Heiskanen

G E O D E S I A      F I S I C A WEIKKO A. HEISKANEN Director, Instituto Isostático de la Asociación Internacional de Geodesia HELMUT MORITZ Profesor de Geodesia Superior y Astronomía, Universidad Técnica de Berlín W. H. FREEMAN AND COMPANY San Francisco y Londres

PREFACIO Casi todas las mediciones geodésicas dependen fundamentalmente del campo de gravedad dela tierra. Por lo tanto, el  estudio de las propiedades físicas de dicho campo y de sus aplicaciones geodésicas, las cuales constituyen la base de la  geodesia física, representa una parte esencial de la educación de un geodesta. En los diez años que han transcurrido desde que Heiskanen y Vening Meinsz escribieron, “The Earth and Its  Gravity Field” (La Tierra y su Campo de Gravedad), la geodesia ha avanzado enormemente. A medida que pasaba el  tiempo resultaba cada vez más difícil incorporar los resultados de tales adelantos, tanto teóricos como prácticos, en una  nueva edición del citado libro. Era necesario escribir un texto totalmente nuevo y con un enfoque diferente. El gran  aumento   en   la   cantidad   de   información   disponible   requería   que   este   se   limitara   concretamente   a   los   aspectos  geodésicos; los adelantos teóricos han hecho necesario un mayor énfasis en los métodos matemáticos. Así nació este  libro, cuyo propósito es exponer los aspectos teóricos en el sentido en que se emplea la palabra en la expresión “física  teórica”.

Para comprender este texto, que ha sido escrito para estudiantes de postgrado, se deberá contar con todos los  conocimientos matemáticos y físicos requeridos por los departamentos de geodesia física. Los capítulos del 6 al 8  presentan   varios   temas   más   especializados   y   avanzados   en   los   que   actualmente   se   están   realizando   muchas  investigaciones. (Es posible que estos capítulos sean más parcializados que los demás). El lector que logre conocer esta  materia a fondo estará en capacidad de iniciar sus propias investigaciones. Para completar el libro, se le ha agregado un  capítulo sobre métodos celestes o astronómicos; este material podría formar parte del curso básico. Hemos puesto todo nuestro empeño para hacer de este un libro autosuficiente. Se le han incluido deducciones  detalladas cuando ha sido necesario. Los planteamientos se han hecho de forma intuitiva : las explicaciones verbales de  los principios se han considerado más importantes que los desarrollos matemáticos formales pero sin omitir estos  últimos. Nuestra actitud ha sido mas bien conservadora. No creemos que el concepto del geoide haya pasado a ser  obsoleto. Esto no significa, sin embargo, que no estemos conscientes de la importancia de los últimos adelantos  teóricos, especialmente los relacionados con el nombre de Molodensky los cuales se tratan en el capítulo 8.

Se   han   omitido   intencionalmente   aquellas   técnicas   de   observación   como   las   que   se   utilizan   para   las  observaciones astronómicas o las mediciones gravimétricas ya que no tienen mucha relación con una presentación que,  básicamente es teórica.

Al final de cada capítulo hay una bibliografía de los trabajos mencionados en el texto, muchos de los cuales  podrían resultar útiles para un estudio más detallado; las citas se han hecho por el nombre del autor y el año de  publicación –por ejemplo, Kellogg (1929).

No   ha   sido   nuestra   intención   establecer   prioridades.   Los   nombres   relacionados   con   las   fórmulas   deben  considerarse principalmente rótulos o membretes convenientes. Así mismo, se ha indicado la obra de mayor acceso o  más completa del autor sobre determinado tema en lugar dela primera.

La   mayoría   de  nuestras   propias  investigaciones   que  se  han  incluido  en  el  libro  se  llevaron  a   cabo  en  la  Universidad del Estado de Ohio. Deseamos agradecer al Dr. Walter D. Lambert quien revisó cuidadosamente la  redacción en inglés de partes del manuscrito.

      Diciembre 1966       WEIKKO A. HEISKANEN       

INDICE

1

Principios de la Teoría del Potencial  1­1.    Introducción. Atracción del Potencial.       1  1­2.    Potencial de un Cuerpo Sólido       3  1­3.    Potencial de una Superficie Material       5  1­4.    Potencial de una Doble Capa       6  1­5.    Fórmulas Integrales de Gauss y Green      9  1­6.    Aplicaciones de las Fórmulas Integrales de Green      11  1­7.    Funciones Armónicas. Teorema de Stokes y Principio de Dirichlet       14  1­8.    Ecuación de Laplace expresada en Coordenadas Esféricas       17  1­9.    Armónicas Esféricas      19 1­10.   Armónicas Esféricas de Superficie      20       1­11.   Funciones de Legendre      21 1­12.   Funciones de Legendre del Segundo Tipo       26 1­13.   Teorema de Desarrollo y Relaciones de Ortogonalidad      28 1­14.   Armónicas Esféricas Totalmente Normalizadas      29 1.15. Desarrollo dela Distancia Recíproca en Armónicas Zonales. Fórmula de Descomposición      33 1.16. Solución del Problema de Dirichlet por medio de Armónicas Esféricas. Integral de Poisson       35 1.17. Otros Problemas de Valores Límites      37 1.18. La Derivada Radial de una Función Armónica      38 1.19. La Ecuación de Laplace expresada en Coordenadas Elipsoidales      41 1.20. Armónicas Elipsoidales      43 Referencias       48

2

El Campo de Gravedad de la Tierra  2­1.    Gravedad       49        2­2.    Superficies de Nivel y Líneas de la Plomada    51    2.3. Curvatura de las Superficies de Nivel y delas Líneas de la Plomada     53 2.4. Coordenadas Naturales      58        2­5.    El Potencial e la Tierra en Términos de Armónicas Esféricas       60         2­6.    Armónicas de Grado Inferior       64         2­7.    El Campo de Gravedad del Elipsoide de Nivel         67         2­8.    Gravedad Normal       70        2­9.    Desarrollo del Potencial Normal        74       2­10.   Desarrollo en Serie para el Campo de Gravedad Normal       77       2­11.   Valores Numéricos. El Elipsoide Internacional      82        2­12.   Otros Campos de Gravedad Normal y Superficies de Referencia       84        2­13.   El Campo Anómalo de la Gravedad. Las Ondulaciones Geoidales y las Desviaciones de la Vertical      85 2­14.   Aproximación Esférica. Desarrollo del Potencial de Perturbación en Armónicas Esféricas     90 2.15. Anomalías de la Gravedad     92 2.16. Fórmula de Stokes       95 2.17. Formas Explícitas de la Integral de Stokes. Desarrollo de la Función de Stokes en Armónicas Esféricas  98 2.18. Generalización a un Elipsoide de Referencia Arbitrario         101      2.19. Generalización dela Fórmula de Stokes para N      103 2.20. Determinación de las Constantes Físicas de la Tierra      110 2.21. El Elipsoide Terrestre Medio       112 2.22. Desviaciones de la Vertical. Fórmula de Vening Meinesz      114

2.23. El Gradiente Vertical de la Gravedad. Reducción de Aire Libre al Nivel del Mar      117 2.24. Determinación Práctica del Valor de las Fórmulas Integrales         120 Referencias       126

3

Métodos Gravimétricos 3.1. Reducción de la Gravedad      129 3.2. Fórmulas Auxiliares      130 3.3. La Reducción de Bouguer      133 3.4. Isostasia       136 3.5. Reducciones Isostáticas      140 3.6. El Efecto Indirecto       144 3.7. Otras Reducciones de la Gravedad      146 3.8. Efectos Esféricos      150 3.9. Determinación Práctica del Geoide      155 Referencias      162

4

Alturas Sobre el Nivel del Mar   4.1.     Nivelación con Nivel de Burbuja       164 4.2.     Números Geopotenciales y Alturas Dinámicas      166 4.3.     La Reducción de la Gravedad de Poincaré y Prey       167 4.4.     Alturas Ortométricas      170 4.5.     Alturas Normales       174 4.6.     Comparación de los Diversos Sistemas de Alturas      176 4.7.     Alturas Trianguladas      178  Referencias       182

5

Métodos Astrogeodésicos 5.1.      Introducción       183 5.2.      Proyecciones hacia el Elipsoide      184 5.3.      Proyección de Helmert. Coordenadas Geodésicas y Rectangulares       186     5.4.      Reducción delas Observaciones Astronómicas al Elipsoide      190       5.5.      Reducción de los Ángulos Horizontales y Verticales y de las Distancias      194 5.6.      Reducción de las Coordenadas Astronómicas para la Curvatura de la línea de la Plomada        198 5.7.      La Determinación Astrogeodésica del Geoide       202 5.8.      Interpolación de las Desviaciones de la Vertical. Nivelación Astrogravimétrica        206 5.9.      Transformaciones de las Coordenadas y Desplazamientos del Datum      209 5.10.Determinación del Tamaño de la Tierra      215 5.11.Elipsoides de Mejor Ajuste y el Elipsoide Terrestre Medio       220 5.12.Geodesia Tridimensional      223

         Referencias      230

6

Campo de Gravedad Fuera de la Tierra 6.1. Introducción 6.2. Gravedad Normal – Fórmulas Cerradas 6.3. Gravedad Normal – Desarrollos en Serie 6.4. Perturbaciones de la Gravedad –  Método Directo 6.5. Perturbaciones de la Gravedad –  Método de Revestimiento 6.6. Perturbaciones de la Gravedad – Prolongación Ascendente 6.7. Otras Consideraciones 6.8. Anomalías de la Gravedad Fuera de al Tierra Referencias      

7

Métodos Estadísticos en la Geodesia Física 7.1. Introducción 7.2. La Función de Covarianza 7.3. Desarrollo de la Función de Covarianza en Armónicas Esféricas 7.4. Influencia de Zonas Distantes en la Fórmulas de Stokes y de Vening Meinesz 7.5. Interpolación y Extrapolación de las Anomalías de Gravedad 7.6. Precisión de los Métodos de Predicción. Predicción Mínima Cuadrática 7.7. Propagación del Error. Precisión de las Armónicas Esféricas 7.8. Precisión de las Ondulaciones Geoidales Calculadas con las Anomalías de la Gravedad 7.9. Precisión de las Anomalías Medias  7.10. Correlación con la Elevación Referencias

8

Métodos Modernos para Determinar la Configuración de la Tierra 8.1. Introducción 8.2. Reducciones de al Gravedad y el Geoide 8.3. El Problema de Molodensky 8.4. Ecuaciones Integrales Lineales 8.5. Aplicación de las Integrales de Green     8.6. Ecuación Integral para la Capa Superficial 8.7. Solución de la Ecuación Integral

8.8. Interpretación Geométrica 8.9. Desviaciones dela Vertical 8.10. Prolongación Descendente hasta el Nivel del Mar 8.11. Reducción de la Gravedad según la Teoría Moderna 8.12. Determinación del Geoide con las Anomalías a Nivel del Suelo 8.13. Repaso Referencias

9

Métodos Astronómicos 9.1. Introducción. Métodos de Observación 9.2. Determinación del Tamaño de la Tierra con Observaciones de la Luna 9.3. Efectos Dinámicos del Achatamiento de la Tierra  9.4. Determinación del Achatamiento a partir de la Precisión 9.5. Orbitas de los Satélites Artificiales 9.6. Determinación de las Armónicas Zonales 9.7. Coordenadas Rectangulares del Satélite y sus Perturbaciones 9.8. Determinación de las Armónicas Teserales y las Posiciones de las Estaciones       Referencias

CAPITULO  

1

1.1. Introducción. Atracción y Potencial

El propósito de este capítulo es presentar los principios de la teoría del potencial, incluyendo las 

armónicas esféricas y elipsoidales, en una forma suficientemente detallada para permitir la 

plena comprensión de los capítulos posteriores. Nuestro objetivo es explicar el significado de los 

teoremas y de las fórmulas, evitando derivaciones extensas que pueden hallarse en cualquier 

otra parte del textos sobre la teoría del potencial (léanse las referencias al final de este capítulo). 

Se ha tratado de hacer una presentación sencilla en lugar de optar por una formal, rigurosa y 

exacta. Aun así, es posible que el lector considere este capítulo más bien abstracto y hasta más 

difícil que cualquier otra parte del libro. Como las aplicaciones prácticas ofrecerán más adelante 

un concepto más concreto de los temas expuestos en este capítulo, tal vez el lector prefiera leerlo 

por encima la primera vez para luego regresar a él cuando sea necesario.

De acuerdo con la ley de la gravitación de Newton, dos puntos cuyas masas están representadas por m1, m2,  separados por una distancia l, se atraen con una fuerza equivalente a

       

F =k

m1m2

l

2

       

 (1­1)       Esta fuerza está orientada a lo largo de la línea que une a los dos puntos; k es la constante gravitacional de Newton. En  unidades de egs, dicha constante tiene un valor de

       k  = 66.7 X 10

−8

  _cm

2

 _g

−1

 _sec

−2

      

 _(1­2) según las mediciones efectuadas por P. R. Heyl alrededor de 1930. Aunque las masas m1, m2 se atraen mutuamente de una manera completamente simétrica, resulta conveniente  denominar una de ellas la masa atrayente y la otra masa atraída. Para mayor sencillez podemos considerar la masa  atraída igual a la unidad, y denotar atrayente por medio de m. La fórmula        

F =k

m

l

2        (1­3) Aunque las masas representan la fuerza que ejerce la masa m sobre una masa unitaria situada a una distancia l de m. Ahora podemos  incorporar un sistema de coordenadas rectangulares  xyz, y denotar las coordenadas de la masa  atrayente m por  

ξ

,  

η

,  

ζ

 

y las coordenadas del punto atraído P por x, y, z. La fuerza puede representarse  mediante un vector con magnitud de F (fig. 1­1). Los componentes de F pueden expresarse así

X =−F cos α=−

km

l

2

x−ξ

l

=−

km

x−ξ

l

3

Y =−F cos β=−

km

l

2

y−η

l

=−

km

y−η

l

3

       

(1­4)

Z=−F cos γ=−

km

l

2

z−ζ

l

=−

km

z−ζ

l

3 en donde

      

l=

_



x−ξ 

2



y−η 

2



z−ζ 

2

      

(1­5)

Luego incorporamos una función escalar

       

V =

km

l

,

      (1­ 6) conocida como el potencial de gravitación. Los componentes X, Y, Z de la fuerza gravitacional F se expresarán por  consiguiente así

      

X =

∂

V

∂

x

,

  

Y =

∂

V

∂

y

,

  

Z=

∂

V

∂

z

,

      (1­7) Esto puede verificarse fácilmente diferenciando (1­6), dado que        

∂

∂

x



1

l

=−

1

l

2

∂

l

∂

x

=−

1

l

2

x−ξ

l

=−

x−ξ

l

3

,. .. ... ..

         (1­8)       El símbolo vectorial de (1­7) se expresa       F = (X,Y,Z) – grad V      (1­7’) Es decir, que el vector de fuerza es el vector de gradiente de la función escalar V. Es de primordial importancia recordar que de acuerdo con (1­7), las tres componentes del  vector  F pueden sustituirse  por una sola función V. Especialmente cuando estamos considerando la atracción de sistemas de masas puntuales o de  cuerpos sólidos, como es el caso de la geodesia, resulta mucho más fácil tratar con el potencial que con las tres  componentes de la fuerza. Aun en estos casos complicados son válidas las relaciones (1­7); la función sería entonces  sólo una suma de las contribuciones de las respectivas partículas. De modo que si tenemos un sistema de varias masas puntuales m1, m2, . . . , m _n , que si tenemos el potencial del  sistema sería la suma de las contribuciones individuales (1­6):             

V =

km

1

l

₁



km

₂

l

₂



. .. ... .

km

_n

l

_n

=

k

∑

_{i =1} n

_m

i

l

_i        (1­9)

FIGURA 1­1

Las componentes de la fuerza gravitacional. La figura superior muestra la componente y.

1.2. Potencial de un Cuerpo Sólido Supongamos que las masas puntuales se encuentran distribuidas en forma continua en un volumen v  (fig. 1­2) con una  densidad de        

ρ=

dm

dv

,

       (1­10) en donde dv representa un elemento de volumen y dm un elemento de masa. Por consiguiente la suma (1­9) se  convierte en una integral       

V =k

_∭

v

dm

l

=

k

∭

_v

ρ

l

dv ,

      (1­11)     En donde l representa la distancia entre el elemento de masa dm = 

ρ

dv  y el punto atraído P. 

      

FIGURA 1­2

 Potencial de un cuerpo sólido Si denotamos las coordenadas del punto atraído por medio de (x, y, z) y las del elemento de masa por medio de  (

ξ

,

η

,

ζ

),  las coordenadas vemos que l está dada nuevamente por (1­5), y podemos escribir explícitamente       

V  x , y , z =k

∭

v

ρ ξ ,η , ζ 





x−ξ 

2



y−η 

2



z−ζ 

2

d d d

ξ η ζ ,

      (1­11’) puesto que el elemento de volumen está expresado por Esta es la razón por la que tenemos integrales triples en (1­11) Las componentes de la fuerza de atracción están dadas por (1­7).  Por ejemplo,

η

 

=

k

∭

v

ρ ξ , η , ζ 

∂

∂

x

1

l

d d d

ξ η ζ .

   Nótese que hemos intercambiado el orden de la diferenciación y de la integración. Si sustituimos (1­8) en la expresión  anterior, obtenemos finalmente

X =−k

_∭

v

x−ξ

l

3

ρ v .

d

Hay expresiones similares que son válidas para Y y Z. El potencial V es continuo en todo el espacio y se anula cuando tiende a infinito como 1/ l. Esto es obvio por el hecho  de que para distancias l muy grandes el cuerpo actúa más o menos como una masa puntual, con el resultado de que su  atracción está representada aproximadamente por (1­6). En consecuencia, los planetas se consideran generalmente  masas puntuales en lo que se refiere a la mecánica celeste. Las primeras derivadas de V, es decir, las componentes de la fuerza, también son continuas en todo el espacio, pero no  así las segundas derivadas. En los puntos donde la densidad cambia en forma irregular, algunas de las segundas  derivadas presentan una discontinuidad. Esto se manifiesta por el hecho de que el potencial V satisface la ecuación de  Poisson:

      

V =−4 k

π ρ

       (1­13) En donde        

V =

∂

2

_V

∂

x

2



∂

2

_V

∂

y

2



∂

2

_V

∂

z

2       (1­14) El símbolo  , llamado el operador de Laplace, tiene la forma

∂

2

∂

x

2



∂

2

∂

y

2



∂

2

∂

z

2 Analizando (1­13 y 1­14) vemos que por lo menos una de las segundas derivadas de V tendrá que ser discontinua junto  con 

ρ

. En la parte de afuera de los cuerpos atrayentes, o sea el espacio vacío, la densidad 

ρ

 es cero y (1­13) se convierte en         

V =0

       (1­15) Esta es la ecuación de Laplace. Sus soluciones se conocen como funciones armónicas. Por consiguiente, el potencial  de gravitación constituye una función armónica fuera de las masas atrayentes pero no dentro de las mismas allí  satisface la ecuación de Poisson. 1.3. Potencial de una Superficie Material Supongamos ahora que las masas atrayentes forman una capa, o revestimiento, sobre cierta superficie cerrada S, con un  espesor de cero y una densidad de

k=

dm

dS

en donde dS es un elemento de superficie. Este es un caso más o menos imaginario pero aun así de gran importancia  teórica. Al igual que (1­11), el potencial está dado por        

V =k

_∬

S

dm

l

=

k

∬

_S

k

l

dS

       (1­16) en donde 

l

 representa la distancia entre el punto atraído P y el elemento de superficie dS (fig. 1­3). En S el potencial V es continuo, sin embargo existen discontinuidades en las primeras derivadas. A pesar de que las  derivadas tangenciales en S (derivadas tomadas a lo largo del plano de la tangente) son continuas, las derivadas  normales difieren dependiendo de si nos aproximamos a S desde el interior o desde el exterior. 

 FIGURA 1­3

    Potencial de una Superficie Material Si es desde el exterior, entonces la derivada normal tiene en S el límite         



dV

dn



=−

2π kkk

∬

_S

k

∂

∂

n



1

l



dS ;

       (1­17a) si es desde el interior       



dV

dn



=+ 2π kkk

∬

_S

k

∂

∂

n



1

l



dS .

       (1­17b) Para efectos de este texto 

∂/ ∂

n

 denotará la deriva en dirección de la normal exterior n (fig. 1­3). Por ende vemos que la derivada normal 

∂

V /∂ n

 tiene una discontinuidad en S :       



∂

V

∂

n



_?

−



∂

V

∂

n



_?

=−

4π kk

      (1­18) Las siguientes expresiones son generalizaciones de las ecuaciones (1­17a,b) y representan la discontinuidad en S dela  derivada de V a lo largo de una dirección arbitraria m :        



∂

V

∂

m



=−2 k

π

k

cos m ,n k

∬

_S k ∂ ∂m



1 l



dS .        (1­19a)       



∂

V

∂

m



=+ 2 k

π

k

cos m ,n k

∬

_S k ∂ ∂m



1 l



dS .       (1­19b) en donde (m,n) denota el ángulo entre la dirección m y la normal n. Estas ecuaciones resultan de (1­17a,b) y de la  continuidad de las derivadas tangenciales. Las discontinuidades ocurren únicamente en la superficie S; tanto dentro como fuera de S, el potencial V es en todas  partes continuo y sus derivadas satisfacen en todas partes, excepto en la misma S, la ecuación de Laplace para las  funciones armónicas,

V =0

. En el infinito, el potencial de una superficie se comporta en la misma forma que el potencial de un cuerpo  sólido, anulándose como 1/ l  para  

l  ∞.

  El potencial de las superficies materiales también se conoce como potencial de una sola capa para diferenciarlo  del potencial de doble capa que se explica continuación. 1.4. Potencial de una Doble Capa Imagínese un dipolo formado por dos masa puntuales equipotenciales de signos contrarios, +m y –m, separadas por  una distancia h pequeña (fig. 1­4). En gravitación, éste sería un caso enteramente imaginario puesto que no existen  masas negativas, no obstante, el concepto matemático resulta útil. En el caso del magnetismo, sin embargo, existen en  efecto dipolos reales. El potencial de una masa positiva está dado por

V



¿

=

km

l ,

¿

el potencial de la masa negativa por      

V

−

¿

=

km

h ,

¿

Luego el potencial total del dipolo estaría representado por



¿

V

−

¿

=km



1 l− 1 h



.



¿ ¿

V =V

¿

¿

Si denotamos la dirección del eje del dipolo por medio den, podemos desarrollar 1/ h para formar una serie de Taylor  con respecto a h :

1

h

=

1

l

−

∂

∂

n



1

l



h

1

2

∂

2

∂

n

2



1

l



h

2

−. ... .. ..

  FIGURA 1­4    

   Potencial de un Dipolo Al sustituir en la fórmula anterior obtenemos 

V =k . mh.

∂

∂

n



1

l



−

k

mh

2

2

∂

2

∂

n

2



1

l



.. .. ... ..

o, si denotamos el producto mh, masa por distancia , por medio de M,

V =k . M .

∂

∂

n



1

l



−

k

Mh

2

∂

2

∂

n

2



1

l



.. .. .. .. .

La   cantidad   mh  =  M  se   conoce   como   el   momento   dipolar.   Supongamos   ahora   que   la   distancia   h   disminuye  indefinidamente y que a la vez aumenta la masa m de modo que el momento dipolar M = mh permanece infinito. En  consecuencia, los términos de orden superior tienden a cero cuando h



0

y la expresión para V llega a un limite :       

V =kM

∂

∂

n



1

l



      (1­20) Este es el potencial de un dipolo. Una doble capa en la superficie S podría considerarse como dos capas sencillas separadas por una distancia h pequeña.  La normal n de la superficie intercepta las dos capas en dos puntos P y P’ que se encuentran muy cerca uno del otro y  cuyas densidades superficiales tienen la misma magnitud k y signos contrarios (fig. 1­5). Por tanto, todo par de puntos  correspondientes P, P’ forman un dipolo con una densidad dipolar (densidad del momento dipolar) que en la figura  anterior está representada por 

=

k  (h muy pequeña, k muy grande). Aplicando (1­20) y sumando una sucesión (integrando) sobre todos los dipolos, los cuales se encuentran distribuidos  en forma continua sobre la superficie S, obtenemos       

V =k

_∬

S

∂

∂

n



1

l



. dM=k

∬

_S

∂

∂

n



1

l



.dS

      (1­21) Este es el potencial de la doble capa en la superficie S.

 FIGURA 1­5  

El potencial de doble capa como límite del potencial  de dos capas sencillas en dos superficies paralelas cercanas. Es continuo en todas partes excepto en la superficie   S; allí obtenemos dos limites diferentes para el potencial,  dependiendo del lado (interno o externo) de donde nos aproximamos a S :        

V

_e

=2 k

π μ

_∬

S

∂

∂

n



1

l



dS.

      (1­22a)       

V

_i

=−2 k

π μ

_∬

S

∂

∂

n



1

l



dS .

       (1­22b) La diferencia,       

V

_e

−

V

_i

=

4 k

π μ ,

      (1­23) es la continuidad a la que se encuentra expuesta V en la superficie S cuando pasamos de afuera hacia adentro. Aunque las ecuaciones (1­22a,b) son similares a las (1­17a,b) la diferenciación 

∂

/

∂

n se refiere a la normal a  la superficie en el punto atraído P si, como limite, yace sobre la misma superficie S. En las fórmulas para el potencial  de doble capa, y por consiguiente en (1­22a,b), la diferenciación  

∂

/

∂

n se toma a lo largo de la normal a la  superficie en el punto atrayente variable que contiene el elemento de superficie dS. En ambos casos, n es por supuesto  la dirección de la normal a la superficie hacia fuera. La doble capa deberá distinguirse claramente de la capa sencilla, o revestimiento, siendo esta diferencia la que  existe entre el dipolo de la masa y la masa puntual. El comportamiento de ambas cuando van hacia el infinito es el  mismo (se anulan como 1/ l), así como el hecho de que son armónicas tanto en el interior como en el exterior de S,  satisfaciendo allí la ecuación de Laplace. En la misma S, sin embargo, sus discontinuidades son de naturalezas  totalmente diferentes, y son estas mismas discontinuidades las que hacen que esos potenciales imaginarios puedan  usarse matemáticamente, especialmente con relación a los teoremas de Green. 1.5. Fórmulas Integrales de Gauss  y  Green Los teoremas y fórmulas integrales relacionadas de Green son algunas de la ecuaciones básicas de la teoría del  potencial; constituyen herramientas indispensables para ciertos problemas en el campo de la geodesia teórica. Fórmula de Gauss. Empezando por la fórmula integral de Gauss,        

∭

v

div F . dv=

_∬

S

F

_n

. dS ,

      _(1­24) en donde v representa el volumen que encierra la superficie S, en la proyección del vector F sobre la normal exterior a  la superficie (v. g. la componente normal de F), y div F la llamada divergencia del vector F. Si F tiene las componentes  X, Y, Z, es decir, F = (X, Y, Z) entonces       

div F =

∂

X

∂

x



∂

Y

∂

y



∂

Z

∂

z

       (1­25)

Como la fórmula de Gauss es muy conocida y puede hallarse en cualquier texto de matemáticas para ingeniería o de  física matemática, no es necesario desarrollarla aquí. Mas bien trataremos de que se comprenda en forma intuitiva. La fórmula (1­24) es válida en cualquier campo de vectores, cualquiera que sea su significado físico. El caso en  que F es el vector de velocidad de un fluido incomprimible resulta bastante caro. Dentro de la superficie S pueden  existir fuentes de flujo donde éste se genera, o sumideros donde éste muere. La intensidad de las fuentes o sumideros  se mide por medio de div F. La integral de la izquierda de (1­24) representa la cantidad de fluido generado (o muere)  en el tiempo unitario a través de la superficie S; el lado derecho representa la cantidad de fluido que fluye en el tiempo  unitario a través dela superficie S. La fórmula de Gauss (1­24) expresa el hecho de que ambas cantidades son  equivalentes. En el caso en que F es el vector de la fuerza gravitacional, la interpretación intuitiva no es tan obvia, pero  muchas veces puede aplicarse la analogía del flujo de fluido. En lo que se refiere a la gravitación las componentes X,  Y, Z de la fuerza pueden deducirse de un potencial V utilizando las ecuaciones (1­7) :    

X =

∂

V

∂

x

,

  

Y =

∂

V

∂

y

,

  

Z=

∂

V

∂

z

,

Por tanto

div F =

∂

X

∂

x



∂

Y

∂

y



∂

Z

∂

z

=

∂

2

V

∂

x

2



∂

2

V

∂

y

2



∂

2

V

∂

z

2

=

V,      

de manera que según la ecuación de Poisson (1­13) div F = ­4

π ρ

k

, Esto puede interpretarse de manera que signifique que las masas son las fuentes del campo gravitacional; la intensidad  de las fuentes, div F, es proporcional a la densidad de la masa 

ρ

. La parte derecha de (1­24) se conoce como el flujo  de fuerza, en nuestro caso el flujo gravitacional análogo también al flujo del fluido. Para cualquier fuerza cuyas componentes pueden deducirse de un potencial V de acuerdo con las  ecuaciones (1­ 7), es posible expresar la fórmula de Gauss en términos de la función V. Para el momento tomamos el eje x positivo en  la dirección de la normal exterior n a la superficie ; entonces la componente normal de F será la componente X:  Fn =  X. Luego, como 

∂

V /∂ x=∂V /∂ n

; la derivada de V en la dirección de la normal n exterior, vemos que de acuerdo  con (1­7)

F =

∂

V

∂

n

Incorporando esto y la relación div F =  V a (1­24), obtenemos       

_∭

v

V .dv=

_∬

S

∂

V

∂

n

. dS.

       (1­26) Esta es la fórmula integral de Gauss para el potencial. Al deducir (1­26) de (1­24) únicamente hemos aplicado el hecho de que la fuerza F es la gradiente de una  función V. No es necesario dar por sentado que V satisface la ecuación de Poisson para el campo gravitacional. Por lo  tanto,   la   integral   de   Gauss   también   es   válida   para   una   función   arbitraria   V   que   sea   suficientemente   regular   y  diferenciable. Fórmulas de Green. Estas fórmulas se deducen de (1­24) mediante la sustitución    

X =U

∂

V

∂

x

,

  

Y =U

∂

V

∂

y

,

  

Z=U

∂

V

∂

z

,

en donde U, V son funciones de x, y, z. La componente normal del vector F = (X, Y, Z) está representado por 

F

_n

=

U

∂

V

∂

n

.

Para poder comprender esto, consideremos nuevamente el eje x que coincide con la normal n. Si aplicamos (1­25) la  divergencia sería,

div F =

∂

U

∂

x

∂

V

∂

x



∂

U

∂

y

∂

V

∂

y



∂

U

∂

z

∂

V

∂

z



U V .      

De esta manera (1­24) pasa a ser        

_∭

v

U . V . dv

_∭

v



∂

U

∂

x

∂

V

∂

x



∂

U

∂

y

∂

V

∂

y



∂

U

∂

z

∂

V

∂

z

.dv=

∬

_S

U

∂

V

∂

n

. dS .

        (1­27) Esta es la primera identidad de Green. Si en esta fórmula intercambiamos las funciones U y V y restamos la ecuación nueva de la original, obtenemos 

       

_∭

v



U . V −V . U dv=

_∬

S



U

∂

V

∂

n

−

V

∂

V

∂

n



dS .

      (1­28) Esta es la segunda identidad de Green. En estas fórmulas hemos dado por sentado que las funciones U, V son continuas y finitas en la región espacial v  (v. G. , dentro de la superficie S y en la misma ) y que tienen derivadas parciales continuas y finitas de primer y  segundo orden. Es de gran importancia en el caso que

U=

1

l

, en donde l representa la distancia desde un punto fijo P determinado. Si P está fuera de la superficie S, entonces 1/ l es  regular dentro y en S, y U satisface las condiciones mencionadas. Sin embargo, si P se encuentra dentro de S o en la  misma, entonces 1/ l se torna infinito en algún punto de v y (1­28) no podrá aplicarse directamente sino que deberá  modificarse. Pasando por alto la derivación mencionemos solamente el resultado :        

_∭

v

1

l

V . dv=−pV

∬

_S

[

1

l

∂

V

∂

n

−

V

∂

∂

n



1

l



]

. dS ,

      (1­29) en donde        p = 4

π

 si P está dentro de S, 2

π

 si P está en S, 0 si P está fuera de S.  Esta es la tercera identidad de Green. Difiere de la segunda (1­28) en el término –pV. La razón por la que (1­ 29) tiene diferentes formas dependiendo de que el punto P se halle dentro, en o fuera de S, es el término que contiene 

∂/ ∂

n

(1/ l), 

el cual puede considerarse un potencial de doble capa con discontinuidades en S. Si P está fuera de S,  entonces  

1/ l 

es regular en v, y la ecuación (1­29), con p = 0, es consecuencia inmediata de (1­28); v es el interior de  la superficie S (incluyendo la misma S), y n es la normal S en dirección hacia fuera. La tercera identidad de Green (1­29) y también resulta válida si v es el exterior de la superficie S y la normal n  es la normal interna de S. Si deseamos mantener n como la normal exterior, entonces tenemos que invertir el signo de ,  obteniendo así :  

      

∭

v

1

l

V . dv=−pV−

∬

_S

[

1

l

∂

V

∂

n

−

V

∂

∂

n



1

l



]

. dS ,

      (1­29’) en donde p = 4

π

 si P está fuera de S,   2

π

 si P está en S,    0 si P está dentro de S. Esta es la tercera identidad de Green para el exterior de la superficie S. Es válida para las funciones V que,  además   de   satisfacer   los   requerimientos   generales   para   las   identidades   de   Green,   satisfacen   asimismo   ciertas  condiciones en infinito, como el de anularse allí. 1.6. Aplicaciones de las Fórmulas Integrales de Green Para mostrar la importancia y la utilidad de las identidades de Green es necesario aplicarlas a casos especiales. 1.  En la tercera identidad (1­29), hacemos que V 1. De modo que≡

∬

S

∂

∂

n



1

l



. dS=

 { 4

π

si P está dentro de S,  2

π

 si P está en S ó  0 si  P está fuera de S.         (1­30)

Estas fórmulas, que a veces resultan útiles , también fueron desarrolladas por Gauss. Pueden considerarse teoremas  sobre el potencial de una doble capa con una densidad constante k =1. Un potencial como éste tiene un valor  constante dentro de la superficie y es cero fuera de ésta, con la discontinuidad característica (1­23) en S.

2.

En este caso, V es una función armónica fuera de S : 

V 

= 0. Si el punto P también está fuera de S,  entonces la tercera identidad (1­29) resultaría en  (p = 4

π

) :

       

V =−

1

4

∬

_S



1

l



∂

V

∂

n

.dS

1

4

∬

_S



1

l



∂

∂

n

.dS .

      (1­31) Esta fórmula demuestra que toda función armónica puede representarse como la suma de un potencial de superficie (1­ 16) con una densidad de k

=−

1

4 k

π

∂

V

∂

n

,

y un potencial de doble capa (1­21), con una densidad de  =V/

4

π

k

.

3.   Aquí también V resulta armónica fuera de S. Supongamos además que S sea una superficie donde V  = Vo = const., es decir, una superficie de potencial constante V, o sea una superficie equipotencial. De  manera que para un punto P fuera de S, aplicamos (1­31), obtenemos

V =−

1

4

∬

_S



1

l



∂

V

∂

n

.dS

V

4

∬

_S

∂

∂

n



1

l



. dS.

La segunda integral es cero de acuerdo con (1­30). Por tanto

       

V =−

1

4π

∬

_S

1

l

∂

V

∂

n

. dS

      (1­32)

Esta fórmula, atribuida a Charles, muestra que toda función armónica puede presentarse 

como un potencial de una sola capa en cualquiera de sus superficies equipotenciales V = const. Si 

V es el potencial de Newton de un cuerpo sólido dentro de S, podemos decir que es posible 

reemplazar cualquier cuerpo sólido por una capa superficial adecuada en una de sus superficies 

equipotenciales externas S sin cambiar su potencial fuera de S (fig. 1­6).

Daremos   a   continuación   dos   ejemplos   algo   más   elaborados   que   consideramos   sumamente 

importantes desde el punto de vista de la geodesia física.

∭

v

V . dv=

_∬

S

∂

V

∂

n

. dS.

      FIGURA 1­6.   

       Teorema de Charles. En cualquier punto P fuera de S, el  potencial de una capa superficial cuya densidad

 

k

=−

4 k

π 

−1

.∂V /∂ n

 es igual a la del sólido atrayente en sí. Aplicamos esta fórmula al potencial de gravedad W (gravitación más fuerza centrífuga; refiérase a la sección 2­1) :

∭

v

W . dv=

_∬

S

∂

W

∂

n

. dS .

La función W satisface una ecuación (2­6)

W =−4 k

π ρ2ω

2

,

la cual es similar a la ecuación de Poisson (1­13); 

ω

 

representa la velocidad angular de la rotación de la tierra S.  Tomando en cuenta estas dos relaciones, hallamos que 

∭

v



−

4 k

π ρ2ω

2



. dv=−

∬

S

g

_n

.dS .

ó

       

M =

1

4 k

π

∬

_S

g

n

. dS

ω

2

2 k

π

v ,

      (1­33) en donde

M =

_∭

v

ρ. dv

M es la masa de la tierra y v su volumen. Básicamente, esta ecuación es el motivo por el cual resulta posible determinar la masa de la tierra a partir  de la gravedad medida. Nótese que no es necesario conocer la distribución detallada de la densidad en el interior de la tierra. 5.   Consideremos nuevamente la tierra y su potencial de gravedad W y apliquemos la tercera identidad (1­29) a un punto sobre la  superficie terrestre. Entonces p = 2

π

, de manera que tenemos

∭

v

1

l

. W .dv2 W

π −

∬

_S

[

1

l

∂

W

∂

n

−

W

∂

∂

n



1

l



]

. dS=0

Haciendo las mismas sustituciones de antes obtenemos

∭

v

1

l

.−4 k

π ρ2ω

2



. dv2 W

π 

_∬

S

[

W

∂

∂

n



1

l





g

_n

l

]

. dS=0

y  según (1­11),

W =k

_∭

v

ρ

l

.dv

1

2

ω

2



x

2



y

2



,

finalmente obtenemos       

−2 W

π 

_∬

S

[

W

∂

∂

n



1

l





g

_n

l

]

. dS2 πω

2



x

2



y

2



2ω

2

_∭

v

dv

l

=0

        (1­34) Todas las cantidades de esta ecuación hacen referencia a la superficie S. La ecuación (1­34) relaciona la superficie S al potencial de gravedad W y a la gravedad g. Si W y g fueran conocidos, sería razonable  suponer que la ecuación anterior puede resolverse de alguna forma con respecto a la superficie S. En realidad, podríamos considerar esta ecuación  como la base matemática para determinar la superficie física S de la tierra a partir de las mediciones del potencial W y de la gravedad g, de acuerdo  con la famosa teoría de Molodensky (refiérase al capítulo 8).

1­7.    Funciones Armónicas. Teorema de Stokes y Principio de Dirichlet

Anteriormente se definieron las funciones armónicas como soluciones de la ecuación de Laplace

V =0

.

Específicamente, una función se considera armónica en una región v del espacio si satisface la ecuación de Laplace en todos los puntos de v. Si dicha  región consiste en el exterior de determinada superficie cerrada S, entonces tendrá además que anularse como 1/  l  para  

l ∞

. Es posible  demostrar que toda función armónica es analítica (en la región donde satisface la ecuación de Laplace); quiere decir, que es continua y tiene  derivadas continuas de cualquier orden. La función armónica más sencilla es la que representa la distancia recíproca

1

l

=

1





x−ξ 

2



y−η 

2



z−ζ 

2 entre dos puntos (

ξ

, 

η

, 

ζ

)  y  (x, y, z), la cual se considera una función de x, y, z. Es el potencial de una masa puntual m = 1/k, ubicada en el   punto (

ξ

, 

η

, 

ζ

); comparemos (1­5) y (1­6) para km = 1. Puede demostrarse fácilmente que 1/ l es armónica. Formamos las siguientes derivadas parciales con respecto a x, y, z de la misma manera  que (1­8) :

x−ζ ;

∂

∂

x



1

l



=−

x−ξ

l

1

,

∂

∂

y



1

l



=−

y−η

l

1

,

∂

∂

z



1

l



=−

¿

¿

¿

l

1

∂

2

∂

x

2

=



1

l



−

l

2

3 x−ξ 

2

l

2

,

∂

2

∂

y

2

=



1

l



−

l

2

3 y−η 

2

l

2

,

∂

2

∂

z

2

=



1

l



−

l

2

3 z−ζ 

2

l

2 Si sumamos las últimas tres ecuaciones y aplicamos la definición de  , hallamos que       



1

l



=0 ;

      (1­35) es decir que 1/ l es armónica. El punto (

ξ

, 

η

, 

ζ

), en donde l equivale a cero y  1/ l a infinito, es el único donde no puede aplicarse la deducción anterior;  1/ l  no  es armónica en este punto exclusivamente. De hecho, el potencial algo más general (1­6) de una masa puntual arbitraria m también es armónico excepto en (

ξ

, 

η

, 

ζ

) dado que  (1­35) no cambia al multiplicar ambos lados por km. En el exterior de las masas atrayentes, no sólo el potencial de una masa puntual es armónico sino también cualquier otro potencial  gravitacional. Consideremos ahora el potencial (1­11) de un cuerpo extendido. Si se intercambia el orden de la diferenciación y de la integración,  hallamos que de acuerdo con (1­11)

V =k

[

_∭

v

ρ

l

.dv

]

=

k

∭

_v

ρΔ



1

l



.dv=0 ;

es decir, que el potencial de un cuerpo sólido también es armónico en cualquier punto P (x, y, z) fuera de las masas atrayentes. Si P se halla dentro del cuerpo atrayente, la deducción anterior resulta nula puesto que 1/ l pasa a ser infinito para el elemento de masa dm (

ξ

, 

η

, 

ζ

) que coincide con P (c, y, z), y (1­35) deja de ser válida. Esta es la razón por la que el potencial de un cuerpo sólido no es armónico  en su interior y más bien satisface la ecuación diferencial de Poisson (1­13). De la misma manera podemos demostrar que el potencial (1­16) de una capa atrayente en una superficie S es armónico  en todos sus puntos  con excepción de aquellos en la misma S. Por consiguiente, vemos que el potencial (1­21) de una doble capa es también armónico en todas partes  excepto en la superficie S, puesto que le potencial de al doble capa puede considerarse como el límite del potencial combinado de dos capas   superficiales contiguas; compárese la fig. 1­5. De manera que el potencial gravitacional es armónico en todos los puntos donde no hay masas atrayentes  y, por consiguiente, lo mismo  ocurre con el potencial externo  de la tierra si hacemos caso omiso de la atmósfera y la fuerza centrífuga. A esto se  le debe la importancia que tienen  las funciones armónicas en la geodesia física. 

En general, es posible generar la misma función armónica por medio de distintas distribuciones de masa. Un ejemplo bastante conocido es el  del potencial externo de una esfera homogénea:

V =

kM

l

, en donde M representa la masa de la esfera y  l la distancia desde su centro1_{. Por tanto, todas las esferas homogéneas concéntricas con la misma masa}  total M, cualquiera que sea su tamaño, generan el mismo potencial. El potencial es el mismo que si la masa total estuviese concentrada en el centro,  puesto que el potencial de una masa puntual se determina también con esta fórmula.

Otro   ejemplo   sería   el   teorema   de   Charles   (1­32).   Tomemos   cualquier   potencial   V   de   Newton   y   denotemos   una   de   sus   superficies  equipotenciales exteriores por S. Afuera de S, el potencial sería el mismo que le de una capa superficial con una densidad

−

1

4 k

π

.

∂

V

∂

n

;

Véase la fig. 1­6. Estos son ejemplos particulares del teorema de Stokes. Una función V que sea armónica fuera de una superficie S está determinada por sus  valores en S exclusivamente. No obstante, suele haber un número infinito de distribuciones de masa que tienen como potencial externo la función  armónica V dada. Por ello resulta imposible determinar las masas generadoras a partir del potencial externo. Este problema inverso de la teoría del potencial no  tiene una solución única (problema directo: determinación del potencial a partir de las masas; problema inverso: determinación de las masas a partir  del potencial). El problema inverso se presenta en la exploración geofísica con las mediciones gravimétricas: se deducen masas invisibles basándose  en las perturbaciones del campo de gravedad. Para determinar el problema en una forma más completa, es necesario contar con información  adicional que se obtiene, por ejemplo, por medio dela geología o de mediciones sísmicas.

Dada   la   importancia   del   teorema   de   Stokes,   haremos   aquí   una   prueba   sencilla   de   su   primera   parte.   Supongamos   que   determinada  distribución de masa genera un potencial V y que S es una superficie que encierra todas las masas. Supongamos además que una distribución  diferente de masa dentro de S genera un potencial V’ que asume los mismos valores que la superficie S. Si denotamos la diferencia V’ – V por U,  entonces, de acuerdo con nuestra hipótesis,  U = 0 en S. Tomando la primera identidad de Green (1­27) y poniendo una función igual a la otra,  obtenemos

∭

v

U . U . dv

_∭

v

[



∂

U

∂

x



2





∂

U

∂

y



2





∂

U

∂

z



2

]

. dv=

_∬

S

U .

∂

U

∂

n

.dS .

Esta ecuación se aplica al exterior de S, de manera que v represente la región fuera de S.2 _{Dado que U = V’ – V, siendo esta la diferencia de dos}  funciones armónicas, también resulta armónica fuera de S y tenemos que  U= 0 en v; además, U =0 en S. Por tanto, el lado derecho y la primera  integral del lado izquierdo se anulan, y obtenemos Si solo una de las derivadas de U tiene  otro valor que no sea cero, esta ecuación  dejará de ser válida ya que el integrando debe ser siempre positivo cero. De manera que todas las derivadas de U tendrán que ser cero; es decir que U  es una constante. Dado que U, como función armónica, tiene que ser cero en infinito, la constante tendrá que ser cero también. Por lo tanto, V’ – V =  0 o sea V’ = V en todo v, que es precisamente lo que se está tratando de demostrar. El teorema de Stokes establece que hay una sola función armónica V que asume determinados valores límites en una superficie S, siempre  que dicha función armónica exista. La aseveración de que para valores límites  asignados arbitrariamente existe siempre una función V que asume en  S los valores límites dados se conoce como el principio de Dirichlet. Tenemos dos casos diferentes : V armónica fuera de S y V armónica dentro de  S. El principio de Dirichlet ha sido probado por muchos matemáticos para casos muy generales, por ejemplo, Poincaré y Hilbert; la demostración  resulta bastante difícil. El problema de calcular la función armónica (dentro o fuera de S) a partir de sus valores límites en S se conoce comúnmente como el  problema de Dirichlet, o el primer problema de los valores límites de la teoría del potencial. Se tratará con mayor detalle en la sección 1­16. Finalmente quisiéramos hacer notar que no hay función que sea armónica en todo el espacio (excepto en el caso de V   0) : siempre hay por≡   lo menos una excepción. El potencial de una masa puntual, V = km / l, es singular para l = 0; el potencial de una distribución superficial o de una  doble capa en una superficie S es armónico tanto dentro como fuera de S pero no en la misma S. 1 _{Esto se ve enseguida analizando (2­39) : en el caso de una simetría esférica, tanto Jnm como Knm deberán ser cero.} 2 _{Ello es posible si U es armónica, puesto que siendo éste el caso las condiciones de regularidad en infinito mencionadas al final de}  las secciones anteriores quedarán satisfechas. 2

∭

v

[



∂

U

∂

x



2





∂

U

∂

y



2





∂

U

∂

z



2

]

. dv=0

1.8.    Ecuación de Laplace expresada en Coordenadas Esféricas

Las funciones armónicas más importantes son las llamadas  armónicas esféricas. Para su determinación, es necesario incluir las coordenadas  esféricas: r (vector radial),   (distancia polar),   (longitud concéntrica) (fig. 1­7). Las coordenadas esféricas están relacionadas con las coordenadasθ λ   rectangulares x, y, z mediante las ecuaciones       x = r sin   cos  ,θ λ       y = r sin   sin  ,       (1­36)θ λ       z = r cos θ o inversamente por        (1­37)

       FIGURA 1­7.

            Coordenadas esféricas y rectangulares. Para expresar la ecuación de Laplace por medio de las coordenadas esféricas, es necesario determinar primero el elemento de arco (elemento de  distancia) ds con estas coordenadas. Para ello, formamos

dx=

∂

x

∂

r

∂

r

∂

x

∂

θ

∂

θ

∂

x

∂

λ

∂

λ ,

dy=

∂

y

∂

r

∂

r

∂

y

∂

θ

∂

θ

∂

y

∂

λ

∂

λ ,

dz=

∂

x

∂

r

∂

r

∂

z

∂

θ

∂

θ

∂

z

∂

λ

∂

λ .

Diferenciando (1­36) e incorporándolas  la fórmula básica

ds

2

=

dx

2



dy

2



dz

2 Obtenemos       

_ds

2

₌

_dr

2

_

_r

2

_dθ

2

_

_r

2

_sin

2

_{θ .dλ}

2

_.

      (1­38) Hubiera sido posible hallar esta conocida fórmula más fácilmente por medios geométricos, pero el método utilizado es más general y además puede  aplicarse también a la coordenadas elipsoidales.

En (1­38) no hay términos con dr d , dr d  y d  d . Esto demuestra el hecho de que las coordenadas esféricas son ortogonales: las esferasθ λ θ λ

r=



x

2



y

2



z

2

,

θ=tan

−1



x

2



y

2

z

,

λ=tan

−1

y

_x

.