde es más fuerte la influencia de las perturbaciones marinas. (Valeriano-Medina, 2013b) Por tal motivo se necesita contar con un algoritmo de control que calcule, a partir de la geometrı́a del camino, el valor del rumbo a seguir por el vehı́culo y minimice el error que producen las perturbaciones marinas durante el seguimiento de trayectoria. Por tanto, se plantea el siguiente problema cientı́fico: Las afectaciones que provocan en el vehı́culo el efecto de las perturbaciones marinas y las inexactitudes en la medición de las componentes de la velocidad, hacen que hasta el momento no se disponga de una estrategia de control, en el HRC − AUV , que asegure un adecuado desempeño durante el seguimiento de trayectoria. La hipótesis de este trabajo se fundamenta en los resultados de la revisión bibliográfica presentada en el Capı́tulo 1..

(12) INTRODUCCIÓN. 3. Hipótesis: La utilización de un controlador PI en el HRC − AUV , ajustado en base a la geometrı́a del camino y a las caracterı́sticas del vehı́culo, permite contrarrestar el efecto que provocan las perturbaciones marinas durante el seguimiento de trayectoria. Los objetivos, general y especı́ficos, se plantean de la siguiente manera. Objetivo General: Diseñar un controlador tipo PI para el seguimiento de caminos en lı́nea recta del HRC − AUV , con el propósito de minimizar el error de seguimiento perpendicular al camino, independientemente del efecto provocado por las corrientes marinas y el oleaje. Objetivos Especı́ficos: Estudiar los fundamentos teóricos relacionados con el guiado de vehı́culos marinos que aparecen reportados en la literatura especializada, que permitan avalar la utilización de un controlador con efecto integral para el seguimiento de camino. Definir la estructura matemática del controlador de seguimiento a ajustar para el HRC −AUV , teniendo en cuenta las posibles afectaciones del efecto wind up producto del uso de la acción integral. Ajustar el controlador tipo PI para el seguimiento de caminos en lı́nea recta del HRC− AUV , teniendo en cuenta la geometrı́a del camino. Evaluar mediante simulación el desempeño del sistema de guiado diseñado para el HRC − AUV ante la influencia de las corrientes marinas y el oleaje. Comparar el sistema de guiado propuesto en esta investigación con respecto a las propuestas anteriormente realizadas por GARP , utilizando el test estadı́stico de Kolmogorov− Smirnov. Tareas de investigación: Revisión de la literatura especializada en la temática del guiado. Análisis de las propuestas de leyes de guiado y control de seguimiento de caminos en lı́nea recta que se aplican en vehı́culos marinos. Estudio de la dinámica del vehı́culo HRC − AUV . Representación matemática del efecto del oleaje y las corrientes marinas. Definición de la estructura matemática del controlador a ajustar y selección de los parámetros necesarios para realizar el ajuste. Ajuste del controlador PI. Evaluación mediante simulación del ajuste realizado..

(13) INTRODUCCIÓN. 4. Análisis comparativo entre el sistema de guiado propuesto en esta investigación y los restantes implementados por GARP , utilizando el test Kolmogorov − Smirnov. Elaboración del informe cientı́fico de la investigación. El principal aporte de este trabajo radica, en que se propone y diseña una estrategia de control para el seguimiento de trayectorias en lı́nea recta para el vehı́culo autónomo subacuático HRC − AUV , capaz de minimizar el error que surge debido al efecto que provocan las perturbaciones marinas. El controlador a diseñar cuenta con una acción integral para contrarrestar el efecto de las perturbaciones marinas, principalmente el que producen las corrientes. Las afectaciones producidas por el oleaje se reducen utilizando técnicas de filtrado que han sido abordadas en anteriores investigaciones publicadas por GARP (Garcia-Garcia, 2012). La estrategia de control propuesta se ajusta en función de la geometrı́a del camino y tiene en cuenta las caracterı́sticas dinámicas del vehı́culo, es fácil de implementar en las unidades de cómputo que existen en el vehı́culo y evita las afectaciones del efecto wind up. Contenido de la Tesis: En la Introducción queda definida la importancia, actualidad y necesidad del tema que se aborda y se dejan explı́citos los elementos del diseño teórico de la investigación. La investigación incluye tres capı́tulos, además de las conclusiones, recomendaciones, referencias bibliográficas y anexos correspondientes. Los temas que se abordan en cada capı́tulo se encuentran estructurados de la forma siguiente: Capı́tulo I: Comienza con un acercamiento a la evolución y desarrollo de los AUV , presentando algunos de los vehı́culos que constituyen referentes a nivel mundial. A continuación, se presenta una descripción del vehı́culo HRC − AUV , que constituye el objeto de estudio de esta investigación. A partir del análisis de la literatura consultada se abordan las leyes de guiado y estrategias de control que se utilizan para el seguimiento de trayectorias en vehı́culos marinos. El capı́tulo concluye con una evaluación crı́tica de las estrategias de control expuestas. Capı́tulo II: En este capı́tulo se presentan los sistemas de coordenadas y la notación que se utiliza en aplicaciones marinas. Por otra parte, se dan a conocer las ecuaciones que describen la dinámica no lineal del HRC − AUV , de las corrientes marinas y el oleaje. Se exponen las ecuaciones matemáticas que sustentan al algoritmo de guiado que se utiliza en esta investigación y se define la estructura del controlador para el seguimiento de trayectorias en lı́nea recta que se va a diseñar..

(14) INTRODUCCIÓN. 5. Capı́tulo III: En este capı́tulo se presentan y analizan los resultados obtenidos en la investigación. Primeramente se presenta el ajuste y la respuesta obtenida para el controlador de rumbo del vehı́culo que forma parte del sistema de control de movimiento. Luego, se detalla el procedimiento de ajuste del controlador para el seguimiento de trayectorias. El ajuste que se propone se evalúa mediante simulación variando los valores de magnitud de la velocidad de las corrientes marinas. El desempeño del sistema de guiado que se propone en esta investigación para el HRC − AUV , se evalúa mediante la simulación de trayectorias seguidas por el vehı́culo durante experimentos realizados en el mar. Este desempeño se compara estadı́sticamente en relación con la trayectoria que debe seguir el vehı́culo. Para finalizar, se presenta el análisis económico de la investigación..

(15) .. CAPÍTULO 1 ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS DE GUIADO APLICADAS EN VEHÍCULOS MARINOS 1.1.. Introducción. En este capı́tulo se abordan los aspectos fundamentales relacionados con el guiado de vehı́culos marinos. Adicionalmente, se realiza una descripción fı́sica del vehı́culo que constituye el objeto de estudio de esta investigación, ası́ como del equipamiento electrónico y sensorial que tiene instalado, que le permite el cumplimiento de misiones que requieren el seguimiento de trayectorias. Finalmente, se evalúan crı́ticamente las estrategias de guiado y los algoritmos de control de dirección que se utilizan en vehı́culos marinos. 1.2.. Evolución y desarrollo de los AUV. El término embarcaciones marinas incluye barcos, vehı́culos de alta velocidad, semisumergibles, plataformas flotantes, submarinos, vehı́culos subacuáticos operados remotamente y autónomos, torpedos y otras estructuras propulsadas y energizadas que operen en el mar (Fossen, 2011). Los AUV son vehı́culos relativamente pequeños, auto-propulsados y no tripulados que pueden operar totalmente bajo agua, lejos del alcance del algún centro de control y comunicación (Fernandes, 2003). Usualmente se preprograman para ejecutar variadas misiones subacuáticas y pueden ser lanzados y recuperados en zonas bajas de la costa o en mar abierto. Tı́picamente tienen forma cilı́ndrica, de 2 a 10 m de longitud y de 0.2 a 1.3 m de diámetro, donde la mayor parte del espacio interno del AUV está ocupado con las fuentes de energı́a y propulsión, ası́ como por la instrumentación necesaria para el control. Estos vehı́culos en su gran mayorı́a operan hasta los 200 m de profundidad, llegando incluso algunos hasta los 5000 m.. 6.

(16) ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS DE GUIADO APLICADAS EN VEHÍCULOS MARINOS. 7. Entre los años 1970 y 1980 comenzaron a incrementarse las investigaciones con vistas a analizar las potencialidades de los AUV (Gorset, 2007). Durante este perı́odo la Universidad de Washington, en Estados Unidos desarrolló los vehı́culos UARS y SP URV , los cuales se usaron para la recolección de datos en las regiones del ártico. El Marine Systems Engineering Laboratory, en la Universidad de New Hampshire, puso en operación el vehı́culo EAV E en conjunto con la Marina de Estados Unidos. En Europa, el Institute of Marine Technology Problems, perteneciente a la Academia de Ciencias de Rusia, comenzó el desarrollo de un proyecto con el vehı́culo SKAT , ası́ como de los primeros AUV sumergibles, los L1 y L2. Esta fue una etapa de experimentación en pos de encontrar las potencialidades definitivas de estos vehı́culos (Blidberg, 2001). Los años 80 constituyen para los vehı́culos autónomos subacuáticos una etapa de desarrollo de prototipos (Blidberg, 2001; Fernandes, 2003), estos fueron construidos, probados y utilizados. Avances tecnológicos importantes, como la aparición de computadoras pequeñas con bajo consumo de energı́a y mayor memoria, incidieron grandemente en el desarrollo de los AUV , ya que brindaron la posibilidad de implementar algoritmos complejos de guiado y control. En 1980 se realiza la primera edición del “International Symposium on Unmanned Untethered Submersible Technology”(UUST ) en New Hampshire, Estados Unidos, solo 24 especialistas en esta tecnologı́a participaron en el evento. Sin embargo, ya en 1987 la asistencia aumentó a más de 320 personas en representación de 100 compañı́as, 20 Universidades y 20 Agencias. Un total de 9 paı́ses estuvieron representados en este evento. Varios programas de investigación se iniciaron, lográndose un importante financiamiento para el desarrollo de prototipos. Esta etapa ciertamente constituyó un punto de giro para la tecnologı́a de los AUV , se pudo demostrar que podı́an ser sistemas operacionales, pero todavı́a quedaban por definir las tareas que debı́an cumplir (Blidberg, 2001). Los años 90 tuvieron como caracterı́stica la definición de las misiones que debı́an cumplimentar los vehı́culos autónomos subacuáticos (Blidberg, 2001; Fernandes, 2003). La ampliación del financiamiento para el desarrollo de la tecnologı́a y la puesta en operación de varios AUV en el mundo también matizaron esta etapa. Por ejemplo, el vehı́culo MIT Oydessy, logró realizar varias inspecciones oceanográficas y el T heseus, cumplimentó una misión de 350 km para instalar un cable de fibra óptica bajo un mar helado. Por su parte, el vehı́culo Ocean Explorer, cumplimentó varias misiones que tuvieron como propósito medir la turbulencia oceánica (Fernandes, 2003). En esta década se pudieron identificar y establecer nuevas funciones para los AUV y se dieron los primeros pasos para convertir a esta tecnologı́a en un producto comercializable (Blidberg, 2001)..

(17) ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS DE GUIADO APLICADAS EN VEHÍCULOS MARINOS. 8. Lograr incrementar las ventas y conseguir los primeros productos verdaderamente comerciales han sido los propósitos que han caracterizado el desarrollo de los AUV después del año 2000 (Wernli, 2000). Los AUV han abandonado el ámbito académico e investigativo y se han introducido en el mundo comercial como un flujo importante de la industria oceánica. En el año 2001 se hizo pública una lista que contenı́a un total de 75 AUV operativos alrededor del mundo (Fernandes, 2003), mientras en el 2008 la cifra ya era de cerca de 200 (Antonelli, 2008). Varias compañı́as ofertan comercialmente estos vehı́culos, por ejemplo, en la industria petrolera y gası́fera se reconoce que con el empleo de estos vehı́culos se logra reducir los costos hasta en un 30 %. Existen un gran número de AUV operativos reportados en la literatura que han sido diseñados con fines comerciales, militares o cientı́ficos. En la Figura 1–1 se presentan las imágenes de los vehı́culos autónomos subacuáticos que a continuación se detallan. AUV Hugin (Figura 1–1 (a)): Es un producto desarrollado por Kongsberg Maritime y Forsvarets Forsknings Instiutt (F F I) de Noruega. Se emplea en el mapeo de alta precisión del fondo marino, ası́ como en la vigilancia y la detección de minas. La comunicación con la superficie se realiza mediante señales acústicas y cuenta con una arquitectura de hardware y un conjunto de sensores de altas prestaciones. Este vehı́culo opera en zonas con profundidad que van desde los 3000 hasta los 4500 m. En el 2007, se reportaba que 6 vehı́culos pertenecientes a la familia de los Hugin, operaban sin problemas en distintas zonas del planeta (Gorset, 2007). Para la navegación, el guiado y el control, cada vehı́culo Hugin está equipado con una unidad de referencia de movimiento, un sensor de velocidad Doppler, un sensor de presión y 3 sensores magnéticos tipo Fluxgate. Las misiones a cumplimentar son una secuencia de cambios en las referencias para los controladores y tienen como criterio de parada para cada entrada el tiempo transcurrido y/o la distancia recorrida (Hagen, 1999). Los AUV Hugin se utilizan como objeto de comparación para el proyecto HRC − AUV , esto tiene que ver con las semejanzas que existen en cuanto a la estructura fı́sica de ambos AUV y las similitudes de las metodologı́as aplicadas en el modelado, el diseño de autopilotos y los sistemas de navegación (Hegrenaes, 2007). No obstante, es importante aclarar que existen marcadas diferencias en cuanto al equipamiento electrónico y sensorial instalado en estos vehı́culos. AUV MARES (Figura 1–1 (b)): El proyecto MARES es llevado a cabo por la Universidad de Oporto en Portugal. Se trata de un AUV de 1.5 m de largo, diseñado y construido por Ocean Systems Group. El vehı́culo puede ser programado para seguir trayectorias predefinidas y puede navegar hasta una profundidad de 100 m. Las entradas para todos los controladores las proporciona el sistema de guiado y dependen del tipo de.

(18) ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS DE GUIADO APLICADAS EN VEHÍCULOS MARINOS. 9. maniobra que el vehı́culo esté ejecutando. Estas entradas pueden provenir de procesos externos, lo cual permite la implementación de estrategias de guiado no convencionales basadas en datos obtenidos en tiempo real. La velocidad de avance varı́a de 0 a 2 m/s (Cruz, 2008; Matos, 2008). AUV REMUS (Figura 1–1 (c)): Los AUV REMUS son el fruto del programa de cooperación que envuelve al Naval Oceanographic Office, la Office of Naval Research y al Woods Hole Oceanographic Institution (W HOI), todos de Estados Unidos. Se utilizan en la detección de minas, el monitoreo ambiental y en operaciones de búsqueda y rescate. Los vehı́culos REMUS utilizan transmisores acústicos como referencia para determinar su posición. La ubicación de estos transmisores constituye un dato que forma parte del programa donde se genera la trayectoria a seguir durante la misión. Durante la misión, el vehı́culo envı́a una señal que es respondida por el transmisor. El tiempo que transcurre entre el envı́o de la señal y la recepción de la respuesta se utiliza para determinar el alcance de un transmisor. Por su parte, la velocidad del sonido en el agua, sensada por un sonar, sirve para calcular la distancia (Phaneuf, 2004). La profundidad en que operan ha variado de un vehı́culo a otro, el REMUS 6000 puede navegar a 6000 m de profundidad (Rodrı́guez, 2011a).. (a) AU V Hugin. (b) AU V MARES. (c) AU V REMUS. Figura 1–1: Proyectos de AU V s.

(19) ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS DE GUIADO APLICADAS EN VEHÍCULOS MARINOS. 10. En Cuba no se reporta la utilización de esta tecnologı́a. El proyecto HRC − AUV constituye un primer intento que realiza el paı́s en pos de lograr el desarrollo de vehı́culos marinos autónomos. 1.3.. Descripción general del HRC − AUV. El desarrollo de un vehı́culo autónomo implica solucionar un conjunto de retos por parte del equipo de investigación. En el caso del HRC − AUV , los objetivos a alcanzar se relacionan a continuación (Martı́nez, 2013): Diseño de un vehı́culo capaz de realizar amplios desplazamientos para cumplimentar labores de supervisión y exploración en la plataforma marina. Método de navegación con la menor dependencia posible de factores externos. El AUV debe ser capaz de operar en varios modos de trabajo. Las estrategias de control del vehı́culo deben estar basadas en diseños clásicos de alta fiabilidad. La arquitectura de hardware debe ser sencilla, de bajo costo y basada en dispositivos de fácil adquisición y mantenimiento. El software a los distintos niveles de la arquitectura de hardware debe ponderar la funcionabilidad, con un carácter modular que permita su rápido despliegue y puesta a punto. El diseño mecánico y la construcción naval del HRC−AUV corre a cargo del CIDNAV . Como resultado de su labor, se cuenta con un vehı́culo con alto grado de simetrı́a y con forma cilı́ndrica, cuya estructura es similar al Hugin 4500 (Hegrenaes, 2007) y al ST ARF ISH (Sangekar, 2008). El sistema de actuadores está compuesto por un propulsor y dos timones de control, uno para el rumbo y otro para la profundidad, ubicados en la parte trasera del vehı́culo y accionados eléctricamente (Martı́nez, 2010). El HRC − AUV puede operar de forma segura hasta profundidades de 10 m, con tres modos de operación fundamentales: teledirección para las misiones en superficie, autopiloto con los lazos de control activados para seguir los valores deseados de rumbo y profundidad, y un tercer modo para el seguimiento de trayectorias. Los datos geométricos, fı́sicos e inerciales del vehı́culo aparecen en la Tabla 1–1. En la Figura 1–2 se presenta el esquema donde aparece el hardware y los elementos del sistema sensorial instalado en el HRC − AUV . Esta estructura tiene dos segmentos claramente definidos: la estación instalada a bordo del submarino y la estación remota, esta última puede ubicarse en tierra firme o en una embarcación acompañante. El segmento a bordo está compuesto por dos unidades de cómputo y una unidad de potencia. Las unidades de cómputo son: una computadora industrial P C − 104 y un.

(20) ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS DE GUIADO APLICADAS EN VEHÍCULOS MARINOS. 11. Tabla 1–1: Datos geométricos, fı́sicos e inerciales del HRC − AUV Parámetros m u0 n L R Ixx Iyy Izz Ixz BG δT δE. Descripción Valor masa 4094.56 kg velocidad crucero 1.9 m/s revoluciones del propulsor 52.36 rad/s largo 9.46 m radio 0.4 m momento de inercia 450.1 kgm2 momento de inercia 21 010.4 kgm2 momento de inercia 20 816 kgm2 momento de inercia 275.44 kgm2 distancia entre el CG y el CF [0, 0, 22 mm]T ángulo de deflexión del timón horizontal ± 30◦ ángulo de deflexión del timón vertical ± 30◦. 4. Figura 1–2: Arquitectura de hardware y sensorial instalada en el HRC − AUV . sistema empotrado basado en dos DsP IC 33F J64 de la firma Microchipr . Estas dos unidades se dividen el trabajo de adquisición de datos desde los sensores y las tareas de navegación y control, resultando en la siguiente asignación de tareas (Martı́nez, 2010): Unidad DsP IC: Maneja todas las mediciones analógicas relacionadas con: profundidad, ángulo de timones, parámetros de propulsión, nivel de baterı́as y sensores de fugas. En esta unidad se ejecutan los algoritmos de control de rumbo y profundidad del AUV . Unidad P C − 104: En esta unidad es donde se ejecuta el algoritmo de navegación, es la encargada de estimar la posición y orientación del vehı́culo, maneja los históricos y administra la comunicación con la estación remota..

(21) ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS DE GUIADO APLICADAS EN VEHÍCULOS MARINOS. 12. Unidad de potencia: Está compuesta por un bloque CD − CD que brinda todos los voltajes requeridos por la arquitectura de hardware del AUV . El segmento remoto está integrado por una laptop donde se ejecuta el sistema de supervisión y configuración del AUV . La laptop utiliza un dispositivo de comunicaciones inalámbricas y antenas apropiadas para el intercambio de datos durante las misiones, siempre y cuando el vehı́culo se encuentre navegando en superficie. Los sensores instalados en el HRC − AUV son de bajo costo y pueden ser agrupados en las siguientes categorı́as (Martı́nez, 2013): Unidad de Medición Inercial (IMU): MTi de la firma Xsensr . Esta unidad contiene arreglos 3D de acelerómetros, giróscopos y magnetómetros. Se utiliza para determinar con precisión la orientación del vehı́culo en tiempo real. GP S: XL12 de la firma Garminr , sensor digital. Brinda información precisa de la posición del vehı́culo dada en latitud, longitud y altura. Se emplea solamente durante la navegación en superficie. Sensor de profundidad: Cerabar T P MP 131 de la firma Endress + Hauser r, sensor analógico. Es usado para determinar la profundidad a la que opera el AUV . Sensor de nivel de baterı́as: sensor analógico. Este sensor realiza una estimación del estado de las baterı́as, basado en los niveles de voltaje y corriente entregados al sistema. Sensores de fuga: sensor digital. Se emplea con el objetivo de detectar la presencia de agua en el vehı́culo. Estos sensores se encuentran localizados en el fondo del casco en proa y popa. Ángulo de los timones: MLO−P OT −225−T LF de la firma F estor , sensor analógico. Este sensor mide la posición angular de los timones horizontal y vertical. Revoluciones del motor: sensor digital. Mediante este sensor se obtienen las revoluciones (rpm) del motor. Durante las misiones que requieren el seguimiento de trayectorias, el GP S juega un papel fundamental, porque se utiliza para determinar la posición del vehı́culo. Sus mediciones se emplean en el algoritmo de guiado para calcular las acciones de control que se deben ejecutar, con el propósito de lograr un seguimiento de trayectoria con el mı́nimo error posible. A partir de las mediciones de este sensor, también se puede conocer el valor de las componentes de velocidad del vehı́culo. Sin embargo, estos valores de velocidad no se determinan de forma directa, lo cual hace que no sean del todo confiables. Este elemento debe tenerse en cuenta a la hora de seleccionar la estrategia de control de seguimiento de trayectoria a diseñar en el HRC − AUV . El sistema software ejecutado en la estación remota se utiliza como herramienta de supervisión y configuración a distancia del HRC − AUV . Esta aplicación incorpora.

(22) ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS DE GUIADO APLICADAS EN VEHÍCULOS MARINOS. 13. interfaces gráficas diseñadas apropiadamente para facilitar la interacción remota con el vehı́culo. Entre los servicios que ofrece este software destacan: Servicio de supervisión: Mediante este servicio el usuario puede visualizar las diferentes variables que representan el estado del vehı́culo y monitorear la navegación en superficie del HRC − AUV . Servicio de tele-operación: Mediante este servicio el usuario puede manejar remotamente el vehı́culo. La tele-operación se realiza cambiando remotamente el ángulo de deflexión del timón horizontal. A través de este servicio se puede encender y apagar el motor propulsor. Servicio de identificación: Este servicio se utiliza para obtener datos experimentales que son utilizados en la determinación de un modelo para el subsistema lateral y un modelo para el subsistema longitudinal. Servicio para el ajuste de los controladores: Permite cambiar los valores de las ganancias de los controladores de rumbo y profundidad. La interfaz incorpora gráficas que sirven para evaluar el desempeño del vehı́culo ante un ajuste determinado, ofrece opciones para activar o desactivar lazos de control y permite configurar los valores deseados para los lazos de rumbo y profundidad. Servicio para la planificación de trayectorias: La aplicación cuenta con una interfaz que permite la planificación de trayectorias a través de mapas georeferenciados. El proceso de planificación se realiza situando puntos de paso sobre el mapa. Estos puntos constituyen los lugares por los que se desea que pase el vehı́culo. Adicionalmente, se pueden emitir las órdenes de inicio y parada de la misión de seguimiento. Todos estos servicios se actualizan mediante el enlace inalámbrico, lo cual solo es posible cuando el AUV se encuentra en la superficie. Esta es la arquitectura de hardware y sensorial que respalda la realización de pruebas experimentales y el cumplimiento de misiones con el HRC − AUV , cuyo desempeño ha sido probado satisfactoriamente durante más de 30 horas de funcionamiento continuo (Martı́nez, 2010, 2013). 1.4.. Leyes de guiado para el seguimiento de camino. La trayectoria determina el movimiento de un objeto en el espacio, esta puede ser descrita a partir de la geometrı́a del camino o por la posición del objeto a través del tiempo. El guiado es un proceso mediante el cual un objeto sigue un camino a través de puntos dados, el cual por lo general está en movimiento (Breivik, 2008). Los sistemas de control y de guiado de vehı́culos marinos, tal como se aprecia en la Figura 1–3, constan de dos.

(23) 14. ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS DE GUIADO APLICADAS EN VEHÍCULOS MARINOS. elementos fundamentales: el controlador de rumbo del vehı́culo y un algoritmo o ley de dirección para controlar el seguimiento de la trayectoria. Este último puede incluir o no el control de la velocidad. Operador. Sistema externo Olas, viento, corrientes marinas Sistema de control. Generador puntos de pasos. Algoritmo de guiado. Acción Anticipatoria. Controlador autopiloto. Control bajo nivel. Observador Sistema de Gguiado. Vehículo marino. Giróscopos DGPS. Sistema de Navegación. Figura 1–3: Esquema general del sistema de control de movimiento para un vehı́culo marino. Los escenarios existentes para el control de movimiento del vehı́culo y sus respectivos objetivos son: (Breivik, 2008): Seguimiento del objetivo: sigue el movimiento de un objetivo, el cual puede ser estacionario (estabilización de puntos) o estar en movimiento, tal que solo su movimiento instantáneo es conocido y no se conoce información acerca del futuro objetivo. En estos casos es imposible separar las restricciones espaciales de las temporales. Seguimiento de camino o P F (Path Following): busca seguir un camino predefinido, el cual solo involucra restricciones de tipo espaciales. Seguimiento de objetivo o T T (Target Tracking): sigue un objetivo que se encuentra a lo largo de un camino predefinido. En este caso interesan tanto las restricciones espaciales como las temporales. Maniobrabilidad: trata de optimizar el camino a seguir poniendo las restricciones espaciales por encima de las temporales. Es válido aclarar, que sobre todo en idioma español, los términos de seguimiento de camino y objetivo se pueden usar indistintamente como sinónimos. La diferencia entre ambos radica fundamentalmente en las restricciones que se consideran, para el caso de.

(24) ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS DE GUIADO APLICADAS EN VEHÍCULOS MARINOS. 15. seguimiento de camino solo importan las restricciones espaciales, mientras que el término de seguimiento de objetivo involucra tanto restricciones espaciales como temporales (Cruz, 2012). Muchos de los conceptos referentes al guiado que se utilizan en la actualidad provienen de aplicaciones de la industria armamentista, especı́ficamente la dedicada al estudio de los misiles (Breivik, 2007). En estas aplicaciones son usados comúnmente dos conceptos fundamentales: interceptor y objetivo. El interceptor se refiere al misil que busca dar en el blanco, mientras que el objetivo se define como el blanco, el cual puede, o no, estar en movimiento. Un interceptor tiene tı́picamente 3 fases: lanzamiento, mitad del recorrido y final. Esta última es la que mayor precisión requiere de las tres, ya que en ella el interceptor debe impactar en el objetivo con el menor error posible. Las estrategias de guiado que se aplican en la fase final son (Breivik, 2007): Lı́nea de Visión LOS (Line of Sight): es un esquema de guiado de tres puntos (referencia, interceptor, objetivo), el cual se basa en la existencia de un vector en lı́nea recta que se intercepta con la lı́nea de visión que existe entre la referencia y el objetivo. Es usualmente usado en misiles tierra-aire y en la mayorı́a de vehı́culos marinos y aéreos (Papoulias, 1994; Fossen, 1994; Pettersen, 2001a; Fossen, 2002; Healey, 2006; Velasco, 2008; Cruz, 2012; Breivik, 2008). Persecución P P (Pure Pursuit): es un esquema de guiado de dos puntos (interceptor y objetivo), que supone alinear la velocidad del interceptor con la del objetivo a través de una lı́nea de visión entre ambos. Existe una variante de este algoritmo conocida como navegación en dirección fija, la cual alinea la velocidad del interceptor en dirección a una lı́nea de visión con un ángulo constante con el propósito de interceptar el movimiento del objetivo. Es utilizado en misiles aire-tierra y en algunos vehı́culos marinos (Simakis, 1992; Breivik, 2008). Dirección Constante CB (Constant Bearing): semejante al esquema de guiado P P , supone alinear el interceptor a una velocidad relativa (interceptor-objetivo) a lo largo de una lı́nea de visión entre ambos. Es usado en misiles aire-aire (Breivik, 2008). Cabe añadir que cuando el objetivo está estacionario los métodos P P y CB se asumen como exactamente iguales. En la Figura 1–4 se pueden apreciar claramente las particularidades que distinguen a cada una de estas estrategias. La solución para el control de seguimiento del HRC − AUV que se propone en esta investigación, se basa en la estrategia de guiado LOS..

(25) 16. ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS DE GUIADO APLICADAS EN VEHÍCULOS MARINOS. Objetivo. PP LOS. XE. CB. Interceptor Referencia. YE Figura 1–4: Principales estrategias de guiado: LOS, PP, CB. Existen diferentes leyes de guiado que pueden aplicarse tanto para el seguimiento de trayectorias, con y sin restricciones temporales, como en operaciones de maniobrabilidad que se ejecuten a lo largo del camino. Estas leyes pueden ser de dirección o de velocidad, por lo que pueden verse de manera conjunta o por separado, de acuerdo a los objetivos de control que se persigan. Si se considera un camino en lı́nea recta definido por al menos dos puntos (uno de referencia y otro como siguiente), donde el eje x del primer punto, ha sido rotado un ángulo positivo respecto al origen de coordenadas inercial, entonces el error de guiado va a depender de este ángulo. El error de guiado está compuesto por el error de seguimiento a lo largo del camino y por el error de seguimiento perpendicular al camino. En los escenarios de camino donde solo son tomadas en cuenta las restricciones espaciales, tiene principal interés hacer cero el error de seguimiento perpendicular al camino, con lo cual se asegura la convergencia del vehı́culo a la trayectoria. Para lograr este propósito resulta necesario emplear alguna de las dos leyes de dirección siguientes (Breivik, 2008): Ley de dirección basada en el encierro circular del camino Ley de dirección basada en la distancia lookahead 1(mirar hacia adelante). Ambos métodos operan de manera semejante y tienen como propósito estabilizar en cero el error de seguimiento paralelo al camino. El segundo método requiere menos recursos. 1. distancia de la proyección de la posición del vehı́culo sobre el camino.

(26) ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS DE GUIADO APLICADAS EN VEHÍCULOS MARINOS. 17. computacionales para realizar los cálculos y además puede aplicarse para cualquier valor de error de seguimiento paralelo al camino. Cuando los caminos no son en lı́nea recta se utilizan distintas técnicas que posibilitan la parametrización de los mismos (Breivik, 2008), con el propósito de continuar aplicando estas leyes. Para esta investigación se consideran siempre segmentos en lı́nea recta entre un punto y otro. Por lo que para el seguimiento de caminos, en el caso del HRC − AUV , se propone el uso de la ley de dirección basada en la distancia lookahead. 1.5.. Estrategias de control aplicadas en el guiado de vehı́culos marinos. En el proceso de guiado es necesaria la existencia de un autopiloto (Cruz, 2012), el objetivo del mismo es hacer que el vehı́culo siga el rumbo calculado por la ley de dirección. Por lo que resultan de interés, tanto las soluciones aplicadas para el control de rumbo, como los algoritmos de guiado que se utilizan. Diversas son las investigaciones que se han realizado alrededor de esta temática, con frecuencia se suele diseñar un controlador de rumbo relacionado con la geometrı́a del camino. Tal es el caso de lo realizado por Simakis (Simakis, 1992), quien ajusta un controlador de rumbo tipo P − D y utiliza la estrategia de guiado P P . Los parámetros del controlador se calculan a partir de establecer valores deseados para la frecuencia natural de oscilación y el factor de amortiguamiento. La estabilidad del sistema queda demostrada utilizando el criterio de Routh, luego de linealizar la expresión de la ley de seguimiento que se aplica. Otro ejemplo es lo propuesto por Velasco y otros autores (Velasco, 2008), quienes ajustan un controlador de rumbo tipo P I − D que debe seguir una dirección especı́fica que es calculada a partir de la estrategia de guiado LOS. En esta propuesta no se tienen en cuenta los efectos provocados por las perturbaciones marinas. Thor I. Fossen (Fossen, 1994, 2002) propone el uso de un controlador PI como ley de guiado para el seguimiento de camino. La justificación de esta propuesta se basa en que se desea lograr que el error de seguimiento perpendicular al camino sea cero. Para este caso particular se establecen las consideraciones siguientes: el ángulo de rumbo es pequeño y su valor puede aproximarse a cero, además el error de seguimiento perpendicular al camino se considera aproximadamente igual a la posición del vehı́culo en el eje y. La utilización de una acción integral en el controlador de seguimiento, tiene como propósito compensar el efecto provocado por las perturbaciones medioambientales sobre el vehı́culo. Como estrategia de guiado se utiliza LOS, aplicándose la ley de dirección que se basa en el encierro circular del camino. Esta propuesta está limitada debido a las.

(27) ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS DE GUIADO APLICADAS EN VEHÍCULOS MARINOS. 18. condiciones que se asumen para su diseño, ya que en aplicaciones de carácter práctico es improbable que tales suposiciones ocurran. Breivisk (Breivik, 2008), por su parte, mantiene la idea de utilizar un controlador de seguimiento tipo P I, pero como parte de la ley de guiado, realizando el ajuste del mismo a partir de la distancia lookahead. Esta distancia se establece como un valor proporcional a la longitud del vehı́culo. La estabilidad de esta propuesta depende del valor de distancia que se seleccione. Esta solución no se encuentra restringida por condición alguna. Otros conocedores del tema también han hecho importantes publicaciones (Aguiar, 2004, 2005) donde se menciona la posibilidad de obtener una convergencia más suave en escenarios de control de P F que en T T , consiguiéndose señales de mando menos suceptibles a la saturación. Una solución para el seguimiento de objetivo de forma asintótica mediante un algoritmo de alta ganancia se propone por Pettersen (Pettersen, 2001c). Jiang (Jiang, 2002) muestra los resultados obtenidos al diseñar un algoritmo de guiado, que consigue la convergencia global a la trayectoria utilizando el método directo de Liapunov. Otros autores (Encarnacao, 2000a), proponen utilizar un modelo bidimensional no lineal de un vehı́culo para el diseño de un controlador de seguimiento de trayectorias formadas por lı́neas rectas y circunferencias. Esta propuesta ha sido aplicada también en vehı́culos submarinos incorporando la dinámica de profundidad en el modelo del vehı́culo (Encarnacao, 2000b). Papoulias (Papoulias, 1994) propone el uso de un esquema de control realimentado con compensación de perturbaciones como autopiloto. Con esta propuesta se logra una razón de giro especı́fica, la cual es utilizada por la ley de guiado para asegurar la convergencia al camino. Pettersen y Leffeber (Pettersen, 2001a), ajustan una ley de control tipo cascada que permite controlar el rumbo y el error de seguimiento. Este error es minimizado gracias al control que se ejerce sobre el momento angular en el eje z. Pettersen (Pettersen, 2001b), a partir de una transformación de coordenadas, también propone implementar un integrador backstepping 2 como parte de una ley de control de seguimiento, con la cual se controla la posición del vehı́culo y el ángulo de rumbo del mismo. De esta manera se consigue la estabilidad en el seguimiento de camino. Todas estas estrategias tienen como elemento común una elevada complejidad matemática lo cual dificulta su implementación.. 2. Técnica de control moderna que se caracteriza por su complejidad matemática, debido a la necesidad de realizar repetidas diferenciaciones de funciones no lineales..

(28) ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS DE GUIADO APLICADAS EN VEHÍCULOS MARINOS. 19. En el caso especı́fico del HRC − AUV , se han realizado investigaciones previas que han posibilitado el diseño de variantes para el sistema de guiado del vehı́culo. En todos los casos se ha utilizado un P I − D como controlador de rumbo, con lo cual se asegura que el vehı́culo sea conducido por la trayectoria establecida a partir de los valores deseados de rumbo que son calculados. En la primera propuesta de diseño realizada por GARP se utiliza LOS como estrategia de guiado y los valores de rumbo deseados se determinan directamente, a partir de las coordenadas de los puntos que forman parte de la trayectoria a recorrer (Rodrı́guez, 2011b). Esta solución ha sido evaluada mediante simulación y en pruebas con el vehı́culo en el mar (Valeriano-Medina, 2013b). En los resultados alcanzados se observan afectaciones producidas por las perturbaciones marinas que provocan desviaciones en el recorrido, además no hay posibilidad de garantizar que el error de seguimiento perpendicular al camino sea cero. En la segunda propuesta, GARP mantiene la estrategia de guiado LOS, pero la ley de dirección que se implementa para el cálculo del rumbo deseado se basa en la distancia lookahead (Zamora, 2011; Lemus, 2011). En esta ley, el ángulo de rumbo deseado se calcula en función, a su vez, de dos ángulos: uno que se determina a partir de las coordenadas de los puntos que forman parte de la trayectoria y otro que se define como el ángulo tangencial al camino. Es, precisamente este último ángulo, el que depende de la distancia antes mencionada. Para reducir el efecto de las perturbaciones marinas, se propone corregir el ángulo de deslizamiento (β), que representa la afectación que producen las corrientes marinas sobre el desplazamiento del vehı́culo. Para lograr esta corrección se necesita contar en todo momento con las mediciones de velocidad del vehı́culo (Fossen, 2011), lo cual incorpora complejidad al algoritmo. Esta solución ha podido ser evaluada mediante simulación, considerando el valor del ángulo de deslizamiento como constante, ya que no es posible contar con una medición fiable de la velocidad de la embarcación. De acuerdo con autores consultados (Breivik, 2008; Fossen, 2011), es posible reducir el efecto de las perturbaciones marinas durante el seguimiento del camino sin tener que realizar la corrección del ángulo β. Para ello se necesita introducir un controlador P I en la estructura matemática del ángulo tangente al camino. El ajuste del controlador continuará dependiendo de la selección que se haga del valor de distancia lookahead. En esta investigación se pretende evaluar este procedimiento para el caso del HRC −AUV , con el propósito de lograr que el error de seguimiento perpendicular al camino sea cero, independientemente a la presencia de las corrientes marinas y el oleaje. En el Capı́tulo 2 de este informe se presentan las definiciones y expresiones matemáticas que sustentan esta propuesta..

(29) ESTUDIO SOBRE LAS ESTRATEGIAS DE GUIADO APLICADAS EN VEHÍCULOS MARINOS. 1.6.. 20. Consideraciones finales. Luego de realizar un análisis crı́tico de la literatura consultada, se arriban a las siguientes consideraciones. A pesar de la evolución y desarrollo que han alcanzado los vehı́culos autónomos subacuáticos, su estudio en la actualidad impone resolver disı́miles desafı́os. Entre estos retos se encuentra la necesidad de contar con un sistema de guiado, que tenga en cuenta los tipos de trayectoria a seguir por el vehı́culo y los efectos adversos que durante el seguimiento de las mismas, provocan el oleaje y las corrientes marinas. El diseño de un sistema de guiado, basado en la estrategia LOS, posibilita el seguimiento de trayectorias con el menor error posible. Es posible determinar una ley de guiado para el HRC − AUV , que incluya un controlador P I, ajustado a partir de la geometrı́a del camino y de las caracterı́sticas del vehı́culo, que permitan contrarrestar el efecto de las perturbaciones marinas durante el seguimiento de trayectoria..

(30) .. CAPÍTULO 2 SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS EN LÍNEA RECTA 2.1.. Introducción. En el presente capı́tulo se define la estructura del controlador a utilizar en el HRC − AUV para el seguimiento de trayectorias en lı́neas rectas. En tal sentido, se definen los sistemas de coordenadas, las variables y la nomenclatura a emplear. Se presenta la estructura del modelo dinámico no lineal de seis grados de libertad (6 GDL) del vehı́culo, incluyendo representaciones matemáticas para el oleaje y las corrientes marinas. 2.2.. Sistemas de coordenadas. Para analizar el movimiento de los vehı́culos marinos en los 6 GDL, es conveniente contar con dos sistemas de coordenadas, véase Figura 2–1. El sistema coordenado móvil es convenientemente fijado en el vehı́culo, cuyos ejes xB , yB y zB coinciden con los ejes de inercia. El origen del sistema del submarino (OB) puede ser situado en el Centro de Gravedad (CG) o en el Centro de Flotabilidad (CB) del vehı́culo, aprovechando el plano principal de simetrı́a. En el caso del HRC − AUV , OB se hace coincidir con CB. Como resultado de considerar las aceleraciones de un punto sobre la superficie de la Tierra despreciables, ya que el movimiento de la misma afecta poco a los vehı́culos marinos de baja velocidad (Fossen, 1994), es posible definir un sistema de referencia fijo en tierra (OE), siendo xE , yE , zE sus ejes. De manera tal, que la posición y orientación del vehı́culo deben ser descritas respecto a OE, mientras que las velocidades lineales y angulares deben referirse respecto a OB. El movimiento general de un submarino en los 6 GDL se describe mediante los siguientes vectores (SNAME, 1950): " # ν1 ν 1 = [ u, v, w ]T (2.1) ν= donde ν2 ν 2 = [ p, q, r ]T. 21.

(31) 22. SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS EN LÍNEA RECTA. Figura 2–1: Sistemas de coordenadas con la definición de ángulos y velocidades. # " η1 η 1 = ( x, y, z )T η= donde (2.2) η2 η 2 = ( φ, θ, ψ )T " # τ1 τ 1 = [ X, Y, Z ]T donde (2.3) τ = τ2 τ 2 = [ K, M, N ]T En este caso, η denota el vector de posición y orientación con coordenadas en el sistema de referencia fijo en tierra, υ representa al vector de velocidad lineal y angular con coordenadas en el sistema del submarino, y τ se utiliza para representar las fuerzas y momentos que actúan sobre el vehı́culo en el sistema de coordenadas del submarino. Las ecuaciones cinemáticas se pueden expresar en forma vectorial utilizando las transformaciones de ángulos de Euler como (Fossen, 2006): η̇ = J (ηη )νν. (2.4). donde J (ηη ) es la matriz de transformación de un sistema coordenado a otro y queda definida como:. J (ηη ) =. ". 0 J1 (ηη2 ) 0 J2 (ηη2 ). #.

(32) 23. SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS EN LÍNEA RECTA. siendo:    1 tθsφ tθcφ cψcθ (cψsθsφ − sψcφ) (sψsφ + cψcφsθ)     J1 (ηη2 ) =  sψcθ (cψcφ + sφsθsψ) (sθsψcφ − cψsφ)  ; J2 (ηη2 ) =  0 cφ −sφ  cφ 0 sφ −sθ cθsφ cθcφ cθ cθ . notar que c∗ = cos(∗), s∗ = sen(∗) y t∗ = tan(∗). 2.3.. Modelo dinámico de un vehı́culo autónomo subacuático. Las maniobras de las embarcaciones marinas abarcan el movimiento en los seis grados de libertad (Fossen, 2011). Las tres primeras coordenadas, y sus derivadas en el tiempo, se emplean para describir la posición y el movimiento lineal del vehı́culo a lo largo de los ejes x, y y z, mientras que las tres coordenadas restantes, se utilizan en la representación de la orientación y el movimiento rotatorio. La Tabla 2–1 resume la nomenclatura estándar empleada para describir el movimiento de submarinos (SNAME, 1950). Tabla 2–1: Notación utilizada para AUV. Traslación Fuerza Avance X Desplazamiento lateral Y Arfada Z Rotación Momento Balanceo K Cabeceo M Guiñada N. Velocidad lineal Posición u x v y w z Velocidad angular Ángulo p φ q θ r ψ. El comportamiento dinámico de un AUV se describe mediante las leyes de Newton (Fossen, 2002). Para obtener las ecuaciones de movimiento es necesario asumir que el vehı́culo es un cuerpo rı́gido y el sistema de referencia fijado en tierra es inercial. A partir de lo cual se plantea la ecuación 2.5 (Fossen, 1994, 2002, 2011). υ )υ υ + D (υ υ )υ υ+ υ )υ υ + MA υ̇ + CA (υ MRB υ̇ + CRB (υ {z } {z } | |. términos del cuerpo r ígido. términos hidrodinámicos. g (ηη ) |{z}. =τ. (2.5). términos hidrostáticos. υ ) es la matriz de donde MRB designa a la matriz de masa del cuerpo rı́gido, CRB (υ Coriolis del cuerpo rı́gido, el vector τH representa las fuerzas y momentos hidrostáticos e hidrodinámicos, y τ es el vector de fuerzas de control (Fossen, 2006). Agrupando términos en la ecuación 2.5 se llega a una representación mucho más compacta. υ )υ υ + D (υ υ )υ υ + g (ηη ) = τ M υ̇ + C (υ (2.6).

(33) SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS EN LÍNEA RECTA. 24. υ) = donde M = MRB + MA es la matriz de inercia incluyendo las masas añadidas, C (υ CRB (υ υ ) + CA (υ υ ) es una matriz que incluye términos de Coriolis y de masas añadidas, υ ) agrupa los términos de amortiguamiento, g (ηη ) es el vector de fuerzas gravitaD (υ cionales y de flotabilidad, por último, τ = [τX , τY , τZ , τK , τM , τN ]T es el vector de fuerzas y momentos provocados por las entradas de control. La estructura de cada una de estas matrices y vectores para el vehı́culo HRC − AUV han sido determinadas por GARP en investigaciones anteriores (Valeriano-Medina, 2013a). 2.3.1.. Representación lineal del subsistema lateral. Para el diseño de los controladores es necesario contar con modelos más simplificados. Una solución consiste en dividir al sistema en tres subsistemas con poca interacción entre ellos. Esta descomposición está dada por la simetrı́a del vehı́culo y se encuentra reportada en la literatura (Jalving, 1995; Isiyel, 2003). Los tres subsistemas y sus variables de estado están dados por: Subsistema lateral, utilizado para las maniobras de dirección del vehı́culo. Variables de estado: v, r y ψ. Subsistema longitudinal, empleado para las maniobras de emersión-inmersión del vehı́culo. Variables de estado: w, q, θ y z. Subsistema horizontal, utilizado para el diseño del sistema de navegación. Variables de estado: u, v y r. Para el caso de esta investigación resulta de especial interés la dinámica del subsistema lateral, cuya representación matemática mediante función de transferencia se conoce como modelo de Nomoto y es ampliamente empleada en el diseño de controladores de rumbo (Fossen, 2011). El modelo en espacio-estado que representa la dinámica del subsistema lateral para el HRC − AUV está dado por (Valeriano-Medina, 2013a):       " # v −Yv mu0 0 v̇ m − Yv̇ 0 0 b2       δT (2.7) 0 Izz − Nṙ 0   ṙ  +  0 −Nr 0   r  =  b5 ψ 0 0 1 ψ̇ 0 0 1 A partir de este modelo, es posible obtener la función de transferencia entre el ángulo de guiñada del vehı́culo y el ángulo del timón horizontal como: ψ(s) b5 = δT (s) (Izz − Nṙ )s2 − Nr s. (2.8).

(34) 25. SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS EN LÍNEA RECTA. 2.3.2.. Modelo simplificado para el oleaje y las corrientes marinas. Las principales perturbaciones a considerar en el caso de los vehı́culos marinos son el oleaje y las corrientes marinas. Si se incorporan los efectos que las mismas provocan durante la navegación del vehı́culo, se puede reescribir la ecuación 2.5 como (Fossen, 1994): M ν̇r + C(νr )νr + D(νr )νr + g(η) = τolas + τ (2.9) donde (ττolas ) representa las fuerzas y momentos provocados por las olas mientras que (ννr ) simboliza la velocidad relativa a las corrientes. Las fuerzas y momentos inducidos por el mar sobre una embarcación rı́gida están dados por el vector τolas = [Xolas , Yolas , Nolas ]T (Fossen, 1994). Para representar matemáticamente el comportamiento de las olas dentro de un área geográfica especı́fica, resulta necesario seleccionar un espectro de ondas (Ochi, 1998). Desde el punto de vista de los sistemas automáticos, resulta conveniente contar con una aproximación lineal del espectro del oleaje que pueda ser incluida en los lazos de control. En este sentido, es posible obtener una función de transferencia de segundo orden en la cual y(s) representa a la salida del modelo de las olas: y(s) =. s2. Kω s wH (s) + 2ζω0s + ω02. (2.10). wH (s) se representa mediante un ruido blanco de media cero y ω0 simboliza a la frecuencia fundamental del oleaje, que depende del espectro que se seleccione. La ganancia constante Kω se define como: Kω = 2ζω0σ. (2.11). siendo σ la constante que describe la intensidad de las olas y ζ es el coeficiente de amortiguamiento, por lo general elegido con un valor de 0,1. A partir de la función de transferencia de la ecuación 2.10 es posible obtener un modelo lineal en espacio-estado como: ". x˙h1 xh2 ˙. #. =. ". yh =. h. 0 1 −w02 −2ζw0. 0 1. i. ". xh1 xh2. #" #. xh1 xh2. #. +. ". 0 Kw. #. wh (2.12).

(35) 26. SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS EN LÍNEA RECTA. Este modelo es altamente aplicable al diseño de sistemas de control debido a su simplicidad. Por otra parte, el efecto de las corrientes marinas se añade al modelo no lineal de 6 GDL del vehı́culo mediante el término νr (velocidad relativa), ecuación 2.9. La velocidad relativa se define como: νr = ν − Vc (2.13) siendo ν el vector velocidad del vehı́culo definido en la ecuación 2.1, mientras que el vector que representa la velocidad de las corrientes referido a OB, considerando que las mismas no generan movimientos rotacionales en el vehı́culo, queda definido como Vc = [uc , vc , wc , 0, 0, 0]T . Teniendo en cuenta que las operaciones de seguimiento de trayectorias se realizan con el vehı́culo en superficie, solo se necesita obtener un modelo bidimensional de las corrientes, por lo que solo se toman en cuenta las componentes (uc , vc ) del vector de velocidad Vc . Estas componentes se calculan a partir del ángulo de dirección de las corrientes (βc ) y del módulo del vector velocidad de las corrientes Vca , tal que: uE c = Vca cos βc. vcE = Vca sin βc. (2.14). Para obtener las componentes de velocidad de las corrientes referidas a OB, se hace necesario aplicar las transformaciones de coordenadas mediante los ángulos de Euler, obteniéndose (Fossen, 1994, 2011): " # " # E u uc c (2.15) = J1 (ηη2 )T E vc vc Asumiendo φ y θ iguales a cero, uc y vc según las transformaciones de ángulos de Euler se calculan como: ". uc vc. #. =. ". cos(ψ) sin(ψ) − sin(ψ) cos(ψ). #". uE c E vc. #. Aplicando identidades trigonométricas en la expresión anterior, se obtienen las ecuaciones de las velocidades de las corrientes referidas a OB. uc = Vc cos(βc − ψ). (2.16). vc = Vc sin(βc − ψ). (2.17).

(36) 27. SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS EN LÍNEA RECTA. 2.4.. Algoritmo de guiado basado en la distancia lookahead. Si se considera un camino en lı́nea recta definido esencialmente por dos puntos a través de los cuales el vehı́culo debe pasar, estos puntos pueden ser definidos como pk = [yk , xk ]T ∈ R2 y pk+1 = [yk+1, xk+1 ]T ∈ R2 , respectivamente. Considerando pk como origen de la referencia al camino, cuyo eje x ha sido rotado un ángulo positivo αk = atan2(yk+1 − yk , xk+1 − xk )1 ∈ S relativo al eje x del sistema de referencia inercial del vehı́culo. Por tanto, las coordenadas cinemáticas del vehı́culo respecto al camino pueden ser calculadas de la forma: p(t) − pk ) ξ(t) = R(αk ) T (p(t). (2.18). siendo R(αk ) la matriz que permite rotar la posición del vehı́culo al sistema de referencia ubicado en el camino:. R(αk ) =. cosαk −senαk senαk cosαk. !. (2.19). y ξ(t) = [s(t),e(t)]T ∈ R2 , tal que s(t) es el error de seguimiento a lo largo del camino y e(t) el error de seguimiento perpendicular al camino, tal como se aprecia en la Figura 2–2. Para el caso de seguimiento de trayectoria, donde interesan solo las restricciones espaciales, el objetivo de la ley de guiado se centra en minimizar el valor de e(t); ello significa la convergencia en lı́nea recta del vehı́culo al camino. Considerando las ecuaciones 2.18 y 2.19 se tiene entonces que: e(t) = − (xt − xk )senαk + (yt − yk )cosαk. (2.20). y el objetivo de control asociado al seguimiento de trayectorias en lı́nea recta se transforma en: lı́m e(t) = 0. t→∞. 1. (2.21). Es una función del software Matlab que calcula la arcotangente de dos elementos como: atan2(a,b)=tan−1 (a/b).

(37) 28. SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS EN LÍNEA RECTA. Pk+1 Pint D s. cr. ak. e. Pk. XP. XE. YE. r. c. p. YP. Figura 2–2: Principales variables del algoritmo de guiado basado en la distancia de la proyección del vehı́culo sobre el camino. La ley de dirección basada en la distancia lookahead, se utiliza con el propósito de conducir al vehı́culo hacia el camino en dirección al vector LOS y al mismo tiempo, lograr la convergencia a cero de e(t) (Fossen, 2011). El vector LOS se orienta desde la embarcación hasta el punto Pint , que está situado en una lı́nea tangencial al camino, a una distancia lookahead (∆) de la proyección de la posición del vehı́culo sobre el camino (Kapelios, 1992). Esta ley propone determinar la dirección que debe seguir el vehı́culo a partir de la suma de dos ángulos: χ(e) = χr (e) + χp. (2.22). χp = αk. (2.23). donde:. siendo χp el ángulo tangente al camino y χr (e) un ángulo de corrección, el cual asegura que la velocidad del vehı́culo esté en dirección al punto del camino hacia el cual la embarcación se dirige. −e(t) χr (e) = arctan (2.24) ∆ La distancia ∆ es un parámetro que puede considerarse de manera constante o variable. La selección de la distancia lookahead constituye un tema de investigación abierto, que.

(38) SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS EN LÍNEA RECTA. 29. ha sido abordado por diferentes autores. Por ejemplo, Pavlov (Pavlov, 2009) presenta un sistema estable asintóticamente, con un control no lineal predictivo, donde la distancia ∆ fue optimizada con el objetivo de lograr una convergencia mas rápida al camino y un sobreimpulso en la respuesta más pequeño en comparación con los algoritmos LOS, que consideran el valor de ∆ constante. Por su parte, en otro trabajo (Oh, 2010), se desarrollan dos estrategias de control predictivo, una que considera ∆ constante y otra con ∆ variable. Para este último caso se logra una convergencia más suave a las lı́neas rectas que conforman la trayectoria. En otra ivestigación (Lekkas, 2012), se considera el valor de la distancia lookahead variable en el tiempo. Los resultados obtenidos muestran como los valores más pequeños de este parámetro se necesitan cuando el vehı́culo está lejos del camino, con lo cual se consigue un comportamiento más rápido y agresivo en la respuesta del sistema de guiado. Cuando la embarcación se encuentra próxima al camino, resulta conveniente que los valores de ∆ sean mayores, para que la respuesta del sistema de guiado sea menos abrupta y la posición no oscile respecto a la trayectoria deseada. Los valores, máximo y mı́nimo, entre los que varı́a el parámetro ∆, quedan definidos por el usuario, y deben depender de las caracterı́sticas de maniobravilidad que posea la embarcación. Este método muestra una estabilidad exponencial, ha sido diseñado especialmente para vehı́culos marinos y puede mejorar el comportamiento de los mismos durante el seguimiento de trayectorias. Lekkas, en su tesis doctoral (Lekkas, 2014), compara la ley de guiado basada en la distancia lookahead, considerando ∆ variable y constante, demuestra que las diferencias que se producen no tiene un carácter muy significativo cuando se trata de seguir trayectorias rectas o en aquellas que presentan curvaturas leves. Es por ello, que para el caso de esta investigación, se decide seleccionar el valor de la distancia ∆ como constante. Si el camino a seguir está conformado por n segmentos en lı́nea recta conectados por n+1 puntos del camino, es necesario emplear una estrategia para saber cuando un punto del camino ha sido vencido por el vehı́culo y de esta forma cambiar el objetivo de la misma hacia el siguiente punto del camino. Fossen (Fossen, 2002), propone una vı́a para hacerlo, la cual está asociada a un cı́rculo de aceptación que se establece con cada punto del camino, cuyo radio será de valor Rk+1 > 0 para el punto del camino k+1. De manera tal que el criterio para que el vehı́culo cambie de dirección hacia el siguiente punto queda definido por: 2 (xk+1 − x(t))2 + (yk+1 − y(t))2 ≤ Rk+1. (2.25). Por lo que para cambiar de punto resulta necesario que la posición del vehı́culo esté dentro del cı́rculo de aceptación, teniéndose que definir un valor de r ≥ Rk+1 ..

(39) 30. SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS EN LÍNEA RECTA. A partir de lo anterior, se puede establecer un nuevo criterio que involucre solo al error de seguimiento a lo largo del camino s(t). Teniendo en cuenta que la distancia total entre los puntos pk y pk+1 , se define como sk+1, es posible considerar que un punto del trayecto ha sido vencido cuando: sk+1 − s(t) ≤ Rk+1. (2.26). Aunque 2.25 y 2.26 son semejantes entre sı́, el segundo criterio resulta el más conveniente a utilizar debido a que no requiere que la posición del vehı́culo se encuentre dentro del cı́rculo de aceptación que se defina. 2.5.. Controlador para el seguimiento de trayectoria. El objetivo del control de seguimiento de trayectoria, consiste en determinar un valor de ángulo de rumbo deseado, que le permita al vehı́culo ir venciendo los puntos del camino que sean definidos. Esto implica que: ψd (e) = χ(e) − β. (2.27). donde β es el ángulo de deslizamiento, formado entre xB y el módulo del vector velocidad v1 (U) del vehı́culo, asumiendo que gira sobre el eje zB , su sentido es positivo, por la convención de la regla de la mano derecha, Figura 2–3.. XE XB U. u -b. v. XB. YB. U= u. YB. YE Figura 2–3: Definición del ángulo de deslizamiento. El ángulo de deslizamiento en condiciones de operación ideales para la embarcación, donde no hay influencia de perturbaciones medioambientales sobre el vehı́culo, se puede considerar β ≈ 0, esta aproximación no es válida, cuando aparece una componente de.

(40) 31. SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIAS EN LÍNEA RECTA. velocidad en el eje y, esto ocurre cuando se tienen caminos que no están conformados por lı́neas rectas o cuando el vehı́culo realiza giros. El ángulo de deslizamiento se calcula como: v β = arcsen( ) U. (2.28). donde U es el módulo del vector velocidad para el plano horizontal. Cuando el vehı́culo se encuentra bajo la influencia de perturbaciones medioambientales, el valor de β se calcula como: β = arcsen(. vr ) Ur. (2.29). quedando en función de los valores relativos de estas velocidades, vr está definido en 2.13 y Ur se calcula como: p (2.30) Ur = (u2r + vr2 ) Para disminuir la influencia de las perturbaciones durante el seguimiento de trayectoria se pueden utilizar dos métodos:. Compensación del ángulo de deslizamiento, a partir de la medición de la velocidad relativa del vehı́culo, utilizando un controlador proporcional. Utilizar un controlador con acción integral, tomando el ángulo de deslizamiento lateral como una perturbación pequeña de poca variación, es decir β ≈ 0. Si se emplea un controlador proporcional χr (e) = arctan(−kp e(t)) donde: kp =. 1 ∆. (2.31). (2.32). Puede apreciarse que esta ley de guiado, basada en la distancia lookahead, es equivalente a un controlador proporcional saturado, teniendo en cuenta que χr (e) ∈ (−π/2, π/2). Es por ello que desde el punto de vista de control también resulta factible considerar el parámetro ∆ constante, ya que con esto se facilita el diseño del controlador. Como se infiere a través de las ecuaciones 2.31 y 2.32 , un pequeño valor de la distancia ∆ implica un cambio de forma brusca en el guiado, por lo que se hace necesario buscar un valor de ∆ adecuado para cada vehı́culo. La distancia lookahead debe tener un valor proporcional al largo del vehı́culo. Algunos autores plantean que el doble de dicha.