Suma y resta de radicales
Por: Sandra Elvia Pérez
¿Recuerdas cuándo viste la suma algebraica?
En este tema se enfatizó el hecho de que sólo puedes sumar términos semejantes.
El caso de la suma y resta algebraica no es la excepción es decir sólo puedes sumar o restar raíces del mismo
índice y del mismo radicando.
Ve algunos ejemplos
Ejemplo 1
Realiza las siguientes operaciones con radicales:
a)
2
+
3
2
=
, b)
5
37
+
8
37
−
3
37
=
, c)
3
32
x
−
5
2
x
−
4
32
x
+
8
2
x
a)
2
+
3
2
=
4
2
b)
5
37
+
8
37
−
3
37
=
10
37
c)
3
32
x
−
5
2
x
−
4
32
x
+
8
2
x
3
32
x
−
5
2
x
−
4
32
x
+
8
2
x
=
3
2
x
−
32
x
Observa que las raíces tienen índice y radicando iguales, por lo tanto son términos semejantes y los puedes sumar o restar.
En este ejemplo sólo sumas o restas las raíces que tienen índice y radicando igual.
¿Se puede sumar
50 +
32
?
Si atiendes a la regla anterior, no se pueden sumar puesto que no son términos semejantes, sin embargo, las dos
raíces se pueden simplificar y si al simplificarlas tienes términos semejantes, entonces se podrán sumar o restar.
Simplifica cada una de las raíces determinando los factores primos de cada una:
2
5
2
5
50
2=
∗
=
2
4
2
2
2
2
2
32
5 4 2=
=
∗
=
=
De esta forma:
2
9
2
4
2
5
32
50
+
=
+
=
Ejemplo 2
Realiza la siguiente operación:
=
+
−
−
3
48
2
50
4
75
18
Simplifica cada uno de los radicales:
2
3
2
3
18
2=
⋅
=
3
4
3
2
3
2
48
4 2=
=
⋅
=
2
5
2
5
50
2
=
⋅
=
3
5
3
5
75
2=
⋅
=
=
+
−
−
3
48
2
50
4
75
18
( ) ( ) ( )
−
+
=
−
3
4
3
2
5
2
4
5
3
2
3
Ahora, suma y resta términos semejantes:
2
8
3
8
3
20
2
10
3
12
2
3
−
−
+
=
−
Por lo tanto:
2
8
3
8
75
4
50
2
48
3
18
−
−
+
=
−
Ejemplo 3
Realiza la siguiente operación:
=
−
+
3 3 33
16
354
3
2
2
a
a
a
Simplifica cada uno de los radicales:
3 3 4 3 3
16
a
32
a
2
a
2
=
=
3 3 3 3 354
a
33
2
a
3
a
2
=
⋅
=
32
3a
No se puede simplificar más.
Sustituye los valores obtenidos en la operación:
=
−
+
3 3 3 316
354
3
2
2
a
a
a
(
2
32
)
+
3
32
−
3
32
=
2
a
a
a
Observa que los valores que quedan fuera de la raíz se están multiplicando.
Observa que los valores que quedan fuera de la raíz se están multiplicando.
Ahora, suma y resta términos semejantes:
3 3 3 32
3
2
3
2
4
2
4
a
+
a
−
a
=
a
Por lo tanto:
3 3 3 3 316
354
3
2
4
2
2
a
+
a
−
a
=
a
Ejemplo 4
Realiza la siguiente operación:
18
x
3−
32
x
5+
50
x
7Simplifica cada uno de los términos:
x
x
x
x
x
x
x
x
x
32
50
3
2
4
2
5
2
18
3 5 7 2 3+
−
=
+
−
En este caso no hay término semejante, pero tienes un factor común que es
2
x
, por lo que puedes factorizar:
(
2 3)
3 22
5
2
2
3
4
5
4
2
3
x
x
−
x
x
+
x
x
=
x
x
−
x
+
x
Por lo tanto:
(
2 3)
7 5 332
50
2
3
4
5
18
x
−
x
+
x
=
x
x
−
x
+
x
Al igual que en cualquier otra operación, las operaciones con radicales pueden combinarse.
Ve algunos ejemplos
Ejemplo 1
Realiza la siguiente operación:
3
(
3
−
2
)
Multiplica
3
por cada uno de los términos:
(
3
2
)
3
3
3
2
9
6
3
−
=
⋅
−
⋅
=
−
Simplifica:
9
−
6
=
3
−
6
Por lo tanto:
3
(
3
−
2
)
=
3
−
6
Ejemplo 2
Realiza la siguiente operación:
(
5
+
2
)(
3
−
2
)
Multiplica cada uno de los términos:
(
5
+
2
)(
3
−
2
)
=
15
−
10
+
6
−
4
Simplifica:
15
−
10
+
6
−
4
=
15
−
10
+
6
−
2
Por lo tanto:
(
5
+
2
)(
3
−
2
)
=
15
−
10
+
6
−
2
Ejemplo 3
Realiza la siguiente operación:
(
5
+
7
)(
5
−
7
)
Observa que los binomios son binomios conjugados:
(
5
+
7
)(
5
−
7
)
=
( )
5
2−
( )
2
2=
25
−
2
=
23
En esta lectura analizaste la suma y resta algebraica y algunas operaciones que implican la multiplicación con la
suma y resta, las cuales utilizarás en la racionalización. Te invito a que practiques las sumas, restas y
operaciones combinadasde la sección de ejercicios.
Bibliografía
Allen, A. (2004). Álgebra Intermedia (6ª. ed.). México: Prentice Hall. Baldor, A. (1988). Álgebra (1ª. ed.). México: Publicaciones Cultural. Barnett, R., Ziegler, M. & Byleen, K. (2000). Álgebra (6ª. ed.). México: McGraw-Hill. Bello, I. (1999). Álgebra Elemental (1ª. ed.). México: Internacional Thomson Editores.
Cuando se tiene una raíz elevada a un exponente se puede recurrir a las reglas de los exponentes:
