Figura 64
Figura 65 Cambios de planos.
Un cambio de plano consiste en eliminar uno de los dos planos de proyección por otro con la única condición de que el plano nuevo tiene que ser perpendicular al que permanece inmóvil. Se pueden realizar cambios de planos vertical y horizontal. La propiedad de estos movimientos es que si cambiamos de plano vertical, la altura del elemento que se cambia permanece constante en el nuevo plano vertical, análogamente si cambiamos de plano horizontal, permanece constante la distancia.
Al realizar un cambio de plano, aparece una nueva línea de tierra y se le colocará dos, tres, cuatro, etc. (según sea primer, segundo, tercer cambio de plano), pequeños trazos para indicar en que lado queda el plano horizontal original. Figura 64.
En la figura 65 se ha representado un cambio de plano vertical, obsérvese que la proyección que se mantiene constante es la horizontal y que la altura o cota del punto también. Los dos pequeños trazos quedan situado del lado donde queda la proyección horizontal a del punto A.
La nomenclatura que se emplea para los cambios de planos es:
Para cambio de plano vertical a’‘, a’‘’, etc. y para los cambios de planos horizontal a1, a2, etc.
Para cambiar una recta, bastará con elegir dos puntos de ella y determinar sus
Figura 66
Figura 67
nuevas proyecciones, la unión de estas proyecciones nos determinará la nueva proyección de la recta.
Para cambiar un plano, elegiremos un punto cualquiera del plano y determinaremos su nueva proyección, si estamos cambiando de plano vertical, la proyección horizontal permanece inmóvil y bastará con calcular la nueva proyección vertical sabiendo que el nuevo plano tiene que contener al punto cambiado. Figura 66.
Los cambios de planos se emplean fundamentalmente para:
1). Poner rectas en horizontales o frontales.
Figura 67.
2). Para poder medir distancias entre dos puntos de una recta. Figura 67.
3). Para determinar los ángulos que las rectas forman con los planos de proyección. Figura 67.
4). Para situar puntos sobre rectas que disten una distancia de otro punto situado sobre ellas.
5). Para poner rectas horizontales en rectas de punta y rectas frontales en rectas verticales.
6). Para poner planos en proyectantes verticales (p. de canto) y proyectantes horizontales (p. vertical). Figura 68.
7). Para poner planos
Figura 68
Figura 69
proyectantes verticales (p. de canto) en planos horizontales y planos proyectantes horizontales (p. vertical) en planos frontales.
8). Para determinar los ángulos que los planos forman con los planos de proyección. Figura 68.
En la figura 69, se han aplicado dos cambios de planos consecutivos para poner la recta R en una recta vertical.
Giros.
Para poder realizar un giro tenemos que disponer de tres elementos, que son:
a). Elemento a girar.
b). Eje de giro.
c). Ángulo de giro.
La forma mas fácil de realizar un giro es teniendo el eje como una recta vertical (o de punta), el motivo es debido a que el arco de circunferencia que describen los puntos que se giran, están situado sobre un plano perpendicular al eje, si este es vertical (o de punta), el arco está contenido en un plano horizontal (o frontal), por tanto, en proyección horizontal (o vertical) se verá dicho arco como un arco de circunferencia y en la otra proyección como una recta perpendicular al eje de giro.
Figura 70.
Figura 70
Figura 71
Si nos dan un eje que no sea ni de punta ni vertical, sino que sea horizontal o frontal, mediante un cambio de plano la pasaremos a de punta o vertical y estamos en el caso anterior, resolveremos el problema en este nuevo diedro y cuando tengamos la solución, la pasaremos al diédro original. Figura 71.
Para girar una recta, bastará con tomar dos puntos cualesquiera de ella y efectuar el giro de ambos, la unión de los puntos girados serán las nuevas proyecciones de la recta. Por regla general, el eje no suele darse, es decir, es el propio alumno el que debe tomar el eje de giro de la forma mas conveniente para resolver el problema y tener que realizar los menos cálculos posibles.
Teniendo en cuenta esto, cada vez que queramos girar una recta para ponerla, por ejemplo, en frontal, tomaremos el eje de manera que se corte con la recta, así el punto de intersección de ambas rectas no se moverá y tan solo tendremos que girar otro punto de la recta para solucionar el problema. En la figura
Figura 72
Figura 73
72, se ha realizado un giro de una recta para calcular la distancia que hay entre dos puntos de ella, obsérvese que el eje de giro pasa por uno de estos puntos (B).
Para girar un plano, por ejemplo alrededor de un eje vertical, procederemos a girar la traza horizontal P, teniendo en cuenta que P está situado sobre PH y el eje corta a PH en un punto, giraremos P alrededor de este punto, para ello trazaremos una perpendicular por este punto a P y describiremos una circunferencia de este radio, la traza girada Pg s e r á t a n g e n t e a e s t a c i r c u n f e r e n c i a ; d e s p u é s determinaremos el punto de intersección I entre el eje y el plano, este punto no se moverá (por pertenecer al eje de giro) y
para determinar la traza vertical girada bastará con calcular la nueva proyección vertical sabiendo que el nuevo plano tiene que contener al punto de intersección citado. Figura 73. Obsérvese que las trazas verticales P’ y Pg’ no se cortan en la proyección vertical del eje E, esto ocurrirá si el ángulo que forma P con LT fuera el mismo que el que forma Pg con LT.
En la figura 74 se ha girado un plano para convertirlo en un plano de canto y poder calcular el ángulo que forma con el PH.
En la figura 75 mediante dos giros se ha convertido una recta R en
Figura 74 Figura 75 otra de punta R2G, para ello primero se ha realizado un giro alrededor del eje E1 para convertirla en horizontal R1G y alrededor del eje E2 para convertirla en de punta.
Giro especial. Abatimientos.
Se llama abatimiento de un plano a un giro de este alrededor de una de sus trazas con el objeto de hacerlo coincidir con PV o PH, esto lleva consigo que todas las figuras contenidas en este plano se verán en VERDADERA MAGNITUD. Este método se aplica siempre que tengamos que dibujar una figura contenida en un plano.
El proceso es simple, se realiza el abatimiento del plano, se construye la figura y se desabate el plano, teniendo así el problema resuelto. Hay que tener presente que al abatir se abate el plano completo con todo lo que contenga, generalmente se suele decir, aunque está mal dicho, “...voy a abatir este punto...” o “...voy a abatir esta recta...”.
Para abatir un plano disponemos de tres métodos que son:
a).- Método del triángulo.
b).- Método cambio de plano.
c).- Método de abatir la traza del plano que no es el eje de giro.
Figura 76
Figura 77 a).- Método del triángulo.
Para abatir el plano P vamos a determinar el abatido del punto A. Observando las figuras 76 y 77, vemos que el punto A describirá un arco de circunferencia de radio R y está contenida en un plano perpendicular al eje de giro ( c h a r n e l a ) P , e s t a circunferencia se verá como la recta a(A) perpendicular a P, lo que tenemos que averiguar es el radio de giro R. Observando la figura, vemos que se forma un triángulo rectángulo Aao cuyos lados son, Aa es la altura h del punto A, ao es la distancia entre a y P, y Ao es el radio de giro R. Si conseguimos encontrar el valor de R tenemos el problema resuelto. Vamos a abatir el triángulo Aao alrededor del eje ao hasta que coincida con PH, para ello trazaremos una paralela a P por a, llevaremos sobre ella la altura h del punto, obteniéndose el punto c, uniendo c con o tenemos el radio de giro R.
Haciendo centro en o y con radio R describimos un arco de circunferencia hasta que corte a la recta ao, lugar donde está (A) abatido del A.
Una vez encontrado el abatido de un punto para encontrar el abatido de otro, no es necesario volver a realizar la construcción anterior basta saber que la figura abatida y la desabatida son afines respecto del eje P. Aplicando pues los conocimientos de homología y afinidad podemos determinar el abatido de cualquier otro punto.
Figura 78. Rectas afines se cortan en el eje de la afinidad, es decir, la recta ab y su afín (A)(B) se
Figura 78
Figura 79
cortan en el punto x del eje de la afinidad P, una vez encontrada la recta (A)x basta con trazar la perpendicular por b a P y obtendremos el punto (B), abatido del B.
b).- Método del cambio de plano.
Hay que tener presente que un abatimiento no es mas que un giro alrededor de un eje horizontal, la traza P del plano es una recta perteneciente al PH. Como vimos en el estudio de los giros, para realizar un giro cuando el eje es una recta horizontal (o frontal), realizábamos un cambio de plano para resolver el problema. Esto es lo que vamos a realizar. Una vez realizado el estudio de este método, vamos a compararlo con el método del triángulo y vamos a ver que es lo mismo pero realizado de distinta manera. Figura 79. Obsérvese que los triángulos a’‘12 y a34 son iguales, el radio de giro por el método del cambio de plano (a’‘1) y por el método del triángulo (34) son iguales.
Figura 80
Figura 81 c.- Método de abatir la traza que no es el eje de giro.
Este método consiste en encontrar la recta abatida de P’ si estamos abatiendo alrededor de P. Figura 80 y 81.
Observando la figura, vamos a obtener el abatido del punto A perteneciente a la traza vertical P’
del plano. Vemos que el radio de giro es xa’ (se puede calcular por el método del triángulo, aunque no es necesario). El segmento oA está en v e r d a d e r a m a g n i t u d p o r pertenecer a la traza vertical P’
que está contenida en PV, por otro lado, el segmento o(A) también está en verdadera magnitud por pertenecer al PH, por tanto haciendo centro en el punto o y con radio oa’ describiremos un arco de circunferencia hasta que corte a la linea ax, obteniéndose el punto (A) abatido del A, la unión de o y (A) nos dará el abatido de P’.
Para obtener el abatido de otro punto aplicaremos los conocimientos de homología y afinidad aunque emplearemos rectas especiales. Figura 82. Trazaremos por b una recta paralela
a P hasta corta a LT, por este punto trazaremos una perpendicular a P hasta cortar a (P’) y por este último punto trazaremos una paralela a P, la perpendicular trazada por b a P nos dará en esta última recta el punto (B), abatido de B. Obsérvese que los puntos situados en (P’) tienen sus correspondientes desabatidos sobre la LT.
Figura 82
Consideraciones sobre este método.
Este método nos da una gran variedad de información sobre la figura que estamos construyendo en un plano y que son:
1). Los puntos situados sobre P NO TIENEN ALTURA.
2). Los puntos situados sobre (P’) NO TIENEN DISTANCIAS.
3). Los puntos situados entre P y (P’) ESTÁN EN EL PRIMER CUADRANTE.
4). Si una figura corta a (P’), esta cortará a P’ y pasará al segundo cuadrante.
5). Si una figura corta a P, esta pasará al cuarto cuadrante.
Con toda esta información se pueden resolver multitud de problemas donde nos dan condiciones que tienen que ver con los puntos anteriormente enumerados. En la figura 83 (datos) y 84 (solución) se resuelve un problema donde se ponen de manifiesto estas consideraciones.
Construir un exágono regular contenido en el plano P con las siguientes condiciones y marcar partes vistas y ocultas:
2 Se han aplicado los principios de la afinidad.
Figura 83 1). El punto A es un vértice del mismo.
2). El vértice B, opuesto al A, no tiene altura.
3). La línea que une estos dos vértices es perpendicular a P.
4). El lado del exágono es 5 unidades.
Procederemos a trazar una perpendicular a P por a y situaremos en ella a partir de a un punto que diste 5 unidades, este punto será el centro de la circunferencia que circunscribe al exágono. Como el vértice B no tiene distancia, la traza vertical abatida (P’) deberá pasar por este punto, así determinaremos (P’). Para determinar P’ procederemos a encontrar las proyecciones del punto B. Por no tener distancia, b debe estar en LT y b’ en P’. Trazaremos por (B) la perpendicular a P hasta encontrar b en LT, levantando por b una perpendicular a LT y donde sea cortada por la circunferencia de centro 1 y radio 1(B) obtendremos este punto y por consiguiente P’. Ahora procederemos a desabatir el exágono. Trazaremos por (C ) y (D) paralelas a P hasta cortar a (P’), por estos puntos perpendiculares a P hasta cortar a LT y por estos puntos paralelas a P hasta cortar a las perpendiculares trazadas por (C ) y (D) a P. Así obtendremos los puntos c, d, e y f.2
Una vez encontrados los puntos anteriores, procederemos a situarlos en el plano mediante rectas horizontales, obteniéndose los puntos c’, d’, e’ y f’. Obsérvese que por cortar el exágono a (P’) la proyección horizontal corta a LT y la vertical a P’.
El punto de corte x de la recta fe con LT se corresponde con el punto de corte x’
de f’e’ con P’. Por último, para ver las partes vistas y ocultas, tendremos en cuenta que el exágono es cortado por el PV entrando el segmento xe y el lado eb en el segundo cuadrante, por tanto estos segmentos serán ocultos. Veáse la correspondencia con la proyección vertical de estos segmentos.
Figura 84
Figura 85
Nueva definición de un plano.
Hasta ahora, un plano lo hemos definido por varias consideraciones. Con esta forma de abatir, podemos definir un plano varias formas nuevas:
1). Conociendo P y (P’).
2). Conociendo P’ y (P’).
3). Conociendo el abatido de un punto A, P o P’ y una coordenada de este punto. Figura 86.
En la figura 85, se define un plano por su traza horizontal P y (P’) abatida de P’. Para calcular la traza P’ procederemos de la siguiente manera:
Tomaremos un punto (A’) cualquiera sobre (P’). Al deshacer el abatimiento (giro) el punto (A’) describirá una circunferencia que la veremos en proyección horizontal como una recta perpendicular a P (eje del giro) y su desabatido a debe estar sobre la LT. Una vez conocida la proyección horizontal a del punto A, su proyección vertical estará en la perpendicular a LT por a.
Trazaremos esta perpendicular y donde la circunferencia de centro o y radio o(A) corte a esta última recta, nos dará la proyección vertical a’ del punto A. La unión de o y a’ nos determinará la traza vertical P’ del plano buscado. Se deja a cargo del alumno la resolución del segundo caso.
Figura 86
En la figura 86, se resuelve el problema definido por el abatido (A) de un punto A conociendo la traza horizontal P del plano y sabiendo que el punto A tiene 5 unidades de cota.
Hemos resuelto el problema mediante un cambio de plano.
Tomamos una nueva LT perpendicular a P. Trazamos una paralela a P por (A) obteniéndose el punto 1. Con centro en o y radio o1 describiremos un arco de circunferencia que será el arco descrito por el punto A al girarlo alrededor de P. Tenemos que buscar un punto de este arco que tenga 5 unidades de cota, así obtendremos el punto a’‘.
Conocido a’‘ obtendremos el punto a trazando por (A) una perpendicular a P y por a’‘ una paralela a P. Una vez conocido a, su proyección vertical estará en una perpendicular a LT a 5 unidades de altura. Conocida las dos proyecciones a’ y a del punto A y la traza horizontal de P, bastará usar las condiciones de pertenencia entre punto y plano para determinar la traza vertical P’
del mismo. Este problema también se podría haber resuelto aplicando el método del triángulo. Con centro en 4 y radio 4(A) describiremos un arco de circunferencia y buscaremos un punto sobre ella que tenga 5 unidades de separación a partir de la recta (A)4. De esta manera obtendremos el punto a. El resto es idéntico a lo anteriormente expuesto.
¿Qué método se debe aplicar?
Queda a cargo del lector la elección del método a aplicar para resolver los distintos problemas que pueden plantearse, no obstante daremos algunas consideraciones a tener en cuenta a la hora de elegir un método u otro.
1). Como los métodos del cambio de plano y del triángulo son idénticos, usaremos el del triángulo por tener menos trazados que realizar.
2). Si solamente tenemos que abatir un punto, el método mas rápido es el del triángulo.
3). Si el problema hace referencia a puntos sin cotas o sin distancias o que la figura está situada en el primer cuadrante o nos definen un plano por alguna de sus trazas y la abatida de una de ellas, el método mas idóneo es el de abatir la traza que no es el eje de giro.
4). Si nos dan las coordenadas de algún punto y falta alguna de las trazas del plano, aplicaremos el del cambio de plano o el del triángulo.
Paralelismo y perpendicularidad.
Paralelismo.
a).- Paralelismo entre rectas.
b).- Paralelismo entre recta y plano.
c).- Paralelismo entre planos.
a).- Paralelismo entre rectas.
Si dos rectas son paralelas, sus proyecciones también son paralelas. Para trazar una recta paralela a otra y que pase por un punto, bastará trazar paralela a la proyección vertical de la recta por la proyección vertical del punto y paralela a la proyección horizontal de la recta por la proyección horizontal del punto.
b).- Paralelismo entre recta y plano.
Si una recta es paralela a un plano quiere decir que podemos encontrar en el plano una recta que sea paralela con ella.
En la figura 87, la recta R y el plano P son paralelos y la recta T y el plano Q, no.
La recta R no es paralela al plano P porque aunque r’ es paralela a u’, r no es paralela a u, por tanto no existe ninguna recta en P que sea paralela a R.
Figura 87
Figura 88 La recta T es paralela al plano Q, porque existe en Q la recta S que es paralela a la T.
c).-Paralelismo entre planos.
Si dos planos son paralelos sus proyecciones también son paralelas.
Para trazar un plano Q paralelo al P y que pase por un punto A, tendremos que trazar una recta S por A que sea paralela a una recta cualquiera R del plano P, el plano Q buscado deberá de contener a la recta S. Figura 88.
Generalmente la recta cualquiera que se toma del plano P suelen ser o una recta horizontal o una frontal en lugar de una recta cualquiera.
Perpendicularidad.
a).- Perpendicularidad entre rectas.
b).- Perpendicularidad entre planos.
c).- Perpendicularidad entre recta y plano.
d).- Recta de máxima pendiente y recta de máxima inclinación de un plano.
Figura 89
Figura 90 a).- Perpendicularidad entre rectas.
Si dos rectas son perpendiculares sus proyecciones no tienen por qué ser perpendiculares, pero si una de ellas es paralela a un plano de proyección entonces, sobre este plano se verá la perpendicularidad en la otra proyección no se verá.
En la figura 89, las rectas R y S no son perpendiculares y las T y W sí.
Obsérvese que la recta T es una recta horizontal (paralela al PH) y en proyección horizontal se ve la perpendicularidad.
Entonces, ¿cómo podemos trazar una recta R que sea perpendicular a otra S desde un punto A y se corte con ella si la recta S no es horizontal ni frontal?. Figura 90.
Si la recta S fuese horizontal (o frontal) entonces veríamos la perpendicularidad, pues utilicemos los cambios de planos y hagamos uno que haga que la recta S sea, por ejemplo, frontal, entonces en el cambio de plano podremos ver la perpendicularidad. Obsérvese la perpendicularidad entre r’‘ y s’‘ y la no perpendicularidad entre r’ y s’ y entre r y s.
Figura 91
Figura 92 En las figuras 91 (datos) y 93 (solución), se resuelve la construcción de un cuadrado conociendo un vértice A y teniendo un lado sobre la recta R. El vértice A es el mas alto.
Para empezar veamos como se construye un cuadrado con los datos que nos dan.
Trazaremos una recta T perpendicular a R por A, calcularemos el punto B de intersección de entre T y R, mediremos la distancia entre los puntos B y A y, por último, a partir de B llevaremos sobre R hacia un lado y hacia el otro la distancia calculada obteniéndose los puntos C y D. Los cuadrados quedan definidos por los puntos A, B y C o A, B y D.
Pasemos a resolver el problema en diédrico. Tenemos que trazar una recta T perpendicular a R por A y obtener el punto B de intersección entre ambas.
Para medir la distancia entre A y B realizaremos un giro para poner el segmento AB en verdadera magnitud. Tenemos que llevar sobre R el segmento calculado, para ello en el cambio de plano la recta R es frontal y sobre ella se pueden ver verdaderas magnitudes. Elegimos aquel punto que cumpla con las condiciones del problema (A es el mas alto). Y por último, trazando rectas paralelas tenemos el problema resuelto.
Figura 93
Figura 94
Este problema se puede resolver por otro enfoque, determinando el plano definido por la recta R y el punto A y proceder a su abatimiento, una vez abatido R y A, construiremos el cuadrado y determinaremos su desabatido. Figura 94.
Figura 95 Para determinar el plano definido por A y R, se ha elegido un punto 1 auxiliar cualquiera de la recta R y se ha unido con A, obteniéndose la recta 1A y le hallamos sus trazas H2 y V2, también calculamos la traza horizontal de R, H1. Uniendo estas trazas nos determina el plano P’-P. Procedemos a calcular el abatido del punto 1, para ello llevamos la altura de 1 sobre la paralela a P trazada por 1, obteniéndose el punto x, este unido con o nos da el radio para determinar la posición de 1 abatida, (1). Una vez encontrado (1), vamos a abatir la recta R, observamos que r pasa por 1 y h1, uniendo (1) con h1 tenemos (R). Ahora calculamos el abatido de a, para ello observamos que la recta a1 corta a P en h2, uniendo este punto con (1) nos permite determinar la posición de (A). Ya tenemos abatido A y R procedemos a construir el cuadrado, obteniéndose los vértices (B), (C ) y (D). Vamos a obtener los desabatidos de estos puntos, observamos que (B) y (C ) están sobre (R), luego b y c estarán sobre r y b’ y c’ sobre r’. El punto d lo obtenemos por afinidad, la prolongación de (D)(C ) corta a P en z uniendo z con c nos permite encontrar la posición de D, o bien por paralelismo. Para determinar d’ podemos usar el paralelismo o bien situando el punto D en el plano P’-P mediante una horizontal o frontal.
b).- Perpendicularidad entre planos.
Si dos planos son perpendiculares sus proyecciones no tienen por que ser perpendiculares, pero si uno de ellos es perpendicular a uno de los planos de proyección entonces, sobre este
plano, se verá la perpendicularidad, en la otra proyección no se verá.
En la figura 95, los planos P y Q no son perpendiculares mientras que los W y V si lo son. Obsérvese que el plano W es un plano de canto (perpendicular al PV).
Entonces, ¿cómo podemos trazar un plano P que sea perpendicular a otro Q y que contenga a una recta R si el plano Q no es vertical ni de canto?. Figura 96.
Figura 97 Figura 96
Si el plano Q fuera vertical o de canto veríamos la perpendicularidad entonces, mediante un cambio de plano pongámoslo de canto. En la nueva proyección determinamos Q’‘ y r’‘ y calculamos la nueva traza de la recta R (punto 2), por él deberá de pasar P’‘ y ser perpendicular a Q’‘. Hallada P’‘
corta a la segunda LT en x, uniendo x y h (traza horizontal de R) obtendremos P, donde corta P a LT (y) lo uniremos con v’ (traza vertical de R) y tenemos el problema resuelto.
Este problema puede resolverse por otro enfoque. Si dos planos son perpendiculares uno de ellos contiene a una recta perpendicular al otro y debe contener a la recta R (dato del problema), pues elegimos un punto cualquiera de R y por él trazamos una recta S que sea perpendicular al plano Q, tenemos dos rectas R y S que se cortan definiendo el plano P buscado. Para poder aplicar este enfoque tenemos que saber como se traza una recta que sea perpendicular a un plano. Figura 98.
c).- Perpendicularidad entre recta y plano.
Si una recta es perpendicular a un plano las proyecciones de la recta son perpendiculares a las proyecciones del plano.
Consideremos un plano P y un punto A, vamos a trazar la perpendicular a P por A. Figura 97.
Para que una recta sea perpendicular a un plano basta que sea perpendicular a dos rectas cualesquiera de ese plano.
Apliquemos este concepto a
Figura 98
nuestro problema. Vamos a elegir dos rectas cualesquiera del plano P y por A trazaremos la recta perpendicular a estas dos, pero nos encontramos con otro problema, ¿se conserva la perpendicularidad entre rectas?, la respuesta es no, salvo que alguna de ellas sea horizontal o frontal, pues elijamos dos rectas del plano P que sean horizontal, una, y frontal, la otra, y tracemos por A las perpendiculares a estas dos rectas. Observando la figura, trazamos T perpendicular a R, por ser R frontal, r’ es perpendicular a t’, pero t puede adoptar cualquier inclinación, no la trazamos y ahora, trazamos T perpendicular a S, por ser S horizontal, r es perpendicular a t. Entonces trazando t’ perpendicular a P’ y t perpendicular a P tenemos el problema resuelto.
Ahora estamos en condiciones de resolver el problema enunciado en la página 56 de otra forma.
El problema pedía trazar un plano P perpendicular a otro Q y que contenga a una recta R. Figura 98.
Elegido el punto 1 de la recta R trazamos la recta T perpendicular al plano Q.
Calculamos las trazas de ambas rectas HR, VR, HT y VT, uniendo las proyecciones de estos puntos tenemos las proyecciones del plano P buscado.
3 El denominador representa la distancia del punto a la recta R.
Figura 99
Figura 100 d).- Recta de máxima pendiente y recta de máxima inclinación de un plano.
Se llama línea de máxima pendiente de un plano, de todas las rectas pertenecientes a un plano y que pasan por un punto a aquella que forma el mayor ángulo posible con PH, es decir, sería la trayectoria que describiría una bolita al dejarla caer sobre el plano, el ángulo que forma esta recta con PH es el mismo que el que gorma el plano con PH.
Observando la figura 99,
tg Aa
y para que la tangente seaβ = Ma tg Aa
β ' = Na
máxima el denominador ha de ser mínimo, y para que el denominador sea mínimo3 el segmento AN tiene que ser la mínima distancia entre A y R, es decir, AM, la perpendicular trazada por a a R. Luego la línea de máxima pendiente es la recta AM.
Análogamente se define la línea de máxima pendiente respecto del PV que recibe el nombre de línea de máxima inclinación.
En la figura 100 se ha representado la LMP que pasa por el punto a del plano P y la LMI que pasa por el punto B del plano Q.
Nueva definición de un plano.
A las formas de definir un plano ya expuestas, se le añaden dos mas, dando las rectas de máxima pendiente o la de máxima inclinación.
Figura 101 Cálculo de distancias y ángulos.
Distancias.
a).- Distancia entre dos puntos.
b).- Distancia entre punto y recta.
c).- Distancia entre punto y plano.
d).- Distancia entre rectas paralelas.
e).- Distancia entre planos paralelos.
f).- Distancia entre recta y plano paralelos.
g).- Distancia entre dos rectas que se cruzan.
a).- Distancia entre dos puntos.
La distancia entre dos puntos, A y B, es el segmento que los une.
Para calcular la distancia entre dos puntos A y B tendremos que poner el segmento AB en verdadera magnitud. Disponemos de varias formas para poner el segmento AB en verdadera magnitud:
1). Mediante cambio de plano. Figura 101.
2). Mediante cambio de plano “especial”. Figura 101.
3). Mediante giro. Figura 101.
4). Mediante abatimiento de un plano que contenga al segmento. Figura 101.
El caso 2) no es mas que un cambio de plano situando la nueva LT coincidente con el segmento ab y tomando, en lugar de las alturas de los puntos, la diferencia de altura de los mismos.
b).- Distancia entre punto y recta.
La mínima distancia entre un punto A y una recta R es la perpendicular trazada por el punto A a la recta R.
Este problema lo vamos a resolver por dos formas distintas:
1). Determinando el plano formado por la recta R y el punto A, abatiendo y calculando la distancia en el abatimiento.
2). Calculando la perpendicular T por el punto A a la recta R, hallando el punto B de intersección de ambas rectas y midiendo la distancia entre ambos puntos A y B.
c).- Distancia entre punto y plano.
La distancia entre un punto A y un plano P es la perpendicular trazada por el punto A al plano P.
Este problema lo vamos a resolver por dos formas distintas:
1). Trazando la recta T perpendicular al plano P por el punto A, calculando la intersección B del plano P y la recta T, midiendo la distancia entre A y B.
Figura 102.
2). Mediante un cambio de plano y realizando el proceso anterior. Figura 102.
El caso 1) se ha trazado la perpendicular T al plano P, se ha calculado la intersección B de la recta T y el plano P y mediante un giro se ha puesto el segmento AB en verdadera magnitud.
Figura 102
El caso 2) se ha realizado lo mismo que en el caso 1) con la salvedad de que, en el cambio de plano, la intersección B de la perpendicular T y el plano P es inmediata y el segmento AB resulta estar en verdadera magnitud.
d).- Distancia entre rectas paralelas.
La distancia entre dos rectas paralelas R y S es la perpendicular común.
Para resolver este caso vamos a tomar un punto cualquiera de una de las rectas y calcularemos la distancia entre este punto y la otra recta, estamos pues ante el caso b). distancia entre punto y recta.
e).- Distancia entre planos paralelos.
La distancia entre dos planos paralelos P y Q es la perpendicular común a ambos planos.
Figura 103
Para resolver este problema vamos a tomar un punto cualquiera de uno de los planos y calcularemos la distancia entre este punto y el otro plano, estamos pues ante el caso c). distancia entre punto y plano.
Este problema se puede resolver aplicando un cambio de plano, la resolución es bastante mas rápida y mas simple que el caso anteriormente citado. Figura 103.
f).- Distancia entre recta y plano paralelos.
La distancia entre una recta R y un plano P que son paralelos es la perpendicular trazada por un punto de la recta R al plano P.
Este caso se resuelve tomando un punto A de la recta R y calculando la distancia de este punto al plano P, luego estamos ante el caso c). distancia entre punto y plano.
g).- Distancia entre dos rectas que se cruzan.
La distancia entre dos rectas que se cruzan R y S es la perpendicular común a ambas rectas.
Para su cálculo procederemos de la siguiente manera:
La mínima distancia entre dos rectas R y S, que se cruzan, es la misma que la que hay entre la recta R y el plano determinado por la recta S y una paralela T a R que se corte con S. Para su cálculo vamos a elegir un punto A cualquiera de la recta S, trazaremos la recta T paralela a R por A, determinaremos el plano P definido por S y T y tenemos el problema reducido a distancia entre la recta R y el plano P (nótese que R y P son paralelos), es decir, estamos en el caso f). distancia entre
Figura 104
recta y plano paralelos. Una vez que tengamos calculada la mínima distancia, tendremos que desplazarla paralelamente a sí misma hasta que sus extremos estén, cada uno, en cada una de las rectas R y S. Figura 104 (datos) y 105 (solución).
Veamos el trazado, elegimos un punto A de la recta S y trazamos por A la recta T paralela a R, determinamos el plano P formado por T y S. Elegimos un punto C cualquiera de R y por él trazamos la recta M perpendicular al plano P, calculamos el punto B intersección de M y P. La mínima distancia buscada es el segmento CB. De este segmento vemos que el extremo C está en R pero el B no. Vamos a trasladar paralelamente a sí mismo el segmento CB hasta que el extremo B esté en S, para ello trazamos por B una paralela a R hasta que corte a la recta S obteniéndose el punto 2, por último desplazamos el segmento CB hasta que B esté en 2 y obtendremos el punto 1 en R, el segmento 12 es la mínima distancia buscada teniendo el extremo 1 en R y el extremo 2 en S. Lo que nos falta es calcular su verdadera magnitud para lo cual giraremos el segmento 12 hasta ponerlo frontal. El segmento 2g’1' es el verdadero valor de la mínima distancia. Obsérvese que el segmento 12 es la perpendicular común a las rectas R y S.
Figura 105
Ángulos.
a).- Ángulo entre dos rectas que se cortan.
b).- Ángulo entre dos rectas que se cruzan.
c).- Ángulo entre recta y plano que se cortan.
d).- Ángulo entre dos planos que se cortan.
e).- Ángulos entre una recta y los planos de proyección.
f).- Ángulos entre un plano y los planos de proyección.
a).- Ángulo entre dos rectas que se cortan.
Para calcular el ángulo entre dos rectas R y S que se cortan, bastará con determinar
Figura 106
el plano que forman, abatir ambas rectas y medir el ángulo. Figura 106.
b).- Ángulo entre dos rectas que se cruzan.
Para calcular el ángulo entre dos rectas R y S que se cruzan, bastará con elegir un punto A cualquiera de una de las rectas, por ejemplo R, y por él trazar una recta T paralela a S. El ángulo buscado es el mismo que el que forman R y T. Estamos en el caso anterior, ángulo formado por dos rectas que se cortan.
c).- Ángulo entre recta y plano que se cortan.
El ángulo formado por una recta R y un plano P, se obtiene trazando un plano Q perpendicular a P y que contenga a la recta R. Ambos planos se cortarán según una recta S, el ángulo formado por R y S es el ángulo buscado.
Hay otra forma de determinar el ángulo formado por una recta R y un plano P.
Figura 107
Figura 108 Elegimos un punto A cualquiera de la recta R, trazamos por A la perpendicular T al plano P, el ángulo formado por R y T es el complementario (diferencia a 90º) del que forman R y P. Figuras 107 y 108.
Para calcular el ángulo ,α una vez trazada la recta T, vemos que R y T forman un plano Q (R y T se cortan en A), determinemos el plano Q y en el abatimiento veremos la verdadera magnitud del ángulo , le restamos 90º yα tenemos el ángulo buscado.
β
d).- Ángulo entre dos planos que se cortan.
El ángulo formado por dos planos P y Q que se cortan se obtiene trazando un plano W que sea perpendicular a la recta R, intersección de P y Q. Determinamos las intersección T entre los planos P y W y la recta S intersección de los planos Q y W.
El ángulo buscado es el formado por las rectas T y S.
Hay otro forma de determinar el ángulo formado por los planos P y Q.
Figura 109
Figura 110 Elegimos un punto A cualquiera del espacio y por él trazamos dos rectas R y S que
sean perpendiculares a los planos P y Q respectivamente. El ángulo buscado es el suplemento (diferencia a 180º) del ángulo formado por R y S. Figuras 109 y 110.
Para calcular el ángulo , una vezα trazadas las rectas R y S vemos que estas rectas forman un plano W (R y S se cortan en A),
determinemos el plano W y en el abatimiento veremos la verdadera magnitud del ángulo , le restamosα 180º y tenemos
β
, el ángulo buscado.e).- Ángulos entre una recta y los planos de proyección.
Para determinar los ángulos que una recta forma con los planos de proyección bastará con poner dicha recta en frontal u horizontal quedando los ángulos buscados en las nuevas proyecciones.
f).- Ángulos entre un plano y los planos de proyección.
Para determinar los ángulos que un plano forma con los planos de proyección bastará con poner dicho plano en vertical o de canto quedando los ángulos buscados en las nuevas proyecciones.
Ejercicios de aplicación.
Vamos a resolver unos ejercicios con sus correspondientes comentarios como conclusión a todo lo expuesto hasta el momento.
Ejercicio nº 1. Figura 111.
1º. Determinar las proyecciones de los puntos A(3, 0, 10) y B(5.75, 3, 0).
2º. Hallar las proyecciones del plano M sabiendo que la recta AB es de máxima pendiente.
3º. Hallar el punto C, punto medio de AB.
4º. Trazar por C una recta perpendicular al plano M de 3.5 cms. de magnitud, obteniéndose el punto D en el extremo (CD=3.5 cms.) el punto D es el de mayor cota.
5º. Trazar por C una recta R del plano M que forme 60º con la traza horizontal de dicho plano, situada en proyección horizontal a la izda. de la recta AB.
6º. Calcular la distancia entre el punto D y la traza horizontal del plano M.
7º. La recta R es diagonal de un cuadrado siendo el vértice C el mas alto y el valor del lado es la distancia anteriormente calculada.
8º. Marcar partes vistas y ocultas.
Referencias a cada apartado del ejercicio.
1º. Situar puntos.
Página 10, figura 21.
2º. Proyecciones de un plano definido por la línea de máxima pendiente.
Página 59, figuras 99 y 100.
3º. Calcular el punto medio de AB no es mas que calcular los puntos medios de a’b’
y ab.
4º. Trazado de una recta perpendicular a un plano.
Página 57, figura 97.
Para situar el punto D sobre la recta anterior se ha realizado un giro de esta recta para ponerla frontal, para ello se ha tomado un punto auxiliar X se ha realizado el giro y sobre la recta c’xg’ se ha llevado el segmento CD de 3.5 cms., obteniéndose el punto dg’, colocando el punto dg’ mas alto que el c’, según dice el enunciado del problema. Una vez determinado dg’ hemos realizado el giro al revés y hemos obtenido el punto d’, a partir de él,
obtenemos d.
Página 39 y 40, figura 72.
5º. Para trazar una recta que forme 60º con la traza horizontal del plano hemos abatido el plano y en el abatimiento se verán los 60º. El método elegido para realizar el abatimiento ha sido el de abatir la traza que no es el eje de giro, es decir, abatir M’, hemos elegido el punto A para realizar este abatimiento, obtenido (M’) hemos abatido el punto C obteniendo su abatido (C ); para su obtención se ha realizado por afinidad, véanse las rectas paralelas y perpendiculares a M que parten de c y (C ) hasta llegar a LT y (M’).
Páginas 44 y 45, figuras 80, 81 y 82.
6º. Cálculo de la distancia entre un punto y una recta. Recordamos que la distancia entre un punto y una recta se mide en la perpendicular trazada por el punto a la recta. Recordemos que la perpendicularidad entre rectas no se conserva salvo que una de ellas sea frontal u horizontal. La traza M del plano es una recta horizontal cuya proyección vertical es LT, entonces en proyección horizontal se verá la perpendicularidad. Trazamos por D la perpendicular a M siendo el punto b el punto de intersección de esta perpendicular y M. Lo que nos queda es calcular la verdadera magnitud del segmento BD, para ello realizamos un giro hasta poner este segmento en frontal.
Distancia entre punto y recta. Páginas 52 y 53 figuras 90,91, 92 y 93.
Giro de una recta. Páginas 39 y 40 figura 72.
7º. Para la construcción del cuadrado, en el abatimiento lo vemos en verdadera magnitud y ahí es donde lo construiremos. El método aplicado para abatir el plano M es abatir la traza que no es el eje de giro, es decir, abatir M’.
Elegimos el punto A y una vez abatido (A) y encontrado (M’), obtenemos el abatido de c, hecho por afinidad , (C ). Trazaremos rectas a 45º con respecto a (C )1 y sobre ellas colocaremos el valor del lado obteniéndose los puntos (3) y (4), trazando paralelas obtenemos el cuarto vértice (2). Para desabatirlo hemos tenido en cuenta que, el vértice 2 está en la prolongación de la recta c1, el lado 23 se tiene que cortan con (2)(3) en m, punto g. Una vez obtenido los vértices 2 y 3 por paralelismo obtenemos el 4. Para calcular la proyección vertical, 2' está en la prolongación de c’1', el lado 2'3' corta a LT en g’.
Encontrados los vértices 2' y 3', por paralelismo obtenemos el 4'.
Páginas 44 y 45, figuras 80, 81 y 82.
8º. Las partes ocultas del cuadrado en proyección vertical son las que quedan por debajo de LT y en proyección horizontal las que se corresponden con estas.
Figura 111
Ejercicio nº 2. Figura 112.
1º. Determinar las proyecciones de los puntos A(12, 7, 1.5), B(7, 3.5, 6.5) y C(3, 9, 1.5).
2º. Hallar la traza horizontal del plano P definido por los puntos A, B y C.
3º. Calcular la distancia del punto A a la recta BC y situar el punto D, apoyo sobre dicha recta.
4º. Dibujar un exágono regular contenido en el plano P de modo que D sea un vértice, el opuesto E está en el PH y la diagonal que los une forma 45º con la traza horizontal del plano. Dicha diagonal queda en proyección horizontal a la izda. de D.
Referencias a cada apartado del ejercicio.
1º. Situar puntos.
Página 10, figura 21.
2º. Traza horizontal del plano P. Trazamos una recta paralela a ac por la traza horizontal de la recta BC ya que la recta AC es horizontal y la traza horizontal del plano es paralela con ac.
Páginas 21 y siguientes.
3º. Cálculo de la distancia de A a BC. Perpendicular por el punto A a la recta BC.
Distancia de A a la recta BC. Para resolver este apartado se ha aplicado un cambio de plano donde se puede ver la perpendicularidad entre dos rectas al estar la recta DB como horizontal en el cambio de plano, ahí le trazamos la perpendicular y calculamos el punto d’‘. Para calcular la distancia entre A y BC hemos realizado un giro para colocar el segmento AD en frontal viéndose la verdadera magnitud en el segmento a’dg’.
Perpendicular. Página 52, figura 89 y 90.
Distancia. Página 61.
4º. Para construir el exágono hemos abatido el plano P sobre PH, hemos trazado la recta que forma 45º con P y el punto E se encuentra en la intersección de esta recta y la traza horizontal del plano P. Calculamos el centro de DE que será el centro de la circunferencia que lo circunscribe y lo dibujamos. Para desabatirlo hemos trazado la recta que une los vértices 2 y 3 (pasa por el centro o) y corta a P en n este punto no tiene altura y n’ estará en LT.
Uniendo n’ con o’ tenemos la recta donde estarán los vértices 2' y 3', unimos 2' con e’ y 3' con d’ teniendo así dos lados del exágono. El punto 1, corte del
exágono con P tendrá su proyección vertical 1' en LT, punto que nos va a ayudar a encontrar el punto 4'. El resto de la construcción se resuelve por paralelismo. Para estudiar las partes vistas y ocultas será oculto la parte de exágono que queda, en proyección vertical, por debajo de LT pues esos puntos están en el cuarto cuadrante, es decir, los segmentos e4' y 1'4' y en proyección horizontal la parte de exágono que se corresponde con estos puntos, es decir, los segmentos e4 y 41.
Páginas 42 y 43, figuras 76, 77 y 78.
Figura 112
Ejercicio nº 3. Figura 113.
1º. Situar los puntos O(0, 0, 0), A(9, 1, 0).
2º. Determinar las trazas del plano P’-P sabiendo que la traza horizontal es la línea OA y el plano forma 45º con PH cortando P’ al borde dcho. del papel por encima de LT.
3º. Situar en el plano anterior un punto B(x, 7, 5).
4º. Trazar por el punto B un plano Q que sea perpendicular a la recta R.
5º. Determinar la recta S intersección de P y Q.
6º. Calcular el punto medioM del segmento comprendido entre las trazas de la recta S.
7º. Situar a partir del punto M y sobre la recta S dos puntos 2 y 3 que disten de M 4 cms.
8º. El segmento 23 es lado de un triángulo equilátero cuyo tercer vértice está en el PH y a la dcha. de S, determinar sus proyecciones.
Referencias a cada apartado del ejercicio.
1º. Situar puntos.
Página 10, figura 21.
2º. Para calcular la traza vertical del plano P, hemos hecho un cambio de plano para colocar el plano de canto y poder ver el ángulo en verdadera magnitud.
Se ha tomado el punto G auxiliar para determinar la traza vertical del plano.
Plano de canto, página 27, figuras 50 y 51.
Cambio de plano, página 37 y 38, figura 68.
3º. Situar punto en un plano. Se ha trazado una horizontal de altura 5 cms. y donde se corte con la frontal de 5 cms. de distancia, tendremos el punto B.
Página 24, figura 43.
4º. Para trazar un plano perpendicular a una recta y que pase por un punto recordemos que la perpendicularidad entre recta y plano se conserva, luego el plano Q’-Q será perpendicular a r’-r respectivamente. Sabiendo como será el plano que buscamos, trazaremos un plano paralelo al buscado y que pase por el punto B.
Perpendicularidad entre recta y plano. Página 57 y 58, figura 68.
Plano paralelo a otro y que pase por un punto. Página 51, figura 88.
5º. Intersección de recta y plano. Determinamos las trazas de la recta intersección y las unimos.
Página figuras 30, 31 y 32, figuras 55, 56 y 57.
6º. Para calcular el punto medio M del segmento comprendido entre las trazas de la recta S no es mas que determinar el punto medio en proyección horizontal y vertical respectivamente.
7º. Situar los puntos 2 y 3 sobre la recta S a partir del punto M. Para ello hemos realizado un giro para colocar la recta S en frontal. Para ello giramos el punto n hasta quedar en ng, la unión de ng’ y m’ nos da la recta girada sg’. Situamos sobre ella el punto2g’ que dista del m’ 4 cms., haciendo el giro en sentido contrario obtenemos el punto 2' sobre s’. Para obtener 3'tiene que distar de m’ lo mismo que 2'. Obtenidas las proyecciones verticales de estos dos puntos determinamos las horizontales situándolos en la recta s..
Páginas 39 y 40, figura 72.
8º. Determinemos el tercer vértice del triángulo equilátero que está sobre PH.
Vamos a considerar los lados 12 y 13. Vamos a girar estos lados hasta que queden frontales. Giramos alrededor de los ejes verticales que pasan por los puntos 2 y 3 respectivamente. Al girar el lado 12, este describirá una circunferencia de centro 2 y radio por determinar, pero cuando quede frontal, la proyección vertical estará en verdadera magnitud y por estar el vértice 1 en PH, 1g' estará en LT. Luego trazando un arco de centro 2' y radio 8 cms. donde corte a LT tendremos el punto 1g’, 1g estará en la paralela a LT por 2, ya que hemos convertido el lado 12 en frontal. Si deshacemos el giro, el vértice 1 deberá estar en la circunferencia de centro 2 y radio 1g2.
Repitiendo este mismo razonamiento para el lado 13, llegaremos a la conclusión que el punto 1 también deberá estar en una circunferencia de radio 1g3 y centro 3. Donde ambos arcos de circunferencia se corten tendremos la proyección horizontal del punto 1, la vertical el LT por ser un punto del PH.
También se puede determinar el tercer vértice aplicando uno de los giros anteriormente expuesto y una vez determinado la circunferencia donde debe estar, buscar aquél punto que esté en la traza horizontal del plano perpendicular a la recta S en su punto medio M.
Páginas 39 y 40, figura 72.
Figura 113
