4. Polinomios ortogonales

(1)

4. Polinomios ortogonales

4.1. Sistemas ortogonales

En adelante asumiremos que X es un espacio normado con la norma definida por el producto escalar kφk := hφ, φi.

Un conjunto finito de vectores {φn}Nn=1 se denomina linealmente

indepen-diente si la ecuaci´on

α1φ1+ α2φ2+ · · · + αnφn = 0,

tiene como ´unica soluci´on la trivial α1= · · · = αn= 0.

Un conjunto infinito de vectores {φn}∞n=1 es linealmente independiente si

cualquier subsistema finito es linealmente independiente. Diremos que {φn}∞n=1es un sistema ortogonal dos a dos si

hφn, φmi = δn,mkφnk2, ∀n, m ∈ N. (19)

Por ejemplo, el sistema de funciones {1} ∪ {sin nx, cos nx}∞

n=1 es un sistema

ortogonal dos a dos respecto al producto escalar

hf, gi = Z π

−π

f (x)g(x)dx.

Asumiremos que el sistema de funciones {φn}∞n es linealmente

independien-te. Definamos a continuaci´on el sistema de funciones {ψn}n de forma que

ψ1= φ1, ψ2= φ2+ α2,1ψ1, ψn= φn+ n−1

X

k=1

αn,kψk,

donde las constantes αn,k, n ∈ N, k = 1, . . . , n − 1 son tales que ψk es orthognal

a todos los vectores φj, j = 1, 2, . . . , k − 1, anteriores.

El proceso anterior se denomina proceso de ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt. Mediante un sencillo c´alculo podemos comprobar que ψnse puede escribir de la

siguiente forma ψn= 1 ∆n−1 hφ1, φ1i hφ1, φ2i · · · hφ1, φn−1i φ1 hφ2, φ1i hφ2, φ2i · · · hφ2, φn−1i φ2 .. . ... . .. ... ... hφn, φ1i hφn, φ2i · · · hφn, φn−1i φn , (20)

donde ∆n son los determinantes de Gram

∆n= hφ1, φ1i hφ1, φ2i · · · hφ1, φn−1i hφ1, φni hφ2, φ1i hφ2, φ2i · · · hφ2, φn−1i hφ2, φni .. . ... . .. ... ... hφn, φ1i hφn, φ2i · · · hφn, φn−1i hφn, φni .

(2)

Adem´as, para cada n tenemos ψn = φn+ n−1 X k=1 αn,kφk,

De lo anterior deducimos que ψn es ortogonal a ψk, k = 1, 2, . . . , n −1. M´as a´un,

los ψn son un conjunto linealmente independiente de X si y s´olo si los ∆n6= 0,

para todo n ∈ N.

4.2. Los polinomios ortogonales

El ejemplo m´as sencillo del proceso anterior es cuando tenemos el espacio de las funciones de cuadrado integrable en (a, b) con peso ρ(x) > 0, i.e.,

Z b

a |f(x)| 2

ρ(x)dx < ∞.

En este espacio el producto escalar de dos funciones f y g se define mediante la integral

hf, gi = Z b

a

f (x)g(x)ρ(x)dx, (21)

y la norma de f vendr´a dada por ||f|| =phf, fi. Definiremos los momentos µn de ρ(x) mediante

Z b

a

xk_{ρ(x)dx = µ}

k k = 0, 1, 2, . . . . (22)

En adelante asumiremos que todos los momentos son finitos.

Definici´on 4.1 Dada una sucesi´on de polinomios (Pn)n, diremos que (Pn)n es

una sucesi´on de polinomios ortogonales (SPO) con respecto a h·, ·i si se cumple que:

1. Pn es un polinomio de grado n,

2. hPn, Pmi = 0, m 6= n, para todo n, m = 0, 1, 2, . . . ,

3. hPn, Pni 6= 0, para todo n = 0, 1, 2, . . . .

El siguiente teorema es una consecuencia directa de la definici´on anterior Teorema 4.2 Sea (Pn)n una sucesi´on de polinomios tal que grado (Pn) = n

(sucesi´on normal). Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. (Pn)n es una SPO respecto al producto escalar h·, ·i.

2. hπ, Pni = 0, para todo polinomio π de grado m < n,

hπ, Pni 6= 0, si π es un polinomio de grado n.

3. hxm_{, P}

ni = Knδn,m, donde Kn 6= 0, m = 0, 1, . . . , n.

Como consecuencia del proceso de ortogonalizaci´on de Gram-Schmidt apli-cado a las potencias {xk_}

(3)

Teorema 4.3 Sea α la medida asociada a la sucesi´on (µn)n. Una sucesi´on de

polinomios (Pn)n ser´a una SPO si y s´olo si

∆n = µ0 µ1 · · · µn µ1 µ2 · · · µn+1 .. . ... . .. ... µn µn+1 · · · µ2n 6= 0, ∀n ≥ 0.

Adem´as, el coeficiente principal an (Pn(x) = anxn + · · · ) viene dado por la

f´ormula an= Kn∆n−1/∆n.

Es fácil comprobar que el proceso de Gram-Schmidt descrito anteriormente nos conduce a la siguiente expresión para los polinomios mónicos Pn

Pn(x) = 1 ∆n−1 µ0 µ1 · · · µn µ1 µ2 · · · µn+1 .. . ... . .. ... µn−1 µn · · · µ2n−1 1 x · · · xn , ∆−1≡ 1, n = 0, 1, 2, . . . .

También es evidente de la fórmula anterior que la sucesión (Pn)nes una SPOM

y que adem´as est´a compuesta por polinomios con coeficientes reales.

Teorema 4.4 Sea (Pn)n una sucesi´on de polinomios ortogonales con respecto

al producto escalar h, i. Entonces la SPO (Pn)n satisface una relaci´on de

recu-rrencia a tres t´erminos de la forma:

xPn(x) = αnPn+1(x) + βnPn(x) + γnPn−1(x). (23)

donde los coeficientes αn, βn, y γn se expresan mediante las f´ormulas:

αn = hxP n, Pn+1i kPn+1k2 , βn= hxPn, Pni kPnk2 , γn=hxP n, Pn−1i kPn−1k2 . (24)

Generalmente se suele imponer que P−1(x) = 0 y P0(x) = 1, con lo que una

SPO queda determinada de forma ´unica conocidas las sucesiones (αn)n, (βn)n

y (γn)n.

Otra forma de caclular los coeficientes (24) es mediante las expresiones

αn= an an+1, βn= bn an − bn+1 an+1, γn= cn− αncn+1 an−1 − bn an−1βn, (25)

donde an, bn y cn son los coeficientes del desarrollo

Pn(x) = anxn+ bnxn−1+ cnxn−2+ · · · .

De las expresiones anteriores y (24) se deduce que γn = αn−1kPnk2/kPn−1k2.

Como un corolario de (23) se obtiene la conocida f´ormula de Christoffel-Darboux cuya prueba se deja como ejercicio.

(4)

Teorema 4.5 Si (Pn)n es una sucesi´on de polinomios ortogonales que satisface

la relaci´on de recurrencia a tres t´erminos (23). Entonces se cumple que:

Kern(x, y) := n X m=0 Pm(x)Pm(y) kPmk2 = αn kPnk2 Pn+1(x)Pn(y) − Pn+1(y)Pn(x) x − y , n ≥ 1 . (26)

Si hacemos tender y → x, obtenemos la fórmula confluente de Christoffel-Darboux: Kern(x, x) ≡ n X m=0 P2 m(x) d2 m =αn d2 n [Pn+10 (x)Pn(x) − Pn+1(x)Pn0(x)] n ≥ 1 . (27) Proposición 4.6 Los polinomios núcleos satisfacen la siguiente propiedad re-productora

hp(x), Kern(x, y)i = p(y), ∀p(x) ∈ Pn. (28)

5. Los polinomios ortogonales cl´

asicos

5.1. La ecuaci´

on diferencial hipergeom´

etrica.

Nuestro objetivo será estudiar los polinomios ortogonales clásicos definidos sobre el eje real los cuales vamos a definir como las soluciones polinómicas de la siguiente EDO

σ(x)y00_{+ τ (x)y}0_{+ λy = 0,} ₍₂₉₎

donde σ y τ son polinomios de grados a lo más 2 y 1, respectivamente. Esta ecuación (29) usualmente se denomina ecuación diferencial hipergeométrica y sus soluciones y cumplen con la propiedad, conocida como propiedad de hiper-geometricidad: Si y es una solución de (29) sus m-ésimas derivadas y(m)_{≡ y}

m

satisfacen una ecuaci´on del mismo tipo.

Teorema 5.1 Si y es una solución de (29) sus m-ésimas derivadas y(m)_{≡ y} m satisfacen la ecuación σ(x)y00 m+ τm(x)ym0 + µmym= 0, τm(x) = τ (x) + mσ0(x), µm= λ + m−1 X i=0 τ0 i(x) = λ + mτ0(x) + m(m−1) 2 σ 00_{(x) .} (30) La propiedad de hipergeometricidad es es muy importante pues nos permite encontrar una fórmula expl´ıcita para los polinomios que satisfacen la ecuación (29). Para ello usualmente se escriben (29) y (30) en su forma simétrica o au-toconjugada:

[σ(x)ρ(x)y0_]0_{+ λρ(x)y = 0,} _[σ(x)ρ

m(x)y0m] 0_{+ µ}

(5)

donde ρ y ρm son funciones de simetrizaci´on que satisfacen las ecuaciones

dife-renciales de primer orden (conocidas como ecuaciones de Pearson): [σ(x)ρ(x)]0_{= τ (x)ρ(x),} _[σ(x)ρ

m(x)]0 = τm(x)ρm(x).

Conocida ρ encontramos, utilizando las ecuaciones anteriores, que

ρm(x) = σm(x)ρ(x). (32)

Teorema 5.2 _{Si para todo k ∈ N ∪ {0}, τ}0 _{+ kσ}00

/2 6= 0, entonces para las soluciones polinómicas de la ecuación (30) se tiene la siguiente fórmula de Ro-drigues: Pn(m)(x) = AnmBn ρm(x) dn−m dxn−m[ρn(x)], Bn= Pn(n) Ann , (33) Anm= Am(λ) |λ=λn = n! (n − m)! m−1 Y k=0 [τ0₊1 2(n + k − 1)σ 00_]. ₍₃₄₎

Adem´as, el autovalor λn de (29) es

λ ≡ λn= −nτ0−n(n − 1)

2 σ

00_. ₍₃₅₎

Cuando m = 0 la fórmula (33) se convierte en la fórmula de Rodrigues para los polinomios clásicos Pn(x) = Bn ρ(x) dn dxn[σ n_(x)ρ(x)], _{n = 0, 1, 2, ... .} ₍₃₆₎

Si imponemos unas sencillas condiciones adicionales se tiene que las solucio-nes de (29) son ortogonales dos a dos:

Teorema 5.3 Supongamos que xk_σ(x)ρ(x)

_x=a,b = 0, para todo k ≥ 0. En-tonces las soluciones polin´omicas Pn de la ecuaci´on (29) constituyen una SPO

respecto a la funci´on peso ρ definida por la ecuaci´on [σ(x)ρ(x)]0 _{= τ (x)ρ(x), o}

sea, se cumple que: Z b

a

Pn(x)Pm(x)ρ(x)dx = δnmd2n, (37)

donde δnm es el s´ımbolo de Kronecker y dn la norma de los polinomios Pn.

Corolario 5.4 Si (Pn)n es una familia de polinomios ortogonales respecto a ρ

entonces para todo k ∈ Z, 0 ≤ k ≤ n − 1 se tiene que Z b

a

xk_P

n(x)ρ(x)dx = 0.

Para calcular d2n, podemos utilizar la f´ormula de Rodrigues que,

sustituy´endo-la en (37) e integrando por partes, nos da:

d2n = Bn(−1)nn!an

Z b

a

σn(x)ρ(x)dx. (38)

Para calcular los coeficientes principales an y bn, necesarios para encontrar

(6)

n − 1-´esima derivada de Pn: Pn(n−1)(x) = Ann−1Bnτn−1(x),de donde obtenemos la igualdad: Pn(n−1)(x) = n!anx + (n − 1)!bn= Ann−1Bnτn−1(x). Luego, an= BnAnn n! = Bn n−1 Y k=0 [τ0₊1 2(n + k − 1)σ 00_], _b n= nτn−1(0) τ0 n−1 an. (39)

De la f´ormula de Rodrigues se deducen una serie de consecuencias muy interesantes

1. τ es un polinomio de grado exactamente uno. 2. Tomando m = 1 en la f´ormula (33) se deduce que

P0 n(x) = −λ nBn ¯ Bn−1 ¯ Pn−1(x), (40)

donde ¯Pn−1 denota al polinomio ortogonal respecto a la funci´on peso

ρ1(x) = σ(x)ρ(x).

3. Si escribimos la fórmula (33) para el polinomio de grado n + 1 obtenemos una fórmula de diferenciación

σ(x)Pn0(x) = λn nτ0 n τn(x)Pn(x) − Bn Bn+1Pn+1(x) . (41)

de la cual se deduce una relación de estructura σ(x)P0 n(x) = ˜αnPn+1(x) + ˜βnPn(x) + ˜γnPn−1(x), n ≥ 0, (42) donde ˜ αn = λn nτ0 n αnτn0 − Bn Bn+1 , βñ= λn nτ0 n [βnτn0 + τn(0)] , γñ= λnγn n . (43) 4. Si definimos Qn(x) ≡ P0 n+1(x)

n+1 , entonces los polinomios ortogonales

m´oni-cos Pn(x) = xn+· · · , soluciones de la ecuaci´on (29), satisfacen la siguiente

relaci´on de estructura:

Pn(x) = Qn+ δnQn−1+ nQn−2. (44)

5.2. Los Polinomios de Hermite, Laguerre y Jacobi.

5.2.1. Par´ametros Principales.

Comenzaremos escribiendo los principales parámetros de las sucesiones de polinomios ortogonales mónicos clásicos, es decir, tales que su coeficiente prin-cipal an = 1, i.e., Pn(x) = xn+ bnxn−1+ · · · . Éstos se pueden clasificar en

tres grandes familias en funci´on del grado del polinomio σ (τ siempre es un polinomio de grado 1). Cuando σ es un polinomio de grado cero los polinomios

(7)

Cuadro 1: Clasificaci´on de las SPO Cl´asicas. Pn(x) Hn(x) Lαn(x) Pnα,β(x) σ(x) 1 x 1 − x2 τ (x) −2x −x + α + 1 −(α + β + 2)x + β − α λn 2n n n(n + α + β + 1) ρ(x) e−x2 xα_e−x _{(1 − x)}α_{(1 + x)}β α > −1 α, β > −1 ρn(x) e−x 2 xn+α_e−x _{(1 − x)}n+α_{(1 + x)}n+β

correspondientes se denominan Polinomios de Hermite Hn(x), cuando σ es de

grado 1, Polinomios de Laguerre Lα

n(x) y cuando σ es de grado 2, Polinomios

de Jacobi Pα,β

n (x), respectivamente. En las tablas 1 y 2 est´an representados los

principales par´ametros de dichas familias, en las cuales (a)n denota al s´ımbolo

de Pochhammer

(a)0= 1, (a)k = a(a + 1) · · · (a + k − 1), k = 1, 2, 3, ... . (45)

5.2.2. Representaci´on hipergeom´etrica.

De la fórmula de Rodrigues, o usando el método de las series de potencias, (33) se puede obtener la representación de los polinomios de Hermite, Laguerre y Jacobi en términos de la función hipergeométrica de Gauss2F1definida en el

caso m´as general de forma:

pFq a1, a2, ..., ap b1, b2, ..., bq x = ∞ X k=0 (a1)k(a2)k· · · (ap)k (b1)k(b2)k· · · (bq)k xk k!. (46)

De esta manera encontramos que:

H2m(x) = (−1)m 1 2 m 1F1 −m 1 2 x2 , H2m+1(x) = (−1)m 3 2 m x1F1 −m 3 2 x 2 , (47) Lα n(x) = (−1)n_{Γ(n + α + 1)} Γ(α + 1) 1F1 −n α + 1 x , (48) Pnα,β(x) = 2n_{(α + 1)} n (n + α + β + 1)n 2F1 −n, n + α + β + 1 α + 1 1 − x 2 . (49)

(8)

Cuadro 2: Par´ametros de las SPO M´onicas (an= 1). Pn(x) Hn(x) Lαn(x) Pnα,β(x) Bn (−1) n 2n (−1) n (−1)n (n + α + β + 1)n bn 0 −n(n + α) n_{(α − β)} 2n + α + β d2 n n!√π 2n Γ(n + α + 1)n! 2α+β+2n+1_{n!Γ(n + α + 1)Γ(n + β + 1)} Γ(n + α + β + 1)(2n + α + β + 1)(n + α + β + 1)2 n αn 1 1 1 βn 0 2n + α + 1 β2 − α 2 (2n + α + β)(2n + 2 + α + β) γn n 2 n(n + α) 4n(n + α)(n + β)(n + α + β) (2n + α + β − 1)(2n + α + β)2_{(2n + α + β + 1)} ˜ αn 0 0 _−n ˜ βn 0 n 2(α − β)n(n + α + β + 1) (2n + α + β)(2n + 2 + α + β) ˜ γn n n(n + α) 4n(n + α)(n + β)(n + α + β)(n + α + β + 1) (2n + α + β − 1)(2n + α + β)2_{(2n + α + β + 1)} δn 0 n 2n(α − β) (2n + α + β)(2n + 2 + α + β) n 0 0 − 4n(n − 1)(n + α)(n + β) (2n + α + β − 1)(2n + α + β)2_{(2n + α + β + 1)} 5.2.3. Casos particulares.

1. Los polinomios de Legendre Pn(x) = Pn0,0(x).

2. Los polinomios de Chebyshev de primera especie Tn(x):

Tn(x) = P −1₂,−1₂

n (x) =

1

2n−1cos[n arccos (x)].

3. Los polinomios de Chebyshev de segunda especie Un(x):

Un(x) = P 1 2, 1 2 n (x) = 1 2n sen[(n + 1) arccos (x)] sen[ arccos (x)] .

4. Los polinomios de Gegenbauer Gλ n(x):

Gγ

n(x) = P

γ−1₂,γ−1₂

(9)

5.2.4. Otras caracter´ısticas.

Como consecuencia de las f´ormulas anteriores podemos obtener los valores de los polinomios en los extremos del intervalo de ortogonalidad.

H2m(0) = (−1) m_(2m)! 22m_m! , H2m+1 = 0, L α n(0) = (−1)n_{Γ(n + α + 1)} Γ(α + 1) , Pα,β n (1) = 2n_{(α + 1)} n (n + α + β + 1)n , Pα,β n (−1) = (−1)n₂n_{(β + 1)} n (n + α + β + 1)n . (50) Utilizando la f´ormula (40) encontramos las ecuaciones (ν = 1, 2, 3, ..., n = 0, 1, 2, ...): (Hn(x))(ν)= n! (n − ν)!Hn−ν(x), (L α n(x))(ν)= n! (n − ν)!L α+ν n−ν(x), (51) (Pα,β n (x))(ν)= n! (n − ν)!P α+ν,β+ν n−ν (x), (52)

donde (Pn(x))(ν)denota la ν−´esima derivada de Pn(x).

Directamente a partir de las correspondientes EDOs se puede probar que los polinomios de Hermite y Gegenbauer se relacionan con los de Hermite y Jacobi, respectivamente mediante las siguientes relaciones:

H2m(x) = L −1₂ m (x2), H2m+1(x) = xL 1 2 m(x2) , Gγ2m(x) = P γ−1₂,γ−1₂ 2m (x) = 1 2mP γ−1₂,−1₂ m (2x2− 1), Gγ2m+1(x) = P γ−1₂,γ−1₂ 2m+1 (x) = 1 2mx P γ−1₂,1₂ m (2x2− 1). (53)

Adem´as, de la f´ormula de Rodrigues se puede encontrar la siguiente propiedad de simetr´ıa para los polinomios de Jacobi:

Pβ,α

n (−x) = (−1)nPnα,β(x). (54)

5.3. Problemas

Problema 5.1 Probar todas las propiedades de los polinomios cl´asicos enume-radas en el apartado 5.2.

Problema 5.2 _{Probar la ortogonalidad de las k−´esimas derivadas de los} poli-nomios hipergeom´etricos yk≡ P (k) n , es decir, Z b a Pn(k)(x)Pm(k)(x)ρk(x)dx = δnmd2kn. (55)

Problema 5.3 Prueba que los polinomios n´ucleos satisfacen la propiedad re-productora (28)

(10)

Teorema 5.5 _{Sea µ ∈ C. Se definen los momentos generalizados como} Cν,µ(z) = Z b a (s − z) µ_ρ ν(s)ds. (56)

Si se cumple la condici´on de frontera σ(s)ρν(s)(s − z)µ b a = 0, ∀µ ≥ 0, (57)

entonces los momentos generalizados verifican la siguiente relaci´on de recurren-cia a tres t´erminos

µσ(z)Cν,µ−1(z) + [τν(z) + µσ0(z)] Cν,µ(z) + τν0 + 1 2µσ 00 Cν,µ+1(z) = 0. (58)

Usando lo anterior, encuentra una relaci´on de recurrencia para los momentos Cn := C0,n(0) de los polinomios de Jacobi, Laguerre y Hermite. Usando la

relaci´on de recurrencia encuentra los momentos de los polinomios de Laguerre y Hermite.

Un caso de especial relavancia son los polinomios de Gegenbauer que corres-ponden al caso α = β = γ − 1/2. Encontrar la relación de recurrencia para los momentos Cn := C0,n(0) en este caso y resuélvela. A partir de ésta encuentra

los momentos de los polinomios de Legendre Pn(x) = Pn0,0(x), los polinomios de

Chebyshev de primera especie Tn(x) = P −1₂,−1₂

n (x) y los polinomios de

Chebys-hev de segunda especie Un(x) = P

1 2,

1 2

n (x), respectivamente.

Problema 5.5 Dada una sucesión númerica (An)n y una sucesión de

polino-mios (Pn)n encontrar una funci´on Φ(x, t) tal que,

Φ(x, t) =

∞

X

n=0

AnPn(x)tn. (59)

Si existe tal función, dicha función se denomina función generatr´ız de la suce-sión (Pn)n.

Demuestra que la funci´on generatr´ız para los polinomios de Hermite viene dada por ∞ X n=0 2n n!Hn(x)t n _{= e}2xt−t2 , . (60)

Demuestra que la funci´on generatr´ız para los polinomios de Laguerre viene dada por ∞ X n=0 (−1)n n! L α n(x)tn= e− tx 1−t (1 − t)α+1.

Sean los polinomios de Gegenbauer Cγ

n(x) := P

γ−1₂,γ−1₂

n (x) que son un caso

particular de los polinomios de Jacobi. Prueba que en este caso 1 (1 − 2xt + t2₎γ = ∞ X n=0 2n_(γ) n n! C γ n(x)tn, (61)

donde (γ)n es el s´ımbolo de Pocchamer. Como casos particulares deducir la de

los polinomios de Chebychev de primera y segunda especie y la de los polinomios de Legendre.

(11)

Problema 5.6 Prueba las relaciones Pn−1α,β+1(x) = (2n + α + β)(1 − x) 2n(α + n) d Pα,β n dx (x) + (2n + α + β) 2(α + n) P α,β n (x), (62) P_n−1α+1,β(x) = (2n + α + β)(x + 1) 2n(β + n) d Pα,β n dx (x) − (2n + α + β) 2(β + n) P α,β n (x). (63)

Problema 5.7 Los polinomios n´ucleos Kern−1(x, y) se definen mediante la

ex-presi´on Kern−1(x, y) = n−1 X m=0 Pm(x)Pm(y) d2 m .

Usando la fórmula de Christoffel-Darboux, los valores en los extremos y las fórmulas de diferenciación, prueba las siguentes fórmulas:

• N´ucleos de los polinomios de Hermite:

KerH 2m−1(x, 0) = (−1)m−1 √ π(m − 1)! L 1 2 m−1(x 2_{) =} (−1)m−1 2√π(m − 1)! H0 2m(x) x , KerH 2m(x, 0) = (−1) m √ π(m)! L 1 2 m(x2) = (−1) m √ π(m)! H2m(x) x , KerH2m−1(0, 0) = ₂2m−2(2m − 1)!√_{π(m − 1)!}2, Ker H 2m(0, 0) = (2m + 1)! 22m√_{π m!}2.

• N´ucleos de los polinomios de Laguerre:

KerLn−1(x, 0) = (−1) n−1 Γ(α + 1)n! (L α n)0(x), KerLn−1(0, 0) = (α + 1)n Γ(α + 2)(n − 1)!. • N´ucleos de los polinomios de Jacobi:

KerJ,α,βn−1 (x, −1) = ηα,βn dxdP α−1,β n (x) = nηnα,βP α,β+1 n−1 (x), (64) KerJ,α,β_n−1 (x, 1) = (−1)n+1_ηβ,α n dxdP α,β−1 n (x) = n(−1)n+1ηnβ,αP α+1,β n−1 (x), (65) donde por ηα,β

n y ηβ,αn denotaremos las cantidades

ηβ,αn = (−1) n−1_{Γ(2n + α + β)} 2α+β+n_{n!Γ(α + n)Γ(β + 1)}, η β,α n (−1) n−1_{Γ(2n + α + β)} 2α+β+n_{n!Γ(α + 1)Γ(β + n)}. Usando (64)-(65) tenemos KerJ,α,βn−1 (−1, −1) = Γ(β + n + 1)Γ(α + β + n + 1) 2α+β+1_{(n − 1)!Γ(β + 1)Γ(β + 2)Γ(α + n)}, KerJ,α,βn−1 (−1, 1) = (−1)n−1_{Γ(α + β + n + 1)} 2α+β+1_{(n − 1)!Γ(β + 1)Γ(α + 1)}.

Utilizando la relaci´on de simetr´ıa para los polinomios de Jacobi demuestra que KerJ,α,βn−1 (1, 1) = Ker

J,β,α