Los Números Enteros

(1)

Los Números Enteros Los Números Enteros

El conjunto de los números Enteros está formado por los enteros positivos, el cero y los enteros negativos:

Z = {...; -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 ;...}

Propiedades de los Números Enteros

 El conjunto de los números enteros “no” tiene primer elemento ni último elemento.

 Todo número entero “a” tiene un siguiente o sucesor ( a + 1 ) y un anterior o antecesor ( a – 1 ).

 El conjunto de números Enteros es un conjunto bien ordenado, es decir que podemos definir una relación de mayor, menor o igual.

 Entre dos números enteros, siempre existe otro número entero y la cantidad que hay entre ellos es finita. Es un conjunto discreto.

En este conjunto podemos expresar situaciones tales como:

 6° bajo cero

 Una ganancia de $ 180

 Año 420 a.C.

 Una pérdida de $ 300

 El quinto piso de un edificio

 El tercer subsuelo de un edificio

Ejercicio 1: Indicar mediante números enteros:

a) Una deuda de $ 48

b) El octavo piso de un edificio c) Un saldo a favor de $ 1.700 d) El año 347 a.C.

e) Una temperatura de 8 grados bajo cero f) El cuarto subsuelo de un edificio.

g) Una temperatura de 5 grados

h) 870 años después del nacimiento de Cristo i) Tengo $ 10 en mi bolsillo

j) Debo $ 8 a un amigo

k) Hace frío, el termómetro marca 9 grados bajo cero

Representación Gráfica

Los números enteros se pueden representar en la recta numérica. Para ello, en un punto indicamos el cero. A partir de allí marcamos, a igual distancia uno del otro, los números enteros positivos hacia la derecha ( 1, 2, 3,...), y los números enteros negativos hacia la izquierda ( -1 , -2 , -3,...).

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Ejercicio 2: Ubiquen en la recta numérica los siguientes números enteros:

5; -8; 3; 7; -6; -4; 0; -9.

(2)

Valor Absoluto

El valor absoluto de un número entero es la distancia que hay de éste hacia el cero. Siempre es positivo.

Ejemplos: | -6 | = 6 Está ubicado a seis unidades del cero

| 5 | = 5 Está ubicado a cinco unidades del cero

Número Opuesto

El opuesto de un número entero es aquel que tiene igual valor absoluto y distinto signo.

Ejemplos: + 3 es el opuesto de – 3 - 8 es el opuesto de 8

0 es el opuesto de 0 En símbolos: - b es el opuesto de b Desigualdad

Un número entero es menor que otro si está a su izquierda en la recta numérica.

Ejemplos: 4 < 8 -2 < 0 0 < 2 -6 < -2 Ejercicio 3: Completar:

a) Todo número negativo es ... que cero.

b) Todo número positivo es ... que cero.

c) El cero es ...que todo entero positivo y...que todo entero negativo.

d)Todo número negativo es ...que un positivo.

Ejercicio 4: Escriban el opuesto de cada uno de los siguientes números enteros:

- 3 ; 8 ; - 1 ; 15 ; -302 ; 0 ; - 47 ; 78

Ejercicio 5: Completen con el signo < , > o = según corresponda.

a) –4...-9 b) |16|...|-16| c) |-9| ...|-7|

d) 8...-15 e) 0...-5 f) 0...|-1|

g) |-6| ...14 h) 7... |-7|

Ejercicio 6: Ordenar los siguientes números enteros a) En forma creciente: 74 ; -12 ; -18 ; 0 ; 41 ; -2 ; -79 b) En forma decreciente: -11 ; 4 ; 0 ; -7 ; 8 ; 15 ; -9 ; 2

Operaciones con números Enteros Suma o Adición

 Si los números tienen el mismo signo, sumamos sus valores absolutos y le asignamos al resultado dicho signo.

Ejemplos: 7 + 2 = 9 (-6) + (-3) = -9

(3)

 Si los números tienen distinto signo, al de mayor valor absoluto le restamos el de menor valor absoluto y le asignamos al resultado el signo del número de mayor valor absoluto.

Ejemplos: (-11) + 4 = - 7 12 + (-3) = 9 Propiedades

 La suma de números enteros es conmutativa: a + b = b + a

 La suma de números enteros es asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

 La suma de un número y 0 es el mismo número: a + 0 = 0 + a = a

 La suma de un número entero y su opuesto es 0: a + (-a) = 0

Resta o Sustracción

Para restar dos números enteros transformamos la operación en suma, de forma tal que al minuendo le sumemos el opuesto del sustraendo.

Ejemplos: 4 – 6 = 4 + (-6) = -2 5 – (-2) = 5 + 2 = 7 Ejercicio 7: Efectúen las siguientes sumas y restas

a) 2 + ( - 5 ) = b) - 4 + 9 = c) - 2 + ( - 3 ) = d) 4 – 10 = e) 7 - ( - 5 ) = f) - 3 – ( - 6 ) = g) 0 – 12 = h) 0–(- 25 ) = i) - 7 + ( - 11 ) = j) 16 – 24 = k) 4 + ( - 8 ) = l) 7– ( - 4 ) = Ejercicio 8: Resolver los siguientes cálculos de sumas y restas

a) 5121317262 b) 321151217310 c) 721211105151 d) 33935223297 e) 26751536

f) 123538232531030 Multiplicación y División

Se utiliza la Regla de los signos:

 Si tienen igual signo, el resultado es positivo Ejemplos: 2 . 3 = 6 6 : 2 = 3

(-4).(-2) = 8 (-8) : (-4) = 2

 Si tienen distinto signo, el resultado es negativo Ejemplos: 4 . (-5) = -20 20 : (-4) = -5

(-2) . 5 = -10 (-35) : 7 = -5

Propiedades:

La multiplicación de números enteros es conmutativa: a . b = b . a

La multiplicación de números enteros es asociativa: (a . b) . c = a . (b . c)

+ . + = + - . - = +

+ . - = -

- . + = -

(4)

La multiplicación de números enteros es distributiva con respecto a la suma y la resta:

a . (b



c) = a . b



a . c

El producto de cualquier número y 1 es el mismo número: a . 1 = 1 . a = a

El producto de cualquier número entero por cero es cero: a . 0 = 0 . a = 0 Recuerda: NO SE PUEDE DIVIDIR POR CERO

Ejercicio 9: Realicen las siguientes las siguientes multiplicaciones y divisiones aplicando la regla de los signos

a) ( - 4 ) . ( - 6 ) = f) 14 : ( - 2) = k) ( - 36 ) : ( - 6 ) = b) ( - 1 ) . 3 = g) ( - 21 ) : ( - 7 ) =

l) ( - 25 ) : 5 = c) 2 . ( - 8 ) = h) ( - 4 ) . ( - 5 ) =

m) 49 : ( -7 ) = d) 15 : ( - 3 ) =

i) 7 : ( - 7 ) = n) ( - 18 ) : ( - 9 ) = e) 9 . ( - 2 ) = j) 15 . ( -1 ) = ñ) 2 . ( - 1 ) =

Operaciones Combinadas

Las sumas y restas son las operaciones que determinan los términos de un cálculo con operaciones combinadas.

Respetamos el siguiente orden

1°) Resolvemos las multiplicaciones y divisiones.

2°) Resolvemos las sumas y restas Para tener en cuanta

Si en el ejercicio hay paréntesis, corchetes o llaves resolvemos primero las operaciones que éstos encierran respetando el orden citado anteriormente.

Ejemplo 1: (-12) : (-4) + 100 . 0 – (-4) . (-3) =Separo en términos

3 + 0 – (+12) = Resuelvo multiplicaciones y Divisiones 3 + 0 – 12 = - 9 Resuelvo la suma algebraica

Ejemplo 2: (-48) : 8 + [(-4) . (-5) + 9 + 12 : (-1)] : (-17) = Separo en términos -6 + [ 20 + 9 – 12 ] : ( -17) = Resuelvo multiplicaciones y divisiones

- 6 + 17 : (-17) = Resuelvo el corchete - 6 – 1 = - 7 Resuelvo la suma algebraica Ejercicio 10: Resuelvan

a) (-35) : (-7) + 121 : (-11) = b) -(5 – 8 ) + [ 2 – ( 1 – 7 )] = c) 4 . (- 2 + 5 ) + (-2) . (-6) . (-1) = d) j) 1 – 16 + [ 6 – ( -4-10+2 )] =

(5)

e) [ 8 . (-2) – 7 . (-2) . (-1) ] : (-3) = f) 7 – [ - ( -8 + 2 ) + ] – 10 =

g) ( -2 . 4 + 3 . 5 ) . ( - 2 - 3) + 8 : (-2) = h) 4 – 6 + [ 24 + ( -14 + 6 )] =

i) 4 . (-2 ) . (-6) – 3 . ( 5 + 2 . 3 ) = j) 52 – 32 + [ 62 + ( - 32 – 42)] = k) ( - 3 . 2 + 6 : 3 ) : ( -4) = l) -[ 9 – ( 10 – 7 ) ] : 3 – 5 =

m) -20 : (- 4 – 6) + 8 : [- 1 + 3 . (-2) – 3 – ( -1)] = n) ñ) 2 . [ 1 – ( 3 – 8 ) : 5 ] + 7 =

o) [ - 8 + 3 . 4 – ( - 2)] . ( -5) + 15: (-2-1) =

Potenciación de Números Enteros

En un producto, cuando un número aparece más de una vez como factor, se escribe abreviadamente ese factor elevado al número de veces que se repite.

Ejemplos: 7 . 7 . 7 . 7 = 7⁴ (-8) . (-8) . (-8) = (-8)³ En símbolos:

a ⁿ = a . a . a . ...a = b

PARA TENER EN CUENTA Potencia de exponente cero

1 ) 4 (

1 5

0 0







“Toda potencia de exponente 0 es siempre igual a 1”

En símbolos: a⁰ 1 Potencia de exponente uno

7 )

7 (

3 3

1 1









“Toda potencia de exponente 1 es siempre el mismo número”

En símbolos: a¹ a

Ejercicio 11: Transformen en multiplicación y resuelvan:

a) (5)²  b) (5)²  c) (5)³  d) (5)³ 

Los resultados obtenidos nos llevan a expresar las siguientes conclusiones:

*Si la base de la potencia es positiva, su resultado es positivo cualquiera sea el exponente.

*Si la base de la potencia es negativa, su resultado es positivo si el exponente es par y negativo, si el exponente es impar.

n - veces Base

Exponente

(6)

Prácticamente

Potencia de exponente par Resultado positivo

Potencia de exponente impar Lleva el signo de la base Ejercicio 12: Calculen

a) (6)²  b) (1)⁵  c) (4)²  d) (5)⁰  e) (9)¹  f) (9)²  g) (8)³  h) (15)⁰  i) (2)⁵  j) (7)³  k) (3)³  l) (1)⁴  m) (2)³ 

Ejercicio 13: Escriban en el número que corresponde:

a) (+4) = 64 b) (-9) = 1 c) ³ = -125 d) ³ = -27 e) (-1) = -1 f) ² = 49

Propiedades de la potenciación

Para que una propiedad sea cierta, debe verificarse el mismo resultado realizándola directamente o cumpliendo con la propiedad.

Propiedad Distributiva

“La potenciación no es distributiva con respecto a la suma y la Resta”

Ejemplos:

25 5 ) 3 8 (

49 7 ) 3 4 (

2 2









55 9 64 3 8 ) 3 8 (

25 9 16 3 4 ) 3 4 (

2 2 2

























“La potenciación si es distributiva respecto de la multiplicación y división”

Ejemplos:

25 5 ) 4 : 20 (

100 10

) 2 . 5 (

2 2



25 16 : 400 4

: 20 ) 4 : 20 (

100 4 . 25 2 . 5 ) 2 . 5 (

2 2 2



Producto de Potencias de Igual base

“El producto de potencias de igual base es otra potencia de igual base, cuyo exponente es la suma de los exponentes de las potencias dadas”

Ejemplo: (2)³.(2)⁵ (2).(2).(2).(2).(2).(2).(2).(2)(2)³^⁵ (2)⁸ División de Potencias de igual base

“La división de potencias de igual base es otra potencia de igual base cuto exponente es la diferencia de los exponentes de las potencias dadas”

Ejemplo: (3)⁶ :(3)³ (3)⁶^³ (3)³ Potencia de otra potencia

“La potencia de otra potencia da por resultado otra potencia de la misma base cuyo exponente es el producto de los exponentes”

Resultados Distintos

Resultados Iguales

(7)

Ejemplo:



⁽^¹⁾³



² ^⁽^¹^).(^¹^).(^¹^).(^¹^).(^¹^).(^¹⁾^⁽^¹⁾³^.² ^⁽^¹⁾⁶ ^¹

Sintetizando y en Símbolos

n n

n a b

b

a )   (

n n

n a b

b

a. ) .

( 

n n

n a b

b

a: ) :

( 

m n m

n a a

a .  ^

m n m

n a a

a :  ^

m n m

n a

a ) ^.

( 

Ejercicio 15: Apliquen las propiedades de la potenciación:

a) 2⁵.2.2³  ^b)⁽⁵³⁾² ^ ^c)^{( a}²^. ⁾² ^ d) (3)⁴ :(3)  e) (315)³  f) (8⁵ :8):8⁶  g) (8:2)³  h) (2)⁴:(2)³  i) x⁸. xx. ²  j) (6)⁷.(6)⁰ :(6)⁴  k) (1).(1)³.(1)² 

Ejercicio 16: Resuelvan separando en términos y aplicando propiedades:

a) (5)⁶ :(5)⁴ (4).(2)²  b) (45)⁵ 3² (2).(2).(2) c)



³² ^²^.(^⁶⁾



³ ^⁽^⁶⁾⁴ ^:⁽^⁶⁾² ^ ^d)⁽⁵^³^.²²⁾^:⁽^⁷⁾^⁽^³⁾³^.(^⁵⁾⁰ ^

e) (3)⁴:9(2)⁰.(2).(2)³ 5²  f) (4)².35² 16:(2)³ 

g)(36):6² (9)¹.(3)4³ :(2)⁴  h)100:(5)² (8)⁰.(7)(1)⁵  i) (4:2)³.(5)7 j) (32)⁵ 4⁰.(6)[2.(3)]² 

Radicación de números enteros El cubo de un número es igual a 8. ¿Cuál es dicho número?

...

3 8



 x x

Para resolver esto se utiliza la operación inversa de la potenciación, llamada radicación.

Se expresa: x³8  x³8  x2 Simbólicamente:

a b b

a ⁿ

n   

Indice

Signo Radical

Radicando Raíz

(8)

5 25

25 ) 5 (

2 2









En la solución de ejercicios se considera sólo la solución positiva.

25 No tiene solución dentro de los números Enteros

En los números enteros no existe ningún número que elevado a un exponente par, dé por resultado un número negativo.

125 )

5 ( 5 125

125 )

5 ( 5 125

3 3 3 3

























“La raíz lleva el signo del radicando sin tener en cuenta el índice”

Para tener en cuenta:

Raíz de radicando uno 1

1

n

Toda raíz de radicando 1, es igual a 1.

Ejercicio 17: Calculen

a) 16  b) 100  c) ⁵ 32  d) ³ 8 e) ⁴ 16  f) ⁴16  g) ³ 27  h) ⁴ 81 i) 144  j)⁴ 81 k) ³ 64  l) ³ 1 m) ⁵ 1  n) ³ 100  ñ)  49 

Propiedades de la radicación

“ La radicación no es distributiva respecto de la suma y resta “

Ej.:

2 3 5 9 25 9 25

4 16 9 25

14 6 8 36 64 34 64

10 100 36

64

































En símbolos: ⁿ ab ⁿ aⁿ b

“ La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación y división “

Ej.:

3 2 : 6 4 : 36 4 : 36

3 9 4 : 36

10 2 . 5 4 . 25 4 . 25

10 100 4

. 25



En símbolos:

n n n

b a b a

: :

. .



Resultados Distintos

Resultados Iguales

(9)

Raíz de otra raíz 2 64 64 64 ²^.³ ⁶

3   

En símbolos: ^{n m}a ⁿ^.^ma

Recíproca de la propiedad distributiva 5

125 25

. 5 25 .

5³ ³ ³

3   

2 4 8 : 32 8 :

32   

Ejercicio 18: Resuelvan aplicando propiedades

a) ⁽^¹⁰⁾^. ⁽^⁵⁾^. ² ^ b) 625  c) 125: 5  d) ³ 72:³ (9)  e) ³ 64:8  f) 25.4 

g) ³ 2.³ (4)  h) ⁴⁰^:



²^. ⁵



^

Ejercicio 19: Indiquen verdadero o falso según corresponda

a) ³ 8.27 ³ 8.³ 27 ^d) 10036  100 36 b) 916 9 16 e) 100:4 100: 4 c) ³ 54:³ 2 ³ 54:(2) f) ^{6 3} 2 ⁹ 2

Operaciones Combinadas en los números Enteros

 Si en un cálculo figuran distintas operaciones, éstas se resuelven en el siguiente orden:

1) Las potencias y las raíces 2) Las multiplicaciones y divisiones 3) Las sumas y las restas

 Si en un cálculo aparecen paréntesis, las operaciones encerradas en ellos se resuelven en primer lugar de acuerdo con el orden anterior.

Ejemplo: ³ 86² 30:(5) Separar en términos - 2 + 36 + 30 : (- 5) =Resolver potencias y raíces - 2 + 36 - 6 = Resolver división

36 - ( 2 + 6 ) = Resolver suma algebraica 36 – 8 = 28

Ejercicio 20: Separar en términos y resolver. Apliquen propiedades si es necesario.

a) (2)⁴ :(8) 25.2 b) (4)²:⁴16(9)¹.5⁰  c) [(5).(3)(8)]²: 49  d) (^5)² ^3.7^(^4^1)² :(^3)^ e) 23³ 64:(4)⁴ (8).(2) 

(10)

f) 2. 8(13)² ⁵ 16.(2)  g) ³ 3.³ 9⁶ (1627.2)³  h) (8)⁵:(8)⁴  5² 4² (5)⁰ 

i) (8).(5)(6)² 5  j) ⁽^⁸⁾^:⁽^²⁾^⁽^³^).(^⁴⁾ ^ k) ⁴10000:(41)(3)³  l) (4)³ 100:(5)²  36.7⁰  m) ⁽^⁵^).(^³⁾^⁽^²⁾² ^⁽^⁸⁾^:⁽^³⁾¹ ^ n)



³ ^²⁷^: ⁹



⁴^³ ⁶⁴ ^

Ejercicio 21: Laura anotó en fichas las temperaturas de cada hora a partir de las 8 de la mañana, pero las fichas se les desordenaron. Ayuden a Laura a escribir la temperatura correspondiente a cada hora, si se sabe que fue subiendo a lo largo del día: 0°C ; 5°C ; -7°C; -4°C ; 9°C ; -5°C ; -3°C ; 4°C.

Ejercicio 22: En Las Lomas la temperatura es, a las 19 hs, de 3°C. Durante la noche desciende 12°C; ¿Cuál es la temperatura a las 6 de la mañana?

Ejercicio 23: En las Lomas la temperatura, que era de 3°C, descendió 12°C durante el temporal nocturno. Al día siguiente salió el sol y subió 5°C, pero al atardecer volvió a descender 2°C.¿Qué temperatura señala ahora el termómetro?

Ejercicio 24: Expresen cada uno de los siguientes enunciados mediante una suma algebraica y resuélvela:

a) Mi Tío me regaló $15, pagué los $7 que debía en el quiosco, encontré un billete de $10 en la vereda y le devolví $3 a mi hermana.

b) Durante un experimento, la temperatura de un compuesto químico subió 6°C en la primera hora, subió 2°C más la segunda hora y bajó 10°C en la tercera hora.

Ejercicio 25: Encuentra el número entero que cumpla la condición pedida en cada caso:

a) Si se lo multiplica por 10, se obtiene –20.

b) Si se lo divide por 12 se obtiene –1.

c) El cociente entre 40 y ese número es –5.

d) El producto entre –2 y ese número es 2.

Ejercicio 26: Desde el cuarto piso bajé en el ascensor siete pisos. ¿A qué piso llegué?

Ejercicio 27: Silvana tiene $20 ahorrados en una cuenta bancaria. Deposita $5 que le regaló su tía Mariel, y después retira $10 para ir de excursión. ¿Cuál es el saldo final de Silvana?

Ejercicio 28: En una ciudad, a las 7 hs, la temperatura era de –5 ºC. Al mediodía, la temperatura subió 11 ºC. ¿Qué temperatura indicaba el termómetro al mediodía?

Ejercicio 29: Ayer, la temperatura a las nueve de la mañana era 0 ºC. Al mediodía había subido 6 grados, a las cinco de la tarde marcaba 3 grados más, a las nueve de la noche había bajado 7 grados, y a las doce de la noche había bajado otros 4 grados. ¿Qué temperatura marcaba el termómetro a medianoche?

Ejercicio 30: Un avión de pruebas vuela a 3.000 metros sobre el nivel del mar, sube 500 metros y luego baja 250 metros. Después vuelve a subir 400 metros. ¿A qué altura vuela en ese momento?

(11)

Ejercicio 31: Arquímides, el gran matemático de la antigüedad, fue asesinado por un soldado romano en el año 212 a.C., a la edad de 75 años. ¿En que año nació Arquímides?

Ejercicio 32: Desde la muerte del emperador romano Julio César hasta la caída del Imperio Romano de Occidente (476 d.C.) transcurrieron 520 años. ¿En qué año murió Julio César?

Ejercicio 33: La temperatura en una mañana de invierno era de –3 ºC. Al mediodía, la temperatura en grados era igual al opuesto del doble de la temperatura de la mañana. ¿Cuál era la temperatura al mediodía?

Ejercicio 34: Determinen si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F) a) el producto de un número entero multiplicado por –1 siempre es negativo.

b) La suma de dos enteros negativos siempre es negativa c) Un número negativo elevado a la cero es un entero negativo d) La resta de dos enteros negativos nunca es positiva

e) El valor absoluto de un entero distinto de cero siempre es positivo f) Existe un solo número entero con valor absoluto 2

g) Existe un solo número entero con valor absoluto 0 h) Ningún número entero tiene valor absoluto -7

Ejercicio 35: Un globo está en el aire. Desciende 50 metros, luego 70 y después sube 80. Al final está a una altura de 800 m. ¿Cuál era su altura inicial?

Ejercicio 36: ¿Qué número positivo no es el siguiente de un positivo?

¿Qué número negativo no es el anterior de un negativo?

Ejercicio 37: Encuentren dos números enteros para cada una de estas situaciones:

a) Si se los multiplica, da –12 y, si al mayor se lo divide por el menor, el cociente es b) –3.

c) Si se los divide, da –1y, si se los multiplica, se obtiene –4.

d) El cociente entre ambos es 0 y el divisor es el producto entre –3 y +3.

Ejercicio 38:Resolver y verificar las siguientes ecuaciones Parte 1

a) x53 b) m(3)28 c) 7(4)12 p _d)5(2)h710 e) 10(1)a3 _f)y(2)58 g) 11(9)c12 _h)157d 1 i) 54k 20 j) 6(9)z46 Parte 2

a) 2.p(4).(3) p5:(5) _b)m(25):56.m35 c) 2.p(10):(2)4.p(8).(1)

d) a(30) : (6)  23.a(20) : (5)

e) 4.(4)3.bb2.(8):(1) _f)5.x83.x12 g) ³^.^y^^y^⁷^^⁹^²^.^y

(12)

h) 4.m(6):(3)2.m(5).(2) Parte 3

a) x x3( 1)76 _b)3x12:323(x1)13 c) 8:4 x2( 1)10:559 _d)(6x2.613x):238 e) (12x12):4(9x6):35 _f)(15x5):5(4x2):26 Parte 4

a)



^x² ^²



^:³^⁹ b)



^x² ^¹



^:²^³^. ¹⁶

c) 4 x:2114:2 d) x13.(1)(5) e) 2.³ x 16 f) 3.x⁴ 48